APPLICAZIONI - Analisi della varianza ad un fattore

Douglas C. Montgomery
Controllo statistico della qualità 2/ed
© 2006 McGraw-Hill
APPLICAZIONI
Analisi della varianza ad un fattore
Insegnamento: Metodi ed Applicazioni Statistiche
Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale
Facoltà di Ingegneria, Università di Padova
Docenti: Prof. L. Salmaso, Dott. L. Corain
1/59
SOMMARIO
‰ Analisi della varianza ad un fattore: modello ed
assunzioni
‰ Applicazioni dell’Analisi della varianza ad un fattore
e confronti multipli (Esempio 1-4)
‰ Applicazioni dell’Analisi della varianza ad un fattore
con variabile di blocco (Esempio 5-6)
‰ Applicazioni dell’Analisi della varianza ad un fattore
con covariate (Esempio 7-8)
2/59
1
ANALISI DELLA VARIANZA AD UN FATTORE
Supponiamo di avere c diversi livelli per un fattore e di
considerare n repliche sperimentare per ciascun livello.
La risposta osservata per ciascuno dei livelli del fattore è
interpretata come una variabile casuale.
Per l’osservazione ij-esima della risposta Y, in
corrispondenza del i-esimo livello del fattore e della jesima replica si considera il seguente modello
Yij = µ + τi + εij
i=1, …, c; j=1, …,n
µ = media generale della variabile risposta
τi = effetto sulla media dell’i-esimo livello del fattore
εij = errore casuale
n = numero di osservazioni per ogni livello del fattore
Si suppone che gli errori del modello siano variabili casuali
indipendenti e distribuite normalmente con media nulla e
varianza σ 2: εij ~IIN(0; σ 2).
3/59
ESPERIMENTI CON UN FATTORE
Questo modello è chiamato modello di analisi della
varianza ad una via.
Obiettivo Î verificare ipotesi riguardo gli effetti sulla
media dei livelli del fattore
Gli effetti dei fattori sono qui definiti come i parametri che
rappresentano le deviazioni dalla media generale, per i
quali deve valere il vincolo Στi = 0.
Praticamente la media della risposta per l’i-esimo livello è
µi = µ + τi
i=1, …, c
L’analisi inferenziale di interesse nel modello di analisi
della varianza ad una via corrisponde alla verifica d’ipotesi
H0: τ1 = τ2 = … = τc = 0
H1: τi ≠ 0 per almeno un livello i
Il numero di osservazioni complessive è N = n · c.
4/59
2
CONFRONTO TRA MEDIE DEI TRATTAMENTI
z
z
z
z
L’analisi della varianza è una procedura inferenziale che
sottopone a verifica l’ipotesi di uguaglianza delle medie
dei trattamenti
Se questa ipotesi viene rigettata esiste evidenza che vi
sono delle differenze sistematiche tra le medie dei
trattamenti ma non viene specificato quali specifiche
medie siano differenti
Determinare quali specifiche medie differiscono, a
seguito di un rifiuto del test ANOVA, è chiamato
problema dei confronti multipli
I metodi dei confronti multipli sono delle procedure
inferenziali che sottopongono a verifica l’ipotesi di
uguaglianza delle coppie di medie di trattamenti:
i,j = 1,…,c, i ≠ j
H0ij: µi = µj contro H1ij: µi ≠ µj,
5/59
CONFRONTO TRA MEDIE DEI TRATTAMENTI
z
Vi sono molti metodi per condurre i confronti multipli e
tra questi i più utilizzati sono
„
i t-test a coppie per le medie (spesso chiamato
metodo Fisher’s LSD, Least Significant Difference)
T0ij =
„
Yi i − Y j i
2 MS E n
∼ t N −c
metodo di Tukey
Q=
Ymax − Ymin
∼ q (c , f )
MS E n
che fa uso della distribuzione della statistica del
“range studentizzato”
6/59
3
ESEMPIO 1
Una ditta che produce elettrodomestici ha condotto
un esperimento su alcuni prototipi di lavatrice,
misurando il loro livello di rumorosità durante alcune
prove di lavaggio.
z
OBIETTIVO: individuare il prototipo a cui è associata
una minore rumorosità
z
VARIABILE RISPOSTA: rumorosità
z
FATTORE: prototipo di lavatrice (A, B e C)
z
BLOCCO: NO
z
COVARIATE: NO
7/59
ESEMPIO 1
MODELLO STATISTICO:
Yij = µ + τi + εij
STATISTICA DESCRITTIVA:
Descriptive Statistics: Rumorosità by Prototipo
Variable
Rumorosi
Prototip
A
B
C
N
6
6
6
Mean
30.92
24.57
24.27
Median
29.85
23.95
22.80
TrMean
30.92
24.57
24.27
StDev
3.60
3.75
3.75
Variable
Rumorosi
Prototip
A
B
C
SE Mean
1.47
1.53
1.53
Minimum
27.70
19.40
20.90
Maximum
36.90
29.60
30.80
Q1
28.00
21.65
21.50
Q3
34.05
28.48
27.65
Dotplots of Rumorosità by Prototip
Boxplots of Rumorosità by Prototip
35
Rumorosità
35
30
25
25
Prototipo
C
C
20
B
Prototipo
A
20
30
A
Rumorosità
z
i=A,B,C; j=1,…,6
B
z
8/59
4
ESEMPIO 1
z
TABELLA ANOVA:
Factor
Prototip
Type Levels Values
fixed
3 A B C
Analysis of Variance for Rumorosi, using Adjusted SS for Tests
Source
Prototip
Error
Total
DF
2
15
17
Seq SS
169.27
205.33
374.61
Adj SS
169.27
205.33
Adj MS
84.64
13.69
F
6.18
P
0.011
Main Effects Plot - LS Means for Rumorosità
31
Rumorosità
30
29
28
27
26
25
24
A
B
C
Prototipo
9/59
ESEMPIO 1
z
CONFRONTI MULTIPLI (verifica di ipotesi):
Bonferroni Simultaneous Tests
Response Variable Rumorosi
All Pairwise Comparisons among Levels of Prototip
Prototip = A subtracted from:
Level
Prototip
B
C
Difference
of Means
-6.350
-6.650
SE of
Difference
2.136
2.136
T-Value
-2.973
-3.113
Adjusted
P-Value
0.0285
0.0214
T-Value
-0.1404
Adjusted
P-Value
1.000
Prototip = B subtracted from:
Level
Prototip
C
Difference
of Means
-0.3000
SE of
Difference
2.136
10/59
5
ESEMPIO 1
z
CONFRONTI MULTIPLI (intervalli di confidenza):
Bonferroni 95.0% Simultaneous Confidence Intervals
Response Variable Rumorosi
All Pairwise Comparisons among Levels of Prototip
Prototip = A subtracted from:
Prototip
B
C
Lower
-12.10
-12.40
Center
-6.350
-6.650
Upper
-0.5959
-0.8959
-----+---------+---------+--------+(----------*-----------)
(-----------*----------)
-----+---------+---------+--------+-10.0
-5.0
0.0
5.0
Prototip = B subtracted from:
Prototip
C
Lower
-6.054
Center
-0.3000
Upper -----+---------+---------+--------+5.454
(----------*---------------+---------+---------+--------+-10.0
-5.0
0.0
5.0
11/59
ESEMPIO 1
ANALISI DEI RESIDUI:
Normal Probability Plot of the Residuals
Histogram of the Residuals
(response is Rumorosi)
(response is Rumorosi)
2
6
5
4
Normal Score
Frequency
1
3
2
0
-1
1
0
-2
-6
-4
-2
0
2
4
6
-5
0
Residual
5
Residual
Residuals Versus the Fitted Values
Residuals Versus the Order of the Data
(response is Rumorosi)
(response is Rumorosi)
5
5
Residual
Residual
z
0
-5
0
-5
24
25
26
27
28
Fitted Value
29
30
31
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Observation Order
12/59
6
ESEMPIO 2
Un’azienda produce angolari di metallo mediante
piegatura a freddo di lamiere. Si vuole valutare
l’effetto della velocità della pressa che può
funzionare su 5 livelli di velocità di piegatura.
z
OBIETTIVO: studiare l’effetto
piegatura su angolari di metalli
della
velocità
z
VARIABILE RISPOSTA: resistenza (in MPa)
z
FATTORE: velocità di piegatura (A, B, C, D, E)
z
BLOCCO: NO
z
COVARIATE: NO
di
13/59
ESEMPIO 2
i=A,B,C,D,E; j=1,…,20
STATISTICA DESCRITTIVA:
Descriptive Statistics: Resistenza by Velocità
Variable
Resisten
Velocità
A
B
C
D
E
N
20
20
20
20
20
Mean
604.05
598.15
604.45
606.25
621.05
Median
602.50
596.00
605.50
612.50
621.00
TrMean
603.39
597.50
605.06
607.17
621.06
StDev
11.26
17.59
15.47
14.58
9.68
Variable
Resisten
Velocità
A
B
C
D
E
SE Mean
2.52
3.93
3.46
3.26
2.16
Minimum
589.00
574.00
571.00
573.00
602.00
Maximum
631.00
634.00
627.00
623.00
640.00
Q1
595.75
581.75
594.25
592.75
615.75
Q3
611.50
611.25
616.75
617.00
628.25
Dotplots of Resistenza by Velocità
Boxplots of Resistenza by Velocità
640
630
630
620
620
Resistenza
640
610
600
590
600
580
E
D
C
B
Velocità
A
E
D
C
570
B
570
Velocità
610
590
580
A
z
MODELLO STATISTICO:
Yij = µ + τi + εij
Resistenza
z
14/59
7
ESEMPIO 2
VERIFICA DI IPOTESI SULLE VARIANZE:
z
Test for Equal Variances
Response
Factors
ConfLvl
Resistenza
Velocità
95.0000
Bonferroni confidence intervals for standard deviations
Lower
Sigma
Upper
N
7.8984
12.3457
10.8535
10.2300
6.7941
11.2553
17.5927
15.4663
14.5778
9.6816
18.7534
29.3126
25.7698
24.2893
16.1314
20
20
20
20
20
Factor Levels
A
B
C
D
E
Test for Equal Variances for Resistenza
95% Confidence Intervals for Sigmas
Bartlett's Test (normal distribution)
Factor Levels
A
Bartlett's Test
Test Statistic: 8.290
P-Value
: 0.082
Test Statistic: 8.290
B
P-Value
: 0.082
Levene's Test (any continuous distribution)
C
Levene's Test
Test Statistic: 1.750
P-Value
: 0.146
D
Test Statistic: 1.750
P-Value
: 0.146
E
10
20
30
15/59
ESEMPIO 2
TABELLA ANOVA:
Factor
Velocità
Type Levels Values
fixed
5 A B C D E
Analysis of Variance for Resisten, using Adjusted SS for Tests
Source
Velocità
Error
Total
DF
4
95
99
Seq SS
5825.4
18651.1
24476.6
Adj SS
5825.4
18651.1
Adj MS
1456.4
196.3
F
7.42
P
0.000
Main Effects Plot - LS Means for Resistenza
620
Resistenza
z
610
600
A
B
C
D
E
Velocità
16/59
8
ESEMPIO 2
z
CONFRONTI MULTIPLI (verifica di ipotesi):
Tukey Simultaneous Tests
Response Variable Resisten
All Pairwise Comparisons among Levels of Velocità
Velocità = A subtracted from:
Level
Velocità
B
C
D
E
Difference
of Means
-5.900
0.400
2.200
17.000
SE of
Difference
4.431
4.431
4.431
4.431
T-Value
-1.332
0.090
0.497
3.837
Adjusted
P-Value
0.6723
1.0000
0.9875
0.0021
T-Value
1.422
1.828
5.168
Adjusted
P-Value
0.6153
0.3637
0.0000
T-Value
0.4062
3.7464
Adjusted
P-Value
0.9942
0.0028
T-Value
3.340
Adjusted
P-Value
0.0103
Velocità = B subtracted from:
Level
Velocità
C
D
E
Difference
of Means
6.300
8.100
22.900
SE of
Difference
4.431
4.431
4.431
Velocità = C subtracted from:
Level
Velocità
D
E
Difference
of Means
1.800
16.600
SE of
Difference
4.431
4.431
Velocità = D subtracted from:
Level
Velocità
E
Difference
of Means
14.80
SE of
Difference
4.431
17/59
ESEMPIO 2
z
CONFRONTI MULTIPLI (intervalli di confidenza):
Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals
Response Variable Resisten
All Pairwise Comparisons among Levels of Velocità
Velocità = A subtracted from:
Velocità
B
C
D
E
Lower
-18.21
-11.91
-10.11
4.69
Center
-5.900
0.400
2.200
17.000
Upper
6.413
12.713
14.513
29.313
---+--------+---------+---------+--(-------*-------)
(-------*-------)
(-------*--------)
(-------*--------)
---+---------+---------+--------+---15
0
15
30
Velocità = B subtracted from:
Velocità
C
D
E
Lower
-6.013
-4.213
10.587
Center
6.300
8.100
22.900
Upper
18.61
20.41
35.21
---+---------+---------+--------+--(-------*-------)
(-------*--------)
(-------*-------)
---+---------+---------+--------+---15
0
15
30
Upper
14.11
28.91
---+---------+--------+---------+--(-------*-------)
(-------*-------)
---+--------+---------+---------+---15
0
15
30
Upper
27.11
---+---------+---------+--------+--(-------*-------)
---+---------+---------+---------+--15
0
15
30
Velocità = C subtracted from:
Velocità
D
E
Lower
-10.51
4.29
Center
1.800
16.600
Velocità = D subtracted from:
Velocità
E
Lower
2.487
Center
14.80
18/59
9
ESEMPIO 2
z
ANALISI DEI RESIDUI:
Histogram of the Residuals
Normal Probability Plot of the Residuals
(response is Resisten)
(response is Resisten)
20
3
Normal Score
Frequency
2
10
1
0
-1
-2
0
-3
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-40
-30
-20
-10
Residual
Residuals Versus the Fitted Values
10
20
30
40
Residuals Versus the Order of the Data
(response is Resisten)
(response is Resisten)
40
40
30
30
20
20
10
Residual
Residual
0
Residual
0
-10
-20
10
0
-10
-20
-30
-30
-40
-40
600
610
Fitted Value
620
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Observation Order
19/59
ESEMPIO 3
Si vuole valutare l’influenza del tipo di polvere
metallica per individuare la lega preferibile per un
tipo di ingranaggio (corone coniche).
z
OBIETTIVO: studiare l’effetto del tipo di polvere sulle
proprietà superficiali dei pezzi meccanici
z
VARIABILE RISPOSTA: microdurezza (HV0,1)
z
FATTORE: tipo di polvere metallica (A, B, C, D)
z
BLOCCO: NO
z
COVARIATE: NO
20/59
10
ESEMPIO 3
z
z
MODELLO STATISTICO:
Yij = µ + τi + εij
i=A,B,C,D; j=1,…,7
STATISTICA DESCRITTIVA:
Descriptive Statistics: Microdurezza by Lega
Variable
Microdur
Lega
A
B
C
D
N
7
7
7
7
Mean
672.4
839.0
708.3
345.7
Median
677.0
833.0
712.0
350.0
TrMean
672.4
839.0
708.3
345.7
StDev
51.9
33.1
40.9
28.8
Variable
Microdur
Lega
A
B
C
D
SE Mean
19.6
12.5
15.5
10.9
Minimum
610.0
798.0
633.0
306.0
Maximum
741.0
880.0
757.0
381.0
Q1
621.0
798.0
684.0
320.0
Q3
720.0
870.0
741.0
378.0
Boxplots of Microdurezza by Lega
900
800
800
700
700
Microdurezza
600
500
400
500
400
D
C
B
Lega
D
B
C
300
A
300
Lega
600
A
Microdurezza
Dotplots of Microdurezza by Lega
900
21/59
ESEMPIO 3
z
VERIFICA DI IPOTESI SULLE VARIANZE:
Test for Equal Variances
Response
Factors
ConfLvl
Microdurezza
Lega
95.0000
Bonferroni confidence intervals for standard deviations
Lower
Sigma
Upper
N
Factor Levels
29.9538
19.0942
23.6213
16.6457
51.8712
33.0656
40.9052
28.8254
148.401
94.599
117.028
82.468
7
7
7
7
A
B
C
D
Test for Equal Variances for Microdurezza
Bartlett's Test (normal distribution)
95% Confidence Intervals for Sigmas
Factor Levels
A
Test Statistic: 2.249
P-Value
: 0.522
Bartlett's Test
Test Statistic: 2.249
P-Value
Levene's Test (any continuous distribution)
: 0.522
B
Test Statistic: 1.204
P-Value
: 0.330
C
Levene's Test
Test Statistic: 1.204
P-Value
: 0.330
D
0
50
100
150
22/59
11
ESEMPIO 3
z
TABELLA ANOVA:
Factor
Lega
Type Levels Values
fixed
4 A B C D
Analysis of Variance for Microdur, using Adjusted SS for Tests
Source
Lega
Error
Total
DF
3
24
27
Seq SS
923386
37729
961114
Adj SS
923386
37729
Adj MS
307795
1572
F
195.80
P
0.000
Main Effects Plot - LS Means for Microdurezza
850
Microdurezza
750
650
550
450
350
A
B
C
D
Lega
23/59
ESEMPIO 3
z
CONFRONTI MULTIPLI (verifica di ipotesi):
Bonferroni Simultaneous Tests
Response Variable Microdur
All Pairwise Comparisons among Levels of Lega
Lega = A subtracted from:
Level
Lega
B
C
D
Difference
of Means
166.6
35.9
-326.7
SE of
Difference
21.19
21.19
21.19
T-Value
7.86
1.69
-15.42
Adjusted
P-Value
0.0000
0.6216
0.0000
T-Value
-6.17
-23.28
Adjusted
P-Value
0.0000
0.0000
T-Value
-17.11
Adjusted
P-Value
0.0000
Lega = B subtracted from:
Level
Lega
C
D
Difference
of Means
-130.7
-493.3
SE of
Difference
21.19
21.19
Lega = C subtracted from:
Level
Lega
D
Difference
of Means
-362.6
SE of
Difference
21.19
24/59
12
ESEMPIO 3
z
CONFRONTI MULTIPLI (intervalli di confidenza):
Bonferroni 95.0% Simultaneous Confidence Intervals
Response Variable Microdur
All Pairwise Comparisons among Levels of Lega
Lega = A subtracted from:
Lega
B
C
D
Lower
105.6
-25.1
-387.6
Center
166.6
35.9
-326.7
Upper
227.5
96.8
-265.8
---+---------+---------+---------+--(--*-)
(-*--)
(--*-)
---+---------+---------+---------+---500
-250
0
250
Upper
-69.8
-432.4
---+---------+---------+---------+--(--*-)
(-*--)
---+---------+---------+---------+---500
-250
0
250
Upper
-301.6
---+---------+---------+---------+--(-*--)
---+---------+---------+---------+---500
-250
0
250
Lega = B subtracted from:
Lega
C
D
Lower
-191.6
-554.2
Center
-130.7
-493.3
Lega = C subtracted from:
Lega
D
Lower
-423.5
Center
-362.6
25/59
ESEMPIO 3
ANALISI DEI RESIDUI:
Histogram of the Residuals
Normal Probability Plot of the Residuals
(response is Microdur)
(response is Microdur)
8
2
7
1
Normal Score
Frequency
6
5
4
3
0
-1
2
1
-2
0
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
-50
0
Residual
50
Residual
Residuals Versus the Fitted Values
Residuals Versus the Order of the Data
(response is Microdur)
(response is Microdur)
50
Residual
50
Residual
z
0
-50
0
-50
350
450
550
Fitted Value
650
750
850
5
10
15
20
25
Observation Order
26/59
13
ESEMPIO 4
Una acciaieria vuole studiare la resistenza allo
snervamento di un certo tipo di barre di acciaio in
funzione del diametro delle barre stesse.
z
OBIETTIVO: studiare l’effetto del diametro sulle
proprietà meccaniche delle barre
z
VARIABILE RISPOSTA: resistenza allo snervamento
z
FATTORE: diametro della barra in mm (12, 14, 16)
z
BLOCCO: NO
z
COVARIATE: NO
27/59
ESEMPIO 4
MODELLO STATISTICO:
Yij = µ + τi + εij
STATISTICA DESCRITTIVA:
Descriptive Statistics: Snervamento by Diametro
Variable
Snervame
Diametro
10
12
14
N
20
20
20
Mean
512.25
513.30
521.05
Median
511.00
512.00
520.00
TrMean
512.00
513.06
521.28
StDev
10.74
9.29
10.47
Variable
Snervame
Diametro
10
12
14
SE Mean
2.40
2.08
2.34
Minimum
495.00
500.00
501.00
Maximum
534.00
531.00
537.00
Q1
505.25
505.50
516.25
Q3
519.75
520.00
531.75
Dotplots of Snervamento by Diametro
Boxplots of Snervamento by Diametro
540
540
530
530
Snervamento
520
510
500
510
500
Diametro
14
14
12
490
10
490
Diametro
520
12
Snervamento
z
i=10,12,14; j=1,…,20
10
z
28/59
14
ESEMPIO 4
z
TABELLA ANOVA:
Factor
Diametro
Type Levels Values
fixed
3 10 12 14
Analysis of Variance for Snervame, using Adjusted SS for Tests
Source
Diametro
Error
Total
DF
2
57
59
Seq SS
924.0
5912.9
6836.9
Adj SS
924.0
5912.9
Adj MS
462.0
103.7
F
4.45
P
0.016
Main Effects Plot - LS Means for Snervamento
521
520
Snervamento
519
518
517
516
515
514
513
512
10
12
14
Diametro
29/59
ESEMPIO 4
z
CONFRONTI MULTIPLI (verifica di ipotesi):
Bonferroni Simultaneous Tests
Response Variable Snervame
All Pairwise Comparisons among Levels of Diametro
Diametro = 10 subtracted from:
Level
Diametro
12
14
Difference
of Means
1.050
8.800
SE of
Difference
3.221
3.221
T-Value
0.3260
2.7322
Adjusted
P-Value
1.0000
0.0251
T-Value
2.406
Adjusted
P-Value
0.0581
Diametro = 12 subtracted from:
Level
Diametro
14
Difference
of Means
7.750
SE of
Difference
3.221
30/59
15
ESEMPIO 4
z
CONFRONTI MULTIPLI (intervalli di confidenza):
Bonferroni 90.0% Simultaneous Confidence Intervals
Response Variable Snervame
All Pairwise Comparisons among Levels of Diametro
Diametro = 10 subtracted from:
Diametro
12
14
Lower
-5.974
1.776
Center
1.050
8.800
Upper ----------+---------+---------+----8.074 (-----------*----------)
15.824
(-----------*-------------------+---------+---------+----0.0
6.0
12.0
Diametro = 12 subtracted from:
Diametro
14
Lower
0.7258
Center
7.750
Upper
14.77
----------+---------+---------+----(-----------*-----------)
----------+---------+---------+----0.0
6.0
12.0
31/59
ESEMPIO 4
ANALISI DEI RESIDUI:
Residual Model Diagnostics
Normal Plot of Residuals
I Chart of Residuals
30
UCL=26.23
20
10
Residual
Residual
20
0
-10
10
0
Mean=3.03E-14
-10
-20
-20
5
LCL=-26.23
-30
-2
-1
0
1
2
0
10
20
30
40
50
60
Observation Number
Normal Score
Histogram of Residuals
Residuals vs. Fits
20
10
Residual
Frequency
z
5
10
0
-10
-20
0
-20 -15 -10 -5
0
5
Residual
10 15 20
512 513 514 515 516 517 518 519 520 521
Fit
32/59
16
LA PRESENZA DI BLOCCO O DI COVARIATE
Il modello di analisi della varianza ad un fattore può essere
facilmente adattato al caso della presenza
di una variabile di blocco:
ƒ
Yijk = µ + τi + βj + εijk
i=1, …, c; j=1, …,b; k=1, …,n
di covariate:
ƒ
Yij = µ + τi + xij′ β + εij
i=1, …, c; j=1, …,n
L’analisi inferenziale di interesse corrisponde alle verifiche
d’ipotesi
H0F: τ1 =…= τc = 0 contro H1F: τi ≠ 0 per almeno un livello i
H0B: β1=…= βb=0 contro H1B:βi ≠ 0 per almeno un livello j
H0C: β = 0 contro H1C: β ≠ 0
ƒ
ƒ
33/59
ESEMPIO 5
Per studiare le prestazioni di resistenza dei travi di
cemento in relazione alla durata della stagionatura si
utilizzano due distinte metodologie per la conduzione
della prova sperimentale, misurando su alcuni
provini la forza massima di rottura.
z
OBIETTIVO: studiare l’effetto della durata della
stagionatura sulla resistenza dei travi di cemento
z
VARIABILE RISPOSTA: forza massima di rottura
z
FATTORE: giorni di stagionatura (3, 7, 28)
z
BLOCCO: tipo di metodo (A e B)
z
COVARIATE: NO
34/59
17
ESEMPIO 5
z
MODELLO STATISTICO:
Yijk = µ + τi + βj + εijk
z
i=3,7,28; j=A,B; k=1,…,4
STATISTICA DESCRITTIVA:
Descriptive Statistics: Forza Max by Stagion
Variable
Forza Ma
Stagion
3
7
28
N
8
8
8
Mean
24956
36627
38812
Median
24861
36694
38943
TrMean
24956
36627
38812
StDev
1449
2093
1181
Variable
Forza Ma
Macchina
A
B
N
12
12
Mean
32099
34831
Median
34727
38585
TrMean
32460
35264
StDev
6238
6538
Boxplots of Forza Max by Stagion
Boxplots of Forza Max by Macchina
40000
Forza Max
30000
B
Macchina
28
7
20000
3
20000
Stagion
30000
A
Forza Max
40000
35/59
ESEMPIO 5
z
TABELLA ANOVA:
Factor
Stagion
Macchina
Type Levels Values
fixed
3 3 7 28
fixed
2 A B
Analysis of Variance for Forza Ma, using Adjusted SS for Tests
DF
2
1
20
23
Seq SS
887893652
44772836
10363813
943030301
Adj SS
887893652
44772836
10363813
Adj MS
443946826
44772836
518191
F
856.72
86.40
P
0.000
0.000
Main Effects Plot - LS Means for Forza Max
Stagion
Macchina
37000
Forza Max
Source
Stagion
Macchina
Error
Total
34000
31000
28000
25000
3
7
28
A
B
36/59
18
ESEMPIO 5
z
CONFRONTI MULTIPLI (verifica di ipotesi):
Tukey Simultaneous Tests
Response Variable Forza Ma
All Pairwise Comparisons among Levels of Stagion
Stagion = 3 subtracted from:
Level
Stagion
7
28
Difference
of Means
11670
13856
SE of
Difference
359.9
359.9
T-Value
32.42
38.50
Adjusted
P-Value
0.0000
0.0000
T-Value
6.072
Adjusted
P-Value
0.0000
Stagion = 7 subtracted from:
Level
Stagion
28
Difference
of Means
2185
SE of
Difference
359.9
37/59
ESEMPIO 5
z
CONFRONTI MULTIPLI (intervalli di confidenza):
Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals
Response Variable Forza Ma
All Pairwise Comparisons among Levels of Stagion
Stagion = 3 subtracted from:
Stagion
7
28
Lower
10759
12945
Center
11670
13856
Upper
12582
14767
-------+---------+---------+--------(-*-)
(--*-)
-------+---------+---------+--------4000
8000
12000
Upper
3097
-------+---------+---------+--------(-*--)
-------+---------+---------+--------4000
8000
12000
Stagion = 7 subtracted from:
Stagion
28
Lower
1274
Center
2185
38/59
19
ESEMPIO 5
z
ANALISI DEI RESIDUI:
Histogram of the Residuals
Normal Probability Plot of the Residuals
(response is Forza Ma)
(response is Forza Ma)
2
5
1
Normal Score
Frequency
4
3
2
0
-1
1
0
-2
-1000
0
1000
-1000
0
Residual
Residuals Versus the Fitted Values
Residuals Versus the Order of the Data
(response is Forza Ma)
(response is Forza Ma)
1000
Residual
1000
Residual
1000
Residual
0
-1000
0
-1000
25000
30000
35000
40000
5
Fitted Value
10
15
20
Observation Order
39/59
ESEMPIO 5
ANALISI DEI RESIDUI (test di normalità):
Normal Probability Plot
.999
.99
.95
Probability
.80
.50
.20
.05
.01
.001
-1000
0
1000
RESI1
Average: 0.0000000
StDev: 671.268
N: 24
Anderson-Darling Normality Test
A-Squared: 0.646
P-Value: 0.081
Normal Probability Plot
.999
.99
.95
Probability
z
.80
.50
.20
.05
.01
.001
-1000
0
1000
RESI1
Average: 0.0000000
StDev: 671.268
N: 24
Kolmogorov-Smirnov Normality Test
D+: 0.096 D-: 0.159 D : 0.159
Approximate P-Value: 0.116
40/59
20
ESEMPIO 6
Si vuole valutare la variabilità di comportamento
nella deformazione di membrane elastomeriche di
forma circolare, al fine di verificare l’affidabilità del
processo produttivo delle stesse.
z
OBIETTIVO: studiare l’effetto della durata della
stagionatura sulla resistenza dei travi di cemento
z
VARIABILE RISPOSTA: deflessione in mm
z
FATTORE: livello di pressione in mbar (10, 20, 30, 40)
z
BLOCCO: membrana (la prova viene ripetuta sulla
stessa membrana, facendo variare il livello di
pressione)
z
COVARIATE: NO
41/59
ESEMPIO 6
z
DATASET:
Campione Mbar=10
1
2.3
2
2.6
3
2.7
4
2.7
5
2.1
6
1.9
7
2.2
8
1.9
9
2.1
10
2.3
11
2
12
2.7
13
2.1
14
2.4
15
2.4
16
2.3
17
2.3
18
2.9
19
2
20
2.1
Mbar=20
3.6
4.6
4.4
4.7
3.6
3.1
4.4
3.7
3.6
3.9
3.4
4.4
3.5
4
4.1
3.6
3.8
3.4
3.3
3.5
Mbar=30
4.7
5.8
6.2
5.6
4.8
4.6
6.8
4.9
4.7
5
4.5
5.8
4.7
5.4
5.5
5.1
5.4
4.7
4.5
4.5
Mbar=40
6
7.4
7.8
6.8
6
5.6
8
6.1
5.4
6.4
5.6
6.8
5.9
6.7
6.7
6
6.7
5.9
5.7
5.7
42/59
21
ESEMPIO 6
z
z
MODELLO STATISTICO:
Yij = µ + τi + βj + εij
i=10,20,30,40; j=1,…,20
STATISTICA DESCRITTIVA:
Descriptive Statistics: Deform by Mbar
Variable
Deform
Mbar
10
20
30
40
N
20
20
20
20
Mean
2.3000
3.830
5.160
6.360
Median
2.3000
3.650
4.950
6.050
TrMean
2.2889
3.822
5.106
6.322
StDev
0.2920
0.462
0.637
0.740
Variable
Deform
Mbar
10
20
30
40
SE Mean
0.0653
0.103
0.142
0.165
Minimum
1.9000
3.100
4.500
5.400
Maximum
2.9000
4.700
6.800
8.000
Q1
2.1000
3.500
4.700
5.750
Q3
2.5500
4.325
5.575
6.775
Boxplots of Deform by Campione
7
7
6
6
Deform
8
5
5
4
4
3
3
20
19
18
17
16
15
14
13
9
12
11
8
10
7
6
5
4
3
2
Campione
40
30
2
20
Mbar
10
2
1
Deform
Boxplots of Deform by Mbar
8
43/59
ESEMPIO 6
TABELLA ANOVA:
Factor
Type Levels Values
Mbar
fixed
4 10 20 30 40
Campione fixed
20 1 2 3 4
14 15 16 17 18 19 20
5
6
7
8
9 10 11 12 13
Analysis of Variance for Deform, using Adjusted SS for Tests
DF
3
19
57
79
Seq SS
183.0695
18.2975
5.5005
206.8675
Adj SS
183.0695
18.2975
5.5005
Adj MS
61.0232
0.9630
0.0965
F
632.36
9.98
P
0.000
0.000
Main
Main
Effects
Effects
PlotPlot
- LS
- LS
Means
Means
for for
Microdurezza
Deform
850
Mbar
6.5
Campione
750
5.5
Deform
Source
Mbar
Campione
Error
Total
Microdurezza
z
650
4.5
550
3.5
450
2.5
350
20
10
A
30
40
B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
C
D
Lega
44/59
22
ESEMPIO 6
z
CONFRONTI MULTIPLI (verifica di ipotesi):
Bonferroni Simultaneous Tests
Response Variable Deform
All Pairwise Comparisons among Levels of Mbar
Mbar = 10 subtracted from:
Level
Mbar
20
30
40
Difference
of Means
1.530
2.860
4.060
SE of
Difference
0.09823
0.09823
0.09823
T-Value
15.57
29.11
41.33
Adjusted
P-Value
0.0000
0.0000
0.0000
T-Value
13.54
25.75
Adjusted
P-Value
0.0000
0.0000
T-Value
12.22
Adjusted
P-Value
0.0000
Mbar = 20 subtracted from:
Level
Mbar
30
40
Difference
of Means
1.330
2.530
SE of
Difference
0.09823
0.09823
Mbar = 30 subtracted from:
Level
Mbar
40
Difference
of Means
1.200
SE of
Difference
0.09823
45/59
ESEMPIO 6
z
CONFRONTI MULTIPLI (intervalli di confidenza):
Bonferroni 95.0% Simultaneous Confidence Intervals
Response Variable Deform
All Pairwise Comparisons among Levels of Mbar
Mbar = 10 subtracted from:
Mbar
20
30
40
Lower
1.261
2.591
3.791
Center
1.530
2.860
4.060
Upper
1.799
3.129
4.329
-+---------+---------+---------+----(-*--)
(--*-)
(--*-)
-+---------+---------+---------+----1.0
2.0
3.0
4.0
Upper
1.599
2.799
-+---------+---------+---------+----(-*--)
(-*--)
-+---------+---------+---------+----1.0
2.0
3.0
4.0
Upper
1.469
-+---------+---------+---------+----(--*--)
-+---------+---------+---------+----1.0
2.0
3.0
4.0
Mbar = 20 subtracted from:
Mbar
30
40
Lower
1.061
2.261
Center
1.330
2.530
Mbar = 30 subtracted from:
Mbar
40
Lower
0.9315
Center
1.200
46/59
23
ESEMPIO 6
z
ANALISI DEI RESIDUI:
Histogram of the Residuals
Normal Probability Plot of the Residuals
(response is Deform)
(response is Deform)
30
2.5
2.0
1.5
Normal Score
Frequency
20
10
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
0
-2.5
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
-1
0
Residual
Residuals Versus the Fitted Values
Residuals Versus the Order of the Data
(response is Deform)
(response is Deform)
1
Residual
1
Residual
1
Residual
0
-1
0
-1
1.5
2.5
3.5
4.5
Fitted Value
5.5
6.5
7.5
10
20
30
40
50
60
70
80
Observation Order
47/59
ESEMPIO 7
Nello studio di un impianto di laminazione di billette
di acciaio si vuole stabilire se la tipologia del rullo
influenza la velocità di laminazione, tenendo conto
dei parametri di laminazione dell’impianto
z
OBIETTIVO: studiare l’effetto della tipologia del rullo
sulla velocità di laminazione
z
VARIABILE RISPOSTA: velocità di laminazione in m/s
z
FATTORE: tipologia di rullo (H–orizzontale, V–
verticale)
z
BLOCCO: NO
z
COVARIATE: parametri di laminazione
applicato – CA, momento – M, potenza – P)
(carico
48/59
24
ESEMPIO 7
z
MODELLO STATISTICO:
yij = µ + τi + β1CAij + β2Mij + β3Pij + εij
z
i=H,V; j=1,…,9
STATISTICA DESCRITTIVA:
Descriptive Statistics: speed by type
Variable
speed
type
H
V
N
9
9
Mean
4.29
5.06
Median
2.16
2.78
TrMean
4.29
5.06
StDev
4.75
5.35
Variable
speed
type
H
V
SE Mean
1.58
1.78
Minimum
0.19
0.24
Maximum
13.32
15.00
Q1
0.49
0.63
Q3
8.37
9.74
Dotplots of speed by type
Boxplots of speed by type
10
10
speed
15
speed
15
5
5
0
H
V
H
type
V
0
type
49/59
ESEMPIO 7
STATISTICA DESCRITTIVA
(diagrammi di dispersione):
15
10
10
speed
speed
15
5
5
0
0
0
500
1000
1500
2000
2500
0
100
200
300
torque
load
15
10
speed
z
5
0
150
250
350
450
550
power
50/59
25
ESEMPIO 7
z
TABELLA ANOVA:
Factor
type
Type Levels Values
fixed
2 H V
Analysis of Variance for speed, using Adjusted SS for Tests
Source
load
torque
power
type
Error
Total
DF
1
1
1
1
13
17
Seq SS
213.706
47.746
43.660
1.446
105.359
411.917
Adj SS
53.091
43.755
23.062
1.446
105.359
Adj MS
53.091
43.755
23.062
1.446
8.105
F
6.55
5.40
2.85
0.18
P
0.024
0.037
0.115
0.680
Main Effects Plot - LS Means for speed
5.1
5.0
4.9
speed
4.8
4.7
4.6
4.5
4.4
4.3
H
V
type
51/59
ESEMPIO 7
z
STIMA E VERIFICA DI IPOTESI SULLE COVARIATE:
Term
Coef
Constant
4.585
load
-0.020158
torque
0.15051
power
0.01747
SE Coef
5.258
0.007876
0.06477
0.01036
T
0.87
-2.56
2.32
1.69
P
0.399
0.024
0.037
0.115
52/59
26
ESEMPIO 7
z
ANALISI DEI RESIDUI:
Histogram of the Residuals
Normal Probability Plot of the Residuals
(response is speed)
(response is speed)
2
4
1
Normal Score
Frequency
3
2
1
0
-1
0
-2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
0
Residual
Residuals Versus the Fitted Values
2
3
4
5
Residuals Versus the Order of the Data
(response is speed)
(response is speed)
5
5
4
4
3
3
2
2
Residual
Residual
1
Residual
1
0
1
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
0
5
10
Fitted Value
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Observation Order
53/59
ESEMPIO 8
In uno studio sui materiali di rivestimento stradale si
vuole studiare la resistenza al derapaggio in
relazione al tipo di rivestimento, tenendo conto della
temperatura del rivestimento.
z
OBIETTIVO: studiare l’effetto del tipo di rivestimento
sulla resistenza al derapaggio
z
VARIABILE RISPOSTA: resistenza al derapaggio
(SRT)
z
FATTORE: tipo di rivestimento (pavimentazione – P,
segnaletica – S)
z
BLOCCO: NO
z
COVARIATE: temperatura – T
54/59
27
ESEMPIO 8
MODELLO STATISTICO:
z
Yij = µ + τi + β Tij + εij
i=P,S; j=1,…,15
STATISTICA DESCRITTIVA:
z
Descriptive Statistics: SRT by Rivestimento
Variable
SRT
Rivestim
P
S
N
15
15
Mean
48.600
46.267
Median
50.000
46.000
TrMean
48.538
46.231
StDev
2.530
0.884
Variable
SRT
Rivestim
P
S
SE Mean
0.653
0.228
Minimum
45.000
45.000
Maximum
53.000
48.000
Q1
46.000
46.000
Q3
50.000
47.000
52
51
51
50
50
SRT
53
52
49
49
48
48
47
47
46
46
45
45
P
Rivestimento
26.5
S
SRT
Boxplots of SRT by Rivestim
53
27.5
28.5
29.5
Temp
55/59
ESEMPIO 8
z
VERIFICA DI IPOTESI SULLE VARIANZE:
Test for Equal Variances
Response
Factors
ConfLvl
SRT
Rivestimento
95.0000
Bonferroni confidence intervals for standard
deviations
Lower
Sigma
Upper
1.77553
0.62023
2.52982
0.88372
4.28791
1.49785
N
15
15
Factor Levels
P
S
F-Test (normal distribution)
Test for Equal Variances for SRT
95% Confidence Intervals for Sigmas
Factor Levels
Test Statistic: 8.195
P-Value
: 0.000
P
S
Levene's Test (any continuous distribution)
0.5
1.5
Test Statistic: 4.936
P-Value
: 0.035
2.5
3.5
4.5
F-Test
Levene's Test
Test Statistic: 8.195
Test Statistic: 4.936
P-Value
P-Value
: 0.000
: 0.035
Boxplots of Raw Data
P
S
45
46
47
48
49
50
51
52
53
SRT
56/59
28
ESEMPIO 8
z
TABELLA ANOVA:
Factor
Rivestim
Type Levels Values
fixed
2 P S
Analysis of Variance for SRT, using Adjusted SS for Tests
Source
Temp
Rivestim
Error
Total
DF
1
1
27
29
Seq SS
30.409
89.158
21.799
141.367
Term
Constant
Temp
Coef
98.723
-1.8776
Adj SS
78.735
89.158
21.799
SE Coef
5.196
0.1901
T
19.00
-9.88
Adj MS
78.735
89.158
0.807
F
97.52
110.43
P
0.000
0.000
P
0.000
0.000
Main Effects Plot - LS Means for SRT
49.5
SRT
48.5
47.5
46.5
45.5
P
S
Rivestimento
57/59
ESEMPIO 8
z
CONFRONTI MULTIPLI:
Tukey 95.0% Simultaneous Confidence Intervals
Response Variable SRT
All Pairwise Comparisons among Levels of Rivestim
Rivestim = P subtracted from:
Rivestim
S
Lower
-4.509
Center
-3.773
Upper
-3.036
-+---------+---------+---------+---(----*----)
-+---------+---------+---------+----4.5
-3.0
-1.5
0.0
Tukey Simultaneous Tests
Response Variable SRT
All Pairwise Comparisons among Levels of Rivestim
Rivestim = P subtracted from:
Level
Rivestim
S
Difference
of Means
-3.773
SE of
Difference
0.3590
T-Value
-10.51
Adjusted
P-Value
0.0000
58/59
29
ESEMPIO 8
ANALISI DEI RESIDUI:
Histogram of the Residuals
Normal Probability Plot of the Residuals
(response is SRT)
(response is SRT)
6
2
5
4
Normal Score
Frequency
1
3
2
0
-1
1
0
-2
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-1
0
Residual
1
2
Residual
Residuals Versus the Fitted Values
Residuals Versus the Order of the Data
(response is SRT)
(response is SRT)
2
2
1
1
Residual
Residual
z
0
-1
0
-1
45
46
47
48
Fitted Value
49
50
51
5
10
15
20
25
30
Observation Order
59/59
30