L`assicurazione: un`analisi nel grafico degli stati con applicazioni al

Sommario
L’ ASSICURAZIONE IN GENERALE............................................................................................................. 2
L’ASSICURAZIONE: TIPI E SOGGETTI .................................................................................................... 6
L’ASSICURAZIONE E LA FINANZA ......................................................................................................... 6
GRAFICO DEGLI STATI , STATI DEL MONDO, BENI CONTINGENTI ........................................................... 8
COSA VEDO NEL GRAFICO DEGLI STATI................................................................................................. 10
DOTAZIONE INIZIALE ......................................................................................................................... 11
LE PREFERENZE DI SMITH .................................................................................................................. 11
AVVERSIONE AL RISCHIO ............................................................................................................... 13
UTILITA’ ALLA VON NEUMANN-MORGENSTERN .......................................................................... 14
PROFITTO ATTESO DELLA COMPAGNIA ............................................................................................ 15
OFFERTA DI ASSICURAZIONE B2........................................................................................................ 15
INCLINAZIONE B2: CASI ESTREMI .................................................................................................. 17
FORMA B2: SE B2 E’ INSIEME DI PUNTI......................................................................................... 17
B2 E PROFITTO ATTESO DELLA COMPAGNIA ................................................................................ 18
LA LINEA DELLA QUOTAZIONE EQUA B1 ........................................................................................... 19
RAPPORTO B1 E B2 ............................................................................................................................ 20
LE PREFERENZE DELLA COMPAGNIA ................................................................................................. 21
SCEGLIERE SE ASSICURARSI ................................................................................................................... 22
IL PREMIO ASSICURATIVO ................................................................................................................. 22
QUANTITA’ DI ASSICURAZIONE ......................................................................................................... 23
EDGEWORTH BOX E MERCATO ASSICURATIVO .................................................................................... 24
EQUILIBRIO PARETO EFFICIENTE ....................................................................................................... 25
EQUILIBRIO CON INFORMAZIONE PERFETTA........................................................................................ 25
VARIAZIONE DELL’EQUILIBRIO .............................................................................................................. 28
AL VARIARE DEL PREMIO................................................................................................................... 28
AL VARIARE DELLE PROBABILITA’ PER SMITH ................................................................................... 29
EQUILIBRIO CON ASIMMETRIA INFORMATIVA ..................................................................................... 30
ADVERSE SELECTION ......................................................................................................................... 30
AZZARDO MORALE ............................................................................................................................ 33
LE ART SOLUTIONS PER RIDURRE IL MORAL HAZARD................................................................... 36
CONCLUSIONI .................................................................................................................................... 40
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................................ 41
L’ ASSICURAZIONE IN GENERALE
L’art. 1882 c.c. definisce l’assicurazione come il contratto con cui “l’assicuratore, verso il
pagamento di un premio, si impegna a rivalere l’assicurato, entro i limiti convenuti, del danno
prodotto da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al verificarsi di un evento
attinente alla vita umana”. Da questa definizione giuridica si ricavano i presupposti economici
dell’assicurazione:
•
rischio: la possibilità di un evento che causi un danno economico;
•
l’ assicurato (Smith) che, trovando indesiderabile il rischio, è disposto a pagare un prezzo
pur di eliminarlo;
•
l’assicuratore (la compagnia) che accetta di assumersi il rischio se adeguatamente
ricompensata. Nella modellizzazione, per semplicità, si ipotizza un caso limite: la
neutralità della compagnia al rischio.
Qual è quindi la funzione dell’assicurazione? Essa consente il “trasferimento del rischio” (La
Torre, 2000, p. 7) da Smith alla compagnia, verso il pagamento di un prezzo detto premio a
cui corrisponde, in caso di danno, l’indennizzo.
E cosa ne fa la compagnia del rischio? Essa, gestendo un gran numero di contratti, riesce a
eliminarlo attraverso la diversificazione, oppure lo trasferisce alla compagnia di
riassicurazione (la quale a sua volta diversifica): solo così rimane ‘neutrale al rischio’.
Questo lavoro intende spiegare attraverso gli strumenti della microeconomia, in particolare
con il grafico degli stati, come funziona la domanda-offerta di assicurazione e analizzare
alcuni problemi che caratterizzano questo mercato.
Tutti i modelli microeconomici richiedono delle ipotesi che semplificano, restringono la
realtà. Prima di adottare quest’ottica, mi sembra opportuno illustrare il grafico degli stati per
inquadrare meglio i termini del problema.
Innanzitutto , la compagnia deve stare attenta ai rischi che si assume (composizione del
portafoglio). Alcuni rischi sono inassicurabili per natura, nel senso che sono ineliminabili
tramite diversificazione dalla compagnia di assicurazione e di riassicurazione. Si tratta di
rischi sistemici che, quando capitano, colpiscono un intero sistema : catastrofi naturali, shock
macroeconomici, atti di terrorismo, ecc… Il problema si è presentato proprio nei tempi
moderni con l’attentato alle Torri Gemelle: si pensi a quante persone sono state colpite nei
modi più vari (danni agli edifici, ai macchinari; danni alle persone per morte, invalidità,
ecc…) e sono ricorse alla propria compagnia assicuratrice; il picco nella la richiesta di
indennizzi, numerosi e ingenti, ha creato alle compagnie problemi di solvibilità. Il punto
chiave è che la compagnia non riesce a compensare il danno che subisce una parte del sistema
col buon andamento del resto, se un evento dannoso colpisce una grande frazione di soggetti
esposti al rischio, provocando danni di varie tipologie, per importi considerevoli. Un rischio
che ha queste caratteristiche è inassicurabile. Paradossalmente alcuni atti limitati di
terrorismo (un aereo all’anno fatto saltare) sarebbero assicurabili se solo si riuscisse ad
attribuire loro una ragionevole probabilità, e anche i terremoti se si sapesse che si tratta di
danni localizzati e limitati.
Oggi tuttavia il progresso tecnico, l’evoluzione della matematica attuariale e della statistica,
la disponibilità di informazioni, la globalizzazione hanno inventato nuove soluzioni (come le
ART solutions) e reso assicurabili sempre più rischi.
Altri rischi invece sono non assicurabili ex lege, ad esempio nella normativa italiana: non ci si
può assicurare contro ritiro o sospensione patente di guida, minusvalenze da rivalutazione
patrimoniale (cessione d’azienda), pagamento sanzione amministrativa, rischi finanziari
puri(puri perché offrono solo la possibilità di perdita). Altrimenti, in questi casi,
l’assicurazione incoraggerebbe comportamenti socialmente indesiderabili. Una precisazione:
“l’assicurazione non trasferisce il rischio, ma l’onere economico derivante dal verificarsi del
rischio” ( Prosperetti e Colavolpe, 2012, p.12). Infatti rimane l’aleatorietà degli eventi, perché
Smith non sa se si verificherà il caso x o y, ma sparisce la dipendenza tra consumo e alea,
perché assicurandosi adeguatamente Smith potrebbe garantirsi lo stesso livello di consumo in
tutti gli stati del mondo. Oltre alle tradizionali polizze risk transfer, che appunto spostano
l’incertezza dal contraente alla compagnia, oggi esistono anche polizze risk financing: il
rischio non viene trasferito ma rimane in capo al contraente e viene ‘neutralizzato’
spalmandolo nel tempo.
Inoltre il rischio può essere trasferito completamente, o parzialmente: in quest’ultimo caso,
una percentuale di rischio, rimane in capo a Smith, che in caso di sinistro sostiene parte della
perdita. Per esempi di alcuni strumenti di copertura parziale, si rimanda a un successivo
paragrafo.
In secondo luogo, la compagnia deve stare attenta alla sua controparte: Smith, per
massimizzare la propria (funzione di ) utilità, tende a nascondere alla compagnia informazioni
rilevanti per la determinazione del prezzo dell’assicurazione. Cosa succede al mercato
assicurativo in questi casi? Il Codice Civile prevede per l’assicurato obblighi informativi di
esattezza e completezza e di buona fede, pena la perdita del diritto all’indennizzo. Ma è
abbastanza per mitigare il problema o esistono soluzioni più efficaci?
Evidentemente i soggetti coinvolti nell’assicurazione hanno interessi contrastanti: un ricavo
per la compagnia è un costo per Smith. Inoltre, mentre il costo per Smith è certo perché il
premio viene versato in entrambi i casi, il pagamento da parte della compagnia è solo
eventuale e dipende dal verificarsi del sinistro: la classificazione dell’assicurazione come
contratto aleatorio è dovuta appunto alla dipendenza dall’alea degli eventi. Esiste dunque una
disuguaglianza di base tra prestazione e controprestazione tra i due soggetti. La compagnia
incassa anticipatamente i premi per costituire il fondo destinato a pagare gli indennizzi, che in
attesa di essere utilizzato dev’essere investito: la compagnia, quindi, ricava gli interessi
dell’investimento e i premi nel caso non si verifichi il sinistro; sostiene un costo, oltre
ovviamente gli oneri di gestione ordinaria, solo nel caso si verifichi il danno.
Ma allora perché Smith accetta di stipulare l’assicurazione? Quand’è che un contratto
assicurativo non svantaggia nessuno dei contraenti? Quando l’assicurazione è attuarialmente
equa: in termini di valore atteso quanto la compagnia/Smith riceve è uguale a quanto paga,
cioè il valore monetario atteso dallo scambio è uguale a zero. L’assicurazione equa non
avvantaggia la compagnia (il suo livello di utilità è costante), non svantaggia Smith (il livello
di utilità non diminuisce); anzi, per essere precisi, l’equità avvantaggia Smith perché a parità
di guadagno monetario atteso egli ha la possibilità di allontanare da sé il rischio: ma mentre
per la ricchezza esiste un’unità di misura universale, il denaro, il rischio non è oggettivamente
misurabile.
In cosa si distinguono un’assicurazione equa e non? Dal premio pagato, fermo restando il
danno (ad esempio 5000) e la sua probabilità (ad esempio 20%). Perciò serve un’ opportuna
modalità di determinazione del premio, che tenga conto della probabilità e dell’entità del
danno: premio equo= danno * probabilità. Un esempio: Smith vuole assicurarsi contro un
danno di 5000 in caso di sinistro, egli ha fatto 1 incidente negli ultimi 5 anni, dunque la
probabilità di sinistro è 20%, e non c’è ragione di pensare che cambi. Il premio è equo se
entro i 5 anni, quando la probabilità di sinistro in teoria sarà maturata, l’assicurazione avrà
accumulato esattamente la cifra da sborsare: un premio di 1000 è equo, uno di 1500 sarebbe
troppo alto. Ovviamente con una probabilità del 20% possono passare anche 10 anni prima
che si verifichi il primo sinistro: ma ex ante non si può prevedere cosa accadrà e bisogna
accontentarsi di ragionare in termini di valore atteso.
Ovviamente l’equità vale in media: il premio standard é applicato indistintamente alla massa
dei contraenti, alcune volte la compagnia si aspetta di perdere (con i soggetti più rischiosi
della media), altre di vincere (con i soggetti meno rischiosi della media), ma in media di
pareggiare (sul totale della popolazione).
Dopo l’equità, alcune considerazioni sull’efficienza. L’efficienza è massima prestazione a
minor costo.
La gestione di massa è funzionale all’efficienza: permette economie di scala (all’aumentare
del numero dei contratti, diminuisce il costo amministrativo medio unitario) e potenzia la
diversificazione, consentendo di ridurre, in rapporto al numero volume dei contratti, il
fabbisogno di riserve: come avviene per i portafogli di titoli, al crescere della numerosità dei
contratti, diminuisce la varianza, dunque si allontana l’eventualità di picchi in indennizzi da
liquidare e si può stimare con più precisione il fabbisogno della gestione ordinaria
relativamente al numero dei contratti (non sparisce però, in termini assoluti, la quantità di
riserve da tenere per garantire la solvibilità). Ciò si traduce in riduzione dei prezzi.
La globalizzazione e l’apertura dei mercati consentono una maggiore diversificazione del
rischio: portafoglio ben diversificato significa che i rischi sono scarsamente correlati, dunque
la probabilità che si verifichino contemporaneamente tutti i rischi è molto bassa: ciò è
garanzia di solvibilità (ovviamente la compagnia deve far attenzione ad assumersi rischi
assicurabili, specifici, non rischi sistemici) e permette una riduzione dei prezzi.
Quali altri elementi fanno diminuire i prezzi? La concorrenza, che costringe le compagnie a
ridurre i propri margini di profitto. La ricerca scientifica, incrementando le informazioni
disponibili :“La matematica attuariale ha drasticamente ridotto l’alea dell’operazione
economica consentendo di calcolare con precisione la decorrenza dei rischi e il fabbisogno
finanziario della compagnia” (Prosperetti e Colavolpe, 2012, p. 15). Il progresso tecnologico
inoltre ha portato alla creazione di nuovi prodotti che coprono rischi prima non assicurabili e
che riducono il problema della sovrassicurazione.
Mi sembra opportuno accennare a un problema che verrà sviluppato meglio in seguito, nel
paragrafo dedicato al moral hazard. E’ scontato che la mancanza di assicurazione è
un’inefficienza. Ma a volte, in presenza di asimmetrie informative, quando il comportamento
dell’assicurato influisce sulla probabilità o entità del danno, anche ‘troppa’ assicurazione può
essere inefficiente, perché genera esternalità negative. Si pensi a un automobilista, Smith, che
può guidare careless o careful. Senza assicurazione, opta per una guida sicura ma, una volta
assicurato, non ha più interesse ad evitare il danno, perché tanto ora l’onere è sostenuto dalla
compagnia. Estendendo il ragionamento su larga scala, l’assicurazione comporta una
popolazione di automobilisti careless insieme all’aumento degli incidenti sulle strade!
L’ASSICURAZIONE: TIPI E SOGGETTI
Il settore assicurativo è complesso e in rapida evoluzione. Innanzitutto, il codice delle
assicurazioni distingue rami vita e rami danni, che hanno una gestione separata anche in
contabilità (Prosperetti e Colavolpe, 2012) :
RAMI DANNI
•
•
•
•
•
infortuni,
malattia,
corpi di veicoli,
merci trasportate,
incendio ed eventi naturali(subiti dai beni per
grandine, furto…),
• responsabilità civile per veicoli e generale,
• credito,
• ecc..
RAMI VITA
•
•
•
durata della vita umana
nuzialità e natalità,
malattia e non autosufficienza per
invalidità grave dovuta a malattia o
longevità,
• operazioni di capitalizzazione,
• riduzione attività lavorativa
Le assicurazioni sulla vita si distinguono in caso morte, quando l’obbligo di indennizzo sorge
alla morte di Smith, e caso vita, quando l’obbligo sorge in un dato momento se l’assicurato è
ancora in vita. Nella mia analisi considero i rami danni.
Riguardo i soggetti, il sistema Smith-compagnia è una semplificazione. Più precisamente, i
soggetti coinvolti nell’assicurazione sono l’assicurante, l’assicurato, il beneficiario, il
contraente. Può essere che il contraente sia diverso dall’assicurato: si pensi ai fondi pensione
stipulati da alcune aziende per conto dei propri dipendenti. In genere l’assicurante è una
compagnia assicurativa, ma sempre più spesso le imprese finanziarie, vendendo prodotti
integrati (ART solutions),le contendono questo ruolo.
L’ASSICURAZIONE E LA FINANZA
L’attività assicurativa si intreccia inevitabilmente con quella finanziaria in quanto anche le
compagnie assicuratrici sotto forma dei premi versati raccolgono, come le banche, il
risparmio, che dev’essere investito. Le risorse di cui dispone la compagnia sono raggruppabili
in due grandi categorie: le riserve tecniche e i fondi liberi.
Le prime devono essere destinate a investimenti sicuri e facilmente liquidabili, i secondi,
costituiti dal capitale proprio, perdite e utili della gestione, sono residuali e senza vincolo di
destinazione (anche se spesso la legge vincola una somma minima come margine di
solvibilità).
Ma, oltre a questo fisiologico intreccio di funzioni, oggi i due settori tendono a convergere
anche perché le compagnie assicurative stanno sviluppando nuove attività diverse da quelle
tradizionali, “basate sull’ intermediazione di strumenti finanziari complessi [cioè la
commercializzazione di strumenti assicurativi che hanno contenuto finanziario: nel ramo vita
le polizze index linked, nel ramo danni le ART] o sul rilascio di garanzie per rischi puramente
finanziari [attraverso derivati come asset-backed securities...]” (Prosperetti e Colavolpe 2012,
p.3).
•
Polizze index linked: polizze vita il cui rendimento è legato all’ andamento di indici
azionari, dunque al rischio del mercato azionario. La somma a cui dà diritto il premio può
anche essere inferiore a quanto è stato versato;
•
L'ABS è un’ obbligazione trasferibile garantita, attraverso la cartolarizzazione, dagli attivi
sottostanti e viene emessa dalle SPV. Le SPV (Special Purpose Vehicle, società separate
create dalle banche ad hoc) raccolgono le attività finanziarie normalmente poco liquide (di
difficile negoziazione, ad esempio crediti da mutui) e, attraverso pooling e tranching, ne
ricavano dei prodotti finanziari idonei ad essere usati come garanzie a obbligazioni; le
obbligazioni così garantite sono le ABS che vengono poi emesse nei mercati.
•
Le ART o IRM, Integrated Risk Management, perché combinano elementi dei contratti di
assicurazione e di finanziamento, nascono in risposta alla crescente domanda di copertura
per rischi ‘difficilmente assicurabili’: quelli per i quali gli strumenti tradizionali, cioè la
diversificazione e la riassicurazione (che prevede il trasferimento del rischio al di fuori
della compagnia assicurativa a una compagnia di riassicurazione, che a sua volta
diversifica), sono incapaci o poco efficienti; ad esempio scarsità di materie prime,
catastrofi naturali, condizioni meteo, atti di terrorismo o attività finanziarie. Oggi sono
usate anche come strumento di investimento.
L’altra faccia dell’integrazione, a discapito delle compagnie assicurative, è la confusione dei
ruoli tra mercato assicurativo e finanziario: le imprese finanziarie, vendendo i nuovi prodotti
di copertura dei rischi puri, si profilano come nuovi potenziali concorrenti.
Inoltre in questo modo la compagnia si espone ai rischi del mercato finanziario: è una
questione importante perché alcuni sostengono che “proprio l’impermeabilità del mercato
assicurativo l’ha preservato dalla contaminazione della crisi” del 2007 (Prosperetti e
Colavolpe, 2012, p.16). Questo discorso comunque vale per il mercato italiano, le cui autorità
di regolazione da sempre propendono per la separatezza dei mercati: l’ISVAP 32/2009
vieta di commercializzare polizze index linked e di garantire rischi puramente finanziari.
Invece nel mercato USA, in cui le autorità sono meno conservatrici, durante la crisi ha
rischiato di saltare un’enorme compagnia assicurativa, la AIG. Riguardo il mercato europeo,
varie direttive (come 95/26/CE e 2002/87/CE) sono intervenute per contrastare questi effetti
negativi e aumentare la vigilanza.
GRAFICO DEGLI STATI , STATI DEL MONDO, BENI CONTINGENTI
Cos’è uno stato del mondo? E’ “l’esito finale di una situazione incerta” (Katz, Rosen,
Morgan, Bollino 2011, p. 150), cioè un insieme di
eventi a cui corrisponde un dato vettore di valori delle
variabili esogene del modello. Gli stati del mondo sono
sempre più di uno ed è noto cosa comporta ciascuno
stato, ma è incerto il verificarsi dell’uno o dell’altro.
Gli stati che si rappresentano nel grafico, e gli eventi di
cui essi sono conseguenza, hanno due caratteristiche
fondamentali:
•
sono alternativi, dunque il verificarsi di uno
esclude automaticamente gli altri;
•
ad ognuno è associata una probabilità pxi e la somma delle probabilità è uguale a 1, cioè
essi esauriscono tutti i casi possibili: Σ (px1,px2,...pxn)=1.
In seguito si ipotizza che la variabile esogena (è una sola) sia livello di reddito (o ricchezza).
Per Smith, il consumatore, il reddito disponibile per il consumo dipenderà, tra l’altro, dai
contratti assicurativi stipulati. Smith potrà consumare 100 se non fa incidenti, ma 0 in caso di
sinistro. Un altro soggetto, John, consuma 70 se non fa incidenti, 20 altrimenti. Dunque, qual
è la combinazione di consumi possibili (uno per ogni stato di natura) che si aspettano John e
Smith? Smith ha (100;0), John (70;20), corrispondenti nel grafico ai punti S e J. Nel grafico,
lungo l’asse orizzontale si legge il consumo nel caso si verifichi lo stato buono (cx) , lungo
l’asse verticale il consumo nel caso si verifichi lo stato cattivo (cy)1. Ogni punto del piano, è
un paniere di beni contingenti.
Ma che significato ha questo paniere, che pretende di mettere assieme due casi che, per
definizione, non possono convivere, non possono verificarsi contemporaneamente? Non è un
paniere impossibile? E che senso ha dunque assegnarlo a un consumatore?
La chiave di lettura del grafico degli stati si trova nel concetto di beni contingenti: quando si
ha a che fare con beni contingenti, contrapposti ai beni convenzionali, si ragiona sul piano
della possibilità invece che su quello della realtà. E’ fuori questione che ex post, nella realtà,
Smith consumerà o 100 o 0, perché l’incidente o capita o no! Ma, ex ante, se Smith guarda al
1
In questo esempio, i possibili casi del mondo possibili sono solo due, dunque costruiamo il grafico con due semirette; ciò
non toglie che in situazioni più complesse, dove le alternative sono 3, 4, 5, ecc.. bisogni usare 3, 4, 5, ecc… semirette e si
ottengano grafici a più dimensioni. Infatti deve sempre valere che la somma delle probabilità associate agli assi =1. Tuttavia
in questa sede guardiamo al caso più semplice con 2 sole alternative: i contratti assicurativi contemplano infatti due soli casi,
il caso di sinistro e il caso di non sinistro.
suo futuro prima che l’evento si verifichi, può ben dire di detenere il paniere delle possibilità
(100;0).
Cosa significa beni contingenti nel caso di due soli stati di natura? Cx e cy sono beni
contingenti in quanto ciascuno di essi è disponibile condizionatamente al verificarsi di certe
circostanze. Dunque oggi non posso affermare con certezza in quale stato si troverà il mondo
domani: ma so per certo che se non si troverà in uno stato, si troverà nell’altro. I due eventi
sono alternativi e ad ognuno è associata una certa probabilità p. Dunque quanto mi si
prospetta è la coppia ordinata (cx; cy); la realtà dei fatti sarà che disporrò o di cx o di cy, a
seconda dell’evento (o, con espressione equivalente, contingentemente all’evento) che
effettivamente si verificherà.
In cosa si differenziano dai beni convenzionali? Nel caso di beni convenzionali, la
disponibilità del bene sull’asse orizzontale e di quello sull’asse verticale si verifica
contemporaneamente e con certezza: il paniere che consumerò nella realtà sarà proprio (cx;
cy).
Ma allora il grafico degli stati è il regno dell’incertezza? Una volta che Smith entra nei suoi
confini, deve sottostare alle contingenze? Potrà mai avere certezza del livello di consumo
futuro?
Smith può sfuggire all’incertezza se riesce a collocarsi sulla linea delle allocazioni certe
(l.d.a.c), cioè la semiretta uscente dall’origine con pendenza 45°. Lungo la bisettrice il livello
di consumo nei diversi stati del mondo è lo stesso: per
definizione, l’equazione di tale retta è cy = cx. Dunque su di essa
Smith consumerà quella certa quantità indipendentemente da
quale stato del mondo si verifichi. Si può pensare alla linea delle
allocazioni certe come un’oasi di certezza in un mondo di
incertezza.
Si noti anche che nei panieri vicini alla l.d.a.c. le differenze di
consumo nei vari stati del mondo sono minime. Ad esempio, i panieri (50;45) e (100;2) si
trovano rispettivamente nei punti del grafico S e R ed è chiaro che S è un paniere
relativamente sicuro, mentre R è un paniere decisamente rischioso.
Per ridurre l’incertezza, Smith deve dunque spostarsi verso la l.d.a.c. a partire da un dato
paniere iniziale.
Ma quale mezzo permette questo spostamento?
E perché Smith dovrebbe preferire il punto S a R?
A queste domande si risponde nei successivi paragrafi.
COSA VEDO NEL GRAFICO DEGLI STATI
Il grafico degli stati viene usato anche per studiare le decisioni di investimento, dunque il caso
di un soggetto che valuta se assumersi un rischio: ad esempio, se lungo l’asse orizzontale è il
consumo nel caso il progetto vada bene, lungo l’asse verticale il consumo nel caso contrario,
ogni progetto è rappresentato da un punto e il manager studia su quale e quanto investire.
Nelle decisioni di assicurazione, al contrario, Smith valuta se liberarsi di un rischio. Decisioni
di assicurazione e di investimento vanno dunque in versi opposti, ma vengono studiate
sostanzialmente allo stesso modo nel grafico degli stati, seppur con alcuni aggiustamenti
terminologici.
Quali problemi si possono analizzare nel grafico degli stati per l’assicurazione?
•
La domanda di assicurazione, ossia le scelte di Smith, considerando le seguenti variabili:
Premio per il rischio: a che prezzo Smith è disposto ad assicurarsi?
Quantità di assicurazione: Smith acquisterà una copertura completa o parziale?
Tipo di assicurazione: quale contratto preferisce Smith tra i tanti offerti?
Statica comparata delle scelte: come varia la quantità di assicurazione acquistata al variare di
alcuni parametri? Studio nel caso di variazione del premio per il rischio (pendenza della curva
di offerta di assicurazione, chiamata B2) e di variazione delle probabilità degli eventi
(pendenza di U).
•
L’offerta di assicurazione:
I contratti sono equi?
Qual è il profitto dell’assicurazione e quali contratti offre?
•
L’equilibrio nel mercato assicurativo, osservando in contemporanea domanda e offerta:
Qual è l’equilibrio? Offre copertura completa o parziale? E’ una soluzione pooling o
separating? L’equilibrio è soluzione ottima o è un second best? Cambia l’equilibrio a seconda
del tipo di mercato ( con perfetta simmetria informativa o asimmetrie informative con
concorrenza perfetta o potere di mercato)? Quale sarebbe la soluzione pareto efficiente?
Quali figure si rappresentano nel grafico degli stati?
•
Allocazione iniziale di Smith;
•
Allocazione finale di Smith: offerta la possibilità di spostarsi, a partire dall’allocazione
iniziale, su uno o più punti diversi del piano, Smith cosa sceglierebbe?
•
Curve di indifferenza di Smith;
•
Vincolo di bilancio B2 (B2 per distinguerla da B1, che si vede in seguito) cioè la retta
che rappresenta l’offerta di assicurazione, le allocazioni rese possibili dal contratto
assicurativo;
•
Utilità della compagnia, visualizzata quale curva di indifferenza della compagnia ossia
profitto atteso dell’assicurazione(retta di isoprofitto);
•
Linea delle allocazioni certe/della copertura completa;
•
Linea della quotazione equa/dell’assicurazione attuarialmente equa B1.
DOTAZIONE INIZIALE
Posto che Smith vuole assicurarsi contro il caso di sinistro, ossia il caso di danno, e fissato
lungo l’asse orizzontale il consumo nel caso buono e lungo l’asse verticale il consumo nel
caso cattivo, la dotazione iniziale deve trovarsi nella regione di piano sotto la bisettrice,
esclusa la bisettrice, affinchè Smith rischi effettivamente una riduzione del livello di consumo
nello stato cattivo. In termini matematici, la coppia ordinata A=(cx;cy) è dotazione iniziale
adatta a far sorgere il bisogno di assicurazione se cy è strettamente minore di cx: cy<cx.
Ad esempio, data A=(100; 45): nel caso buono Smith consuma 100, in caso di sinistro
consuma 45; dunque subisce un danno di 100-45= 55.
LE PREFERENZE DI SMITH
Quale paniere di beni contingenti preferisce Smith? Come sono fatte le sue curve
d’indifferenza?
Si assumono le seguenti ipotesi:
1. non sazietà: ceteris paribus “è sempre
preferibile consumare una quantità
maggiore di un bene contingente anziché
una quantità minore [ceteris
paribus]”(Katz, Rosen, Morgan, Bollino
2011,p. 156), dunque panieri più a N o
più a E danno a Smith utilità maggiore. Graficamente il livello di U cresce verso NE, che
è la direzione del gradiente di U. Ceteris paribus significa che la non sazietà vale sotto il
vincolo che le probabilità degli eventi rimangano costanti ed è importante sottolinearlo. Se
cambiano le probabilità, le curve di indifferenza ruotano attorno alla bisettrice e rispetto a
prima lo spostamento a NE (freccia blu nel secondo grafico) farebbe diminuire U. Si
consideri il seguente esempio: Smith ha il paniere A(20;5) con px=3/4. La sua curva
d’indifferenza è B1. Se gli proponessero B(21;8) starebbe sicuramente meglio. Ma se per
raggiungere B, px diminuisse cosicché px=1/20, la sua curva d’indifferenza si inclinerebbe
e diventerebbe B1’: con questa nuova U, è evidente che Smith preferirebbe rimanere su A.
Dunque Smith può rifiutare uno spostamento a NE, se non viene rispettata la condizione
ceteris paribus2.
2. Smith è avverso al rischio, la compagnia è neutrale al rischio.
L’assicurazione preferisce sempre un paniere di beni contingenti con
VAN3 maggiore a un paniere di beni contingenti con VAN minore, ma
non Smith. Mentre le preferenze dell’assicurazione si misurano in
termini di guadagno monetario e dipendono solo dal VA, le preferenze
di Smith si misurano in termini di utilità e risentono sia del VAN che del
rischio, perché Smith, a differenza della compagnia è avverso al rischio.
UCompagnia=VA= profitto atteso
la compagnia accetta sempre il rischio se le dà
maggiori profitti attesi.
USmith= f(VA, rischio)=f(profitto atteso,rischio)4 .
poiché nelle scelte di Smith
entrano altre variabili, egli può preferire, ad esempio, un paniere con minor VA
(compensato da maggior sicurezza).
3. Lo stato del mondo non influisce sull’utilità marginale del consumo: ceteris paribus,
consumare +∆ nel caso buono dà la stesso incremento di utilità condizionata al fatto di
trovarsi in quello stato, di consumare +∆ nel caso cattivo, a partire da uno stesso livello di
2
La regola “più consumo, meglio sto” si adatta allo stile di vita della maggior parte dei consumatori. Esistono tuttavia alcune
eccezioni dovute a fattori culturali, religiosi, storici: soggetti che rifiutano il consumismo in favore della sobrietà o del
minimalismo; o agli effetti collaterali causati dal consumo eccessivo di alcuni beni, ad esempio l’alcol.
3
IL VA E IL VAN
Il VA è legato al concetto di variabile casuale X, cioè una variabile che assume valori diversi secondo una distribuzione di
probabilità. Il VA non è altro che la media ponderata per le probabilità di tutti i possibili valori di X ed è una statistica
indicativa del valore che assume in media una variabile. Per questo si chiama ‘valore atteso’ e in statistica si indica con
E[X].
In questa trattazione la variabile è la ricchezza, che assume valori diversi a seconda dello stato del mondo che si verifica.
Parlo inoltre di VAN perché interessa conoscere il VA del consumo al netto dei costi necessari per ottenerlo. Una
compagnia assicurativa può considerare il premio come un ricavo, l’indennizzo come il costo (posticipato). esso risulta essere
VAN=VA(guadagni)-VA(costi)=VA(premi pagati da Smith)-VA(indennizzo netto dovuto a Smith).
E’ evidente che se una certa polizza dà un VAN>0, significa che i benefici sono in media maggiori dei costi, dunque
stipularla mediamente farà aumentare il guadagno monetario dell’assicurazione. Se invece VAN <0, il progetto non merita di
essere intrapreso perché distrugge ricchezza; se VAN=0 è indifferente.
Torna utile il criterio del VAN anche nella scelta tra due o più contratti alternativi: calcolo il VAN dei vari progetti e scelgo
quello con VAN maggiore.
Nell’utilizzare questo criterio bisogna fare attenzione a:
1. confrontare solo flussi dello stesso istante temporale
2. attualizzare il VAN per un opportuno tasso d’interesse che indica la rischiosità del progetto
In questa sede ci dimenticheremo del tasso d’interesse perché l’assicurazione è indifferente al rischio.
Consumo(C) =variabile casuale.
EVENTO
No sinistro
Sinistro non grave
PROBABILITA’
1/3
1/3
C
12 000 €
9 000 €
Qual è il VA del consumo?
VA[C] =c1*p1 +c2*p2 +c3*p3 = 12 000(1/3) +9 000(1/3) +0(1/3) = 7000 €
4
Sinistro grave
1/3
0€
Tale dipendenza vale per esigenze di semplificazione: non è facile precisare una funzione come questa, perché ad esempio è
difficile quantificare la variabile ‘rischio’.
consumo di partenza. Ciò significa che l’utilità di Smith è una funzione di NeumannMorgenstern:
UNM= px*u(cx) + py*u(cy)
dove u(cx) e u(cy) contengono la stessa u(c) , funzione di utilità di consumo certo.
Dunque: se px= py = 0.5
U è simmetrica rispetto alla bisettrice.
Ma se px ≠ py, può essere che ∆consumo aggiuntivo nel caso buono
incrementi l’U più che lo stesso ∆consumo nel caso cattivo, partendo dallo stesso livello
di consumo.
AVVERSIONE AL RISCHIO
Come sono fatte le curve d’indifferenza degli individui? Cioè: sono concave o convesse e
come sono posizionate rispetto alla linea di isoprofitto della compagnia (B1)? Si guardino i
grafici sottostanti.
Disegno B1 in blu: lungo questa linea il VA è costante, il rischio aumenta spostandosi
dall’intersezione con la bisettrice verso l’esterno. Disegno (con linea rossa sottile) la
candidata U e vedo come si comporta ( linea rossa grossa) muovendosi lungo B1.
•
Concava e tangente a B1 in A (punto d’incontro tra B1 e la bisettrice): a parità di VA,
panieri più rischiosi danno utilità maggiore, perciò Smith è amante del rischio;
•
Convessa e tangente B1 in Z: a parità di VA Smith giudica uguali un paniere rischioso e
uno sicuro, oppure a parità di VA preferisce una soluzione con rischio, perciò Smith a
volte è favorevole al rischio, a volte neutrale;
•
Convessa e tangente B1 in A: a parità di VA, panieri più sicuri danno utilità maggiore,
perciò Smith è avverso al rischio.
•
Piatta: l’U di Smith coincide con B1 e dipende solo dal VA, perciò Smith è indifferente al
rischio, come l’assicurazione.
Si noti che sia per un soggetto amante del rischio, sia per uno avverso al rischio, la pendenza
di U nel punto A è uguale alla pendenza di B1 ed è px/(1-px). Altrimenti, Smith non ha
preferenze univoche.
Da cosa dipende l’inclinazione delle curve di indifferenza?
1. Più il consumatore è avverso al rischio, più la concavità delle curve di indifferenza è
forte;
2. Più alta è py, più le curve di indifferenza sono ripide.
UTILITA’ ALLA VON NEUMANN-MORGENSTERN
In generale, le funzioni di utilità con beni contingenti sono del tipo U=f(cx,cy,px,py), dove cx
è il livello di consumo nel primo caso, cy nel secondo caso, e possono verificarsi due stati con
px e py tali che px+py =1 e siano alternativi. L’U può dipendere da cx,cy,px,py in svariati
modi, uno dei più semplici è quello descritto dalla funzione di N-M che è caratterizzata dalla
seguente forma: U=px*u(cx)+py*u(cy).
Si osserva che:
1.
La funzione d’utilità del consumo certo è la stessa in entrambi gli stati e uguale a u(c). La
differenza in utilità marginale MUcx e MUcy, per cx=cy, dipende dalla probabilità
associata agli stati e non dagli stati in sé. Quando Smith ha una mela il tempo atmosferico,
il fatto che piova o ci sia il sole, non influisce sull’utilità che ne ricava mangiandola. Ma,
ex ante, la mela che sarà mangiata quando piove dà meno utilità di quella mangiata
quando c’è il sole se la probabilità di pioggia è minore della probabilità di sole. Dunque
Smith preferisce avere il paniere (2 mele se c’è il sole, 0 mele se piove) rispetto a (1mela
se c’è il sole, 1 se piove), se si aspetta che la probabilità di pioggia sia davvero molto
bassa, nonostante il tempo non influisca per niente sul ‘gusto’ della mela. Ovviamente
questa è un’ipotesi semplificatrice per il modello, ma nella realtà non è sempre vera: a
parità di probabilità, nello stato “salute” avere 50 € in più dia utilità marginale diversa
dall’averli in malattia.
2. Funzione omogenea di grado 1 per px e py: U direttamente proporzionale a px e py, ma se
aumenta px diminuisce py, e viceversa Dunque Smith pondera l’utilità del consumo in un
certo caso del mondo per la sua probabilità.. Attenzione! Si dice che “l’obiettivo è
massimizzare il VA dell’utilità, non massimizzare l’utilità del valore monetario atteso”
(Katz,Rosen,Morgan,Bollino 2011, p.175). Infatti l’utilità non dipende solo da VA, ma
anche dall’avversione al rischio di Smith.
Le curve di indifferenza associate ad una funzione di utilità del tipo Von NeumannMorgenstern ruotano attorno sulla bisettrice quando cambiano le probabilità degli stati nel
modo descritto dalla figura. Questo comportamento torna utile per studiare:
•
Le U di due diversi individui, uno safe e uno unsafe (nell’ipotesi che tutti gli individui
abbiano le stesse funzioni u(c) , ma si differenzino per le probabilità associate agli
stati);
•
Come cambia la U di un individuo esposto ad un evento dannoso a seconda del suo
comportamento careless o careful.
Dal grafico si vede che dopo la variazione delle probabilità il
livello di U associata al punto sulla bisettrice rimane la stessa,
mentre il livello di U associato agli altri punti cambia.
Perché tutte le diverse U con lo stesso valore si incontrano
sulla bisettrice? Perché lungo di essa l’U di Smith dipende
solo dal livello di consumo (cx; cy): visto che il rischio è
sempre uguale a 0, il grado di avversione al rischio e le
probabilità dei due stati diventano irrilevanti.
PROFITTO ATTESO DELLA COMPAGNIA
Poichè la compagnia è neutrale al rischio, la sua utilità coincide con il profitto atteso:
UCompagnia= VAN=E[ Π]. Chiamo E[ΠCompagnia ] una linea di isoprofitto della compagnia.
Ciascuna E[ΠCompagnia ]ha un VAN caratteristico e costante: la compagnia, stimate le
probabilità dei vari stati, calcola le combinazioni di premio e risarcimento che permettono di
raggiungere quel livello di VAN.
Se cx= premio pagato da Smith;
cy= indennizzo netto che la compagnia sborsa in caso di danno
cx*px+ (-cy)*py=VAN
s.v. VAN=k
cy=( cx*px-VAN)/py
la pendenza della linea UCompagnia è
R=px/py
Muoversi lungo una di queste linee, assicurare tanto o poco, lascia indifferente la compagnia
perché, per ipotesi, la sua utilità dipende solo dal ricavo atteso. Invece per Smith muoversi
lungo B1 verso NW significa diminuire il rischio.
OFFERTA DI ASSICURAZIONE B2
La regione ammissibile per i contratti assicurativi è Ω, a SE della bisettrice e non oltre la
dotazione iniziale senza danno cx (per esempio, cx=100). Offrire contratti al di fuori significa
offrire occasione di investimento e non di assicurazione: non si riequilibrano i consumi, ma si
promette a Smith un maggior consumo rispetto a 100 se scommette nell’uno o nell’altro caso.
L’insieme delle combinazioni di cx e cy offerte dalla compagnia è anche detto vincolo di
bilancio e lo chiamo B2. Nel caso più semplice B2 è una retta, caratterizzata da intercetta e
inclinazione: questa è la forma di B2 che ipotizzo nella trattazione, ove non espressamente
indicato altrimenti.
L’intercetta perde significato se si considera che i punti dell’asse y sono fuori dalla regione
ammissibile dei contratti assicurativi.
Di maggior interesse è l’inclinazione di B2 che si presta a varie interpretazioni.
l’inclinazione di B2 rappresenta il rendimento di assicurare condizionato al verificarsi dello
stato cattivo varia al variare dell’inclinazione di B2. Ad esempio, A(100;40) è il paniere delle
dotazioni iniziali, B(90; 60) è un punto di B2. Quest’assicurazione dà un differenziale dei
consumi ∆= 90-100=-10 nel caso buono e ∆=60-40=20 nel caso cattivo. Cosa significa?
Innanzitutto, la compagnia registra 10 euro in entrata e 20 in uscita in caso di sinistro. Il
rapporto R=20/-10=-2, cioè risarcimento netto/ premio pagato, è l’inclinazione di B2. Al
crescere dell’inclinazione5 di B2, diminuisce la convenienza del contratto per la compagnia,
ma cresce la redditività dell’assicurazione per il contraente in caso di sinistro. Ovviamente
l’inclinazione di B2 è diversa dal rendimento dell’assicurazione in toto: per calcolare
quest’ultima, si devono considerare tutti i possibili stati del mondo, ponderando i payoff con
le probabilità, usando il concetto di VA.
L’inclinazione di B2 è il prezzo a cui il mercato permette di scambiare il consumo nel caso
buono con il consumo nel caso cattivo. Risponde alla domanda: qual è il prezzo di x in
termini di y? In quest’esempio 1cx vale 2cy.
Se l’assicurazione è equa, essa coincide inoltre con il “costo opportunità di un bene in termini
dell’altro bene”(Katz, Rosen, Morgan, Bollino 2011, p.154), il saggio marginale di
sostituzione6 SMS tra i beni per la compagnia, cioè MUcx/MUcy, e risponde alla domanda:
qual’è il valore del premio richiesto dalla compagnia per garantire un’unità di indennizzo e
rimanere con la stessa utilità di prima?
Attenzione inoltre a non farsi trarre in inganno e a ricordare che nel grafico degli stati si
indicano i consumi netti: preciso meglio l’esempio. Il ∆ lungo l’asse orizzontale indica il
premio pagato: nel caso buono, Smith riduce il suo consumo di 10, cioè l’importo del premio,
e l’assicurazione per contro riceve 10. Il ∆ lungo l’asse verticale indica l’indennizzo al netto
del premio pagato: in caso di danno, l’assicurazione riceve comunque 10, infatti la maggior
parte dei contratti prevedono il pagamento del premio anche nel caso si verifichi lo stato
cattivo, e permette a Smith un maggior consumo di 20, al netto del premio. Dunque
l’indennizzo “lordo” accreditato a Smith dall’assicurazione è 30, che non compare nel grafico.
-∆cx = premio pagato= -(90-100)=10
∆cy= indennizzo accreditato-premio pagato= 30-10= 20
5
Intendo in termini di valore assoluto.
La pendenza di U è uguale al saggio marginale di sostituzione, cioè al rapporto tra le utilità marginali.
SMS= MUcx/MUcy. Se per esempio MRS=2, significa che in termini di utilità a 1cx corrispondono 2cy.L’inclinazione di B2
è il prezzo relativo di un bene rispetto all’altro nel mercato è -∆cy/∆cx. Se l’assicurazione è equa: SMS= MUcx/MUcy=∆cy/∆cx=px/py.
6
-∆cy/∆cx= SMS= 2 se l’assicurazione è equa
Qual è l’equazione di B2? Semplificando al massimo, è cy=R*cx , che nel caso dell’esempio
diventa 20=R*10.
INCLINAZIONE B2: CASI ESTREMI
E’ necessario però che B2 abbia inclinazione negativa: cosa succederebbe se B2 fosse
inclinato positivamente o parallelo all’asse orizzontale?
1. (Grafico 1) B2 parallela a x: Smith riduce cx ma è impossibile acquistare
assicurazione, infatti il livello di consumo nel caso y non conosce miglioramenti;
2. (Grafico 2) B2 verticale: Smith ottiene assicurazione gratis;
3. (Grafico 3) B2 inclinata a SW: riduzione del consumo in entrambi gli stati, come se
l’acquisto di assicurazione facesse aumentare il danno in caso di sinistro. Ciò accade
quando in caso di danno l’indennizzo netto è negativo, ossia l’indennizzo lordo è
inferiore al premio, magari per via di qualche clausola nascosta e non capita
dall’assicurato.
FORMA B2: SE B2 E’ INSIEME DI PUNTI
B2 è un insieme di punti che possono formare, oppure no, una retta. Se ad esempio la
compagnia non permette a Smith di scegliere la quantità da assicurare, è escluso che B2 sia
una linea continua e di conseguenza una retta. Si veda il Grafico 4:
•
A è dotazione iniziale;
•
B,C,D contratti offerti
•
Le linee tratteggiate hanno una certa pendenza, che è indicativa del prezzo a cui Smith
può acquistare assicurazione: Anche se Smith non può muoversi lungo ogni punto di
queste linee, perché può stare solo in A, B, C o D, essa gli serve per visualizzare e per
confrontare il prezzo dall’assicurazione con il SMS da lui attribuito alla coppia (cx,cy)
nella sua U. In questo senso costituiscono un vincolo di bilancio e le chiamo B2.
Alla fine (Grafico 5), tra C, B, D Smith sceglierà il punto che giace sulla U più alta, D, anche
se in questo punto il SMS per Smith non è uguale al rapporto tra i prezzi (px, py.) In D, la U ha
pendenza 3, il vincolo ha pendenza 4. Anche se i soggetti non sono d’accordo sul prezzo
perché hanno SMS diversi, Smith accetta D lo stesso perché lo scambio migliora la sua U. Il
problema è che quest’allocazione non è pareto efficiente, perché se la compagnia lasciasse a
Smith la scelta di quanto assicurarsi, si potrebbe aumentare USmith lasciando invariata
UCompagnia , spostandosi lungo una linea di isoprofitto delle compagnia da D fino a E(Grafico 6),
oppure viceversa.
B2 è una spezzata se i tassi di premio, cioè il ‘premio per unità di indennizzo’ sono diversi a
seconda della somma assicurata.
B2 E PROFITTO ATTESO DELLA COMPAGNIA
Qual è il ragionamento della compagnia quando costruisce B2, cioè offre delle polizze? Ha
dei vincoli? La compagnia non propone contratti che diminuiscano la sua utilità,
comportandole una perdita monetaria attesa (VAN<0), se conosce correttamente le probabilità
degli eventi ( in presenza di asimmetrie informative la compagnia potrebbe invece trovarsi ad
offrire contratti per lei svantaggiosi, perché sbaglia a stimare le probabilità). Ipotizzando che
ci sia perfetta informazione e ipotizzando che l’offerta di contratti B2 sia una retta con
inclinazione R costante, la compagnia fissa R in modo che lungo B2 il suo profitto atteso sia o
positivo e costante, o positivo e crescente, al crescere del capitale assicurato. In quest’ultimo
caso il VA aumenta lungo B2 verso NW e raggiunge il massimo nel punto d’incontro con la
bisettrice: ciò è coerente col fatto che, se B2 è profittevole, la compagnia preferisce sfruttarlo
al massimo e fornire la copertura massima invece che parziale. Dunque se può, cioè se Smith
è costretto ad accettare perché non ha alternative come succede nel caso di monopolio, la
compagnia offre solo le condizioni a lei più vantaggiose: copertura completa e B2 poco
inclinata.
LA LINEA DELLA QUOTAZIONE EQUA B1
“B1 è il vincolo di bilancio che rappresenta le
opportunità offerte da una scommessa
attuarialmente equa”(Katz, Rosen, Morgan,
Bollino 2011, p.153), cioè una scommessa che dà
un guadagno monetario pari a 0 in media (in media
perché ci sono le probabilità, che sono stime, valori
medi; nella realtà, Smith vince o perde, a seconda
dell’evento che si verifica).
Lungo B1 il profitto atteso dalla compagnia è
costante perciò il livello di utilità della compagnia UCompagnia è costante. s.v. VAN =0
scommessa attuarialmente equa.
Dunque che caratteristiche hanno i contratti di B1?
VAN=0 costante
VAN=f(cx,cy,px,py)
cx*px+(-cy)*py=0
cy=( cx*px)/py
∆cy / ∆cx =-px/py
La quotazione di x rispetto a y è il rapporto tra la probabilità di x e la probabilità di y. Se px=
1/k e py=5/k, la quotazione è 1 a 5.
Affinché B1 rappresenti una scommessa attuarialmente equa, deve avere l’opposto della
pendenza pari al rapporto tra la probabilità dell’evento sull’asse x e la probabilità dell’evento
dell’asse y, cioè alla quotazione.
Dunque per mantenere una scommessa equa, occorre bilanciare ∆cx e ∆cy con px e py.
Commento a questo risultato.
Smith sta per fare una assicurazione attuarialmente equa, partendo da A, quando la probabilità
di perdita aumenta improvvisamente; adesso Smith è disposto a rinunciare ad un maggior
numero di unità di consumo nello stato buono cx in cambio di un’unità di consumo nello stato
cattivo, perché sa che ora ha più possibilità che questo ‘investimento’ cx gli frutti un
risarcimento, dato che la probabilità di danno è aumentata. Parallelamente, affinché la
compagnia sia disposta ancora ad assicurare, deve accadere o che la sua vincita aumenti
(premio), o che la perdita (risarcimento) diminuisca. Questa condizione è coerente col fatto
che la pendenza di B1 aumenta all’aumentare di px.
Esempio:
•
premio pagato da Smith= 10
•
risarcimento netto dovuto a Smith =20
Calcolo il VAN dell’assicurazione, sotto il vincolo che
VAN≥0.
10*px+(-20)*py=VAN, a seconda dei valori (px ; py).
20=10*px/py – VAN
perciò R=px/py=20/10
RAPPORTO B1 E B2
In che rapporto stanno B1 e B2? Dipende, si intersecano nel paniere delle dotazioni iniziali
ma coincidono solo se l’offerta di assicurazione è attuarialmente equa, altrimenti hanno
inclinazioni diverse, e determinano una variazione del guadagno monetario atteso per uno dei
contraenti.
B1 sta sopra B2
VAN Compagnia >0
B1 sta sotto B2
VAN Compagnia <0
B1 e B2 coincidono
VAN Compagnia =0
Si veda il grafico. B1 ha inclinazione 1 perciò in un mondo
attuarialmente equo 1€ di indennizzo netto costa 1€ di premio;
ma col contratto B2, 1€ d’assicurazione si compra con un
premio di 4€: B2 non è equo e favorisce la compagnia.
B1 costituisce un importante punto di riferimento per valutare l’equità dei contratti e il
profitto della compagnia: la compagnia infatti, quando valuta quale contratto offrire,
confronta B2 e B1.
LE PREFERENZE DELLA COMPAGNIA
Si possono verificare i seguenti casi:
1. B1 meno inclinata di B2 (offerta non attuarialmente equa) : il
prezzo di 1€ di assicurazione è minore di quello equo
(VANCompagnia<0). Ovviamente la compagnia non offre contratti
del genere perché diminuirebbero il suo profitto atteso favorendo
Smith, ma il caso può capitare se ad esempio la compagnia valuta
erroneamente il valore del contratto perché le mancano
informazioni rilevanti;
2. B1 più inclinata di B2 (offerta non attuarialmente equa): il prezzo
di 1€ di assicurazione è maggiore di quello equo, perciò Smith è
svantaggiato e per riequilibrare la situazione bisognerebbe
aumentare l’indennizzo netto (IN) o diminuire il premio (P).
Lungo questa B2 dunque aumenta il VAN della
compagnia(VANCompagnia>0), diminuisce il VAN di Smith.
Ovviamente la compagnia se può, cioè se Smith è costretto ad
accettare perché non ha alternative come succede nel caso di monopolio, offre solo le
condizioni a lei più vantaggiose, cioè copertura completa e B2 poco inclinata,
massimizzando il suo profitto.
In concorrenza perfetta, la compagnia è costretta a minimizzare il suo profitto, ma dire
che è pari a zero è una semplificazione perché esso rimane sempre leggermente
positivo. Perché? Ciò dipende da:
•
Spese di gestione: necessità di fare guadagni per coprire i costi fissi di erogazione del
servizio;
•
Tariffe “non perfettamente adeguate alle caratteristiche di ogni singolo individuo”
(Katz, Rosen, Morgan, Bollino 2011, p.170), nel senso che gli individui vengono
classificati in alcune classi di rischio: con alcuni individui l’assicurazione vince, con
altri perde; ma in media ottiene un guadagno monetario.
3. B2=B1: è il caso della concorrenza perfetta in cui la compagnia ottiene profitto tendente a
zero o, semplificando, pari a zero (VANCompagnia=0). Ovviamente la compagnia non è
attratta da questa situazione, ma può essere costretta ad accettarla, se il mercato è
concorrenziale, a causa del meccanismo della contendibilità. La contendibilità funziona
nel seguente modo: la compagnia 2 propone contratti B2 > B1, la compagnia 3 si
accontenta di contratti B3 comunque profittevoli ma con margine di profitto minore, il
consumatore dunque preferisce B3 a B2 e la compagnia 3 strappa alla 2 la clientela.
Entrano nel mercato altre compagnie finchè non è più possibile offrire contratti migliori
perchè Π=0, cioè B2 = B1. Dunque la concorrenza perfetta obbliga la compagnia a
muoversi lungo B1 ottenendo un guadagno minimo.
SCEGLIERE SE ASSICURARSI
Graficamente, data una certa B2 e una certa dotazione iniziale A, muoversi lungo il vincolo
a SE della dotazione iniziale, aumenta la quantità di assicurazione;
a NW della dotazione iniziale, diminuisce la quantità di assicurazione.
Smith si assicura se l’assicurazione aumenta la sua utilità rispetto alla dotazione iniziale: ciò
dipende da come sono fatte USmith (avversione al
rischio e probabilità degli stati) e B2 (premio al
rischio). Si consideri il primo grafico: col contratto
B1 Smith acquisterebbe l’assicurazione, con B2 no.
Si confrontino i due grafici fermo restando B2: il
soggetto del primo grafico non si assicurerebbe, il
secondo sì.
IL PREMIO ASSICURATIVO
Il premio assicurativo è il prezzo che remunera chi si assume il rischio, in genere la
compagnia. Mentre il prezzo è equo nel senso che ha la funzione di coprire i costi, “dietro la
parola ‘premio’ sta l’idea di premiare”( La Torre Antonio, 2000, p. 55) con qualcosa in più,
chi è disposto ad accollarsi il fardello del rischio, che è dannoso, al posto di qualcun altro. Ciò
trova riscontro nel fatto che il premio è composto dal premio puro (il prezzo) e dalle
addizionali per fare utili: di solito i premi non sono equi e favoriscono la compagnia.
Il premio assicurativo risponde alla domanda: a quanto consumo è disposto a rinunciare Smith
pur di togliersi il rischio, stipulando una polizza?
Si determini graficamente il premio.
Progetto S=(15;15) VA è 15 certo
Progetto NS=(20;10) VA è 15 incerto
Traccio la retta passante per i due punti:
retta B1 quotazione equa
Disegno l’U e osservo che U associata al
progetto S è sempre maggiore dell’U associata al progetto NS. Qual è il ∆ consumo, che tolto
al consumatore che sceglie S, porta a uno stesso livello di utilità del consumatore che sceglie
NS? Qual è la variazione equivalente? Muovendosi lungo la bisettrice, si osservano ∆cx e ∆cy
che occorre aggiungere: da notare che la remunerazione aggiuntiva esiste in entrambi gli stati
del mondo, è certa, indipendente dallo stato che si verifica, infatti si legge sulla bisettrice.
Questo ∆ consumo è il premio R.
Se al consumatore che sceglie S e si posiziona nel punto (15;15) venisse chiesto un
∆premio=R, allora gli verrebbe proposto il contratto C; il suo livello di U scenderebbe ed egli
sarebbe indifferente tra S e R.
Un altro modo di pensare al premio per il rischio è che esso
determina la pendenza del vincolo di bilancio. In B2 Smith può
scambiare 20-15=5 cx per 10-15=5 cy e B2 ha pendenza 1.
Ipotizzo che R=3 e l’assicurazione chieda un ∆ premio=R. Allora
il progetto sicuro diventa C=(12;12) e la pendenza del nuovo
vincolo B3 è 20-12=8 cx e 10-12=2 cy, 2/8=0.25. La nuova B2
passa per C e per NS, che appartengono allo stesso livello U:
all’individuo è indifferente se assicurarsi o no. Dunque un
individuo si assicura solo se il vincolo B2 che gli offre l’assicurazione è abbastanza inclinato:
cioè se R non è troppo elevato.
E quando in un mercato ci sono due contratti? Nel grafico degli stati ci sono due vincoli con
diverse pendenze(nell’ipotesi che Smith possa scegliere quanto assicurarsi),che si incontrano
nella dotazione iniziale (A). Ovviamente Smith sceglie quello che gli permette di
massimizzare U: il più inclinato in valore assoluto.
QUANTITA’ DI ASSICURAZIONE
Maggiore è la quantità di assicurazione o copertura
assicurativa acquistata da Smith, più si appianano
le differenze tra i livelli di consumo nei vari stati
del mondo: essa è il livello di consumo garantito
qualsiasi cosa succeda, la quantità di danno che
l’assicurazione copre nello stato del mondo
cattivo. Essa dipende dal premio che Smith accetta
di pagare pur di assicurarsi, spostandosi tanto o poco lungo B2. Ci sono tre tipi di copertura
assicurativa:
•
Nulla: Smith non si sposta dalla dotazione iniziale A, in altre parole rifiuta l’assicurazione.
•
Parziale: questo contratto migliora cy rispetto alla dotazione iniziale, ma non abbastanza
da rendere uguali i consumi nei diversi stati del mondo. Questo perché Smith non assicura
tutto il suo consumo, ma solo una parte: l’onere del danno viene diviso tra l’assicurazione
(con varie forme contrattuali) e Smith; che perciò trattiene un po’ di rischio.
•
Totale: Smith si colloca lungo la bisettrice, dunque il livello di consumo è lo stesso
qualsiasi stato si verifichi. Egli paga il premio massimo e ottiene il risarcimento massimo:
l’assicurazione copre completamente il danno.
EDGEWORTH BOX E MERCATO ASSICURATIVO
L’equilibrio è l’allocazione delle risorse a cui pervengono gli operatori economici se sono
lasciati liberi di scegliere secondo la loro utilità in un mercato. Nel mercato assicurativo, per
trovare l’equilibrio bisogna considerare le esigenze di due agenti: Smith, con la sua U, che
costituisce la domanda di assicurazione, accetta il contratto solo se esso fa aumentare la sua
utilità; la compagnia, che offre B2 e calcola il suo profitto atteso prendendo come riferimento
B1, deve avere Π ≥0 altrimenti non coprirebbe i costi. Si pensi ora ai contratti assicurativi
come strumento di redistribuzione dei consumi: infatti un contratto assicurativo non fa altro
che redistribuire il consumo nei due casi del mondo,
spostando cx e cy da un soggetto all’altro. Viene allora
naturale visualizzare la situazione in una Edgeworth
Box, strumento microeconomico per analizzare la
distribuzione di beni tra due soggetti, qui è applicata non
a beni convenzionali, ma a beni contingenti.
Si veda il grafico: l’asse orizzontale è il consumo nel
caso buono, l’asse verticale il consumo nel caso cattivo.
Smith si trova nel vertice in basso a sinistra, la
compagnia in quello opposto. Si disegnino USmith in blu e
le curve di isoprofitto della compagnia in rosso, a partire B1 in cui E[Π]=0. Ovviamente U e
VANCompagnia crescono in direzioni opposte perché ciò che paga Smith diventa guadagno per
la compagnia, e viceversa.
M è la dotazione iniziale.
Per U, B1, B2 e linea quotazione equa valgono tutte le ipotesi precedentemente viste.
N. B. : nella successiva trattazione ipotizzo che B2 sia una retta e non un punto: ciò significa
che Smith può scegliere quanta assicurazione acquistare.
EQUILIBRIO PARETO EFFICIENTE
Paniere in cui non si può migliorare l’utilità di un soggetto senza peggiorare l’utilità di un
altro soggetto: sono impossibili miglioramenti paretiani. Qual è la combinazione pareto
efficiente (E) nel mercato assicurativo?
A partire da una certa dotazione iniziale A
Max USmith
s.v. B1=E[Π] costante
lasciando costante l’utilità della
compagnia
Soluzione: la massima USmith vincolata si raggiunge nel punto dove
USmith
è tangente a B1, ossia SMS=pendenzaB1 .
Dato che per ipotesi la pendenza di USmith è uguale alla pendenza della quotazione equa B1
nel punto di intersezione con la bisettrice
E si trova sulla bisettrice.
Una soluzione pareto efficiente nel mercato assicurativo implica la copertura totale.
EQUILIBRIO CON INFORMAZIONE PERFETTA
In questo paragrafo studio l’equilibrio con perfetta informazione.
Si parla di informazione perfetta se i soggetti hanno le stesse informazioni e nessuno può
influenzare la probabilità degli eventi senza che l’altro lo sappia: nel caso specifico del
mercato assicurativo, quando px e py sono fisse e note. Ad esempio, una polizza contro un
terremoto: la probabilità di questo evento è determinata dalla natura, studiata e divulgata dagli
istituti di ricerca. Diversamente per una polizza contro gli incidenti: Smith scegliendo di
essere sbadato invece che attento incrementa la probabilità di sinistro e la compagnia non può
obbligarlo a guidare con maggior prudenza.
Analizzo separatamente le scelte di Smith e dell’assicurazione, iniziando da Smith. Cosa
sceglie Smith, nei vari casi che teoricamente gli possono essere offerti?
CASO 1: B2 > B1 a partire da A.
Se pendenzaU = pendenzaB1 lungo la bisettrice
se U è convessa dunque il SMS è crescente spostandosi verso
W
posto che pendenzaB2 > pendenzaB1
allora pendenzaU = pendenzaB2 a NW della bisettrice
la soluzione pareto efficiente impone
una copertura più che completa!
Ciò è coerente con la realtà: il premio da pagare è così piccolo rispetto all’indennizzo, che a
Smith converrebbe scommettere sul sinistro, collocandosi oltre la bisettrice, perché in media
otterrebbe un guadagno monetario. Smith paga ogni anno un premio di 5, dunque se
l’assicurazione fosse equa, Smith si aspetta di ricevere un risarcimento di 50 ogni 10 anni. In
questo caso, invece, Smith si aspetta 50 dopo soli 8 anni, avendo sborsato solo 40.
La soluzione pareto efficiente non è ammissibile perché sta sopra la bisettrice e la compagnia
non offre questi contratti. Smith si deve accontentare di una soluzione di second best: egli
acquista un’assicurazione completa e l’equilibrio si colloca in C, punto di intersezione tra B2
e la bisettrice.
CASO 2: B2 < B1 a partire da A.
Se pendenzaU =pendenzaB1 lungo
la bisettrice;
se U è convessa dunque il SMS è
crescente spostandosi verso W;
posto che pendenzaB2 <
pendenzaB1;
allora pendenzaU= pendenzaB2 a SE della bisettrice
Smith non sceglierà mai una copertura
completa ma, a seconda di com’è fatta la su a U, sceglie di non assicurarsi o di assicurarsi
parzialmente.
Smith paga un premio di 5 all’anno, si aspetta un risarcimento di 50 ogni 12 anni. Dal Grafico
2 si nota che Smith sceglie D, copertura parziale.
Se però, ad esempio, B2 fosse troppo piatta, Smith potrebbe scegliere di non assicurarsi e di
rimanere in A (allocazione finale= allocazione iniziale), come nel
Grafico 1.
L’equilibrio D non è pareto efficiente: sarebbe possibile fare di
meglio? Sì, dal Grafico 3 si vede che a partire da D esiste una
soluzione (E) che aumenta la U dell’individuo fermo restando E[Π]
della compagnia. Si tracciano la ΠCompagnia passante per D e ci si muove
su di essa. Se ci sono punti in cui la nuova Π sta sopra ad USmith, allora
è possibile aumentare l’utilità del contraente e la soluzione ottima è nel
punto in cui pendenza USmith=pendenza B1, cioè per ipotesi lungo la
bisettrice. In generale, non esiste un unico equilibrio pareto efficiente, ma molteplici, a
seconda del punto di partenza, di B1, di USmith.
CASO 3: B2=B1
Muoversi lungo B2 significa diminuire il rischio, fermo restando il VA: Smith si sposta su B2
fino ad eliminare totalmente il rischio, fermandosi nel punto d’incontro tra B2 e la bisettrice,
che offre copertura completa ed è pareto efficiente. Smith paga 5 ogni anno e riceve 50 ogni
10 anni.
I casi precedenti 1,2,3 sono tutti accettabili dal punto di vista della compagnia?
B2 > B1
inaccettabile perché sfavorevole alla compagnia;
B2 < B1 strategia dominante della compagnia, attuabile se ha potere di mercato: la
compagnia offre la B2 che preferisce, a sua discrezione, e può massimizzare il suo profitto
atteso;
B2=B1
strategia che la compagnia è costretta ad accettare in concorrenza perfetta se vuole
rimanere dentro il mercato.
Dopo aver studiato separatamente le preferenze del contraente e della compagnia, mettendole
ora insieme trovo l’equilibrio nel mercato assicurativo con perfetta informazione. Si devono
distinguere due casi:
a)
POTERE DI MERCATO
CASO 2
Equilibrio second best e copertura parziale.
La compagnia massimizza la sua utilità, Smith accetta ciò che gli viene offerto(ferma restando
la facoltà di non assicurarsi!).
Se Smith può scegliere la quantità di assicurazione, ossia B2 è una retta e non un punto, può
capitare sia che accetti sia che rifiuti il contratto, ma sicuramente non opta mai per la
copertura completa, a causa dell’avversione al rischio. Relativamente al CASO 2, possono
sorgere le seguenti obiezioni, che riporto per chiarire meglio il meccanismo e per riepilogare
alcuni concetti visti precedentemente.
Perché Smith si assicura nonostante B2 gli sia sfavorevole in termini di VA? Proprio a causa
del trade-off rischio-rendimento che rientra nella funzione d’utilità di Smith: B2 permette di
eliminare il rischio avvicinandosi alla bisettrice a partire da A.
Ma allora Smith accetta sempre B2, nonostante diminuisca il suo VAN? Sì, se questa
diminuzione del guadagno monetario atteso è compensata da una diminuzione del rischio che
vale di più in termini di utilità. La decisione di assicurarsi dipende, ancora una volta, da
premio, probabilità, avversione al rischio di Smith.
Esempio: più è accentuata la curvatura di U, più il consumatore è avverso al rischio (Smith è
avverso al rischio, John è poco avverso al rischio). Con un terremoto ogni 100 anni e un
premio di 30 annui contro un risarcimento di 1000, evidentemente il contratto favorisce
l’assicurazione: John, il consumatore medio, rifiuta l’assicurazione, ma Smith potrebbe essere
così spaventato dall’eventualità del terremoto da accettare di pagare questo premio
spropositato.
E’ sicuro che Smith non si assicura mai completamente con un contratto del genere? Sì.
Il SMS proposto dall’assicurazione è minore di quello percepito da Smith: è come se
l’assicurazione proponesse a Smith di comprare cy a un prezzo maggiore di quello che Smith
sente come equo. Dunque egli, a quel prezzo non equo proposto dall’assicurazione, si
assicurerà per togliersi un po’ di rischio, ma non sarà “indifferente” tra i due beni: preferisce
tenere quantità maggiori di cx. Di conseguenza non si assicura completamente e scommette
sullo stato buono del mondo.
(Si ipotizzi che B2 sia un punto e non una retta. Smith potrebbe accettare anche la copertura
completa perché non ha altra scelta, ma questo è un altro discorso).
b) CONCORRENZA PERFETTA
CASO 3 l’equilibrio si trova nel punto d’incontro
tra B1 e la linea delle allocazioni certe ed è la soluzione pareto efficiente: copertura
completa, zero profitto per l’assicurazione, massima utilità per Smith.
VARIAZIONE DELL’EQUILIBRIO
In questo paragrafo si studia come varia l’equilibrio al variare di premio e probabilità.
AL VARIARE DEL PREMIO
Situazione iniziale:
•
A =dotazione iniziale senza assicurazione
•
M =assicurazione iniziale, che dà a Smith copertura
completa, pagando un premio di 0.2 per ogni euro di
assicurazione. Ciò significa che pagando 0.2, Smith riceve
un risarcimento lordo di 1 in caso di danno.
•
USmith è disegnata per probabilità di danno py=1/5
•
Disegno B1
•
L’offerta di contratti coincide con B1: se il premio è 0.2 e il
risarcimento netto è 1-0.2=0.8, la pendenza di B1 è 4. B1 in M ha pendenza uguale a
U, cioè 4/5:1/5 =4.
Poi la compagnia ritira il contratto e ne emette un altro, non più
attuarialmente equo: il premio ora è 0.4 e il nuovo vincolo è B2.
Qual è la pendenza di B2? Con un premio di 0.4, ottengo un
risarcimento netto di 1-0.4=0.6, dunque pendenza di B2 =3/2. Il
nuovo vincolo parte dal paniere delle dotazioni iniziali e ha una
pendenza minore. B2 è peggiore per Smith rispetto a B1 infatti la U
che interseca il nuovo vincolo si trova più in basso. Smith si assicura comunque? Dipende
dalle sue curve di indifferenza: se U è molto piatta, può darsi che Smith preferisca tornare in
A; altrimenti si assicura lo stesso, perché è avverso al rischio, ma non completamente come
prima: ora preferisce una copertura parziale (C). In ogni caso Smith “accetta di correre
qualche rischio” (Katz, Rosen, Morgan, Bollino 2011, p.170) in più: vale all’aumentare del
premio diminuisce la copertura, ceteris paribus.
N.B: Qual è la causa dei differenti ‘prezzi’, cioè dei differenti SMS che Smith e
l’assicurazione attribuiscono a cx e cy? Fondamentalmente, le probabilità associate agli
eventi.
Ognuno ha stime differenti sulle probabilità degli eventi che spesso non coincidono. Per
esempio, Smith e l’assicurazione si trovano sullo stesso punto del grafico, il paniere (0.2;0.8).
Si ipotizzi che inizialmente Smith e l’assicurazione siano d’accordo sulle probabilità (0.8;0.2):
concordano sul prezzo di 2€ per 1€ di assicurazione.
Se poi l’assicurazione chiede un premio maggiore a parità di risarcimento lordo, vuol dire che
stima una py maggiore di prima: l’assicurazione si aspetta di dover sborsare il risarcimento più
spesso, dunque di sostenere più costi, perciò è costretta ad aumentare a Smith il premio,
altrimenti incorrerebbe in profitti negativi. Perciò Smith e l’assicurazione non sono d’accordo
sui valori di i cx e cy, stimano SMS differenti!
AL VARIARE DELLE PROBABILITA’ PER SMITH
La py aumenta a 1/3, ma ciò è noto solo all’individuo e non alla compagnia che continua a far
pagare lo stesso premio lungo B1. Di conseguenza la nuova inclinazione di U nel punto di
intersezione con la bisettrice è (1/3) / (2/3) =px/py =2. U diventa meno inclinata oscillando
sulla bisettrice. Intuitivamente, più alta è la py di danno, maggiore è il cx a cui Smith è
disposto a rinunciare, in cambio di cy: SMS diminuisce perché aumenta MUcy. Ovviamente
cambiando le probabilità cambia anche il profitto atteso della compagnia: nel caso specifico lo
stesso contratto diventa meno vantaggioso di prima in termini di valore atteso.
Considero N punto di partenza, assicurazione parziale. Ora B2 è molto conveniente per Smith,
perché il prezzo di cy è inferiore a quello che sarebbe disposto a pagare: Smith si sposta lungo
B2 verso dx, verso una copertura totale, per sfruttare il contratto vantaggioso il più possibile.
Ma la compagnia impone dei vincoli: Smith non può assicurarsi oltre un certo ammontare,
non può oltrepassare la bisettrice: sarebbe come permettere a Smith un livello di consumo
maggiore in caso di danno che senza danno!
Da questa discussione si ricava che “le persone per cui la probabilità di danno è più alta
acquistano una maggiore quantità di assicurazione, ceteris paribus”(Katz, Rosen, Morgan,
Bollino 2011, p.172).
EQUILIBRIO CON ASIMMETRIA INFORMATIVA
Con asimmetria informativa il mercato assicurativo fallisce perché non perviene a un
equilibrio pareto efficiente. L’equilibrio si ferma in un punto in cui sono possibili
miglioramenti paretiani: attraverso scambi si potrebbe aumentare ancora l’utilità di entrambi i
soggetti, ma questa ulteriore transazione non avviene nel mercato perché alcune condizioni,
nella fattispecie l’asimmetria informativa che si verifica quando i due soggetti dispongono di
informazioni differenti, la impediscono.
Si distinguono due casi di asimmetria informativa:
•
il moral hazard (asimmetria informativa ex post), se Smith col suo comportamento può
influenzare la probabilità di danno senza che la compagnia possa farci nulla. Di
conseguenza Smith riesce a cambiare il valore del contratto, dopo averlo concluso, a suo
favore: con l’acquisto della copertura diminuisce l’incentivo a comportarsi careful per
prevenire il sinistro, perché l’onere del danno ricade non più su Smith, ma su un terzo;
•
l’ adverse selection (asimmetria informativa ex ante), se Smith nasconde all’assicurazione
informazioni rilevanti per determinare il valore del contratto.
Come si vede nella seguente trattazione, l’equilibrio in presenza di questi problemi è una
soluzione di second best, come la copertura parziale, o l’assenza di un mercato.
ADVERSE SELECTION
L’analisi condotta in questo paragrafo segue il modello The Market for Lemons (Akerlof,
1970) applicando il ragionamento al mercato assicurativo.
Nel mercato esistono due tipi di clienti: quelli safe, come Smith, con bassa probabilità di
danno, quelli unsafe, come John. I clienti sanno di essere safe o unsafe, ma la compagnia no.
Nessuno può cambiare le proprie probabilità, che sono decise solo dalla natura, “chosen by
Nature” (Rasmusen, 2006, p.202).
Il profitto atteso della compagnia dipende da che tipo di cliente che accetta il suo contratto.
L’assicurazione conosce la probabilità degli eventi e la proporzione di clienti rischiosi e non,
perciò calcola E[Π] nel seguente modo:
Smith ha px=0.5, py=0.5;
John ha px=0.25, py=0.75.
60%= proporzione di clienti safe nella popolazione
0.6(0.5premio-0.5risarcimento netto)+0.4(0.25premio-0.75risarcimento netto)
Se si assicurano S e US nella proporzione suddetta, allora lungo AF vale Π=0.
Dotazione iniziale= A
Cosa offre la compagnia sul mercato?
F
CONTRATTO POOLING E COPERTURA COMPLETA
La compagnia offre F. Poiché il prezzo in F è calcolato sull’individuo
medio sul totale della popolazione, è basso per John e alto per Smith.
Dunque i safe non si assicurano perché USafe diminuirebbe e si
assicurano solo gli unsafe. Il cliente medio della compagnia è
peggiore dell’individuo medio nella popolazione, perché ora è
aumentata la proporzione di contraenti unsafe. Il peggioramento del
portafoglio clienti fa scendere la linea dei profitti dell’assicurazione
cosicché ora F non è accettabile per la compagnia perché farebbe profitti negativi.
MENU’ SEPARATING E COPERTURA COMPLETA
(J,S)
L’assicurazione calcola E[Π]=0 se si assicurassero solo gli unsafe
(AJ) e E[Π]=0 se si assicurassero solo i safe (AS) e offre J e S
contemporaneamente.
La compagnia non riesce a discriminare perché nessuno sceglie J, tutti preferiscono S. Ma se
sia John, sia Smith si assicurano in S, la curva di profitto della compagnia scende rispetto ad
AS e in S vale E[Π]<0. Dunque questa soluzione non è accettabile per al compagnia. Tuttavia,
se la compagnia riuscisse a discriminare safe e unsafe, negando agli unsafe il contratto S
pensato per i safe, questa sarebbe la soluzione pareto efficiente, che massimizza l’U di
entrambi i tipi di contraente fermo restando il profitto della compagnia.
CONTRATTO POOLING E COPERTURA PARZIALE
C1
La compagnia offre C1. C1 attrae sia Smith sia John, perché
entrambi aumentano U rispetto al punto A. Dunque la
proporzione 0.6, 0.4 viene rispettata e il profitto
dell’assicurazione si legge proprio lungo AF. C1 è accettabile per
la compagnia ma non massimizza i suoi profitti, perché con alcuni
contratti perde, con altri vince.Inoltre ne John né Smith sono
completamente coperti.
Potrebbe fare di meglio? Sì, dal grafico accanto si vede che
una soluzione separating con copertura parziale (A,B) è
sempre preferibile sia per la compagnia, sia per i contraenti.
Dunque C1 non è accettabile per la compagnia che vuole
massimizzare i profitti.
MENU’ SEPARATING E COPERTURA PARZIALE
(J, C1)
Offrendo un opportuno menù di contratti la compagnia induce John e Smith a rivelare il loro
tipo.
(J,C2): sia safe sia unsafe scelgono C2, la compagnia fa profitti negativi.
(J,C1): i safe scelgono C1, gli unsafe J. La compagnia riesce a discriminare e massimizza il
suo profitto.
Allora, qual è la “fullest insurance Safe can get without attracting Unsafe”( Rasmusen, 2006,
p.204), con Π≥0? E’ C1. Dunque gli unsafe hanno sempre copertura completa, a differenza
dei safe, che rimangono con copertura parziale e non massimizzano la loro U, anche se
sarebbero disposti a uno scambio. Se i safe sono molto pochi, la compagnia non propone C1,
perché il guadagno non copre i costi fissi delle spese di gestione di questi contratti.
(J, C1) è l’equilibrio con adverse selection ed è una soluzione di second best.
•
Come eliminare l’adverse selection?
Aumentare le informazioni, in modo che la compagnia capisca il tipo di cliente che ha di
fronte. Ma si oppongono problemi di privacy e il disincentivo per le imprese rischiose a
rivelare ai possibili investitori la loro pericolosità.
•
Come arginare il problema?
Obbligando a stipulare contratti pooling (F) ad un prezzo medio e uguale per tutti:
i safe pagano un premio maggiore di quello equo, gli unsafe minore
ma copertura completa
garantita a tutti;
la compagnia con alcuni perde, con altri vince
ma sul totale della popolazione pareggia.
E’ ciò che succede, ad esempio, con l’assicurazione RC auto obbligatoria (istituita con la
legge 24 dicembre 1969, n. 990).
AZZARDO MORALE
L’analisi successiva segue il modello di Rothschild e Stiglitz, 1976. Ipotesi:
1. la compagnia non può osservare le azioni di Smith, né può costringerlo a comportarsi in
un certo modo da contratto, o può farlo ma i costi sarebbero troppo alti;
2. Smith ha due strategie: careless o carefull, può scegliere quella che vuole, ma la
compagnia assicurativa non può sapere cosa lui farà né influenzare la sua scelta in alcun
modo;
3. a ciascuna scelta di Smith corrisponde una diversa combinazione di probabilità px e py. La
compagnia sa quali sono le possibili scelte e le probabilità ad esse associate, ma non sa
cosa farà Smith.
L’assicurazione, a differenza del caso con informazione perfetta, deve considerare due linee
della quotazione equa, a seconda della scelta careful o careless di Smith: due tipi di
isoprofitto con pendenze diverse, passanti per la dotazione iniziale A. In base a come
effettivamente si comporterà Smith, il profitto atteso della compagnia si leggerà su una o
sull’altra retta.
Esempio: si immagini un grafico con due linee della quotazione equa, B1 e B2.
L’assicurazione concorda con Smith la polizza M lungo B1 (VAN=0). Se poi px e py
cambiano, cambia anche il VAN del contratto M: la quotazione equa diventa B2 e ora in M il
VAN atteso è negativo. Dunque il moral hazard fa sorgere, per la compagnia, rischio di
profitto negativo.
E’ naturale che Smith cerchi di convincere la compagnia che guiderà in modo virtuoso, così la
compagnia gli offrirà il contratto con bassa probabilità di danno ed egli potrà usufruire, già in
partenza, di condizioni più vantaggiose. Smith così aumenterebbe al sua utilità
indipendentemente dalla scelta di essere carefull o careless.
Ma “Smith’s dominant strategy is to be careless” (Rasmusen, 2006, p.199), perché comporta
meno fatica rispetto a carefull, e la compagnia lo sa. Ciò è verosimile: se uno studente prende
8 quando il test va male, 8 quando il test va bene, sceglie di studiare o no? Visto che
l’attenzione comporta stress e fatica, sceglie di non studiare. Lungo la bisettrice a parità di
VAN Smith sceglie careless, la strategia meno faticosa.
Si consideri invece il profitto atteso della compagnia: la compagnia preferirebbe che Smith
scegliesse sempre carefull: se propone contratti lungo B1,ossia la quotazione equa calibrata su
careful, mantiene inalterato il VAN invece di diminuirlo; se propone B2, ossia la quotazione
equa calibrata su careless, aumenta il VAN invece di mantenerlo inalterato.
I vari casi sono illustrati nel seguente grafico:
COPERTURA COMPLETA CAREFULL
B1
La compagnia offre B1:
se Smith si comporta bene, la curva è U1, il profitto della compagnia B1
se Smith si comporta male, la curva è U2’,quotazione equa B2, ma il profitto B2’
In teoria, la soluzione pareto efficiente è la coppia (copertura completa lungo B1; carefull),
poiché:
a) se B1 sta sempre sopra B2, lungo B1 Smith raggiunge U maggiori, indipendentemente
dal fatto di comportarsi careless o carefull e per definizione il profitto della compagnia
rimane costante;
b) il comportamento careless, invece, produce delle esternalità negative dunque la società
raggiunge utilità maggiori con carefull.
Ma se, come succede nella realtà, c’è moral hazard, Smith si comporta careless comportando
profitti negativi alla compagnia che offre B1: dunque B1 è inaccettabile per la compagnia.
COPERTURA COMPLETA CARELESS
B2
offre B2:se Smith si comporta male, la curva U2,il profitto B2
se Smith si comporta bene, curva U1’, vincolo B2, profitto B1’
Se la compagnia parte dal presupposto che Smith sarà careless, per scongiurare perdite non
potendo monitorare le azioni dell’assicurato, aumenta i premi calcolandoli per careless. Se i
premi sono alti, Smith potrebbe preferire non assicurarsi e evitare il sinistro comportandosi
carefull, rimane sull’ utilità U1 (assenza di mercato), o assicurarsi comportandosi careless,
ma questa soluzione non massimizza l’utilità di Smith (second best) e ha costi sociali
(esternalità negative). Dunque la copertura completa B2 è accettabile per la compagnia, ma
potrebbe non esserlo per Smith o risultare insopportabile per la società.
COPERTURA PARZIALE
(S, B2)
La copertura parziale invece è compatibile con l’azzardo morale?
Mentre lungo la bisettrice la strategia dominante è careless, nella
regione SE della bisettrice, la U rischiosa è sempre sopra la U
sicura, quindi Smith sceglie carefull, per allontanare il piccolo
ammontare di rischio che sopporta e consiste nella differenza tra la
perdita effettivamente subita e l’indennizzo riconosciuto. Dunque
offrendo la copertura parziale la compagnia obbliga Smith a
comportarsi con cautela. Qual è la coperturae parziale migliore?
Ovviamente quella che “is almost full insurance, but just almost, so that Smith will choose
careful to avoid the small amount of risk he still bears” (Rasmusen, 2006, p.201).
L’assicurazione propone un punto (S) appena sotto la bisettrice lungo B1: fermo restando Π,
Smith massimizza la sua U ed è indotto a comportarsi carefull.
L’equilibrio con moral hazard si colloca in S, soluzione di second best.
A partire da S, sia Smith sia l’assicurazione potrebbero migliorare la loro U accordandosi in
modo opportuno, ma nel mercato mancano delle condizioni perché questo scambio si
verifichi!
•
Come eliminare il moral hazard?
Dando alla compagnia il modo di costringere Smith a comportarsi carefull; tuttavia
strumenti del genere non esistono tuttora.
•
Come mitigare il problema?
a) Schemi bonus-malus RC auto: la polizza ha durata pluriennale e il premio viene
aggiornato periodicamente in base al comportamento del contraente;
b) copertura parziale: in caso di danno, Smith condivide con la compagnia parte della
perdita;
a. Massimale: la compagnia copre il danno solo entro un certo valore prefissato;
b. Franchigia o deductible: il danno rimane a carico dell’assicurato se inferiore a
una certa soglia, il resto è a carico della compagnia (indennizzo=dannodeductible);
c. Coinsurance: l’assicurato si accolla una percentuale fissa del danno
(indennizzo= h*danno);
c) ART solutions: altrimenti dette IRM (Integrated Risk Management) solutions perché
incorporano elementi tipici sia dei contratti di copertura, che di quelli di
finanziamento, e si possono classificare a seconda del livello di integrazione
finanziaria. Ne esistono di vari tipi, ma in generale svincolano il verificarsi del danno,
che Smith può influenzare, dal trigger che dà diritto all’indennizzo, che Smith non può
influenzare, oppure comportano un basis risk. Nel paragrafo successivo seleziono
alcune delle ART più semplici e le descrivo in rapporto al moral hazard.
LE ART SOLUTIONS PER RIDURRE IL MORAL HAZARD
•
Captives
•
Multi-line, multi-year products
•
Multi-trigger products
•
Run-off solutions
•
ILS
CAPTIVES/ CAPTIVE INSURANCE COMPANY
Moral hazard (M. h.) inesistente: l’ impresa stipula il contratto con se stessa (self-insurance)!
“Nella sua forma più semplice una captive è una società di assicurazione di proprietà di
un’impresa non assicuratrice (parent company), costituita con il preciso obiettivo di assicurare
esclusivamente, in toto o in parte, le esposizioni ai vari rischi della casa madre e/o delle sue
affiliate”( Pisani Potrich, 2001, p.13).
La captives è dotata di personalità giuridica autonoma, dunque assume il rischio al posto
della parent, ma è pur sempre un’affiliata: le eventuali perdite perciò emergono nel bilancio
consolidato e la parent non si libera completamente del rischio, che rimane all’interno del
gruppo. D’altra parte, il gruppo si appropria dei benefici che normalmente vanno alla
compagnia assicuratrice: la disponibilità dei premi versati, che non escono dal gruppo ma
costituiscono un fondo sempre disponibile , gli interessi maturati dall’impiego dei premi, la
possibilità di controllare le condizioni della ‘polizza’.
Il principale svantaggio è l’alto costo di costituzione di una captive (capitalizzazione minima,
spese legali, di registro, ecc…)
MULTI-LINE, MULTI-YEAR PRODUCTS (MMPs)
M. h. ridotto: comportarsi careless potrebbe volgersi sia a svantaggio, sia a vantaggio di
Smith. Il motivo è che sussiste in capo a Smith una parte di rischio dovuta alla correlazione
tra gli eventi: scegliendo careless per incrementare px, Smith aumenta sia la probabilità che si
verifichi solo x, caso coperto, sia la probabilità che si verifichino contemporaneamente x e y,
caso non coperto.
Polizza multiperiodale a copertura multipla: attraverso la diversificazione, copre non un
singolo rischio,ma contemporaneamente più rischi di tipologie differenti (solitamente due,
rischi puri e rischi di mercato), di solito con scadenza superiore all’anno.
Il premio dipende dalla correlazione tra i rischi, dunque ogni ‘basket’ ha un prezzo differente
a seconda delle sue componenti.
L’indennizzo è calcolato come media dei due possibili danni.
Una MMPs trasferisce alla compagnia i singoli rischi, che essa neutralizza attraverso la
diversificazione, lascia a Smith solo il rischio di correlazione, che la compagnia non può
eliminare, cioè l’eventualità che i due eventi si verifichino contemporaneamente. In altre
parole: se si verifica solo a o solo b, l’indennizzo copre Smith dal danno; ma se si verificano
sia a sia b, l’indennizzo non è abbastanza e Smith vede diminuire il suo consumo.
Un altro importante vantaggio consiste nella riduzione del problema di “sovrassicurazione”(
Pisani Potrich, 2001, p.33): se Smith si assicurasse separatamente per a e per b, comprerebbe
anche la copertura per un caso rarissimo; una MMPs consente una copertura più verosimile
alla realtà e un costo minore. Si veda il seguente esempio.
Smith è un agricoltore e si aspetta un danno di 500 in caso di siccità (caso a), un danno di 400
se i cavoli vanno marci per falde inquinate (caso b). Col sistema tradizionale, Smith dovrebbe
assicurarsi per 900, acquistando una polizza molto costosa. Ma è verosimile che
contemporaneamente ci sia siccità e che la verdura marcisca per acqua inquinata? In generale
no, perché siccità comporta mancanza di acqua. Dunque a Smith conviene acquistare una
MMPs per un danno di 500 e paga un premio minore.
MULTI- TRIGGER (MTPs)
Moral hazard ridotto: Smith può aumentare col suo comportamento la probabilità di danno,
ma non può aumentare la probabilità di ricevere l’indennizzo (trigger indipendente).
Si chiama così perché l’indennizzo a copertura di un evento dannoso viene corrisposto solo se
si realizzano in contemporanea l’evento dannoso e un’altra condizione legata a una tipologia
di rischio differente, ad esempio se un indice di mercato raggiunge un determinato strike
level.
Le condizioni predefinite, al verificarsi delle quali il pagamento viene effettuato, sono definite
triggers e sono in numero superiore ad 1.
Il problema dunque consiste nella scelta del secondo trigger, che dev’essere
indipendente, non influenzabile da Smith, per limitare il moral hazard
strettamente correlato a quello delle sue perdite potenziali, per ridurre il rischio che non
trasferito: cioè la possibilità che si verifichi il primo trigger, senza che si verifichi anche il
secondo: in questo caso Smith subisce il danno e non ha diritto all’indennizzo.
Il vantaggio è che “l’apposizione di triggers aggiuntivi riduce la probabilità che gli eventi
dannosi si realizzino e permette di offrire coperture a prezzi inferiori” ( Pisani Potrich, 2001,
p.34).
RUN-OFF SOLUTIONS
Moral hazard ridotto: Smith trattiene un certo basis risk, perché non si realizza un risk
transfer, ma in un risk financing.
Polizza che permette di rimuovere l’incertezza derivante da operazioni effettuate nel passato
ma non ancora concluse, che potrebbero generare oneri nel futuro (retrospective liabilities 7)
trasferendo l’obbligazione, totalmente o parzialmente, ad un soggetto esterno che si
impegnerà, dietro pagamento di un premio immediato, a corrispondere un indennizzo
predeterminato.
In questo modo il rischio non viene eliminato attraverso la diversificazione, ma solamente
spalmato nel tempo e ‘finanziato’ mediante accantonamento dei premi, e rimane in capo a
Smith: Smith non sa se e quando (rischio legato al tempo, timing risk) subirà il danno né il
suo ammontare, che potrebbe anche essere superiore all’indennizzo (basis risk).
Le run-off solutions possono essere molto vantaggiose per le imprese perché impediscono alla
gestione passata di frenare i progetti per il futuro8.
ILS
Moral hazard ridotto: Smith può aumentare col suo comportamento la probabilità di danno,
ma non può aumentare la probabilità di ricevere l’indennizzo (trigger indipendente).
Le ILS funzionano in modo simile alle MTPs, ma si differenziano da una più elevato grado di
finanziarizzazione. La creazione di questo strumento avviene attraverso la securitization dei
rischi puri ad opera delle SPV. Esso dà diritto a ricevere un pagamento al verificarsi di un
predefinito trigger,ma l’entità del pagamento dipende dall’andamento dei titoli sottostanti
(basis risk).
Le ILS più diffusi sono i CAT bonds (Catastrophe bonds ), che proteggono dai rischi naturali
catastrofici: significa che i trigger possono essere le perdite di un’impresa, o performance di
un pool di indici, che dipendono dal verificarsi di eventi catastrofici.
I CAT, rispetto per esempio ai multi-trigger, sono uno strumento molto efficace per ridurre il
rischio di credito della controparte: gli investitori, infatti, versano anticipatamente una
somma di denaro presso lo SPV, il quale li investe in titoli molto sicuri. Visto che la
solvibilità diventa essenziale quando l’oggetto del contratto è un rischio catastrofico naturale,
che provoca danni considerevoli, i CAT sono tra gli strumenti preferiti per coprire questo tipo
di rischio.
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Ad esempio, il valore di un obbligazione al momento del pagamento potrebbe diminuire per l’insolvenza del debitore,
modifiche fiscali, contabili ,ecc…
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Riporto un esempio:
“Una impresa britannica operante nella costruzione di componenti per automobili soffre dell’esposizione a responsabilità
sorte negli anni precedenti a causa dell’utilizzo dell’amianto nella fabbricazione di alcuni pezzi. Le percezioni negative degli
investitori hanno spinto al ribasso il valore di mercato delle azioni della società. L’acquisto di una soluzione run-off, […] del
valore di £ 500 milioni, produce, sul London Stock Exchange, un incremento della capitalizzazione azionaria dell’impresa di
quasi un terzo (£ 250 milioni)”(Pisani Potrich, 2011, p.55).
CONCLUSIONI
L’assicurazione è ‘bene’ che ha mercato: riesce effettivamente a trasferire il rischio perciò è
desiderabile per un consumatore avverso al rischio; arricchisce la compagnia perché
l’assicurato medio paga più di quanto riceve o comunque, nell’ipotesi remota di concorrenza
perfetta, fissato un premio equo, non causa perdite alla compagnia in media.
Tuttavia l’asimmetria informativa impedisce a questo mercato di funzionare al meglio e il
malfunzionamento va a discapito del contraente, la parte debole: la compagnia, a parità di
VA, può offrire una soluzione migliore per Smith, ma non lo fa, perché si aspetta il
comportamento scorretto della controparte. Paradossalmente, proprio la libertà di
comportamento di cui Smith è dotato per migliorare il suo benessere, è ciò che impedisce di
raggiungere l’ottimo, perché la compagnia previene le sue scelte e agisce di conseguenza. I
prodotti più diffusi per limitare questo problema implicano per Smith a volte rinuncia alla
libertà (assicurazione obbligatoria), a volte alla sicurezza (assicurazione parziale) e, per ora,
non ne esistono senza ‘effetti collaterali’. Un beneficio assoluto per il contraente deriva
invece, a mio parere, da quelle soluzioni che, come alcune ART, limitano la
sovrassicurazione: perciò è ragionevole aspettarsi in futuro la loro crescente diffusione nel
mercato assicurativo.
BIBLIOGRAFIA
LA TORRE ANTONIO, 2000. L’Assicurazione nella storia delle idee: la risposta giuridica
al bisogno di sicurezza economica: ieri e oggi, 2° ed. (s.l.): Giuffrè.
PROSPERETTI, M., COLAVOLPE, A., 2012. Le Assicurazioni . (s.l.): Ipsoa.
KATZ, M. L., ROSEN, H. S., MORGAN, W., BOLLINO, C. A., 2011. Microeconomia, 4°
ed. (s.l.): McGraw-Hill.
RASMUSEN E., 1989. Games and Information: an Introduction to Game Theory. (s.l.):
Blackwell Publishers.
PISANI, R., POTRICH, M., 2001. Gli strumenti di Alternative Risk Transfer. Progetto di
ricerca, Università di Trento, Dipartimento di Informatica e Studi aziendali.