Distribuzioni continue non uniformi

Simulazione & Logistica - I Modulo
Distribuzioni continue
non uniformi
Simulazione & Logistica, I modulo
Lezione n. 9
Corso di Laurea in Informatica Applicata
Università di Pisa, sede di La Spezia
A.a. 2008/09, I semestre
Giovanni A. Cignoni - SLo1: Simulazione - www.di.unipi.it/~giovanni/
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Contenuti
Variabili casuali, distribuzioni discrete, generatori
Distribuzioni continue
Generazione di distribuzioni non uniformi
Generazione di distribuzioni esponenziali, normali e Weibull
In pratica: generatori in GS DSLibs
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Variabili casuali
Spazio di probabilità: ( , , P )
Variabile casuale X
spazio campione, i possibili esiti di un esperimento
spazio degli eventi, famiglia di sottoinsiemi di P : [0, 1], funzione di probabilità
X : tale che r , { : X() r} FX(x) = P ( { : X() x} ) = P ( X x )
Funzioni di distribuzione e di densità
Caratterizzano una variabile casuale
FX(x) è sempre valida nella sua definizione di base
Altre formulazioni, dipendono dal tipo della vc, discreta o continua
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Simulazione & Logistica - I Modulo
Distribuzioni discrete
X: x1, x2, ..., xk, ...
Variabile casuale discreta
Funzioni di densità e di distribuzione discrete
fX (x) = P ( X = x )
fX (x) = 0
se x = xi
altrimenti
per i = 1, 2, ... k, ...
FX(x) = P ( X x ) = xi x fX(xi)
Media, varianza e deviazione standard
X = E [X ] = i xi fX (xi)
2X = Var [X ] = i (xi – X)2 fX (xi)
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Variabili casuali e generatori
Una variabile casuale è una mappa
Distribuzioni uniformi discrete X: 1, 2, ..., n
Rappresenta un fenomeno non prevedibile
Associazione di un fenomeno a una variabile casuale
Analisi del fenomeno (della variabile), tramite osservazioni
Riproduzione della var. (del fenomeno) in una simulazione
fX (x) = P ( X = x ) = 1/n
se x = 1, 2, ..., n
fX (x) = 0
altrimenti
Sappiamo come costruirne generatori (pseudocasuali)
Distribuzioni continue
Definirle in generale, presentarne alcune notevoli
Definire metodi di generazione, in generale e su casi notevoli
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Distribuzioni continue
Variabile casuale continua: X : Funzioni di densità e di distribuzione continue
x
dF x
f X x = X
F X x = f X u du
dx
Media e varianza
E [ X ]= X = x f X x dx
Var [ X ]=E [ X X 2 ]=E [ X 2 ]E [ X ]2
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Simulazione & Logistica - I Modulo
Generazione di dist. non uniformi
Utilizzando distribuzioni uniformi
Metodo del cappello (per distribuzioni discrete)
Procurarsi un buon numero di gettoni marcati con gli xi
Metterne nel cappello in proporzione a f (xi)
Estrarre con reinserimento
Gli esiti riproducono la distribuzione (campionaria)
In pratica
Generare un valore pseudocasuale
Riportarlo sull’asse verticale della funzione di distribuzione
Determinare il valore di xi corrispondente
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Esempio: tipi di richieste
Percentuale delle richieste all’impiegato (da un campione)
Richiesta di tipo 1
Richiesta di tipo 2
Richiesta di tipo 3
Richiesta di tipo 4
Richiesta di tipo 5
05%
15%
35%
30%
15%
1.00
1.00
0.75
0.75
0.50
0.50
0.25
0.25
0.00
0.00
Rich. 1 Rich. 2 Rich. 3 Rich. 4
Rich. 5
Rich. 1
Rich. 2
Rich. 3
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Rich. 4
Rich. 5
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Metodo dell’inversione
Generalizzazione del metodo del cappello
Funzione di distribuzione nota
E invertibile
Inversione della funzione di distribuzione
x
U =F X x= f X u du
x=G u= F1
X u
In pratica
Generare un valore pseudocasuale
Applicare l’inversa e prendere il risultato
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Simulazione & Logistica - I Modulo
Metodo degli scarti
Scartare i valori che non rispettano la distribuzione
In pratica
Se la funzione di densità è nota e limitata in un dominio
Deriva dal metodo Monte-Carlo di integrazione
Data f (x) definita in [a, b]
Definire c per riportare f (x) in [0, 1]
Generare due valori pseudocasuali u1 e u2
x = a+u1(b-a) è accettato se u2 cf(x)
L’efficienza dipende da quanto è “inscatolata” f(x)
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Distribuzione esponenziale
Distribuzione continua nei reali positivi
f X x , =
e
x
Media e varianza
E [ X ]=
F X x , =1e
x
1
Var [ X ]=
1
2
Caratteristiche
Si presta a modellare il tempo fra eventi successivi
Legata alla distr. discreta di Poisson (n. eventi nel tempo)
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Generatore di dist. esponenziale
Inversa della funzione di distribuzione
F X x , =1e
x
u=1e
x
1u=e
x
ln 1u=
x
1
x= ln1u
Note
1-u e u sono equivalenti quando u è uniforme in [0, 1]
1/
è la media
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Distribuzione normale
Distribuzione continua nei reali
1
f X x , , =
e
2 x2
2
2
Caratteristiche
Si presta a modellare gli scarti rispetto a un obiettivo
È definita la funzione di densità, è la media e 2 la varianza
Con = 0 e 2 = = 1, è la dist. normale standard N(0, 1)
Data z che sia N(0, 1), x è N(
, ) se
x=
z
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Generatore di dist. normale
Problema
Non è data la FX(x), il metodo dell’inversa non aiuta
La fX(x) è definita su tutto , il metodo degli scarti non aiuta
Box-Müller: da cerchi uniformi a cerchi normali
In pratica, per generare N(0, 1)
Generare due valori pseudocasuali u1 e u2 in (-1, 1)
Scartare le coppie fuori dal cerchio unitario, scalare il raggio
R=u 12u22 1
r=
2 ln R
R
x 1=u 1 r , x 2=u 2 r
I valori x1 e x2 sono N(0, 1)
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Distribuzione Weibull
Una distribuzione malleabile
Parametro di forma k > 0
k = 1,
distribuzione esponenziale
k = 2,
distribuzione di Rayleigh
k = 3.4, simile alla distribuzione normale
Parametro di scala > 0
Funzione di densità (per x 0) e di distribuzione
f X x , k ,
=
k x
k 1
k
ex /
k
F X x , k , = 1e x /
La funzione di distribuzione è invertibile
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Simulazione & Logistica - I Modulo
Riferimenti
M. Pidd, Computer Simulation in Management Science,
Capp. 11, J. Wiley & Sons, 1998
G. Gallo, Note di Simulazione, capp. 3.1 e 4.4
Numerical Recipes in C, Cambridge University Press
http://www.nrbook.com/
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