b-14) Valore atteso e varianza: Soluzioni (pdf, it, 18 KB, 5/5/08)
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ISTITUZIONI DI STATISTICA – A. A. 2007/2008 Marco Minozzo e Annamaria Guolo Laurea in Economia del Commercio Internazionale Laurea in Economia e Amministrazione delle Imprese Università degli Studi di Verona (sede di Vicenza) Calcolo delle Probabilità Soluzioni 7. Valore atteso e varianza Esercizio A. Per la variabile aleatoria X, valore atteso, momento secondo e varianza sono dati da: 11 9 7 5 3 1 +2· +3· +4· +5· +6· = 2, 53, 36 36 36 36 36 36 9 7 5 3 1 11 + 22 · + 32 · + 42 · + 52 · + 62 · = 8, 36, E(X 2 ) = 12 · 36 36 36 36 36 36 Var(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 = 8, 36 − (2, 53)2 = 1, 96, √ per cui, la deviazione standard è pari a σX = 1, 96 = 1, 4. Per la variabile aleatoria Y , valore atteso, varianza e deviazione standard sono dati da: E(X) = 1 · E(Y ) = 6, 61, Var(Y ) = 11, 13, σY = 3, 34. Per la variabile aleatoria W , valore atteso, varianza e deviazione standard sono dati da: E(W ) = 8, 75, Var(W ) = 16, 97, σW = 4, 12. Esercizio B. Indicando con X il numero di punte difettose presenti in ciascuna scatola e sapendo che X ∼ Bin(n; p), dove n = 100 e p = 0, 02, il numero atteso di punte difettose è dato da E(X) = n · p = 100 · 0, 02 = 2. Esercizio C. Valore atteso e varianza della variabile standardizzata Y sono dati da X −µ 1 1 E(Y ) = E = E(X − µ) = (µ − µ) = 0, σ σ σ 1 1 1 X −µ = 2 Var(X − µ) = 2 Var(X) = σ 2 2 = 1. Var(Y ) = Var σ σ σ σ Esercizio D. Indicando con C1 il capitale del giocatore dopo il primo lancio, questo è una variabile aleatoria con distribuzione di probabilità x P(C1 = x) C/2 2/3 2C 1/3 Analogamente, indicando con C2 il capitale del giocatore dopo il secondo lancio, questo è una variabile aleatoria con distribuzione di probabilità x P(C2 = x) C/4 C 4C 4/9 4/9 1/9 Infine, indicando con C3 il capitale del giocatore dopo il terzo lancio, questo è una variabile aleatoria con distribuzione di probabilità 1 M. Minozzo e A. Guolo – Calcolo delle Probabilità: Soluzioni 7 x P(C3 = x) 2 C/8 C/2 2C 8C 8/27 12/27 6/27 1/27 Il capitale atteso del giocatore dopo ciascuno dei tre lanci è dato dal valore atteso delle variabili aleatorie C1 , C2 e C3 : E(C1 ) = (C/2) · (2/3) + 2C · (1/3) = C, E(C2 ) = (C/4) · (4/9) + C · (4/9) + 4C · (1/9) = C, E(C3 ) = (C/8) · (8/27) + (C/2) · (12/27) + 2C · (6/27) + 8C · (1/27) = C. Sulla base del valore atteso della scommessa, partecipare o meno al gioco è indifferente perchè il valore atteso del capitale alla fine del gioco è pari al valore iniziale del capitale.