Comments
Transcript
Elettrostatica - Dipartimento di Farmacia
ELETTROSTATICA Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 INTRODUZIONE • L’elettromagnetismo è la teoria che descrive le interazioni tra corpi dotati di carica elettrica • In questo ambito, l’argomento dell’elettrostatica è limitato al caso in cui tutte le cariche elettriche sono in quiete • Il caso più generale in cui le cariche sono in movimento è più complesso e ne saranno studiati, in questo corso, solo alcuni aspetti Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CARICA ELETTRICA (1) • Esistono due tipi di carica elettrica denominati carica positiva e carica negativa. La carica elettrica di un corpo è rappresentata da un numero (scalare) positivo o negativo. Due corpi dotati di carica elettrica dello stesso segno si respingono, mentre due corpi dotati di carica elettrica di segno opposto si attraggono • La carica elettrica è una proprietà delle particelle elementari che costituiscono la materia (elettroni e protoni). Un corpo di dimensioni macroscopiche possiede una carica elettrica uguale alla somma algebrica delle cariche elettriche delle particelle elementari che lo costituiscono Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CARICA ELETTRICA (2) • Le cariche elettriche dell’elettrone e del protone sono uguali in valore assoluto e di segno opposto. La carica del protone è positiva (e), mentre quella dell’elettrone è negativa (-e). La carica elettrica e è spesso indicata come la carica elementare • Dai due punti precedenti si deduce che la carica elettrica di un corpo macroscopico è quantizzata, ovvero è sempre uguale ad un multiplo intero (positivo o negativo) della carica elementare Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CARICA ELETTRICA (3) • UNITA’ DI MISURA: nessuna delle grandezze dell’elettromagnetismo deriva dalle grandezze della meccanica. Per avere un sistema completo di unità di misura fondamentali si affianca a metro, chilogrammo, e secondo, l’ampère (A) unità di misura dell’intensità di corrente elettrica. Il sistema di unità di misura così costituito si chiama sistema MKSA. • Nel sistema MKSA, l’unità di misura della carica elettrica è il coulomb (C) • Il valore della carica elementare nel sistema MKSA è: e = 1,602 × 10-19 C Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CARICA ELETTRICA (4) • PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA CARICA ELETTRICA: In un sistema chiuso (cioè per il quale non vi sono scambi di materia con l’ambiente) la somma algebrica delle cariche elettriche contenute nel sistema stesso è costante Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 FORZA ELETTROSTATICA (1) (Forza di Coulomb) q2 F12 = - F21 F21 F21 r q1 F12 F12 q 1q 2 > 0 q 1q 2 < 0 F12 = F21 ke q1 q2 = r2 Costante elettrostatica: ke = 9 × 109 kg.m3/(A2s4) Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 FORZA ELETTROSTATICA (2) (Principio di sovrapposizione) q2 r2 F1 F1 + F2 q3 r1 F2 q1 La forza risultante che due o più cariche esercitano su di un’altra carica è la somma vettoriale delle forze che ognuna delle cariche eserciterebbe se fosse sola Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (1) q2 q1> 0; q2 > 0 F2 B r ke q1 q2 F2 = r2 q1 A Poniamo ora l’attenzione sul punto B e sostituiamo la carica q2 con la carica q’2 > 0, mantenendo invariata q1, e osserviamo come varia la forza F2 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (2) q2 q1> 0; q2 > 0 F2 ke q1 q2 F2 = r2 F’2 ke q1 q’2 F’2 = r2 B r q1 q’2 A B r La forza F’2 ha la stessa direzione e lo q1 A stesso verso di F2 ma il suo modulo è proporzionale a q’2 anziché a q2 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (3) Osserviamo che: F2 F’2 k eq 1 = = q2 q ’2 r2 La grandezza F2/q2, ovvero il rapporto del modulo della forza che agisce sulla carica posta nel punto B e la carica stessa, non dipende dal valore della carica posta in B ma solamente dalla carica q1 e dalla distanza tra il punto B e il punto A La grandezza F2/q2 è in pratica una caratteristica del punto B (se la carica q1 si mantiene invariata) Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (4) Possiamo pensare che la grandezza F2/q2 = keq1/r2 , definita nel punto B, esista indipendentemente dal fatto che in B si trovi una carica elettrica: questa grandezza è una proprietà del punto B Avviene come se la presenza nel punto A della carica elettrica q1 modificasse le proprietà del punto B in modo tale che, se si pone in B una carica elettrica q2, quest’ultima subisce una forza keq1q2/r2. Poiché B è un punto generico, lo stesso ragionamento vale per tutti gli altri punti dello spazio. Alla grandezza keq1/r2 si dà il nome di campo elettrostatico. Si dice che è il campo elettrostatico generato dalla carica q1, o più brevemente il campo elettrostatico della carica q1 . Si dice anche che la carica elettrica q è la sorgente del campo elettrostatico. Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (5) In realtà, la posizione del punto B rispetto al punto A determina, secondo la legge di Coulomb, oltre al modulo, anche la direzione e il verso (se la carica q2 è positiva) della forza F2 q2 F2 B r q1 A Quindi il campo elettrostatico deve contenere in sé le informazioni sulla direzione e sul verso della forza. Cioè il campo elettrostatico è un vettore Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (6) q F E B r q1 r q1 A B F=qE A Il campo elettrostatico nel punto B è un vettore E. Se si pone nel punto B una carica q, essa subisce una forza elettrostatica F data dalla relazione: F=qE Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (7) • Notiamo dalla formula F = qE che se q = 1C, F = E. Il campo elettrostatico è numericamente uguale alla forza che agisce su di una carica unitaria posta nel punto B • Ancora dalla formula F = qE notiamo che l’unità di misura del campo elettrostatico nel sistema MKSA è il newton/coulomb (N/C) Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (8) Il punto B è un generico punto dello spazio. Possiamo ripetere il ragionamento per un qualsiasi altro punto dello spazio. B G EB rG rB A q1 D rD ED rC C EC Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 EB CAMPO ELETTROSTATICO (9) Proprietà del campo elettrostatico di una carica • Il campo elettrostatico generato da una carica q ha, in ogni punto, la direzione della congiungente tra la carica q e quel punto. Infatti, dalla formula F=qE vediamo che F ed E sono due vettori paralleli E q1 q1 q F = qE Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (10) Proprietà del campo elettrostatico di una carica • Il verso del campo elettrostatico dipende dal segno della carica che lo genera. Il verso del campo è quello della forza che agirebbe su di una carica positiva posta nello stesso punto E Se q1 > 0 q1 Il campo “si allontana” dalla carica perché la forza su di una carica positiva sarebbe repulsiva Se q1 < 0 q1 E Il campo “si avvicina” verso la carica perché la forza su di una carica positiva sarebbe attrattiva Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (11) Proprietà del campo elettrostatico di una carica • modulo del campo elettrostatico di una carica: dalla legge di Coulomb F = ke q1q2/r2, e dalla formula F = qE ricaviamo: E = keq1/r2 E q1 q1 q F = qE Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (12) (Principio di sovrapposizione - 1) q2 r2 E1 E1 + E2 q3 r1 E2 q1 Il campo elettrostatico risultante che due o più cariche generano in un punto è la somma vettoriale dei campi che ognuna delle cariche genererebbe se fosse sola Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (13) (Principio di sovrapposizione - 2) q2 r2 F1 E1 + E2 E1 q3 r1 E2 F2 F1 + F2 q1 Il principio di sovrapposizione per il campo è una conseguenza del principio di sovrapposizione per la forza e della relazione tra campo e forza Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (14) (Principio di sovrapposizione - 3) Dalla definizione di campo elettrostatico abbiamo: E1 = F1 / q E2 = F2 / q Eris = Fris / q Dal principio di sovrapposizione per la forza elettrostatica: Fris = F1 + F2 Quindi: Eris = (F1 + F2) / q Eris = (F1 / q) + (F2 / q) Da cui infine: Eris = E1 + E2 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (15) Utilità del campo elettrostatico • La formula F = qE stabilisce una separazione tra forza e campo. Ciò presenta dei vantaggi pratici: 1) ci permette di calcolare il campo elettrostatico generato da un insieme di cariche (grazie al principio di sovrapposizione) senza preoccuparci delle cariche elettriche che eventualmente sono soggette a tale campo 2) ci permette, noto il campo elettrostatico, di calcolare la forza che agisce su qualsiasi carica elettrica senza preoccuparci delle cariche elettriche che generano quel campo. Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (16) Utilità del campo elettrostatico • In conseguenza del punto precedente, se due insiemi di cariche elettriche generano, in ogni punto dello spazio, lo stesso campo elettrostatico, allora essi esercitano su qualsiasi carica elettrica la stessa forza. Dal punto di vista della forza che esercitano su altre cariche elettriche, quei due insiemi di cariche elettriche sono equivalenti Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (17) Utilità del campo elettrostatico • Il campo elettrostatico può sembrare a prima vista semplicemente un artificio per la semplificazione dei calcoli. In realtà esso è una grandezza fisica misurabile. Inoltre al campo elettrostatico è associata un’energia e, nel caso dell’elettrodinamica, il campo elettrico trasporta energia e quantità di moto. Il campo elettrico ha quindi una realtà fisica, pari a quella delle altre grandezze fisiche, e non è un semplice formalismo teorico. Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (18) Linee del campo elettrostatico (1) • Le linee di campo sono delle curve nello spazio che sono in ogni punto tangenti alla direzione del campo elettrostatico in quel punto Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (19) Linee del campo elettrostatico (2) • Spesso le linee di campo sono orientate (mediante frecce) secondo il verso del campo elettrostatico Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (20) Linee del campo elettrostatico (3) • Le linee di campo non si intersecano l’una con l’altra perché in ogni punto la direzione del campo è unica (se non è nullo) • Le linee di campo possono però convergere (o divergere) in corrispondenza di una carica elettrica • Le linee di campo danno un’idea dell’andamento del campo elettrostatico nello spazio quindi sono di aiuto nella rappresentazione del campo stesso. Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (21) Linee del campo elettrostatico (4) Esempio: q > 0 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CAMPO ELETTROSTATICO (22) Linee del campo elettrostatico (5) Esempio: q < 0 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (1) • DEFINIZIONE (Flusso del campo elettrostatico attraverso una superficie): S è una superficie piana di area A, n un vettore unitario (di modulo 1) ortogonale alla superficie S, E il campo elettrostatico, che supponiamo uniforme, in ogni punto della superficie S, θ l’angolo compreso tra n ed E Si chiama flusso del campo elettrostatico E attraverso la superficie S la grandezza: Φe = E A cosθ = E • n A n θ A Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 E TEOREMA DI GAUSS (2) • La precedente formula è valida se il campo elettrostatico E è uniforme e se la superficie S è piana. Se E non è uniforme, o se S non è piana si suddivide quest’ultima in piccoli elementi di area ∆A, si calcola il flusso per ogni piccola area e si somma su tutti gli elementi n θ E ∆A ∆Φe = E ∆A cosθ Φe = ΣE ∆A cosθ = ΣE • n ∆A Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (3) • Si procede in modo analogo θ se la superficie S è una superficie chiusa. Una n superficie chiusa divide lo spazio in due regioni: l’interno e l’esterno. Il vettore unitario normale alla superficie si prende per convenzione orientato verso l’esterno. Il flusso del campo elettrostatico è dato dalla formula precedente E Φe = ΣE ∆A cosθ = ΣE • n ∆A Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 ∆A TEOREMA DI GAUSS (4) • Il flusso del campo elettrostatico è additivo : Se Φ1 è il flusso del campo E1 e Φ2 è il flusso del campo E2, allora il flusso Φris del campo risultante Eris = E1 + E2 è uguale alla somma dei flussi dei campi E1 ed E2 Φris = Eris • n A = (E1+E2) • n A = E1 • n A + E2 • n A = Φ1 + Φ2 E2 n θ2 θ1 A Φris= Φ1 + Φ2 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 E1 TEOREMA DI GAUSS (5) • Consideriamo una regione dello spazio nella quale si trovano delle cariche elettriche, e consideriamo il campo elettrostatico risultante generato da queste cariche. Sia S una superficie chiusa e sia Φe il flusso del campo elettrostatico risultante attraverso S • TEOREMA DI GAUSS: il flusso Φe attraverso una superficie chiusa S è uguale a: Φe = 4πkeΣqint dove Σqint è la somma (algebrica) delle cariche elettriche che si trovano all’interno della superficie S Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (6) • Esempi (1) q2 q1 q5 q3 q4 q7 q6 q8 Φe = 4πke(q4 +q5 +q6) Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (7) • Esempi (2) q5 q4 q6 Φe = 4πke(q4 +q5 +q6) Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (8) • Esempi (3) q2 q1 q3 q7 q8 Φe = 0 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (9) Dimostrazione (1) 1) caso di una carica all’esterno di una superficie chiusa ∆A1 n2 q E2 n1 E1 ∆A2 Un cono con vertice nella carica delimita sulla superficie due elementi di aree rispettive ∆A1 e ∆A2 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (10) Dimostrazione (2) • Calcoliamo quindi, per cominciare, il flusso totale del campo elettrostatico attraverso questi due elementi ∆A1 n2 q E2 n1 E1 ∆A2 r1 r2 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (11) Dimostrazione (3) Proprietà geometriche dei due elementi di superficie (1) q s1 ∆A’1 s2 ∆A’2 r1 r2 s2/s1 = r2/r1 ∆A’2 / ∆A’1 = (s2/s1)2 = (r2/r1)2 ∆A’2 / r22 = ∆A’1 / r12 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (12) Dimostrazione (4) Proprietà geometriche dei due elementi di superficie (2) n q θ ∆A’ ∆A’ = ∆A cosθ Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 ∆A n’ TEOREMA DI GAUSS (13) Dimostrazione (5) Proprietà geometriche dei due elementi di superficie (3) n2 n1 q θ1 n’1 ∆A1 ∆A’1 θ2 ∆A’2 n’2 ∆A2 r1 r2 ∆A’2 / r22 = ∆A’1 / r12 ∆A’1 = ∆A1 cosθ1 ∆A’2 = ∆A2 cosθ2 ∆A2 cosθ2 / r22 = ∆A1 cosθ1 / r12 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (14) Dimostrazione (6) Torniamo ora al calcolo del flusso: ∆Φ = ∆Φ1 + ∆Φ2 n1 q ∆A’1 θ1 n’1 ∆A1 n2 θ2 E1 ∆A’2 E2 n’2 ∆A2 r1 r2 ∆Φ2 = ∆A2 E2 • n2 = ∆A2 E2 cosθ2 ∆Φ1 = ∆A1 E1 • n1 = – ∆A1 E1 cosθ1 ! L’angolo tra E1 e n1 è uguale a π – θ1 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (15) Dimostrazione (7) n1 q ∆A’1 θ1 n’1 E1 = keq/r12 r1 n2 ∆A1 E1 θ2 ∆A’2 E2 E2 = keq/r22 r2 ∆Φ2 = ∆A2 E2 cosθ2 = keq ∆A2 cosθ2/r22 ∆Φ1 = ∆A1 E1 cosθ1 = – keq ∆A1 cosθ1/r12 ∆Φ = ∆Φ1 + ∆Φ2 = keq (∆A1 cosθ1/r12 – ∆A2 cosθ2/r22 ) Ma, poiché ∆A2 cosθ2 / r22 = ∆A1 cosθ1 / r12 , ∆Φ = 0 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 ∆A2 n’2 TEOREMA DI GAUSS (16) Dimostrazione (8) • Abbiamo quindi mostrato che il flusso ∆Φ attraverso le due superfici delimitate dal cono è nullo: ∆A1 n2 q E2 n1 E1 ∆Φ = ∆Φ1 + ∆Φ2 = 0 ∆A2 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (17) Dimostrazione (9) • Possiamo ripetere l’operazione con nuovi coni che delimitano nuove coppie di elementi di superficie fino a coprire l’intera superficie chiusa n2 q E2 n1 E1 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (18) Dimostrazione (10) • Il flusso Φ attraverso la superficie chiusa è uguale alla somma dei flussi attraverso tutti gli elementi di superficie delimitati dai coni: Φ = ∆Φ1 + ∆Φ2 + ∆Φ3 + … + ∆Φ2N-1 + ∆Φ2N • In questa somma mettiamo in evidenza il contributo delle coppie di elementi di superficie corrispondenti a ciascun cono: Φ = (∆Φ1 + ∆Φ2) + (∆Φ3 + ∆Φ4) + … + (∆Φ2N-1 + ∆Φ2N) • Ognuno di questi contributi è nullo, quindi anche il flusso totale è nullo: Φ=0 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (19) Dimostrazione (11) • PRIMO RISULTATO PARZIALE: Abbiamo dimostrato che il flusso del campo elettrostatico, generato da una carica elettrica, attraverso una superficie chiusa è nullo se la carica è esterna alla superficie • OSSERVAZIONE: Questo risultato è una conseguenza della dipendenza del campo elettrostatico dall’inverso del quadrato della distanza dalla carica Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (20) Dimostrazione (12) 2) caso di una carica al centro di una sfera di raggio R E cos θ = 1 perché E è ortogonale alla superficie della sfera Inoltre E è uniforme sulla superficie della sfera q E = keq/R2 Φe = area della sfera × E Φe = 4πR2keq/R2 = 4πkeq Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (21) Dimostrazione (13) 3) caso di una carica all’interno di una superficie chiusa di forma qualsiasi S1 q Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (22) Dimostrazione (14) Consideriamo la seguente superficie S ottenuta aggiungendo alla precedente S1, una sfera S3 posta in modo che la carica q si trovi nel suo centro, ed un tubo sottile S2 che unisce S1 ed S3 S2 q S1 S3 S = S1 U S2 U S3 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (23) Dimostrazione (15) Notiamo che rispetto a questa superficie S la carica q si trova all’esterno n1 S2 q n3 S1 S3 S = S1 U S2 U S3 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (24) Dimostrazione (16) Il flusso ΦS attraverso la superficie S del campo elettrostatico generato dalla carica q è la somma dei flussi di tale campo attraverso le tre superfici S1, S2, ed S3 la cui unione è la superficie S. Cioè: ΦS = ΦS1 + ΦS2 + ΦS3 D’altra parte ΦS = 0 perché la carica q si trova all’esterno di S. Quindi, ΦS1 + ΦS2 + ΦS3 = 0 Il flusso ΦS2 attraverso il tubo è trascurabile perché può essere reso piccolo a piacere facendo tendere a zero il diametro del tubo stesso. Abbiamo quindi: ΦS1 = – ΦS3 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (24) Dimostrazione (16) Notiamo che il flusso ΦS1 del campo elettrostatico della carica q attraverso la superficie S1 è il flusso che volevamo calcolare originariamente Mostriamo adesso che – ΦS3 è uguale al flusso, attraverso una superficie sferica, del campo elettrostatico generato da q, quando q si trova al centro della sfera stessa (flusso che abbiamo già calcolato) Tale flusso, in conseguenza dell’uguaglianza ΦS1 = – ΦS3 è uguale al il flusso ΦS1 del campo elettrostatico della carica q attraverso la superficie S1 di forma qualsiasi Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (25) Dimostrazione (17) Calcoliamo quindi il flusso ΦS3 cos θ = – 1 perché E è ortogonale alla superficie della sfera ma adesso il vettore normale ha verso opposto Come prima E è uniforme sulla superficie della sfera E = keq/R2 E n q S3 ΦS3 = – area della sfera × E = – 4πR2keq/R2 = – 4πkeq ΦS1 = – ΦS3 = 4πkeq Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (26) Dimostrazione (18) • SECONDO RISULTATO PARZIALE: Abbiamo dimostrato che il flusso del campo elettrostatico, generato da una carica elettrica, attraverso una superficie chiusa è uguale a 4πkeq se la carica è interna alla superficie • OSSERVAZIONE: Questo risultato è una conseguenza della dipendenza del campo elettrostatico dall’inverso del quadrato della distanza dalla carica e della proporzionalità alla carica elettrica Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (27) Dimostrazione (19) • CONCLUSIONE: Dalla proprietà di additività, il flusso del campo risultante generato da un numero qualsiasi di cariche elettriche attraverso una superficie chiusa è uguale alla somma dei flussi dei campi di ciascuna carica. • Dai risultati parziali ottenuti, il contributo di ciascuna carica q al flusso risultante è uguale a 4πkeq, se la carica è interna alla superficie, ed è uguale a zero, se la carica è esterna alla superficie • Il flusso risultante sarà quindi la somma di termini 4πkeq, uno per ogni carica interna alla superficie, ovvero: Φe = 4πkeΣqint Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 TEOREMA DI GAUSS (28) Osservazione • Come abbiamo già osservato, il Teorema di Gauss riflette le proprietà del campo elettrostatico e cioè: 1) la proporzionalità alla carica elettrica 2) la proporzionalità inversa al quadrato della distanza • Poiché il campo gravitazionale ha le stesse proprietà (sostituendo la carica elettrica con la massa) il Teorema di Gauss deve essere valido anche per il campo gravitazionale (Gm/r2). Infatti, il flusso del campo gravitazionale attraverso una superficie chiusa è uguale a: Φg = 4πGΣmint dove G è la costante di gravitazione universale e Σmint rappresenta la somma delle masse interne alla superficie chiusa Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (1) • A partire dalla formula del campo elettrostatico di una carica puntiforme, e grazie al principio di sovrapposizione, possiamo calcolare il campo elettrostatico di un insieme di cariche qualsiasi. In effetti è sufficiente calcolare la somma vettoriale dei campi generati dalle diverse cariche Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (2) • Il Teorema di Gauss permette di calcolare il campo elettrostatico risultante quando le cariche elettriche sono distribuite nello spazio secondo forme geometriche semplici • Si applica il T. di Gauss ad una superficie scelta in modo opportuno che permette di sfruttare le proprietà di simmetria della distribuzione di cariche elettriche Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (3) • Nella pratica, poiché la carica elettrica elementare è molto piccola, si ha a che fare con un numero molto elevato di cariche. E’ allora utile fare astrazione della natura corpuscolare della carica e considerarla, dal punto di vista macroscopico, come un continuo (è ciò che si fa comunemente con la massa!) Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (4) • Definiamo densità di carica elettrica il rapporto ρ = ∆q/∆v dove ∆q è la carica elettrica totale contenuta nell’elemento di volume ∆v ∆v = volume del cubo ∆q = carica totale contenuta nel cubo Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (5) • Se la carica è distribuita su di una superficie, definiamo la densità superficiale di carica elettrica il rapporto σ = ∆q/∆a dove ∆q è la carica totale contenuta nell’elemento di superficie ∆a ∆q = carica totale contenuta nell’elemento di superficie ∆a = area dell’elemento di superficie Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (6) • Campo elettrostatico generato da una sfera uniformemente carica R = raggio della sfera Q = carica totale V = volume della sfera = (4/3)πR3 ρ = Q / V = 3Q/(4πR3) R Calcoliamo il campo elettrostatico all’esterno e all’interno della sfera utilizzando il T. di Gauss e la simmetria sferica della distribuzione di carica Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (7) n Consideriamo una superficie sferica S, di raggio r > R, e il cui centro coincide con quello della distribuzione di carica La carica elettrica totale all’interno della superficie S è la carica elettrica totale Q della sfera Σqint = Q r R Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 S DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (8) E Il campo elettrostatico generato da questa distribuzione è radiale. Infatti la rotazione indicata dalla freccia lascia invariata la distribuzione di carica e quindi deve lasciare invariato anche il campo. Ciò accade solo se il campo è radiale R Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 S DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (9) Inoltre tutti i punti della superficie S sono alla stessa distanza dal punto più vicino della sfera di carica. Quindi tutti questi punti sono equivalenti per quanto riguarda la distribuzione di carica. Possiamo dire che da ogni punto della superficie S si “vede” la stessa distribuzione di carica. Quindi il modulo del campo è uniforme sulla superficie S E E r r R Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 S DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (10) Il campo elettrostatico è ortogonale alla superficie S ed è uniforme in modulo sulla superficie stessa: Φe = 4πr2E per il T. di Gauss: Φe = 4πkeΣqint = 4πkeQ quindi: 4πr2E = 4πkeQ da cui: E = keQ/r2 Notiamo che è lo stesso campo che avrebbe generato una carica puntiforme Q posta al centro della sfera carica n E r R Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 S DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (11) Consideriamo una superficie sferica S, di raggio r < R, e il cui centro coincide con quello della distribuzione di carica La carica elettrica totale all’interno della superficie S è adesso Σqint = ρ(4/3)πr3 Ma poiché ρ = 3Q/(4πR3) Σqint = 3Q(4/3)πr3/(4πR3) ovvero Σqint = Qr3/R3 n r R S Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (12) Anche in questo caso il campo elettrostatico è ortogonale alla superficie S ed è uniforme in modulo sulla superficie stessa: Φe = 4πr2E per il T. di Gauss: Φe = 4πkeΣqint = 4πkeQr3/R3 quindi: 4πr2E = 4πkeQr3/R3 da cui: E = keQr/R3 Notiamo che all’interno della sfera carica il modulo del campo elettrostatico è proporzionale alla distanza dal centro della sfera n r R Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 S DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (13) Grafico del modulo del campo elettrico di una sfera uniformemente carica in funzione della distanza dal centro E keQ/R2 E∝r E ∝ 1/r2 R Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 r DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (13) Linee di campo all’esterno della distribuzione sferica Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (14) • Campo elettrostatico generato da un guscio sferico uniformemente carico R = raggio della sfera Q = carica totale A = area della sfera = 4πR2 σ = Q / A = Q/(4πR2) R Calcoliamo il campo elettrostatico all’esterno e all’interno del guscio sferico utilizzando il T. di Gauss e la simmetria sferica della distribuzione di carica Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (15) n Consideriamo una superficie sferica S, di raggio r > R, e il cui centro coincide con quello della distribuzione di carica La carica elettrica totale all’interno della superficie S è la carica elettrica totale Q del guscio sferico Σqint = Q r R Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 S DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (16) Il campo elettrostatico è ortogonale alla superficie S ed è uniforme in modulo sulla superficie stessa: Φe = 4πr2E per il T. di Gauss: Φe = 4πkeΣqint = 4πkeQ quindi: 4πr2E = 4πkeQ da cui: E = keQ/r2 Notiamo che è lo stesso campo che avrebbe generato una carica puntiforme Q posta al centro del guscio sferico n E r R Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 S DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (17) Consideriamo una superficie sferica S, di raggio r < R, e il cui centro coincide con quello della distribuzione di carica La carica elettrica totale all’interno della superficie S è adesso Σqint = 0 n r R S Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (18) Anche in questo caso il campo elettrostatico è ortogonale alla superficie S ed è uniforme in modulo sulla superficie stessa: Φe = 4πr2E per il T. di Gauss: Φe = 4πkeΣqint = 0 quindi: 4πr2E = 0 da cui: E=0 Notiamo che all’interno del guscio sferico carico il campo elettrostatico è nullo n r R S Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (19) Grafico del modulo del campo elettrico di un guscio sferico uniformemente carico in funzione della distanza dal centro Il campo è discontinuo e non è definito sul guscio E keQ/R2 E ∝ 1/r2 E=0 R Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 r DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (13) E=0 Linee di campo all’esterno del guscio sferico Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (20) • Piano infinito con densità superficiale di carica uniforme σ E E Per simmetria, il campo è ortogonale al piano della distribuzione. Infatti immaginiamo di far ruotare il piano su se stesso attorno ad un asse ortogonale al piano stesso: tale operazione lascia invariata la distribuzione di carica e quindi deve lasciare invariato anche il campo. Ciò accade solo se il vettore campo è ortogonale al piano σ = ∆q/∆a Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (21) E E σ = ∆q/∆a Inoltre, sempre per la simmetria della distribuzione di carica, il modulo del campo elettrico, fissata la densità di carica, può dipendere solo dalla distanza dal piano: infatti tutti i punti di un piano parallelo a quello che contiene le cariche sono equivalenti se quest’ultimo è infinito. Possiamo dire che da tutti i punti di un piano parallelo a quello che contiene le cariche si “vede” la stessa distribuzione. Il verso del campo dipende dal segno della densità di carica. In figura è mostrato il caso di una densità di carica positiva Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (22) S Consideriamo una superficie S cilindrica con basi, di area A, parallele al piano e poste simmetricamente ai due lati del piano stesso (le distanze delle due basi dal piano che contiene le cariche sono uguali). La carica totale all’interno della superficie è Σqint = σA A σ = ∆q/∆a S Σqint = σA Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (23) E S Sulle basi del cilindro E è uniforme e ortogonale a S: Φbas = 2AE Sulla parte laterale del cilindro E è parallelo a S: Φlat = 0 Φtot = Φlat + Φbas = 2AE Per il T. di Gauss, Φtot = 4πkeΣqint 2AE = 4πkeσA E = 2πkeσ n E n A Il campo del piano infinito è uniforme in ogni semi-spazio ed è proporzionale alla densità di carica S E Σqint = σA Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (24) Doppio piano infinito con densità superficiali di carica uniformi e opposte +σ e −σ (doppio strato di carica) Il campo risultante di questa distribuzione di carica si può calcolare dalla formula del campo di un singolo piano infinito utilizzando il principio di sovrapposizione +σ −σ Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (25) E+ + E’ sufficiente fare la somma vettoriale del campo della distribuzione di carica positiva e… + E+ +σ Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (26) … di quello della distribuzione di carica negativa E− E− −σ Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (27) I due piani suddividono lo spazio in tre regioni … E− E− E+ + E+ + E− +σ −σ + E+ Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (28) … in ognuna delle quali il campo è la somma di due campi uniformi +σ −σ E- = 2πkeσ E- = 2πkeσ E- = 2πkeσ E+ = 2πkeσ E+ = 2πkeσ E+ = 2πkeσ Eris = 0 Eris = 4πkeσ Eris = 0 Il campo di un doppio strato di carica +σ e –σ è nullo all’esterno e uniforme e uguale a 4πkeσ all’interno Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DISTRIBUZIONI DI CARICA PARTICOLARI (29) +σ −σ Linee di campo del campo elettrostatico uniforme all’interno del doppio strato di carica Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (1) La forza elettrostatica è conservativa: mostriamo che il lavoro della forza che una carica q1 esercita su una carica q2 lungo un circuito chiuso è nullo q2 F r q1 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (2) Consideriamo prima un circuito chiuso semplice costituito da due archi di circonferenza e da due segmenti rettilinei radiali L A→B = 0 C L C→D = 0 L B→C = – L D→A B q2 F D r q1 A L circuito = L A→B + L B→C + L C→D + L D→A = 0 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (3) Consideriamo ora un circuito complesso ma sempre costituito da archi di circonferenza e da segmenti rettilinei radiali Il lavoro totale lungo gli archi è nullo q2 Larc = 0 F r q1 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (4) Per ogni segmento radiale “entrante” ve ne è uno “uscente” della stessa lunghezza Lrad = 0 q2 F r q1 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (5) Il lavoro totale è la somma del lavoro lungo gli archi e lungo i segmenti radiali q2 F r q1 Lcircuito = Larc + Lrad = 0 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (6) Consideriamo adesso un circuito di forma generica Possiamo approssimare il circuito di forma generica (blu) mediante un altro circuito (rosso) composto solo di archi e segmenti radiali, lungo il quale il lavoro è nullo. Se dimostriamo che il lavoro lungo questi r due circuiti è uguale, dimostriamo q1 che il lavoro lungo il circuito blu è nullo q2 F Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (7) B L A→B = AB×Fcosθ F C L C→B = 0 θ L A→C = AC×F q2 L A→C = AB×Fcosθ A L A→B = L A→C + L C→B L circ blu = L circ rosso = 0 F r q1 Se la figura ABC è molto piccola, è approssimabile ad un triangolo rettangolo,ed F può essere considerata costante sulla figura Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (8) La figura precedente mostra che il lavoro lungo il circuito di forma generica (blu) è uguale al lavoro lungo il circuito composto di archi e segmenti radiali (rosso). Poiché quest’ultimo è nullo, anche il lavoro lungo un circuito chiuso di forma generica è nullo Abbiamo quindi dimostrato che la forza elettrostatica esercitata da una carica puntiforme è conservativa Questo risultato si estende, in virtù del principio di sovrapposizione, alla forza elettrostatica risultante esercitata da un numero qualsiasi di cariche Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (9) Il lavoro Lcirc,ris di F1+ F2 lungo il circuito è uguale alla somma del lavoro Lcirc,1 di F1 e del lavoro Lcirc,2 di F2 Quindi poiché Lcirc,1 = 0 e Lcirc,2 = 0, anche Lcirc,ris = 0 q2 F1 F1+F2 q3 r F2 q1 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (10) Quindi, in conclusione, la forza elettrostatica, esercitata da una qualunque distribuzione di carica elettrica è conservativa Possiamo dunque dire che, in generale, la forza elettrostatica è conservativa Ne consegue che possiamo definire l’energia potenziale (elettrostatica) di una carica elettrica rispetto ad un’altra carica elettrica, o rispetto ad una qualsiasi distribuzione di carica Prima di calcolare l’energia potenziale elettrostatica di una carica, osserviamo una importante proprietà del campo elettrostatico Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (11) Il lavoro della forza elettrostatica lungo un circuito chiuso si può scrivere: Lcirc = Σ(F•∆r) Ma F = qE, quindi: Lcirc = Σ(qE•∆r) = q[Σ( E•∆r)] e, poiché Lcirc = 0 per qualsiasi campo elettrostatico, Σ(E•∆r) = 0 La grandezza Σ(E•∆r) si chiama circuitazione del campo elettrostatico ed è uguale a zero ∆r q E Circuitazione di E = Σ(E•∆r) = 0 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (12) In conseguenza del fatto che la forza elettrostatica è conservativa, il campo elettrostatico possiede la seguente proprietà: La circuitazione del campo elettrostatico, lungo un qualsiasi circuito chiuso, è nulla Questa proprietà, assieme al Teorema di Gauss, caratterizza il campo elettrostatico Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (13) Secondo la definizione generale di energia potenziale, l’energia potenziale elettrostatica di una carica elettrica, che si trova in una certa posizione dello spazio (ad es. B) (rispetto ad una generica distribuzione di cariche), è uguale al lavoro che si deve compiere, contro la forza elettrostatica che agisce sulla carica stessa, per portarla da un punto, nel quale l’energia potenziale è nulla (ad es. A), fino alla posizione suddetta A B –F F U(B) – U(A) = – L A→B ; se U(A) = 0, U(B) = – L A→B Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (14) Come primo esempio, calcoliamo l’energia potenziale elettrostatica di una carica elettrica in funzione della sua posizione in un campo elettrico uniforme E + E – Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (15) Una carica q positiva posta tra i due strati subisce una forza F=qE + q F – Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (16) Supponiamo che la carica si muova in un piano parallelo agli strati di carica: il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica è nullo (perché la forza è ortogonale a tale piano), quindi l’energia potenziale della carica non varia + q F – Ciò significa che l’energia potenziale della carica è uniforme in un piano parallelo agli strati Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (17) Poniamo adesso (arbitrariamente) a zero l’energia potenziale della carica q quando questa si trova sullo strato di carica negativa. Il lavoro che si deve compiere per portare la carica q da questa posizione fino ad una distanza x è L = Fx = qEx U(x) = qEx + –F q F x – U=0 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (18) Osserviamo che la formula dell’energia potenziale di una carica in un campo elettrostatico uniforme è analoga alla formula dell’energia potenziale gravitazionale vicino alla superficie terrestre quando si considera uniforme la forza peso e quindi anche il campo gravitazionale. Il campo gravitazionale, in questo caso, non è altro che g che in precedenza abbiamo chiamato accelerazione di gravità U(h) = mgh m g h U=0 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (19) L’energia potenziale elettrostatica U delle cariche q1 e q2 poste ad una distanza r l’una dall’altra è definita come il lavoro compiuto, contro la forza elettrostatica, per portare la carica q2 “dall’infinito” ad una distanza r dalla carica q1. Con questa definizione, lo zero dell’energia potenziale è “all’infinito” U → 0 per r → ∞ r q1 –F F ∞ q2 U = keq1q2 / r Notiamo che U < 0, e U cresce al crescere di r, se le cariche sono di segno opposto (forza attrattiva) mentre U > 0, e U decresce al crescere di r, se le cariche sono dello stesso segno (forza repulsiva) Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (19) Per giustificare la formula precedente, consideriamo un piccolo percorso radiale ∆r e la variazione di energia potenziale ad esso associata F r q1 q2 ∆r F = – ∆U / ∆r = – [ U(r+∆r) – U(r) ] / ∆r – [ U(r+∆r) – U(r) ] / ∆r = – [keq1q2 /(r+∆r) – keq1q2 /r ] / ∆r = – keq1q2 [ 1/(r+∆r) –1/r ] / ∆r = – keq1q2 [ (r – (r+∆r))/ r(r+∆r)∆r ] = – keq1q2 [ – ∆r / r(r+∆r)∆r ] = – keq1q2 [ – 1 / r(r+∆r)] = keq1q2 / r2 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (20) L’energia potenziale della carica q rispetto alle cariche q1 e q2 è la somma algebrica dell’energia potenziale che essa avrebbe se ognuna delle cariche q1 e q2 fosse sola. Ciò consegue dal fatto che il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica generata da q1 e q2 insieme è la somma del lavoro delle forze che ognuna di esse genererebbe se fosse sola. Questo ragionamento si estende ad un numero qualsiasi di carche r1 q1 F2 q F1 + F2 F1 r2 q2 U = keqq1 / r1 + keqq2 / r2 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 ∞ POTENZIALE ELETTROSTATICO (21) Consideriamo adesso una carica q posta nel punto A; abbiamo visto che la sua energia potenziale rispetto ad una carica q1 è data dall’espressione: U = keqq1/r q1 r A q Osserviamo che la grandezza V = U/q = keq1/r non dipende dalla carica q ma solo dalla carica q1 e dalla posizione di q. Analogamente a quanto fatto per il campo elettrostatico, possiamo considerare questa grandezza una proprietà del punto A in cui si trova la carica q. Alla grandezza V si dà il nome di potenziale elettrostatico. Il potenziale elettrostatico della carica q1 è: V = keq1 / r L’unità di misura del potenziale elettrostatico nel sistema MKSA è il volt (V). 1V = 1J / 1C Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (22) Per il potenziale elettrostatico vale il principio di sovrapposizione che discende dalla proprietà analoga dell’energia potenziale r1 q1 U = keqq1 / r1 + keqq2 / r2 q r2 V = keq1 / r1 + keq2 / r2 q2 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (23) Notiamo che poiché il valore dell’energia potenziale di una carica in un punto dello spazio dipende dalla scelta di un punto di origine (o di zero) dell’energia potenziale, anche il potenziale elettrostatico dipende dalla scelta di un’origine (la stessa dell’energia potenziale) Ad esempio, nella precedente espressione del potenziale elettrostatico di una carica puntiforme q, V = keq/r, l’origine è all’infinito e questa scelta discende da quella fatta precedentemente per l’energia potenziale Quindi, analogamente a quanto accade con l’energia potenziale, il potenziale in un punto non è una grandezza misurabile (e non ha quindi significato fisico), mentre la differenza di potenziale tra due punti dello spazio lo è (e ha significato fisico) Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (24) Potenziale elettrostatico associato ad un campo elettrostatico uniforme: dall’espressione dell’energia potenziale U(x) = qEx di una carica q in un campo uniforme E, otteniamo il potenziale V(x) = U(x)/q = Ex Il potenziale dipende solo da x ed è nullo sulla distribuzione di carica negativa (come l’energia potenziale) + q V(x) = Ex E x – V=0 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (25) Relazione tra potenziale e campo elettrostatico: consideriamo una carica q che si muove di un piccolo tratto ∆r in un campo elettrostatico E: La corrispondente variazione di energia potenziale ∆U = U(B) – U(A) della carica è: ∆U = – lavoro della forza elettrostatica ∆U = – q E•∆r = – q E ∆r cosα calcoliamo la differenza di potenziale ∆V = V(B) – V(A) tra i punti B e A: ∆V = V(B) – V(A) = U(B)/q – U(A)/q = ∆U/q quindi: ∆V = – E•∆r ∆V ∆V = – Ex∆x – Ey∆y – Ez∆z B ∆r A q α E = – E•∆r Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (26) OSSERVAZIONE: (Direzione e verso del campo elettrostatico) B ∆r A α Dalla relazione tra potenziale e campo E elettrostatico: ∆V = – E•∆r Si ricava che il valore assoluto di ∆V, α=0 ∆V= E ∆r cos(E,∆r), è massimo quando A ∆r ∆r è parallelo o antiparallelo ad E. Quindi, la direzione di E indica la direzione di massima E B variazione di V. Inoltre, se ∆r è parallelo ad E, ∆V < 0, mentre B se ∆r è antiparallelo ad E, ∆V > 0. Quindi il α=π vettore E indica il verso in cui il potenziale ∆r decresce (il verso del campo elettrostatico è A E dal potenziale più alto al potenziale più basso). Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (27) OSSERVAZIONE (Unità di misura del campo elettrostatico): Dalla relazione tra potenziale e campo elettrostatico: ∆V = – E•∆r segue che un’altra unità di misura del campo elettrostatico nel sistema MKSA è il volt al metro (V/m) 1 V/m = 1 N/C Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (28) Superfici equipotenziali: Una superficie equipotenziale è una superficie a potenziale uniforme, ovvero una superficie, tutti i punti della quale hanno lo stesso potenziale. Nel loro punto di intersezione, una linea di campo ed una superficie equipotenziale sono ortogonali: infatti consideriamo un piccolo spostamento ∆r su di una superficie equipotenziale, la corrispondente differenza di potenziale ∆V = – E•∆r = 0 E è ortogonale a ∆r , e poiché questo è vero per qualsiasi vettore ∆r che giace sulla superficie equipotenziale, E è ortogonale alla superficie stessa. La linea di campo è tangente ad E ed è quindi a sua volta ortogonale alla superficie equipotenziale. Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (29) E ∆r Linea di campo e superficie equipotenziale Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 POTENZIALE ELETTROSTATICO (30) Superfici equipotenziali per una carica puntiforme Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (1) • E’ detto conduttore un corpo all’interno del quale le cariche elettriche sono libere di muoversi (non possono però uscire dal corpo stesso) • E’ detto isolante un corpo all’interno del quale le cariche elettriche non sono libere di muoversi • Entrambe queste situazioni rappresentano dei casi limite ideali. In realtà non vi è un perfetto conduttore o un perfetto isolante. La proprietà di consentire il movimento delle cariche è posseduta da una sostanza in una certa misura. Questa proprietà si chiama conducibilità. Torneremo su questo punto in relazione alla corrente elettrica • Esaminiamo adesso le proprietà del campo elettrostatico in presenza di corpi conduttori Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (2) • Una prima conseguenza della proprietà dei conduttori di consentire il movimento delle cariche elettriche, è che, nell’ambito dell’elettrostatica, cioè in una situazione in cui tutte le cariche sono a riposo, il campo elettrostatico all’interno di un conduttore è nullo Infatti, se non fosse nullo, esso metterebbe in movimento le cariche elettriche libere all’interno del conduttore, contraddicendo l’ipotesi che le cariche siano a riposo E=0 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (3) • Inoltre, all’interno di un conduttore la densità di carica è nulla Infatti, consideriamo una superficie chiusa S di volume ∆v all’interno del conduttore, poiché il campo elettrostatico è nullo in ogni punto di S, per il T. di Gauss la carica totale ∆q in S è nulla. σ S E=0 ρ=0 Poiché questo vale per qualunque superficie chiusa all’interno del conduttore, ρ = ∆q / ∆v = 0 Quindi la carica del conduttore è tutta distribuita sulla superficie del conduttore stesso Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (4) • In una cavità all’interno di un conduttore, se non vi sono cariche elettriche, il campo elettrostatico è nullo Infatti, consideriamo una superficie chiusa S tutta interna al conduttore, poiché il campo elettrostatico è nullo in ogni punto di S, per il T. di Gauss la carica totale sulla superficie interna del conduttore è nulla σ Ciò non esclude tuttavia che ci possano essere delle cariche positive e delle cariche negative sulla superficie interna del conduttore, e di conseguenza un campo elettrostatico non nullo Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 S CONDUTTORI (5) • Cavità in un conduttore (segue) Supponiamo di avere la configurazione di carica illustrata in figura. Vi sarebbe un campo non nullo nella cavità con delle linee di campo dirette dalle cariche positive verso quelle negative σ + + + + – – – – C In questo caso però la circuitazione del campo elettrostatico lungo il percorso chiuso C indicato in figura sarebbe diverso da zero. Infatti E•∆r sarebbe strettamente positivo nella porzione di circuito interna alla cavità, mentre sarebbe nullo nella porzione di circuito interna al conduttore Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (6) • Cavità in un conduttore (fine) L’ipotesi di una distribuzione di cariche sulla superficie interna del conduttore conduce quindi ad una contraddizione della proprietà del campo elettrostatico di avere una circuitazione sempre nulla σ E=0 In conclusione quindi non vi possono essere cariche elettriche sulla superficie interna del conduttore ed il campo elettrostatico all’interno della cavità deve essere nullo Questa proprietà è molto importante dal punto di vista pratico Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (7) Induzione elettrostatica q + Se poniamo un conduttore in un campo elettrostatico, le sue cariche libere si ridistribuiscono rapidamente (in una piccola frazione di secondo) per effetto della forza elettrostatica … Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (8) Induzione elettrostatica + + – – q + + + – – – – – – – + E=0 + + + + + …e si dispongono sulla superficie secondo una distribuzione tale che il campo all’interno del conduttore sia nullo. Si noti che il campo all’interno del conduttore è la somma del campo di tale distribuzione, e del campo generato dalle cariche esterne Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (9) Campo elettrostatico alla superficie di un conduttore (1) Osserviamo che, poiché il campo elettrostatico è nullo al suo interno, il conduttore è un volume equipotenziale: Infatti presi due punti qualsiasi A e B del conduttore, dalla formula ∆V = – E•∆r otteniamo V(B) – V(A) = – E•AB = 0, da cui V(B) = V(A) B Quindi il potenziale ha lo stesso valore in ogni punto del conduttore A E=0 V(B) = V(A) Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (10) Campo elettrostatico alla superficie di un conduttore (2) In particolare, la superficie del conduttore è una superficie equipotenziale. Le linee del campo elettrostatico sono ortogonali alla superficie del conduttore Si noti che se il campo elettrostatico avesse una componente parallela alla superficie del conduttore, le cariche libere sulla superficie sarebbero messe in movimento da questa componente del campo + + + + + + E=0 – – – – – – – + – – Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (11) Campo elettrostatico alla superficie di un conduttore (3) Il T. di Gauss ci permette di calcolare il modulo del campo elettrostatico alla superficie del conduttore. Consideriamo una superficie cilindrica S con basi di area A una all’interno e l’altra all’esterno della superficie del conduttore, simile a quella usata per il piano infinito uniformemente carico Il flusso attraverso la superficie S è Φe= AE (perché E = 0 all’interno del conduttore) e la carica totale all’interno della superficie S è σA, dove σ è la densità superficiale di carica (locale). Per il T. di Gauss AE = 4πkeσA, quindi: E = 4πkeσ A σ E S E=0 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (12) Campo elettrostatico alla superficie di un conduttore (4) Come mai il campo in prossimità del conduttore è 4πkeσ mentre in prossimità di un piano è 2πkeσ ? Perché il campo del conduttore è la somma del campo generato dalle cariche contenute nella superficie S (che è uguale a 2πkeσ) e di quello generato da tutte le altre cariche (che annulla il campo totale all’interno del conduttore) σ A 2πkeσ 2πkeσ σ 2πkeσ 2πkeσ Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (13) Campo elettrostatico alla superficie di un conduttore (5) Abbiamo visto che il dischetto di area A si trova in un punto in cui il campo, generato dalle altre cariche del conduttore, è 2πkeσ. Quindi la carica del dischetto subisce una forza F = q E = σA × 2πkeσ = 2πkeσ2A Notiamo che questa forza è sempre diretta verso l’esterno del conduttore. F / A = 2πkeσ2A è la forza per unità di superficie e si chiama pressione elettrostatica F = 2πkeσ2A A σ E = 2πkeσ Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (14) • Abbiamo studiato il campo elettrostatico all’interno di un conduttore, in una sua cavità, e nelle sue immediate vicinanze • Il passo successivo è di studiare il campo elettrostatico in tutto lo spazio esterno al conduttore • Questo è un problema complesso, che non tratteremo, perché dipende dalla distribuzione di carica sulla superficie del conduttore e questa, a sua volta, dipende dalla forma del conduttore, dalla presenza di altri conduttori, dalle cariche presenti su questi conduttori, e da altre cariche presenti nello spazio • Ci limiteremo allo studio di un caso semplice: quello di una sola sfera conduttrice Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (15) Sfera conduttrice di raggio R e carica totale Q • Per la simmetria sferica del conduttore, la densità superficiale di carica σ sulla superficie è uniforme e uguale a Q/(4πR2) • Quindi il campo generato da questa distribuzione di carica è quello del “guscio” sferico che abbiamo già studiato e che, a sua volta, è uguale, all’esterno della distribuzione, al campo di una carica Q posta al centro della sfera Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (16) Q R Carica Q e superficie equipotenziale di raggio R Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (17) σ = Q/(4πR2) R E=0 Sostituendo la carica con un guscio sferico il campo all’esterno non cambia Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (18) σ = Q/(4πR2) R E=0 Campo elettrostatico di un conduttore sferico di raggio R con carica Q Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (19) E keQ/R2 Grafico del modulo del campo elettrostatico di una sfera conduttrice con carica Q in funzione della distanza dal centro. Il campo sulla superficie è E = 4πkeσ = 4πke × Q/(4πR2) = keQ/R2 In accordo col valore calcolato per il guscio sferico E ∝ 1/r2 E=0 R Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 r CONDUTTORI (20) Sfera conduttrice di raggio R e carica totale Q (segue) • Qual è il potenziale elettrostatico della sfera conduttrice? Notiamo che il potenziale della carica puntiforme Q sulla superficie equipotenziale di raggio R è V = keQ/R. Ora, poiché la superficie del conduttore coincide con questa superficie equipotenziale, e poiché il campo elettrostatico all’esterno del conduttore è identico in ogni punto a quello della carica puntiforme, il potenziale della sfera (con origine all’infinito) è uguale a keQ/R • Infatti, se portiamo una carica unitaria dall’infinito alla superficie della sfera conduttrice di raggio R e carica Q, oppure se la portiamo dall’infinito alla superficie equipotenziale di raggio R nel campo della carica puntiforme Q, il lavoro compiuto è lo stesso perché il campo è lo stesso in ogni punto dello spazio Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (21) Sfera conduttrice di raggio R e carica totale Q (fine) • Quindi il potenziale di una sfera conduttrice di raggio R e con carica elettrica Q (con origine all’infinito) è V = keQ/R • Un altro modo di calcolare il potenziale della sfera è di calcolarlo al centro della sfera stessa. Tutte le cariche si trovano ad una distanza R dal centro della sfera. Sia q una di queste cariche, quindi Q = Σq. Il potenziale di ognuna delle cariche nel centro della sfera è keq/R, e il potenziale totale è la somma del potenziale di tutte le cariche: V = Σ(keq/R) = ke(Σq)/R = keQ/R Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (22) • Come sono distribuite le cariche sulla superficie di un conduttore di forma irregolare? Possiamo dedurre dalla formula del potenziale della sfera V = keQ/R una proprietà interessante • Osserviamo che Q = 4πR2σ, il potenziale si può scrivere: V = 4πkeRσ, da cui ricaviamo: σ = V/4πkeR A parità di potenziale V, la densità di carica superficiale σ è inversamente proporzionale al raggio R della sfera Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (23) Consideriamo due sfere conduttrici attaccate alle due estremità di un filo conduttore. Le due sfere si trovano allo stesso potenziale V. Quindi, σ1 = V/4πkeR1 e σ2 = V/4πkeR2 Poiché R1 > R2, σ2 > σ1, e poiché il campo elettrostatico alla superficie di un conduttore è E = 4πkeσ, E2 > E1 σ1 E1 R1 R2 σ 2 E2 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDUTTORI (24) Consideriamo adesso un conduttore di forma appuntita, per analogia con l’esempio precedente concludiamo che: 1) La densità superficiale di carica è maggiore dove il raggio di curvatura è più piccolo, in particolare in corrispondenza di una punta 2) Lo stesso vale per il campo elettrostatico che è proporzionale alla densità superficiale di carica σ1 E1 R1 R2 σ2 E2 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDENSATORI (1) • Si chiama capacità (e si indica con C) di un conduttore il rapporto tra la sua carica totale ed il suo potenziale: C=Q/V • Esempio: capacità di una sfera conduttrice di raggio R: C = Q / (keQ/R) = R /ke • Notiamo che la capacità della sfera non dipende né dalla carica né dal potenziale. Questa proprietà è generale e vale per un conduttore di forma qualsiasi. Ciò dipende dal fatto che, per il principio di sovrapposizione, il potenziale di un conduttore è proporzionale alla sua carica Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDENSATORI (2) • La capacità di un conduttore dipende dalla presenza di altri conduttori e dalla carica di questi conduttori. Infatti, come abbiamo visto, la presenza di altri conduttori influenza il potenziale e quindi la capacità • Un insieme di conduttori di particolare interesse è quello costituito da due soli conduttori che possiedono carica elettrica uguale in valore assoluto ma di segno opposto, in assenza di altri conduttori o cariche nello spazio. Tale insieme di conduttori si chiama condensatore +Q + + + + ++ + –Q – – – – – – – Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDENSATORI (3) • La differenza di potenziale ∆V tra i due conduttori è proporzionale alla carica Q. Questa proprietà è una conseguenza del principio di sovrapposizione. Infatti, supponiamo che ad un certa carica Q0 corrisponda una certa differenza di potenziale ∆V0. Questa differenza di potenziale è il lavoro che si deve compiere contro il campo elettrostatico, generato dalle cariche +Q0 e –Q0, per portare una carica unitaria dal conduttore con la carica negativa) al conduttore con la carica positiva). +Q0 + + + + ++ + q –Q0 – – – – – – – Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDENSATORI (4) • Supponiamo adesso di aggiungere sui due conduttori le cariche +Q0 e –Q0 in modo che la carica sia adesso +2Q0 e –2Q0. Per il principio di sovrapposizione, il nuovo campo sarà il vecchio campo moltiplicato per due, di conseguenza il lavoro compiuto per portare una carica unitaria dal conduttore negativo a quello positivo sarà doppio. Quindi la differenza di potenziale sarà 2 ∆V0. Estendendo il ragionamento ad altri valori della carica Q0 si conclude che la differenza di potenziale ∆V tra i due conduttori è proporzionale alla carica Q. +2Q0 + –2Q0 – – – + + + – q – – + ++ – Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDENSATORI (5) • Si chiama capacità (e si indica con C) di un condensatore il rapporto tra la carica sul conduttore positivo e la differenza di potenziale tra i due conduttori: C = Q / ∆V • Per quanto visto prima, la capacità di un condensatore non dipende né dalla carica, né dalla differenza di potenziale tra i conduttori. La capacità è una grandezza che dipende solamente dalla geometria del condensatore • L’unità di misura della capacità nel sistema MKSA è il farad (F). Come vedremo il farad è un’unità molto grande: si usano di solito dei sottomultipli del farad, tipicamente dal picofarad (pF), che corrisponde a 10–12 F, al millifarad (mF) Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDENSATORI (6) • Nella realtà un condensatore si trova sempre in presenza di altri conduttori che possono influenzarlo • Vi sono delle configurazioni di condensatori che permettono di minimizzare l’influenza di altri conduttori. Una di queste è il condensatore piano, costituito da due conduttori piani e paralleli (detti anche armature) posti a breve distanza uno dall’altro • Nel seguito calcoleremo la capacità di un condensatore piano con armature di area A separate da una distanza d Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDENSATORI (6) Sia Q la carica sull’armatura positiva e ∆V la differenza di potenziale tra le armature Supponiamo che la carica elettrica sia distribuita in modo uniforme sulle facce interne delle armature. Allora la densità superficiale di carica è σ = Q/A sull’armatura positiva e –σ = –Q/A su quella negativa +Q –Q d A Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDENSATORI (7) +σ = Q/A −σ = –Q/A +Q –Q d A Possiamo approssimare la distribuzione di carica sui conduttori con un doppio strato infinto di carica. Questa approssimazione è ragionevole se la distanza tra le armature è molto più piccola delle loro dimensioni Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDENSATORI (8) Ricordiamo che il campo elettrostatico del doppio strato è uniforme e il suo modulo è E = 4πkeσ … +σ E –σ Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDENSATORI (9) … e che il potenziale ad una distanza x dal piano negativo, preso come origine del potenziale, è V(x) = Ex +σ V(x) = Ex E d x –σ V=0 Quindi la differenza di potenziale tra il piano positivo e quello negativo è ∆V = E d Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDENSATORI (10) In conclusione, la differenza di potenziale tra le armature è: ∆V = E d = 4πkeσ d = 4πkeQd / A La capacità del condensatore piano è quindi: C = Q / ∆V = A / 4πked Introduciamo la costante dielettrica del vuoto: ε0 = 1 / (4πke) = 1 / (36π × 109) = 8,85 × 10–12 F/m La capacità di un condensatore piano con armature di area A separate da una distanza d è C = ε0A/d Osserviamo che la capacità dipende solo da parametri geometrici del condensatore Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 CONDENSATORI (11) ESEMPIO 1: Calcoliamo la capacità di un condensatore piano le cui armature sono dei quadrati di lato 1 cm e con separazione tra le armature di 1 mm A = 0,01 × 0,01 = 10-4 m2 d = 0,001 = 10-3 m C = ε0A/d = 8,85 × 10–12 × 10-4 / 10-3 ≅ 9 × 10-13 F = 0,9 pF ESEMPIO 2: Quale dovrebbe essere il lato L di un condensatore piano le cui armature sono dei quadrati e con separazione tra le armature di 1 mm, affinché la capacità sia di 1 F? C = ε0L2/d = 1 F L = √(d/ε0) = √(10-3 /(8,85 × 10-12)) ≅ √(10-3 /10-11) = √(108) = 104 m = 10 km ! Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (1) Un dipolo elettrico è costituito da due cariche elettriche puntiformi +q e –q, uguali in valore assoluto ma di segno opposto, poste ad una breve distanza d l’una dall’altra. La distanza d è considerata piccola perché ci interessiamo al campo elettrostatico e al potenziale di questo sistema di cariche a distanze molto maggiori della separazione tra le cariche stesse –q – d + +q Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (2) –q – d + +q Notiamo che la carica totale del sistema è nulla. La grandezza che caratterizza il dipolo elettrico è il momento di dipolo elettrico p = qd Dove q è la carica positiva e d un vettore che va dalla carica positiva alla carica negativa (il modulo di d è la distanza tra le cariche del dipolo elettrico). Il momento di dipolo elettrico p è una grandezza vettoriale che esprime l’intensità e l’orientamento del dipolo. Il modulo di p è il prodotto della carica positiva per la separazione tra le cariche. L’unità di misura del momento di dipolo elettrico nel sistema MKSA è il coulomb×metro (Cm). L’unità utilizzata di norma è il debye (D) 1D = 3,336 × 10-30 Cm Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (3) Vogliamo ora studiare il campo elettrostatico ed il potenziale di un dipolo elettrico. Poiché la sua carica totale è nulla ci possiamo aspettare che il campo a grande distanza (grande in confronto alla separazione tra le cariche) sia piccolo, in ogni caso molto più piccolo del campo di una sola carica elettrica uguale ad una delle cariche del dipolo. Infatti, in un punto P lontano dal dipolo (r >> d), i campi delle due cariche sono quasi uguali in modulo, ma non sia annullano l’uno con l’altro per via della separazione tra le cariche +q + d P – –q r E– Eris Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 E+ DIPOLO ELETTRICO (4) Calcoliamo ora il potenziale del dipolo elettrico in un punto P alla distanza r dalla carica negativa e il cui vettore posizione forma un angolo θ con l’asse del dipolo P(r, θ) y r r – d cosθ M O – –q θ d + N +q x Dalla figura si può osservare che la distanza di P dalla carica positiva è, con buona approssimazione, r – d cosθ Calcoliamo il potenziale del dipolo in P utilizzando il principio di sovrapposizione Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (5) Il potenziale V(P) nel punto P è la somma (algebrica) del potenziale della carica positiva e del potenziale della carica negativa: V(P) = keq / (r – d cosθ) – keq / r V(P) = (keq / r) [ 1 / (1 – d cosθ / r) – 1 ] Utilizziamo l’approssimazione: 1 / (1 – u) ≅ 1 + u per u << 1 Poniamo (d cosθ / r) = u; poiché d << r, u <<1 V(P) = (keq / r) [ 1 / (1 – u) – 1] ≅ (keq / r) [ 1 + u – 1] = (keq / r) u V(P) ≅ (keq / r) × (d cosθ / r) = (keq d cosθ) / r2 = (ke p cosθ) / r2 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (6) In conclusione il potenziale V(P) nel punto P(r,θ) alla distanza r dalla carica negativa e il cui vettore posizione forma un angolo θ con l’asse del dipolo è dato dalla formula (approssimata): V(P) = (keq d cosθ) / r2 = (ke p cosθ) / r2 Osserviamo che il potenziale del dipolo elettrico non varia se il dipolo ruota sul suo asse. Ciò significa che in ogni piano che contiene il dipolo il potenziale ha la stessa espressione. Per questo motivo abbiamo individuato il punto P mediante due sole coordinate. Una osservazione analoga vale per il campo elettrostatico del dipolo Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (7) La formula del potenziale del dipolo elettrico in coordinate cartesiane si può ottenere dalla precedente osservando che: r = (x2 + y2 + z2)1/2 e che cosθ = x / r = x / (x2 + y2 + z2)1/2 V(P) = (ke p cosθ) / r2 V(P) = (ke p x) / r3 V(P) = (ke p x) / (x2 + y2 + z2)3/2 Stiamo però trattando un caso particolare in cui il dipolo è diretto lungo l’asse x. In realtà dovremmo scrivere: V(P) = (ke px x) / (x2 + y2 + z2)3/2 dove px rappresenta la componente x del momento di dipolo elettrico P(r, θ) y r – –q θ d + +q x Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (8) La formula del potenziale del dipolo elettrico in coordinate cartesiane nel caso generale di un dipolo con componenti non nulle px, py, e pz, si può ottenere applicando il principio di sovrapposizione alle tre componenti del momento dipolo. Il potenziale in generale sarà la somma (algebrica) dei potenziali delle tre componenti del momento di dipolo V(P) = ke (px x + py y + pz z) / (x2 + y2 + z2)3/2 oppure: V(P) = ke (p • r) / r3 = ke (p • r) / (x2 + y2 + z2)3/2 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (9) Torniamo alla formula: V(P) = (ke p cosθ) / r2 Osserviamo che il potenziale del dipolo elettrico è proporzionale a 1/r2 mentre il potenziale di una carica singola è proporzionale a 1/r. Ciò significa, come vedremo anche nel seguito, che, a grande distanza, gli effetti di un dipolo su altre cariche sono molto più piccoli di quelli di una carica singola Osserviamo anche che il potenziale del dipolo ha una forma più complessa di quello di una carica semplice. In particolare, il potenziale è positivo nella metà del piano con x > 0 (per la quale θ < π/2 e θ > 3π/2), mentre è negativo per la metà con x < 0 (per la quale π/2 < θ < 3π/2) Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (10) Per quanto riguarda il campo elettrostatico del dipolo, non è opportuno calcolarlo mediante la stessa tecnica usata per il potenziale. Infatti dovremmo fare il calcolo tre volte, una per ogni componente del campo. Invece possiamo ricavare il campo dal potenziale e dalla relazione ∆V = – E•∆r tra campo e potenziale Se calcoliamo ∆V per un piccolo spostamento, ad esempio ∆x, la componente x del campo è Ex = – ∆V / ∆x, e analogamente per le altre componenti Ey = – ∆V / ∆y, Ez = – ∆V / ∆z Nel caso del dipolo, utilizzeremo le coordinate r e θ e la formula del potenziale V = (ke p cosθ) / r2 . Le componenti dei vettori che corrispondono alle coordinate r e θ sono le componenti radiale Er e tangenziale Eθ. Gli spostamenti corrispondenti sono rispettivamente ∆r e r∆θ Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (11) vr y vθ P(r, θ) r θ Le componenti radiale e tangenziale di un vettore. Il verso positivo per la componente radiale è quello di un vettore che “si allontana” dall’origine Il verso positivo per la componente tangenziale è quello di un vettore che indica il verso antiorario di rotazione x Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (12) P(r, θ + ∆θ) y r∆θ ∆θ P(r + ∆r, θ) ∆r P(r, θ) Notiamo che per una variazione ∆θ della coordinata θ, il punto P si sposta di r∆θ r θ x Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (13) Per calcolare la componente radiale del campo utilizziamo la differenza di potenziale ∆V per un piccolo spostamento radiale ∆r: ∆V = (ke p cosθ) / (r + ∆r)2 – (ke p cosθ) / r2 ∆V = (ke p cosθ / r2 ) [ 1 / (1 + ∆r / r )2 – 1 ] Utilizziamo l’approssimazione: 1 / (1 + u)2 ≅ 1 – 2u per u << 1 Poniamo ∆r / r = u; poiché ∆r << r, u <<1 ∆V = (ke p cosθ / r2) [ 1 / (1 + u)2 – 1] ≅ (ke p cosθ / r2) [ 1 – 2u – 1] = (ke p cosθ / r2) (–2u) = – 2(ke p cosθ / r3)∆r Er = – ∆V / ∆r ≅ (2 ke p cosθ) / r3 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (14) Per calcolare la componente tangenziale del campo utilizziamo la differenza di potenziale ∆V per un piccolo spostamento tangenziale r∆θ: ∆V = [ ke p cos(θ +∆θ) ] / r2 – (ke p cosθ) / r2 ∆V = (ke p / r2) [ cos(θ +∆θ) – cosθ ] Utilizziamo la formula: cos(θ+ϕ) = cosθ×cosϕ – senθ×senϕ cos(θ +∆θ) = cosθ×cos∆θ – senθ×sen∆θ Poiché ∆θ è piccolo, cos∆θ ≅ 1 e sen∆θ ≅ ∆θ cos(θ +∆θ) = cosθ – senθ×∆θ ∆V = (ke p / r2) [cosθ – senθ×∆θ – cosθ ] = – (ke p / r2) senθ×∆θ Eθ = – ∆V / (r∆θ) ≅ (ke p senθ) / r3 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (15) Le componenti radiale e tangenziale del campo elettrostatico del dipolo sono quindi: Er = (2 ke p cosθ) / r3 Eθ = (ke p senθ) / r3 Il modulo del campo è E = √(Er2 + Eθ2) = (kep / r3) (1 + 3 cos2θ) Osserviamo che, per θ fissato, il campo del dipolo è proporzionale a 1/r3 mentre il campo di una carica è proporzionale a 1 /r2. Ad esempio: nel caso di una carica, se il campo a 1 cm è E, il campo a 10 cm è E/100; nel caso di un dipolo, se il campo a 1 cm è E, il campo a 10 cm è E/1000. Ciò significa che la forza esercitata dal dipolo su di una carica decresce molto più rapidamente con la distanza della forza tra due cariche Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (16) Dalle formule delle componenti del campo del dipolo Er = (2 ke p cosθ) / r3 Eθ = (ke p senθ) / r3 Possiamo ricavare il campo in alcuni punti particolari Ad esempio sull’asse del dipolo (asse x), θ = 0 per x > 0 e θ = π per x < 0 quindi Er = 2kep / r3 per x > 0 Er = – 2kep / r3 per x < 0 Eθ = 0 E è parallelo all’asse del dipolo e ha lo stesso verso del dipolo Sull’asse ortogonale al dipolo che passa per il dipolo stesso (asse y) θ = π/2 per y > 0 e θ = 3π/2 per y < 0 quindi Er = 0 Eθ = kep / r3 per y > 0 Eθ = – kep / r3 per y < 0 E è parallelo all’asse del dipolo ma ha verso opposto a quello del dipolo Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (17) Er = (2kep cosθ)/r3 Eθ = (kep senθ)/r3 y Er = 0 Eθ = kep/r3 – + Er = – 2kep/r3 Eθ = 0 Er = 0 Eθ = – kep/r3 Eθ r Er P(r, θ) θ Er = 2ke Eθ = 0 p/r3 Campo del dipolo elettrico in un punto generico ed in alcuni punti particolari Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 x DIPOLO ELETTRICO (18) y – + Linee del campo del dipolo elettrico Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 x DIPOLO ELETTRICO (19) Finora abbiamo studiato il campo elettrostatico generato nello spazio dal dipolo elettrico. Questo campo permette di descrivere la forza che il dipolo esercita su di una carica. Nel seguito ci occuperemo del problema simmetrico, e cioè delle forze che agiscono su di un dipolo posto in un campo elettrostatico (generato da altre cariche) Vedremo due casi: quello di un campo elettrostatico uniforme, e quello del campo (non uniforme) di una carica puntiforme Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (20) Forze che agiscono su di un dipolo posto in un campo elettrostatico uniforme E –qE +q + d α – –q qE La risultante delle forze sul dipolo è nulla: ΣF = qE – qE = 0 Il momento risultante invece è diverso da zero: M = q E d senα M = p E senα Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (21) Le forze che agiscono sul dipolo tendono a farlo ruotare fino al raggiungimento della posizione di equilibrio (stabile) nella quale il dipolo è orientato parallelamente alle linee di campo E –qE – –q d qE + +q Notiamo che in questa posizione il momento risultante è uguale a zero Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (22) Vi è anche un’altra posizione di equilibrio che però è instabile E –qE +q + – –q qE Anche in questa posizione il momento risultante è uguale a zero, ma un piccolo spostamento da questa posizione rende il momento nuovamente diverso da zero e il dipolo tende a ruotare verso la posizione di equilibrio stabile Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (23) Forze che agiscono su di un dipolo posto in un campo elettrostatico non uniforme Anche in questo caso vi è un momento risultante sul dipolo che tende a ruotarlo e ad allinearlo lungo le linee + del campo Q Anche se il campo non – è uniforme, poiché il + dipolo è piccolo, per esprimere il momento si può usare la formula precedente M = pEsenα dove E è il campo nel punto in cui si trova il dipolo Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (24) qE+ Q + d r – –qE– + Nel caso di un campo non uniforme vi è anche una forza risultante diversa da zero perché il campo nelle due cariche è diverso supponiamo che il dipolo sia allineato su di una linea di campo e calcoliamo la forza risultante Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (25) La carica negativa –q del dipolo si trova ad una distanza r dalla carica Q, e di conseguenza la carica positiva +q di trova ad una distanza r+d dalla carica Q. E+ è il campo della carica Q nel punto in cui si trova la carica +q, E- è il campo della carica Q nel punto in cui si trova la carica –q Calcoliamo la componente radiale della forza risultante: Fris = q (E+ – E-) Fris = q [ keQ/(r+d)2 – keQ/r2 ] Fris = (keQq / r2) [ 1/(1+d/r)2 – 1] Utilizziamo l’approssimazione: 1 / (1 + u)2 ≅ 1 – 2u per u << 1 Poniamo d / r = u; poiché d << r, u <<1 Fris = (keQq / r2) [ 1/(1+u)2 – 1] ≅ – 2u(keQq / r2) = – 2keQp / r3 Fris = – 2keQp / r3 Osserviamo che questa forza è proporzionale a 1/r3 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (26) OSSERVAZIONE: Verso della forza agente sul dipolo in un campo non uniforme (1) Nella formula precedente abbiamo calcolato la componente radiale della forza perché ci dà un valore algebrico che indica anche il verso della forza. Il segno negativo indica in questo caso che la forza è orientata verso la carica Q. Infatti la carica negativa del dipolo nell’esempio precedente era più vicina alla carica positiva Q. Quindi, poiché il campo di Q decresce come 1/r2, la forza attrattiva sulla carica negativa prevale su quella repulsiva sulla carica positiva. Se la carica positiva del dipolo si fosse trovata più vicina a Q, la forza repulsiva su di essa avrebbe prevalso. Tuttavia questa configurazione sarebbe stata instabile e non si sarebbe potuta mantenere. Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (27) OSSERVAZIONE: Verso della forza agente sul dipolo in un campo non uniforme (2) In conclusione, l’effetto combinato del momento (che allinea il dipolo lungo le linee del campo elettrostatico) e della forza risultante (che è non nulla per la non uniformità del campo) è quello di attrarre il dipolo verso le regioni in cui il campo è più intenso (nell’esempio precedente, verso la carica Q) Si noti che avremmo ottenuto lo stesso risultato se la carica Q fosse stata negativa. Infatti, in quel caso, il dipolo si sarebbe orientato in modo che la sua carica positiva si trovasse più vicina a Q e, nuovamente, avrebbe prevalso la forza attrattiva su di essa Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (28) OSSERVAZIONE: La componente radiale del campo del dipolo è: Er = (2 ke p cosθ) / r3 in un punto dell’asse del dipolo dal lato della carica negativa, per il quale θ = π, essa diventa: Er = –2kep/ r3 La forza esercitata dal dipolo su di una carica Q posta ad una distanza r dal lato della carica negativa è quindi: Fdip = – 2keQp / r3 Osserviamo che questa forza è uguale alla forza che la carica Q esercita sul dipolo e che abbiamo appena calcolato Ci aspettavamo già questo risultato in conseguenza del terzo principio della Dinamica Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (29) Momento di dipolo elettrico di una molecola (1) Alcune molecole hanno un momento di dipolo elettrico che risulta dalla distribuzione asimmetrica delle loro cariche positive e negative: se, per effetto della conformazione della molecola, o della distribuzione degli elettroni nei legami, la carica negativa è nell’insieme spostata rispetto a quella positiva, la molecola possiede un momento di dipolo elettrico. Il suo comportamento dal punto di vista elettrostatico è quello descritto in precedenza per un dipolo elettrico Si noti che una molecola polare è più complessa di un dipolo elettrico. Il dipolo elettrico è un sistema ideale in cui le cariche sono puntiformi. Nella molecola polare le cariche occupano un certo volume e la loro distribuzione è caratterizzata da un momento di dipolo elettrico. Tuttavia il dipolo elettrico è una buona approssimazione per descrivere una molecola polare Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (30) Momento di dipolo elettrico di una molecola (2) Ad esempio, la molecola di acqua è una molecola polare. Il “baricentro” delle cariche positive è spostato rispetto a quello delle cariche negative + – p Il momento di dipolo della molecola di acqua è 1,84 D, un’altra molecola polare è SO2 con p = 1,59 D. Ricordiamo che 1D = 3,336 × 10-30 Cm e corrisponde al prodotto di una carica elementare (1,6×10 –19 C) per una distanza di 2×10–11 m che è circa 1/10 della distanza internucleare in una molecola tipica Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (31) Momento di dipolo elettrico di una molecola (3) Invece, le molecole simmetriche non possiedono un momento di dipolo elettrico. Ad esempio O2 non è una molecola polare: in essa i “baricentri” delle cariche positive e negative coincidono Altri esempi di molecole non polari: He, H2, N2, CO2, CH4, C2H4 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (32) Momento di dipolo elettrico di una molecola (4) Molecola Momento di dipolo (D) CO 0,10 N2O 0,17 NH3 1,45 SO2 1,59 H2O 1,84 KF 7,33 KCl 10,48 KBr 10,41 KI 11,05 HCl 1,03 HBr 0,78 HI 0,38 Momenti di dipolo elettrico di alcune molecole Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIPOLO ELETTRICO (33) Momento di dipolo elettrico di una molecola (5) Le molecole che non hanno un momento di dipolo elettrico permanente sono dette non polari. Esse possono tuttavia acquistare un dipolo elettrico, ovvero polarizzarsi, in presenza di un campo elettrostatico In modo semplificato, possiamo descrivere questo processo come uno spostamento delle cariche dovuto al campo elettrostatico. Infatti le forze che esso esercita sulle cariche positive e sulle cariche negative hanno versi opposti e tendono quindi a separare le cariche E Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIELETTRICI (1) Ci occupiamo adesso brevemente degli isolanti, ovvero dei corpi all’interno dei quali il moto delle cariche non è libero. Anche se a prima vista può sembrare strano, anche gli isolanti possono avere un’influenza sul campo elettrostatico nello spazio circostante. Ad esempio, come vedremo in seguito, se si interpone un isolante tra le armature di un condensatore se ne aumenta la capacità. Un isolante viene anche detto dielettrico perché si polarizza (a livello macroscopico) in presenza di un campo elettrostatico, ovvero acquista un momento di dipolo elettrico (macroscopico), e genera a sua volta un campo elettrostatico La polarizzazione di un corpo macroscopico è un fenomeno complesso (perché coinvolge un numero molto elevato di atomi o di molecole) di cui daremo solo una descrizione sommaria, limitandoci al caso di un campo applicato uniforme Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIELETTRICI (2) Esaminiamo adesso qualitativamente alcuni meccanismi di polarizzazione. Supponiamo di immergere un blocco di sostanza dielettrica in un campo elettrostatico uniforme. Prendiamo in considerazione diversi casi a seconda della natura del dielettrico: se gas, liquido, o solido, e se costituito da molecole polari o no E DIELETTRICO Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIELETTRICI (3) 1) Il dielettrico è composto da molecole polari libere di muoversi (caso dei gas e dei liquidi) che si orientano lungo le linee del campo elettrostatico. Osserviamo che, anche se il dielettrico è composto da molecole polari, non vi è polarizzazione in assenza di campo elettrico E=0 E Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIELETTRICI (4) 2) Il dielettrico è composto da molecole non polari (libere o no di muoversi) che si polarizzano in presenza del campo elettrostatico E=0 E Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIELETTRICI (5) 3) Il dielettrico ha una struttura ordinata (solido) e le cariche si separano per effetto del campo elettrostatico. Una proprietà importante dei dielettrici solidi è che alcuni di essi possono avere un momento di dipolo elettrico permanente (quindi anche in assenza di campo elettrostatico applicato). Non ci occuperemo però di questo tipo di dielettrici E E=0 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIELETTRICI (6) In tutti i casi descritti, vi è un accumulo di cariche positive ad un lato del dielettrico, e di cariche negative all’altro lato. Tuttavia queste cariche non sono libere di muoversi all’interno del dielettrico, a differenza delle cariche elettriche libere in un conduttore; per questo motivo vengono dette cariche legate o cariche di polarizzazione (però sono cariche reali) Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIELETTRICI (7) In un piccolo volume all’interno del dielettrico vi è in media lo stesso numero di cariche positive e negative: la carica totale è nulla (per un campo applicato uniforme). Invece, se il volume è vicino alla superficie, la carica totale è positiva o negativa. Vediamo che lo strato di carica è sottile: il suo spessore è pari alle dimensioni di una molecola o alla distanza interatomica Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIELETTRICI (8) Quindi, un dielettrico polarizzato in un campo elettrostatico uniforme è equivalente ad un doppio strato di cariche legate. Indichiamo con EA il campo applicato (o polarizzante) e con EP il campo generato dalle cariche legate (o campo di polarizzazione) Osserviamo che i versi di EA ed EP sono opposti, e che il campo totale all’interno del dielettrico, E = EA + EP è inferiore ad EA EA EP –σP +σP Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIELETTRICI (9) Osserviamo che abbiamo dato per scontato che i due strati di cariche legate abbiano la stessa densità superficiale (in valore assoluto) ciò segue dalla simmetria del sistema e dal fatto che il dielettrico rimane elettricamente neutro –σP EP +σP Notiamo anche che: EP = 4πkeσP = σP / ε0 Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIELETTRICI (10) Restano da calcolare la densità di carica legata σP e il campo di polarizzazione EP. Esse dipendono dalla natura del dielettrico. Un dielettrico è caratterizzato dalla sua costante dielettrica ε, o dalla sua costante dielettrica relativa εr = ε / ε0 In realtà è più utile il campo totale nel dielettrico. Per questo motivo la costante dielettrica relativa mette in relazione il campo totale E nel dielettrico con il campo applicato EA: E = EA / εr Notiamo che εr > 1 perché il campo totale nel dielettrico è inferiore al campo applicato Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIELETTRICI (11) Dalla precedente relazione possiamo calcolare il campo di polarizzazione: EP = EA – E EP = EA – EA/εr EP = (1 – 1/εr) EA Oppure: EP = (εr – 1) E La densità superficiale di carica legata: σP = EP / (4πke) = ε0EP σP = ε0 (1 – 1/εr) EA Oppure: σP = ε0 (εr – 1) E Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006 DIELETTRICI (12) Per concludere, calcoliamo la capacità di un condensatore piano di area A, e distanza tra le armature d, nel quale è posto un dielettrico con costante dielettrica relativa εr: +σ –σP d +σP –σ Se Q è la carica del condensatore e ∆V la differenza di potenziale tra le armature, Q = σ A = ε0 EA A = ε0 εr E A ∆V = E d Quindi C = Q / ∆V = ε0 εr A / d L’introduzione del dielettrico aumenta di un fattore εr la capacità del condensatore Corso di Fisica per CTF, Facoltà di Farmacia, Università “G. D’Annunzio”, D’Annunzio”, Cosimo Del Gratta 2006