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xii gara nazionale a squadre
XII GARA NAZIONALE A SQUADRE Semifinale A – 6 Maggio 2011 Cesenatico 2011 Istruzioni Generali Si ricorda che per ogni problema occorre indicare sul cartellino delle risposte un intero compreso tra 0000 e 9999. Se la quantità richiesta non è un numero intero, ove non altrimenti indicato, si indichi la sua parte intera. Se la quantità richiesta è un numero negativo, oppure se il problema non ha soluzione, si indichi 0000. Se la quantità richiesta è un numero intero maggiore di 9999, se ne indichino le ultime quattro cifre. Nello svolgimento dei calcoli può essere utile tener conto dei seguenti valori approssimati: √ √ √ √ 2 = 1.4142 3 = 1.7321 5 = 2.2361 7 = 2.6458 π = 3.1416. Scadenze importanti 10 minuti dall’inizio: termine ultimo per la scelta del problema Jolly (dopo verrà dato d’ufficio il primo problema). 30 minuti dall’inizio: termine ultimo per rivolgere domande sul testo. 90 minuti dall’inizio: termine della gara. 1. Un antico cifrario Abelix e Borelix hanno intercettato un messaggio proveniente da Giulio Cesare in persona e destinato ad uno dei suoi luogotenenti. Il messaggio recita: “Dovete inviare WBUHHH plotoni di soldati, ogni plotone deve essere formato da WKHW soldati da disporre in una testuggine quadrata con UHH soldati per lato inoltre ho bisogno di altri LLCBKWHU soldati che mi facciano da guardia personale.” Abelix scruta il messaggio ed osserva dubbioso: “I romani di solito usano altre buffe lettere al posto dei numeri, tipo XVIII, XLIV e roba del genere. Che abbiano cambiato lettere?” ma poi immediatamente esclama: “Ma certo! Giulio Cesare ha usato il suo solito metodo e ha cambiato le lettere semplicemente spostandosi di un numero fissato nell’ordine alfabetico!”. Quanti soldati ha chiesto in tutto Giulio Cesare? 2. Buone forchette Il desco dell’imperatore è un enorme tavolo circolare, il più grande del mondo, con la bellezza di 3135 posti a sedere. Solo una volta capitò di vederlo completamente occupato: si narra che quel giorno ognuno dei commensali fece un commento sui due che aveva di fronte (i due seduti accanto al punto del tavolo diametralmente opposto al suo). In particolare, ognuno disse che dei due davanti solo uno diceva sempre la verità, e l’altro mentiva sempre. Tenendo conto che almeno uno di loro era sincero, quanti di loro effettivamente dicevano la verità? 3. Linee di difesa La difesa è uno dei punti di forza dell’esercito romano. Per organizzare una linea di difesa il comandante della legione allinea i soldati in base alla loro esperienza sul campo. L’esperienza di ogni soldato viene quantificata con un intero tra 1 e 40. Giulio Cesare è un esperto nell’organizzare le linee di difesa ed usa una tecnica segreta che gli garantisce sicuro successo: una linea di difesa efficace è composta da soldati allineati in modo che la somma delle esperienze di due soldati tra loro vicini sia sempre multipla di 3. Nell’attaccare la Gallia, Giulio Cesare dispone di soldati con le seguenti esperienze: 4, 10, 11, 14, 16, 23, 32, 34. In quanti modi Giulio Cesare può organizzare una linea di difesa efficace che usi tutti gli 8 soldati a disposizione? 4. Leibnix e Novotonus Lo scienziato romano Novotonus, che viaggia al seguito delle truppe di Giulio Cesare, vuole rubare al suo rivale gallo Leibnix alcune carte con rivoluzionarie idee matematiche, che quest’ultimo ha messo al sicuro in una cassaforte. Questa si apre inserendo quattro interi positivi a, b, c, d, tali che a/b e c/d siano due frazioni irriducibili con abcd = 35! e ab = n! dove 10 < n < 20. Sia N il numero di quaterne ordinate che soddisfano le condizioni, quanto fa N/256? 5. La posta del cuore Borelix vuole spedire un menhir d’amore alla sua amata Alfablà, e deve affrancarlo con 5160 Gallini di Bronzo, la moneta del loro villaggio. Sfortunatamente ha a disposizione solo francobolli da 165 e da 210 Gallini di Bronzo. Quanti francobolli almeno dovrà usare Borelix? Nella risposta usare le due cifre di sinistra per il numero di francobolli da 210 e le due cifre di destra per il numero di francobolli da 165 corrispondenti alla soluzione di somma minima. 6. Cascata moltiplicativa Poco prima di esser rapito dai goti, Parabolix aveva riposto le pozioni ricevute dagli altri druidi in uno scrigno chiuso con un lucchetto, la cui combinazione è un numero tra 0000 e 9999. Il più astuto dei Goti rapitori, Euleric, ha scoperto che questo numero può essere ottenuto nel seguente modo: si scrivono su una riga 4 interi maggiori di 1, diversi tra loro. Nella riga successiva si scrivono i 3 prodotti delle coppie dei numeri precedenti (il primo con il secondo, il secondo con il terzo ed il terzo con il quarto). Nella riga successiva si ripete il procedimento, scrivendo due prodotti. Moltiplicando questi due, si ottiene il risultato. Scrivendo in ordine dal minore al maggiore tutti i numeri di questo tipo, il quarto è la combinazione giusta. 7. Pozione pelosa Il druido Parabolix per preparare una nuova pozione deve mescolare agli altri ingredienti un numero di grammi di barba di druido pari alla somma di tutti gli interi n compresi tra 1102 e 2011 per cui la differenza tra il quadrato del successivo di n e il quadrato di n è un quadrato perfetto di un numero primo. Quanti grammi di barba deve aggiungere? Gara a Squadre 2011 – Semifinale A – Testi dei problemi – 1/1 2/1 Gara a Squadre 2011 – Semifinale A – Testi dei problemi 8. Un monumento memorabile L’architetto egiziano Numerotris ha costruito una piramide a base quadrata di volume 8788 cleopassi cubici. L’altezza della piramide è pari a metà dell’altezza dei triangoli che costituiscono le facce laterali della piramide. Le pareti laterali della piramide devono essere ricoperte di mattonelle triangolari, che hanno cateto maggiore lungo 2 cleopassi e che sono simili all’uno o all’altro dei due triangoli rettangoli in cui ciascuna faccia della piramide è divisa dal proprio apotema. Quante mattonelle dovrà portare Borelix, affinché Numerotris possa ricoprire le 4 facce laterali della piramide? 9. Un trionfo di cattivo gusto Giulio Cesare desidera regalare un prezioso gioiello alla furiosa Cleopatra per ottenere il suo perdono. Il monile è realizzato prendendo i vertici di un 101-agono regolare su una circonferenza e collegando con fili d’oro i vertici che distano tra loro 47 vertici (due vertici adiacenti distano 1). Sapendo che in ogni punto interno alla circonferenza in cui questi fili si incontrano Giulio Cesare vuole incastonare una pietra preziosa, di quante gemme avrà bisogno? 10. Druido o impostore? Radunato un gruppo di 5 sedicenti druidi, l’Arcidruido li ascolta uno dopo l’altro per individuare se ci siano impostori infiltrati dai romani. Tutti i sospettati sanno chi sono i druidi e chi gli impostori. I druidi dicono sempre la verità, gli impostori mentono sempre. I 5 sospettati fanno le seguenti affermazioni: A: Il numero di druidi presenti è un multiplo di 3. B: C’è un solo impostore fra di noi. C: A e B sono entrambi druidi. D: Io ed A non siamo impostori. E: D sta mentendo. Nella risposta, usare le cifre da sinistra a destra per indicare quello che si può dire di ciascuno dei primi 4 individui: 1 se è un druido, 2 se è un impostore, 0 se non può essere determinato univocamente. 11. Un’accurata perlustrazione Giulio Cesare cerca il villaggio dei Galli e ha ristretto la sua area di ricerca ad un quadrato di 60 miglia di lato. I suoi soldati sono stati attaccati ogni volta nei punti medi dei lati del quadrato. Grazie all’informatore Ficcanasus, Giulio Cesare è riuscito a scoprire che i Galli non si allontanano mai per più di 45 miglia dal villaggio quando attaccano. Allora disegna sulla mappa l’area in cui può trovarsi il villaggio e ordina ai suoi soldati di cercare nel quadrato che ha come vertici i vertici della zona disegnata. Quanto vale in miglia quadre l’area del quadrato? 12. Un difficile approdo Su suggerimento del suo druido-spia, Dimostropercertus ordina di chiudere tutti i porti in mano ai romani. Abelix e i suoi compagni decidono di andare a caso per trovare un porto non controllato ove attraccare. Scelgono casualmente un naturale n tra 1 e 2011, e chiamano q la probabilità che 11|10n − 1 e r la probabilità che 11|10n + 1. Indicare come risultato le prime 4 cifre decimali del quoziente q/r. 13. Lavori in corso Il cantiere per la costruzione del monumento a Cleopatra era fino a ieri un triangolo ABC retto in A con AB = 128 e AC = 187. Oggi l’area dei lavori è stata estesa ad un triangolo BCD, con D sul prolungamento di AB tale che CD = 222. All’interno del cantiere allargato, il monumento sorgerà sulla superficie del quadrilatero AEFG, con E, F, G punti medi di DB, BC, CD. Quanto misura l’area di questo quadrilatero? 14. Antichi scritti Il druido Parabolix è uno dei pochi in grado di leggere il linguaggio degli antichi Galli. Un giorno, traducendo una loro pergamena, notò nel testo originale il numero 1111111111 (composto da dieci cifre); sapeva però che il loro sistema di numerazione era in base 9. Quando completò la traduzione, che numero scrisse? (Indicare le ultime 4 cifre) 15. Un incidente imbarazzante Durante un’avventura in Egitto Borelix involontariamente rompe il naso della famosa Sfinge. Il naso, ora a terra, è un tetraedro irregolare ABCD appoggiato sulla faccia ABC. Borelix, lanciando un romano, spezza ulteriormente il naso lungo un piano parallelo ad ABD dividendolo in due pezzi di cui quello che contiene il vertice C ha volume che, una volta diminuito del 66, 9%, diventa pari a quello dell’altro pezzo. Sapendo che l’altezza (rispetto al suolo) del pezzo che contiene il vertice C misura 6, 75 m, quanti millimetri misurava l’altezza di ABCD relativa ad ABC? 16. L’appetito vien mangiando Un’altra avventura è finita e immancabilmente il villaggio si raduna per il tradizionale banchetto. Il numero di cinghiali sbafati dai nostri voraci amici gallici è pari al numero di soluzioni intere di |x| + 2|y| = 4022. Quanti suini sono stati necessari? XII GARA NAZIONALE A SQUADRE Semifinale A – Soluzioni – 6 Maggio 2011 Cesenatico 2011 Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Problema Soluzione Un antico cifrario 7466 Buone forchette 2090 Linee di difesa 1152 Leibnix e Novotonus 5632 La posta del cuore 2302 Cascata moltiplicativa 6480 Pozione pelosa 6108 Un monumento memorabile 1352 Un trionfo di cattivo gusto 4646 Druido o impostore? 2222 Un’accurata perlustrazione 0682 Un difficile approdo 9990 Lavori in corso 5984 Antichi scritti 8050 Un incidente imbarazzante 7425 L’appetito vien mangiando 8044