Analisi della dinamica di popolazioni cellulari in presenza di

Università degli Studi di Trieste
FACOLTÀ DI FACOLTÀ DI SCIENZE, MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
Corso di Laurea in Fisica
Tesi di laurea triennale
Analisi della dinamica di popolazioni cellulari
in presenza di metaboliti citotossici
Candidato:
Relatore:
Federico Bressan
Edoardo Milotti
Anno Accademico 2008-2009
Alla mia famiglia.
Indice
Introduzione
1 Modelli di crescita cellulare
1.1 Modelli fenomenologici . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Modello di Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Modello di Verhulst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Modello ispirato alla formula di Michaelis-Menten . . .
1.5 Modello di Baranyi e Roberts . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Modello nutrient-depletion (ND) . . . . . . . . . . . . .
1.7 Modello nutrient-depletion toxicity-dependent
(NDTD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Modello nutrient-depletion pH-dependent (NDpHD) . .
1.9 Modelli di Milotti e Chignola (MC1, MC2, MC3, MC4)
i
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.
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1
1
3
4
5
7
8
. . . . 10
. . . . 11
. . . . 12
2 Analisi statistica
17
2.1 Discussione dei modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Bibliografia
23
Introduzione
Nello studio della dinamica di popolazioni cellulari si vuole stimare il rate
di crescita della popolazione. Esso dipende fortemente dalle condizioni ambientali che spesso tuttavia non sono controllabili con sufficiente precisione;
infatti quantità di nutriente, densità cellulare iniziale, sostanze citotossiche e
frequenza del cambio del mezzo della coltura hanno effetti sul rate di crescita
difficilmente trattabili matematicamente.
Identificare parametri intrinseci della proliferazione cellulare che rendano
conto dei dati sperimentali indipendentemente dalle condizioni al contorno
è lo scopo degli esperimenti in questo campo. Eventuali successi sarebbero importanti qualora si studiassero mutazioni cellulari in fenotipi maligni o
qualora fosse necessario valutare l’efficienza di farmaci antiproliferativi.
In questo lavoro di tesi presenterò una rassegna dei più comuni modelli di
crescita ed inoltre testerò alcuni modelli di Tracqui ed alcuni proposti da
Milotti e da Chignola per mezzo dei dati ottenuti da due esperimenti: uno
compiuto su una coltura di cellule epiteliali umane e l’altro su una coltura
di cellule leucemiche. La dinamica della popolazione nei casi studiati non è
esclusivamente di crescita ma è fortemente condizionata dai metaboliti citotossici che portano all’estinzione della coltura.
L’obiettivo della presente tesi è quello di valutare l’efficacia dei modelli nella
descrizione dei dati sperimentali.
i
ii
Capitolo 1
Modelli di crescita cellulare
1.1
Modelli fenomenologici
I seguenti modelli di crescita fanno parte della classe dei modelli fenomenologici, i quali non hanno la pretesa di dare giustificazioni dei processi
biofisici ma solamente di descriverli; non vi sono, infatti, ipotesi di fondo
che motivino la forma funzionale delle curve di crescita o che giustifichino
l’impiego dei parametri presenti. Tutti i seguenti modelli si applicano a situazioni in cui la popolazione possa crescere asintoticamente e nell’ambiente
non siano presenti fattori di mortalità cellulare che conducano all’estinzione
della popolazione.
Rassegna dei modelli:
Curva di Gompertz
Modello lineare
α exp(e−β(t−γ) ) + δ


t < τ,
α,
α + β(t − τ ),


γ,
t < µ,
Funzione di Richards α +
%
β−α
1 + γe
1
−δt
τ ≤ t ≤ µ,
&µ1
−(γt)δ
Funzione di Weibull β
−
(β
−
α)
'
α,
t ≤ τ,
√ √
Funzione di France
β − (β − α)e−γ(t−τ )+δ( t− τ ) ,
t > τ.
Tutte le precedenti funzioni presentano la forma caratteristica delle funzioni
sigmoidali; riporto due esempi.
Figura 1.1: Curva di Gompertz rispetto ai seguenti parametri: α=30, β=0.8,
γ=1.5, δ=1.
Figura 1.2: Funzione di Richards rispetto ai seguenti valori dei parametri:
α=1, β=30, γ=4.8, δ=3.2, µ=3.2.
2
1.2
Modello di Malthus
Il modello è derivato dalle seguenti ipotesi:
1. L’incremento di popolazione proporzionale alla popolazione esistente;
2. Non ci sono fattori che contrastano la proliferazione cellulare.
Il processo è governato dalla seguente equazione differenziale:
dN
= rN (t),
dt
r>0
Dalla quale si ricava la popolazione all’istante:
N (t) = N0 ert ,
N0 > 0
dove r e N0 sono rispettivamente il rate di crescita e la popolazione all’istante
t = 0.
Le ipotesi di crescita malthusiana sono ragionevoli nella fase iniziale della
proliferazione, ovvero quando essa non è limitata dalla carenza di nutriente
e dalla presenza di metaboliti dannosi alle cellule. Tuttavia in un ambiente
chiuso, queste condizioni vengono meno al crescere della numerosità della
popolazione ed è per tale motivo che questa curva può descrivere al più la
fase iniziale della proliferazione.
Figura 1.3: Crescita malthusiana con N0 =1 e r=0.2.
3
1.3
Modello di Verhulst
Proposto da Verhulst nel 1838, è stato il primo modello utilizzato per
descrivere la crescita di una popolazione biologica ed è più comunemente
conosciuto come modello di crescita logistica. E’ derivato da due ipotesi:
1. L’incremento di popolazione è proporzionale alla popolazione esistente;
2. L’incremento della popolazione è proporzionale all’ammontare di risorse disponibili.
Il processo è governato dalla seguente equazione differenziale:
(
)
dN
N (t)
= rN (t) 1 −
,
r, Nmax > 0
dt
Nmax
La soluzione di tale equazione differenziale fornisce la popolazione all’istante
t:
Nmax N0 ert
N (t) =
,
N0 > 0
Nmax + N0 (ert − 1)
dove r, N0 ed Nmax sono rispettivamente il tasso di crescita, la popolazione
all’istante t = 0 e la popolazione massima. Si noti che quest’ultima non viene
mai raggiunta in quanto il modello prevede una crescita asintotica, infatti:
limt→0 N (t) = Nmax .
Figura 1.4: Crescita logistica con N0 =1, Nmax =30 e r=0.7.
4
1.4
Modello ispirato alla formula di MichaelisMenten
Tale modello descrive la crescita di una popolazione di cellule assumendo
che il sistema sia chiuso e che l’incremento della popolazione dipenda dalla
quantità disponibile di biomassa con proporzionalità µ(t).
Supponiamo che al tempo t ci sia una popolazione N (t), alla quale corrisponda una biomassa W (t). La biomassa disponibile WT − W (t) corrisponde
ad un potenziale incremento del numero di cellule pari a NT − N (t), dove
WT è la biomassa totale disponibile ed NT è la popolazione asintoticamente
raggiungibile.
L’incremento al tempo t è pari a:
dN
= µ(t) (NT − N (t)) ,
dt
µ(t) =
ctc−1
,
K c − tc
c, K > 0
Si noti che c e K sono costanti positive poiché la crescita è una processo irreversibile, non ha utilità pensare che il problema sia invariante per inversione
temporale.
Integrando la seguente equazione differenziale a variabili separabili
*
N
N0
1
dN =
NT − N (t)
si ottiene:
N (t) =
*
0
t
ctc−1
dt
K c − tc
N0 K c + NT tc
K c + tc
dove N0 è la popolazione all’istante t = 0.
Come mostrato in Figura 1.5, il modello c’è un intervallo del parametro
c in cui il modello dà dei risultati accettabili; inoltre i parametri presenti
sono facilmente interpretabili. K rappresenta il tempo in cui la popolazione
raggiunge il numero
NT − N0
.
N0 +
2
5
Il parametro c è invece legato alla posizione del picco della curva di crescita. Definiti u∗ = NN(t)
, u0 = NNT0 e u come grado di maturità del processo
T
rispettivamente al tempo t∗ , t0 e t qualsiasi, possiamo ricavare il punto di
flesso
(
)1
c−1 c
∗
t =K
,
c+1
ed ottenere
1−u
,
1 + u0 − 2u∗
L’ultima relazione mostra esplicitamente come il parametro c sia legato al
grado di maturità del processo.
c=
Figura 1.5: Il rate di crescita al variare del parametro c con K = 20.
Si noti infine che se il parametro c è pari ad 1 allora si ha
µ(t) =
1
k−t
che formalmente ricorda la formula di Michaelis-Menten che descrive la cinetica enzimatica.
6
1.5
Modello di Baranyi e Roberts
Questo modello può essere formulato partendo da alcune ipotesi generali
riguardanti la cinetica cellulare. Si prendono in considerazione tre classi di
variabili:
1. Condizioni intracellulari: l’insieme delle quantità che descrivono lo stato interno della cellula (biomassa, concentrazioni di enzimi, di RNA o
di DNA), denotate con il vettore z(t);
2. Condizioni extracellulari dipendenti dalla cellula: l’insieme delle quantità esterne alla cellula ma modificate dal metabolismo della stessa
(concentrazione di nutriente e di metaboliti), denotate con il vettore
c(t);
3. Condizioni extracellulari indipendenti dalla proliferazione della popolazione cellulare, denotate con il vettore d(t).
dz dc
,
e µ(t) siano funzione delle tre classi di variabili e si
dt dt
cerca la concentrazione cellulare n(t) a partire dalla relazione
Si suppone che
dn
= µ(t)n(t),
dt
assumendo che siano note le condizioni iniziali z0 , c0 , n0 e le condizioni esterne d(t). Si noti inoltre che nella costruzione di tale modello si è implicitamente considerata la distribuzione spaziale come uniforme per semplificare il
problema.
Riferendosi alle tre classi di variabili introdotte, definiamo:
• z1 (t) l’insieme dei fattori interni alla cellula che contribuiscono alla
crescita ed alla divisione cellulare;
• z2 (t) la biomassa di una cellula, proporzionale alla concentrazione cellulare n(t);
• c1 (t) il nutriente presente.
Possiamo dunque descrivere formalmente la situazione nel seguente modo:


dz 1


= k1 z1 (t)


dt


 dz
1
1
2
= k2

dt
1+Kc /z1 (t) 1+Kz /c1 (t)




dc
1 dz 1

 1 =−

dt
Y dt
7
dove k1 , k2 , Kz , Kc , e Y sono parametri. Ricordando la proporzionalità fra
la popolazione n(t) e la biomassa z2 (t), otteniamo che
µ(t) =
Ponendo α(t) =
dz2 1
1
1
= k2
dt z2
1 + Kc /z1 (t) 1 + Kz /c1 (t)
1
1
e u(t) =
, aventi valori nell’interval1+Kc /z1 (t)
1+Kz /c1 (t)
lo ]0, 1[, possiamo attribuire a k2 il significato di massimo rate di crescita.
Osserviamo che α(t) rappresenta l’effetto dei fattori interni alla cellula sul
rate di crescita, mentre u(t) rappresenta l’effetto del nutriente. Assumiamo
che quest’ultimo sia un fattore limitante che assume valori in [0, 1] secondo
la forma funzionale
%
&m
n(t)
u(t) = 1 −
,
nmax
dove nmax è la concentrazione cellulare massima ed m un ulteriore parametro.
Si giunge cosı̀ all’equazione differenziale
%
%
&m &
n(t)
1
dn
=
1−
n(t),
dt
1 + Kz /z1 (t)
nmax
la cui soluzione analitica è:
)
(
1
emk2 A(t) − 1
y(t) = y0 + k2 A(t) − ln 1 + m(ymax −y0 ) ,
m
e
dove y(t) = ln n, y0 dipende dalle condizioni iniziali e
+
,
ln e−k2 t + e−h0 + e−k1t−h0
A(t) = t +
,
h0 = − ln (α(0)) .
k2
Anche questo modello è utilizzabile solo nel caso della crescita asintotica e
dunque non si presta all’utilizzo in situazioni in cui siano presenti agenti
citotossici che portino all’estinzione della popolazione.
1.6
Modello nutrient-depletion (ND)
Il seguente modello è stato proposto da Tracqui con il fine di descrivere
la proliferazione cellulare quando sono presenti fattori che la contrastano e,
in un intervallo di tempo finito, ne causano l’estinzione.
8
In questo primo modello supponiamo che i processi legati alla morte cellulare
(apoptosi e necrosi) dipendano dalla quantità di nutriente presente nell’ambiente e che in questo non vi siano agenti dannosi per le cellule. Assumiamo
che la variazione infinitesima di nutriente rispetto al tempo sia
dQ
= −AN (t)Q(t),
dt
ovvero che il rate di crescita sia proporzionale alla popolazione e il rate di
morte al nutrimento consumato, ovvero:
dN (t)
= BN (t)Q(t) − KN (t)(Q0 − Q(t)),
dt
Q0 = Q(0).
Possiamo quindi scrivere il modello normalizzando rispetto alla popolazione
cellulare N0 all’istante iniziale:

dq(t)


= −αn(t)q(t),



dt


 dn(t)
= βn(t)q(t) − kn(t)(1 − q(t))
dt




q(0) = 1




n(0) = 1
con q(t) = Q(t)/Q0 , n(t) = N (t)/N0 , α = AN0 , β = BQ0 e k = KQ0 .
Otteniamo quindi l’espressione analitica in forma chiusa dellla popolazione
normalizzata n(t):
n(t) =
1
[k ln q(t) − (β − k)q(t) + α + β + k] .
α
Considerando le ipotesi alla base di questo modello, ci si accorge tuttavia
che esso presenta alcune carenze. Ad esempio, non appare molto ragionevole
che la mortalità delle cellule debba dipendere esclusivamente dal nutriente
consumato; ed infatti nella parte finale dell’evoluzione cellulare la mortalità è
costantemente sottostimata. Per questo motivo lo stesso Tracqui ha proposto
un possibile miglioramento del modello introducendo l’effetto della tossicità
media presente nel sistema, come mostrato nel modello NDTD.
9
1.7
Modello nutrient-depletion toxicity-dependent
(NDTD)
Nel modello che segue viene introdotta la variabile P (t), tossicità media,
assumendo che, in ogni istante di tempo, la sua derivata sia proporzionale al
numero di cellule in vita.
La situazione presa in considerazione è rappresentata dal seguente sistema
di equazioni differenziali:

dQ(t)



= −AN (t)Q(t),


dt




dN (t)


= BN (t)Q(t) − [KN (t)(Q0 − Q(t)) + P (t)]]



 dt
dP (t)
= θN (t),


dt




Q(0) = 1





N (0) = 1



P (0) = 0
il quale normalizzato rispetto le condizioni iniziali N0 e Q0 diventa:

dq(t)



= −αn(t)q(t),


dt




dn(t)


= βn(t)q(t) − [kn(t)(1 − q(t)) + p(t)]]



 dt
dp(t)
= θn(t),


dt




q(0) = 1





n(0) = 1



p(0) = 0
con q(t) = Q(t)/Q0 , n(t) = N (t)/N0 , α = AN0 , β = BQ0 , p(t) = P (t)/P (0),
e k = KQ0 .
Il modello NDTD è in grado di tener conto della mortalità delle cellule in
maniera migliore rispetto al modello ND, tuttavia non è convincente l’insieme delle ipotesi utilizzate per descrivere la mortalità. Non è chiaro per
quale motivo la mortalità debba essere in parte proporzionale al nutriente
consumato ed in parte proporzionale ai metaboliti accumulati. Questa scelta di ipotesi comporta, ad esempio, una mortalità positiva anche quando la
popolazione si estingue.
10
1.8
Modello nutrient-depletion pH-dependent
(NDpHD)
In questo modello si vuole tenere in considerazione la correlazione fra
variazioni di pH nel mezzo della coltura e l’aumento della tossicità nell’ambiente. E’ noto infatti come i prodotti del metabolismo cellulare aumentino
la concentrazione di ioni H + nell’ambiente; tale incremento di acidità comporta un aumento della tossicità media che a sua volta favorisce la mortalità
cellulare.
Le ipotesi di base sono descritte dal seguente sistema di equazioni differenziali, in cui tutte le quantità presenti sono normalizzate rispetto le condizioni
iniziali:

dq(t)



= −αn(t)q(t),


dt




dn(t)


= βn(t)q(t) − [kn(t)(1 − q(t)) + µp(t)]]



 dt
dp(t)
(NDpHD)
= θp(t)N (t),


dt




q(0) = 1





n(0) = 1



p(0) = 0
Le variazioni rispetto al modello NDTD consistono nell’aggiunta del parametro µ legato all’influenza
del pH sulla mortalità e nell’introduzione della
- +
H ]
quantità p(t) = + . Anche in questo caso, la scelta delle ipotesi sulla morH 0
talità conduce alla spiacevole conseguenza di avere mortalità positiva anche
quando la popolazione si estingue.
11
1.9
Modelli di Milotti e Chignola (MC1, MC2,
MC3, MC4)
Propongo ora una serie di modelli frutto della collaborazione fra Milotti
e Chignola.
Consideriamo l’equazione logistica:
(
)
dN
N (t)
= rN (t) 1 −
dt
Nmax
essa può essere riscritta nella forma:
dN
= rαN (t) − βN 2 (t).
dt
Possiamo interpretare i due addendi al secondo membro come espressione
rispettivamente della crescita della popolazione e della mortalità. Cosı̀ facendo il rate di morte corrisponde ad un fattore che varia proporzionalmente
al numero di cellule in vita. Tuttavia con questa descrizione non si tiene in
alcun conto dell’influenza sul tasso di mortalità di agenti citotossici presenti
nella coltura.
Sostituendo il rate di morte con la quantità
* t
!
!
γ
N (t )dt ,
0
assumiamo che il rate di morte dipenda dalla presenza di metaboliti, aumentando in funzione del tempo anche al decrescere della popolazione.
Il sistema di equazioni differenziali che descrive il problema:

dN (t)


= αN (t) − γI(t)N (t),



dt


 dI(t)
= N (t),
(MC1)
dt




N (0) = 1,




I(0) = 0.
Si può risolvere anche analiticamente e si ottiene l’espressione:
N (t) =
C13
4γ
1+
(
12
t − t0
)2 ,
C1 +
t − t0 )
4
dove C1 e t0 sono costanti di integrazione esprimibile in funzione di α e γ
risolvendo il sistema di condizioni iniziali:

3

−C1
t0


N (0) =
0
12


4γ

C
1
1+@ t0 A
4



dN (0)


= αN0 .

dt
Il risultato analitico non facilmente interpretabile induce ad abbandonare
l’espressione analitica della soluzione. Dunque è preferibile integrare numericamente il sistema di equazioni differenziali.
Possiamo modificare il presente modello supponendo che all’istante iniziale siano già presenti sostanze dannose nella coltura e rappresentiamo ciò
introducendo il parametro δ. L’equazione che governa la dinamica cellulare
risulta essere:
dN (t)
= αN (t) − (δ + I(t)N (t))
dt
(M C2)
Questa è una variante più realistica rispetto al modello precedente, tuttavia
presenta una lacuna dal punto di vista concettuale che metterò in evidenza
con il seguente esempio.
Supponiamo di riuscire ad eliminare la presenza i fattori dannosi presenti
nella coltura; ad esempio, pensiamo che il fattore dannoso sia l’acidità crescente ed assumiamo di poterla contrastare efficacemente. Nell’equazione che
governa la dinamica del modello avremmo che la variazione del numero di
cellule sarebbe esclusivamente dipendente della dal termine di crescita, essendo stato annullato l’addendo che tiene conto alla mortalità. Avremmo
dunque che le cellule continuerebbero a proliferare in regime esponenziale
ma ciò sappiamo che non è possibile in un ambiente chiuso. Prima o poi la
crescita dovrebbe diventare asintotica a causa delle risorse limitate.
Si può allora pensare di ragionare in maniera differente e costruire il seguente modello. Supponiamo che una cellula cresca in funzione dei nutrienti
assorbiti e di conseguenza la popolazione faccia altrettanto. Assumiamo quindi che ogni cellula assorba nutriente secondo un andamento descritto dalla
cinetica di Michaelis-Menten, ipotesi ragionevole e confermata dal punto di
vista sperimentale.Cosı̀ facendo il rate di crescita seguirebbe allora l’andamento di Michaelis-Menten in funzione della concentrazione di nutrimento
X(t), il quale per ipotesi varia semplicemente in maniera opposta alla variazione del numero di cellule. Inoltre è ragionevole ritenere che la popolazione
13
produca metaboliti dannosi che inibiscano il processo di assorbimento del
nutriente e pertanto ipotizziamo che quest’ultimo effetto sia modellizzato da
una funzione y(t) che vada a moltiplicare N (t) e che abbia valori nell’intervallo [0,1]. Il sistema di equazione differenziali che descrive il nostro caso
è:

dN (t)
V X(t)



=α
y(t)N (t) − βN (t),


dt
K
+ X(t)




 dX(t) = −α V X(t) y(t)N (t),
dt
K + X(t)


dy(t)


= γN (t)% ,


 dt


y(0) = 1.
Si noti che l’inibizione di assorbimento di nutriente y(t) è supposta non lineare in funzione di N (t), poiché essa potrebbe essere inizialmente più lenta,
in quanto le cellule non producono un numero sufficientemente elevato di
sostanze dannose che vadano ad aumentare significativamente l’inibizione.
Per semplificare il pensiamo di realizzare un esperimento in cui la concentrazione di nutrimento X(t) sia molto elevata. La variazione di quest’ultimo sarà dunque molto piccola in funzione del tempo e possiamo considerare
X(t) costante. In questo modo il sistema precedente di equazioni differenziali
diventa:


dN (t)


= σy(t)N (t) − βN (t),


 dt
dy(t)
(MC3)
= γN (t)% ,


dt



y(0) = 1.
Pur fornendo buoni risultati, il modello precedente presenta dei difetti dal
punto di vista concettuale. Ciò che manca è una relazione esplicita fra aumento della proliferazione cellulare, produzione di un inibitore, inibizione dell’assorbimento di nutrienti e decrescita della proliferazione. Il seguente sistema
di equazioni differenziali si propone di tenere conto di queste relazioni.

dN (t)
V X(t)

!


= σ α(I)
N (t) − βN (t),


dt
K + X(t)




 dX(t) = −γ V X(t) N (t),
dt
K + X(t)


dI(t)


= δN (t) − ηI(t),



dt


α(I) = 0.5 − 0.5 tanh [)(I(t) − ω)]
14
Supponiamo ora di metterci nelle condizioni sperimentali nelle quali il nutriente non sia mai un fattore limitante e non ci sia una rimozione forzata
dell’inibitore. Ciò corrisponde ad avere X(t) costante ed il parametro η nullo.
Quindi otteniamo il seguente modello:


dN (t)


= σα(I)N (t) − βN (t),


 dt
dI(t)
(MC4)
= δN (t),


dt



α(I) = 0.5 − 0.5 tanh [)(I(t) − ω)] .
Il pregio del modello è il suo insieme di ipotesi concettualmente ragionevole ed
inoltre, come mostrato in seguito, descrive in maniera accettabile esperimenti
compiuti su differenti tipi di cellule.
15
16
Capitolo 2
Analisi statistica
2.1
Discussione dei modelli
I modelli presentati nel precedente capitolo sono stati testati medianti
i dati di due differenti esperimenti. Il primo, condotto da Tracqui, prende in considerazione la proliferazione di una coltura di cellule endoteliali
(EAhy296) che hanno la caratteristica di crescere adese al mezzo di sostentamento. Il secondo, seguito da Chignola, ha come oggetto la proliferazione
di cellule leucemiche che si sviluppano in sospensione. Lo spazio a disposizione per la crescita della coltura è differente nei due casi e ciò comporta il
raggiungimento di densità massime che differiscono di un ordine di grandezza. Questa condizione causa una sostanziale differenza riguardo l’andamento
della proliferazione rispetto al tempo: nell’esperimento di Chignola, crescita
e decrescita sono molto più accentuate ed il grafico presenta un picco centrale più marcato rispetto l’esperimento di Tracqui. In seguito denoterò i dati
degli esperimenti di Tracqui e di Chignola rispettivamente con T.1, T.2 e C.
Tutti i dati sono espressi in densità cellulare normalizzata rispetto al tempo,
espresso in giorni per T.1 ed espresso in ore per T.2 e C.
Figura 2.1: Serie di dati: T.2 e C.
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Presento ora il calcolo dei chi-quadrato ridotti, χ2r , per ogni modello in
relazione alle diverse serie di dati.
Tabella 2.1: Analisi dei χ2r
Modello Serie di dati
χ2r
ND
T.1
1.18
ND
C
13.62
NDTD
T.1
1.02
NDTD
C
11.01
NDpHD
T.1
0.89
NDpHD
C
11.00
MC1
T.2
2.78
MC1
C
18.19
MC2
T.2
1.85
MC2
C
12.14
MC3
T.2
0.90
MC3
C
1.41
MC4
T.2
1.11
MC4
C
0.72
Dall’analisi dei χ2r ritengo che sia possibile rifiutare tutti e tre i modelli di
Tracqui impiegati per la descrizione dell’esperimento di Chignola sulla crescita di cellule in sospensione. Per lo stesso motivo rifiuto anche i modelli
MC1 e MC2 in relazione allo stesso esperimento. In tutti gli altri casi invece
non è possibile rifiutare i modelli.
Presento la stima dei parametri ed i relativi errori per i casi non rifiutati
relativi ai modelli di Tracqui.
α
β
k
θ
µ
Tabella 2.2: Parametri ed errori
ND
NDTD
NDpHD
2.55E-03 ± 1.1E-04 3.10E-03 ± 3.3E-04 8.0E-03 ± 1E-03
4.78E-01 ± 3.7E-02 4.79E-01 ± 1.3E-02 5.4E-01 ± 2E-02
1.30 ± 6.2E-01
8.1E-01 ± 1.1E-01 1.9E-01 ± 1E-02
1.0E-02 ± 4E-03
5.2E-01 ± 5E-02
5.7E-02 ± 1E-01
La differenza principale fra il modello ND ed i due successivi è che nel primo la mortalità dipende esclusivamente dalla quantità di nutriente rimasto,
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mentre negli altri è tenuta in considerazione anche la dipendenza dalla tossicità media presente nell’ambiente. La mortalità nella fase di decrescita della
proliferazione è dunque sottostimata nel primo caso mentre è maggiore negli
altri due. Ciò si può osservare anche nelle seguenti immagini in cui presento
fit e grafico dei residui per i modelli ND e NDpHD. Come si vede, mentre
ND tende a sovrastimare la popolazione presente nella parte finale, NDpHd
tende a sottostimarla.
Figura 2.2: Fit dei dati con i modelli ND e NDpHD rispetto ai dati T.1.
Figura 2.3: Grafici dei residui rispetto ai dati T.1.
Presento ora la stima dei parametri per i modelli MC1 ed MC2.
α
β
δ
Tabella 2.3: Parametri ed errori
MC1
MC2
1.65E-02 ± 5E-04 1.65E-02 ± 5E-04
6.2E-06 ± 4E-07 6.15E-06 ± 3.4E-07
5.5E-02 ± 3E-02
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Figura 2.4: Grafici dei residui per i modelli MC1 e MC2.
I due modelli non presentano forti differenze come si può anche osservare dai
grafici dei residui nei due casi.
Concludo presentando i risultati ottenuti per i modelli MC3 e MC4 sia per i
dati T.1 che per C. Questi hanno il pregio di essere molto flessibili e si sono
rivelati gli unici in grado di descrivere le due differenti tipologie di esperimenti, ovvero crescita in adesione e crescita in sospensione. E’ ragionevole
ritenere quindi che mettere in relazione esplicita aumento della proliferazione
cellulare, produzione di un inibitore, inibizione dell’assorbimento di nutrienti
e decrescita della proliferazione sia un buon tentativo per affrontare il problema della dinamica delle popolazioni cellulari in presenza di agenti dannosi
nell’ambiente. Di seguito, la stima dei parametri ed i fit ottenuti.
MC3 (T.1)
σ
β
γ
)
ω
1.9E-02 ± 3E-03
3.9E-03 ± 1E-03
1.9E-05 ± 3E-06
2.00 ± 7E-03
-
Tabella 2.4: Parametri ed errori
MC4 (T.1)
MC3 (C)
8.81E-01 ± 5E-03
7.421E-01 ± 5E-04
8.2E-06 ± 5E-07
5.37E-03 ± 1.1E-04
170.27± 3.9E-01
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4.41E-02 ± 6.5E-03
1.0E-02 ± 3E-03
3.8E-09 ± 9E-10
3.047 ± 4.9E-02
-
MC4 (C)
6.33E-02 ± 1.6E-03
2.96E-02 ± 1.6E-03
1.0E-02 ± 1E-03
5.7E-01 ± 2E-01
72.57 ± 2.46
Figura 2.5: Fit dei dati dei due differenti esperimenti con il modello MC4 .
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Bibliografia
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