Il biliardo - seminari di analisi matematica

RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Il biliardo
Livello scolare: 2° biennio
Abilità
interessate
Scegliere, adattare, utilizzare
schematizzazioni
matematiche (formule,
grafici, figure geometriche,
ecc.) di situazioni e fenomeni
matematici e non, per
affrontare problemi.
Produrre una soluzione del
problema attraverso
un’opportuna concatenazione
delle azioni necessarie
(costruzioni geometriche).
Comunicare in modo
esauriente e comprensibile le
strategie risolutive prodotte,
discutendone l’efficacia e la
validità, e confrontarle con
eventuali altre strategie.
Conoscenze
Isometrie nel piano:
simmetrie e
traslazioni.
Nuclei
coinvolti
Risolvere e porsi
problemi
Collegamenti
esterni
Fisica
Disegno
Spazio e figure
Proprietà delle figure
geometriche.
Trasformazioni nel
piano: composizione
di due isometrie.
Contesto
Trasformazioni geometriche.
L’attività si colloca nell’ambito sia matematico sia extramatematico; per quest’ultimo aspetto
riguarda la vita sociale.
Il problema proposto si colloca nel secondo biennio con l’obiettivo di applicare le isometrie, e non
semplicemente definirle e descriverle, ad una situazione reale che è quella che si presenta nel gioco
del biliardo, quando si vuole che la biglia colpita segua un certo percorso. Il problema si presta
anche ad una soluzione analitica che, tuttavia, si presenta eccessivamente complessa. L’esempio
vuole dimostrare l’importanza di una scelta di metodo conveniente per il problema posto. L’alunno
deve conoscere le isometrie del piano, le loro composizioni, la disuguaglianza triangolare, e le
equazioni e i sistemi lineari.
Descrizione dell’attività
Il problema consiste nell’individuare la direzione di lancio della biglia, che si trova inizialmente in
un punto P del biliardo, in modo che, dopo aver battuto successivamente contro le quattro sponde
consecutive, ripassi per il punto P.
Figura 1
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Conviene proporre dapprima dei problemi più semplici al fine di abituare lo studente all’utilizzo
delle trasformazioni geometriche come metodo di risoluzione di problemi. Lo studente potrà in tal
modo apprezzare la potenza di un metodo diverso da quelli consueti, più idoneo in taluni casi a
fornire soluzioni rapide ed eleganti.
Prima fase
L’insegnante propone agli studenti il problema noto come Problema di Erone, formulato con
riferimento ad un contesto del mondo reale.
Una persona che si trova in una posizione A deve andare a riempire dei secchi d’acqua,
attingendo da un ruscello posto ad una certa distanza, e portarli ad una fattoria che si trova in
un punto B dalla stessa parte di A rispetto al ruscello, facendo il cammino più breve. Si
chiede di aiutare la persona ad individuarlo.
Lo studente intuitivamente comprende che il cammino deve essere rettilineo dal punto A al ruscello;
poi, ancora rettilineo, dal fiume alla fattoria. Rappresentando il fiume con una retta r si può
visualizzare la situazione con la seguente figura:
Figura 2
Il problema si presenta allora come un problema di minimo: dati due punti A e B, posti dalla stessa
parte di una retta r, determinare su essa un punto C tale che AC + CB sia minimo. La risoluzione
analitica è, dal punto di vista operativo, non semplice e utilizza strumenti matematici non ancora
noti allo studente.
L’insegnante pone la seguente domanda alla classe.
“Se la fattoria stesse dall’altra parte del ruscello in un punto B’ e non ci fossero problemi di
attraversamento del ruscello, quale sarebbe il cammino più breve?”
La risposta è ovvia: “Il segmento AB’ ”.
L’insegnante chiede ancora: “Dove deve stare il punto B’ ? ”
A questo punto gli studenti intuiscono che B’ deve essere il simmetrico di B rispetto alla retta r e,
facendo alcune considerazioni sulle proprietà di tale trasformazione (punti e segmenti
corrispondenti), pervengono alla risposta corretta: il punto C è il punto d’intersezione del segmento
AB’ con la retta r.
E’ chiaro che il procedimento scelto è rapido ed elegante, specialmente se confrontato con un
eventuale procedimento analitico.
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Figura 3
Seconda fase
L’insegnante propone il seguente esercizio:
Siano date due rette a e b perpendicolari tra loro in un punto P ed una retta r passante per P.
Che relazione c’è tra le rette che si ottengono da r come corrispondenti nelle simmetrie
assiali rispetto agli assi a e b?
La risposta degli studenti è immediata: le rette coincidono. L’esercizio è però fondamentale per
affrontare il problema del biliardo.
Figura 4
Terza fase
Le considerazioni fatte per la soluzione analitica nel problema del ruscello valgono, a maggior
ragione, per il problema del biliardo. Gli studenti hanno raggiunto la convinzione che il metodo
analitico può condurre alla soluzione di un sistema lineare la cui soluzione appare subito piuttosto
complessa.
L’insegnante invita gli studenti a concentrare l’attenzione sulla legge di riflessione nell’urto
(elastico) di una biglia che, muovendosi sul piano del biliardo, batta contro una delle sponde del
biliardo stesso. In tale fase egli può coinvolgere il collega di fisica.
Può essere conveniente, a questo punto, utilizzare un software di geometria simulando il percorso
come nella figura 5, dove si è supposto che la prima sponda contro cui la biglia batte è il lato AD.
Gli studenti possono variare la direzione di lancio in modo che la retta ottenuta dopo le quattro
riflessioni passi per P. La congettura che gli studenti formulano è la seguente:
La direzione secondo cui va lanciata una biglia posta in un punto P del biliardo, affinché, dopo aver
battuto contro le quattro sponde consecutive, ripassi per il medesimo punto P, è quella della
diagonale AC (o della diagonale BD) del rettangolo che rappresenta il biliardo.
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Figura 5
Occorre ora validare o confutare tale congettura.
Ricordando l’esercizio della seconda fase, gli studenti osservano che la retta riflessa della retta PP1
(cioè P1P2) si ottiene non solo dalla simmetria rispetto alla perpendicolare alla sponda ma anche
dalla simmetria rispetto alla sponda interessata (ovvero DA). La costruzione si ripete quattro volte
con riflessioni assiali rispetto alle quattro sponde del biliardo ottenendo le rette P1P2, P2P3, P3P4 ed
una quarta retta che si vuole passi per P.
La composizione delle prime due simmetrie assiali (in quanto gli assi sono ortogonali) dà luogo alla
simmetria centrale di centro A (intersezione dei due assi di simmetria) e la composizione delle altre
due dà la simmetria centrale di centro C. Quindi la composizione delle quattro simmetrie assiali
equivale alla composizione delle due simmetrie centrali di centri A e C che, a loro volta, danno
luogo ad una traslazione di un vettore avente come direzione la retta congiungente i due centri di
simmetria, cioè la diagonale AC del rettangolo che rappresenta il biliardo.
Le rette, corrispondenti in una traslazione, che passano per uno stesso punto (P) sono quelle aventi
la direzione del vettore-traslazione, per cui la direzione di lancio della biglia, affinché dopo le
quattro riflessioni ripassi per la posizione iniziale P, è quella della diagonale AC del rettangolo che
rappresenta il biliardo (lo stesso risultato si ha se si lancia la biglia nella direzione dell’altra
diagonale).
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Quanto costa una pizza all’equatore
Livello scolare: 2° biennio
Abilità
interessate
Scegliere, adattare, utilizzare
schematizzazioni
matematiche di situazioni e
fenomeni matematici e non,
per affrontare problemi.
Elaborare tali
schematizzazioni utilizzando
metodi matematici opportuni
e interpretare via via gli esiti
di queste elaborazioni in
relazione alla situazione
problematica considerata.
Confrontare i risultati con le
aspettative. Individuare le
cause delle inadeguatezze
con opportuni elementi di
controllo ritenuti importanti
all’avvio del processo
risolutivo.
Comunicare in modo
esauriente e comprensibile le
strategie risolutive prodotte,
discutendone l’efficacia e la
validità.
Conoscenze
Omotetie e
similitudini nel
piano.
Nuclei
coinvolti
Risolvere e porsi
problemi
Collegamenti
esterni
Geografia
astronomica
Spazio e figure
Fisica
Lunghezza della
circonferenza ed area Argomentare,
del cerchio.
congetturare,
dimostrare
Area e volume dei
solidi.
Contesto
Misure.
L’attività si colloca trasversalmente a varie conoscenze geometriche.
L’attività descritta rappresenta un buon esercizio sulle similitudini. I problemi proposti, in
particolare i primi due, mettono in luce che l’intuizione è un aspetto importante nell’attività
matematica, ma che è necessario supportarla con un corretto ragionamento ed una attenta analisi dei
risultati. L’intuizione da sola può condurre ad affermazioni errate. Il terzo problema è di tipo aperto
e invita a produrre delle congetture su un dato mancante e a sostenerle con ragionamenti pertinenti.
La serie di attività proposte richiede conoscenze che si acquisiscono durante il terzo e il quarto anno
del corso di studi, per cui l’attività può essere suddivisa in tali anni. Per il suo svolgimento si
utilizzano immagini del globo terrestre ed altre di oggetti tratti dall’esperienza quotidiana. Lo
studente deve avere una buona conoscenza delle figure geometriche del piano e capacità di visione
spaziale. Deve anche conoscere e sapere applicare le proprietà delle similitudini, nonché i concetti
di peso e peso specifico.
Descrizione dell’attività
L’attività prevede la risoluzione di tre problemi che, per la loro apparente semplicità, potrebbero
indurre gli studenti a fornire soluzioni di tipo immediato. Esse richiedono, invece, una riflessione
attenta sulle proprietà delle figure geometriche e sulle relazioni tra esse.
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Primo problema
Si stende un nastro intorno alla superficie terrestre lungo tutto l’equatore e si osserva che la
sua lunghezza deve essere circa 40.076.000 m, essendo il raggio r della terra, se questa è
assimilata ad una sfera, lungo 6.370.000 m. Se si allunga il nastro di 2π metri (poco più di 6
metri e 28 centimetri), il nuovo nastro, disposto simmetricamente rispetto al centro della
terra, si solleva abbastanza da consentire ad un coccodrillo di passarci sotto?
(Nota: l’altezza media di un coccodrillo è di circa mezzo metro).
L’insegnante invita gli studenti a fornire una risposta e a giustificarla.
(Si avvia una discussione tra gli studenti: eccone una ragionevole sintesi, in una classe
immaginaria).
Luca: Non ci passa sicuramente perché, ben che vada, il nastro si alzerà di pochi millimetri; il
nastro lungo quanto l’equatore non si accorge neppure dell’aggiunta di sei metri.
Giovanni: Hai ragione, al più ci potrà passare un foglio di carta sotto il nastro.
Enrico: Sono d’accordo, però mi piacerebbe sapere di quanti millimetri si solleva precisamente;
facciamo il calcolo.
Osservano allora che la lunghezza del nastro è 2πr metri e, se si aggiunge un altro pezzo lungo 2π
metri, la lunghezza del nastro diventa 2πr+2π =2π (r+1) metri.
La conversazione riprende:
Luca: Il raggio della nuova circonferenza misura (r+1) metri. Allora si solleva di un metro!
Giovanni: Se mi accuccio ci passo anche io!
Enrico: Il risultato sembra strabiliante, ma se ci pensiamo, come sei metri sono pochissimi rispetto
alla lunghezza dell’equatore, anche un metro è poco rispetto alla lunghezza del raggio della terra.
Infatti, il rapporto tra lunghezza di una circonferenza e del suo raggio è costante e vale 2π.
Considerazioni matematiche.
Le circonferenze sono figure simili. Il rapporto delle lunghezze delle circonferenze è uguale al
rapporto dei loro raggi.
Secondo problema
Due amici, in pizzeria, ordinano due pizze napoletane: Andrea la prende normale, Paolo
invece la sceglie “gigante”. Quando gliele portano i due amici osservano che sono
perfettamente circolari; la normale ha raggio 20 cm, la gigante 30 cm e sono anche dello
stesso spessore. Quando portano il conto, Andrea deve pagare € 6,4 mentre Paolo, vedendo
il suo conto, che è di € 12, si sorprende: “Come mai la mia pizza costa quasi il doppio,
mentre il raggio è aumentato solo del 50%” ?.
Affidiamo la risposta alla nostra solita classe immaginaria.
Luca: Paolo ha ragione: avendo la pizza più grande il raggio una volta e mezzo quello della più
piccola, basta aggiungere la metà di 6,4 € cioè 3,2 €.Il prezzo giusto dovrebbe essere 9,6 €.
Giovanni: Però con le pizze così grandi - le maxi pizze - ci si mangia in due e mi ricordo che si
paga molto di più.
Enrico: Facciamo il calcolo di quanta pizza in più c’è. Calcoliamo l’area del cerchio della prima
pizza e quello della maxi pizza e proviamo a fare il rapporto.
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
2
2
r
9
3 

L’area della prima pizza è πr ; l’area della maxi pizza è π  r +  = π  r  = πr 2 .Il rapporto
2
4
2 

9
tra l’area della maxi pizza e quella della pizza normale è = 2,25 .
4
Luca: E’ più che raddoppiata!
Giovanni: Ecco perché ci si mangia in due.
Luca: Che strano il raggio era aumentato solo della metà.
Enrico: Già, ma il rapporto tra le aree di due cerchi, che sono figure simili, è uguale al quadrato
3
del rapporto tra i loro raggi. Perciò se si considerano due cerchi di raggi r ed r, come sono le
2
3
9
pizze considerate, il rapporto tra i loro raggi è
e il quadrato è = 2,25 . La maxi pizza deve
2
4
costare 6,4 x 2,25 €= 14,4 €. Quindi a Paolo, il pizzaiolo, ha fatto addirittura lo sconto !
2
Considerazioni matematiche
I cerchi sono figure simili. Il rapporto delle aree dei cerchi è uguale al quadrato del rapporto dei loro
raggi.
Terzo problema
Negli Stati Uniti le monete da 50 cent e da 10 cent sono entrambe d’argento ed hanno un
peso proporzionale al loro effettivo valore. Proviamo a disporre delle monetine da 10 cent
sulla moneta da 50 cent, senza che si sovrappongano e non debordino dal contorno della
moneta grande. Quante monete da 10 cent riusciamo a mettere?
Luca: Bisognerebbe fare un modellino delle monete.
Giovanni: Ritagliamole da un foglio di carta.
Luca: Prendo il compasso per disegnarle.
Giovanni: Ma che raggi diamo?
Luca: La più grande vale 50 cent, la più piccola 10 cent; perciò io darei alla più grande un raggio
di 5 cm e alla più piccola di 1 cm.
Figura 1
Enrico: 13 monetine mi sembrano troppe. Quando sono stato negli Stati Uniti ho visto le monete e
quelle da mezzo dollaro non mi sembravano così grandi. Il problema afferma che le monete hanno
un peso proporzionale al loro valore, ovvero la moneta da mezzo dollaro pesa 5 volte la moneta da
10 cent. Essendo entrambe d’argento anche i loro volumi sono nello stesso rapporto. E siccome le
monete sono dei cilindri dobbiamo conoscere il loro spessore. Siccome non abbiamo questo dato
possiamo tentare delle ipotesi.
Giovanni: Le monete potrebbero avere lo stesso spessore.
Luca: Mi sembra poco verosimile: ho sempre visto le monete di maggior valore più spesse.
Giovanni: Allora potrebbero avere altezze proporzionali.
Insegnante: Dovete dire proporzionali a che cosa e in che modo.
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Giovanni: Potrebbero essere due cilindri simili.
Insegnante: Che cosa intendi?
Giovanni: Il rapporta tra le misure è costante.
Insegnante: Quali misure?
Giovanni: Ad esempio quelle dei raggi di base e delle altezze.
Insegnante: Questa ipotesi è sensata.
Enrico: Proviamo con questa ipotesi a calcolare questo rapporto. Chiamiamolo k. I raggi di base li
chiamiamo r (10 cent) e R (50 cent); le altezze rispettivamente h e H . Il volume del cilindro della
moneta da 10 cent è πr2h e quello della moneta da 50 cent è πR2H. Poiché R= k r ; H= k h , il
volume della moneta da 50 cent diventa π (k r)2kh = π k3r2h . Il rapporto tra il volume della moneta
da 50 cent e quello della moneta da 10 cent è dunque k3. Allora il rapporto dei volumi è uguale al
cubo del rapporto dei raggi di base e delle altezze. Siccome questo rapporto è 5, risulta
k = 3 5 = 1,71 circa. La moneta da 50 cent ha un raggio che non è neppure il doppio di quello della
moneta da 10 cent.
Giovanni: Con questa ipotesi, dunque, non è possibile metterne neppure due, ma solamente una.
Questa risposta mi convince perché lo stesso accade con le nostre monete da 50 e 10 centesimi di
euro.
Figura 2
Considerazioni matematiche
I due cilindri, nella ipotesi fatta, sono figure simili (il docente può spiegare intuitivamente il
significato di solidi simili). Il rapporto dei volumi è uguale al cubo del rapporto dei raggi di base
oppure al cubo del rapporto delle altezze.
Sintesi matematica
Possono essere messe a confronto le tre situazioni, evidenziando la proporzionalità “lineare”, la
proporzionalità “quadratica” e quella “cubica”.
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
La moneta è truccata!
Livello scolare: 2° biennio
Abilità
interessate
Confrontare schematizzazioni
matematiche diverse di uno
stesso fenomeno o situazione
in relazione ai loro limiti di
validità, alle esigenze (in
particolare di descrizione o di
interpretazione o di
previsione), e alle risorse
(tempo, conoscenze, mezzi
tecnologici) disponibili.
Valutare criticamente le
informazioni.
Selezionare, produrre ed usare
appropriate distribuzioni
grafiche.
Conoscenze
Il ragionamento
induttivo e le basi
dell’inferenza.
Nuclei
coinvolti
Risolvere e porsi
problemi
Collegamenti
esterni
Lingua italiana
Vita sociale
Dati e previsioni
Produrre grafici di
relazioni.
Relazioni e funzioni
Laboratorio di
matematica
Contesto.
Il contesto è di tipo matematico ed extramatematico; per quest’ultimo aspetto si colloca nell’ambito
della vita sociale cercando di dare indicazioni di consapevolezza critica verso il mondo circostante.
Giochi di sorte. Si propone alla classe un semplice problema che implica la necessità di una (forse
prima) riflessione circa il modo di verificare se una congettura, o una ipotesi, è vera oppure è falsa.
“Si gioca a Testa e Croce con una moneta di cui non si conosce la provenienza...magari per farci
delle scommesse. Prima di fare delle puntate, si vorrebbe sapere, con una certa attendibilità, se essa
è equilibrata o meno, cioè se si può attribuire la stessa probabilità alle 2 facce, Testa o Croce, cioè
se P(T)=P(C)=1/2 “
Descrizione dell’attività.
Si propone inizialmente agli studenti di riflettere sul fatto che non sempre, quando sono di fronte a
due eventi alternativi, devono pensare che tali eventi abbiano la stessa probabilità di verificarsi. Ciò
perché in modo spontaneo, ma non sempre corrispondente alla realtà, gli studenti, messi a confronto
con le prime considerazioni probabilistiche, sono portati a considerare equilibrata qualsiasi moneta,
e quindi, ad attribuire la stessa probabilità alle due facce.
Per rendere più evidente la cosa facciamo notare che è senz’altro corretto attribuire un alto grado di
fiducia, o “verità” a questa congettura, se ci troviamo fra le mani una moneta coniata dalla Zecca
di Stato, mentre non sappiamo cosa si può dire se fra le mani ci è capitata una vecchia moneta o se,
chi ci propone di usarla per il gioco, sia qualcuno che sospettiamo abbia truccato la moneta, ad
esempio, in modo da far venire mediamente più Teste che Croci.
Un’altra possibile osservazione, che viene spontanea in classe, è sul significato di frequenza
dell’evento: si può ragionevolmente ritenere che, anche se una moneta è equilibrata, in una serie
limitata di osservazioni, ciò porti esattamente ad ottenere il 50% di Teste e 50% di Croci?
Prima conclusione che si raggiunge dalla discussione: un numero non molto grande di lanci può non
essere sufficiente a scoprire, anche con monete equilibrate, se è attendibile l’ipotesi di
equiprobabilità.
Ma vediamo cosa succede se facciamo crescere il numero di prove.
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Un modo per “risolvere” il problema dato può essere chiamato “metodo empirico”, e risulta
particolarmente significativo per la sua valenza didattica.
“Metodo Empirico”
Per creare le premesse per il ragionamento induttivo, si propone ai ragazzi di usare una moneta di
uso corrente, ad esempio da 2 Euro, per fare un numero di prove sempre più elevato ed osservare
cosa succede della frequenza relativa di successo, ad esempio di Testa, costruendo il grafico che
esprime l’andamento delle frequenze relative di successi Fi/N all’aumentare delle prove.
Sarà utile, infine, chiedersi se lo scostamento fra le Frequenze relative osservate, al variare del
numero dei lanci, è lontano, in modo significativo da p = ½. Se ciò avviene diremo che la moneta
è truccata.
1) Si invitano gli studenti a costruire una tabella delle osservazioni (Tabella 1), ripetendo più volte
il lancio della stessa moneta. Si possono far fare, ad esempio, 60 lanci a ciascuno dei 20 studenti e
poi raggruppare in un'unica tabella i dati ottenuti. Nella tabella che segue, dopo aver chiamato con
N il numero complessivo dei lanci e con Fi e con Fi/N rispettivamente la frequenza cumulata e la
frequenza cumulata relativa, si sono indicati gli estremi dell’intervallo con
p(1 − p ) 1 1,5
p±3
= ±
. E’ noto infatti che tale intervallo comprende statisticamente più del
N
2
N
99% dei dati e che il centro di tale intervallo è la probabilità p richiesta. Diventa particolarmente
significativo osservare dalla Tabella 1 la differenza fra la frequenza ottenuta Fi/N e la probabilità
teorica indicata con p nell’ultima colonna.
Lanci
complessivi
Frequenza
Freq. Cumulate relativa
N
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
780
840
900
960
1020
1080
1140
1200
Fi
31
65
98
121
151
183
216
246
271
301
331
367
400
430
460
489
526
561
591
619
Tabella 1
Fi/N
0,52
0,54
0,54
0,50
0,50
0,51
0,51
0,51
0,50
0,50
0,50
0,51
0,51
0,51
0,51
0,51
0,52
0,52
0,52
0,52
Min
p − 1,5
0,39
0,42
0,44
0,45
0,45
0,46
0,46
0,46
0,47
0,47
0,47
0,47
0,47
0,47
0,47
0,47
0,48
0,48
0,48
0,48
Max
N p + 1,5
0,61
0,58
0,56
0,55
0,55
0,54
0,54
0,54
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,53
0,52
0,52
0,52
0,52
Probabilità
N
p
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Si riportano i dati in un grafico su un foglio elettronico per vedere se la frequenza relativa si stringe
attorno alla probabilità 0,5 in caso di moneta equilibrata.
Andamento della Frequenza relativa di successo Fi/N
0,70
Frequenza relativa e probabilità
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Numero di lanci conplessivo
La linea dei triangolini indica l'estremo superiore
La linea dei quadrati indica l'estremo inferiore
La linea dei rombi indica l'andamento delle frequenze relative
Figura 1
La verifica empirica è simulata, con i limiti dipendenti dalla non perfetta casualità della funzione di
Excel usata, sul foglio elettronico allegato: Lancio_moneta_TCA
(Per attivare la simulazione è sufficiente inserire un qualsiasi dato nella casella gialla e premere
invio). E’ anche possibile effettuare la verifica realmente in classe, usando lo stesso foglio e
inserendo manualmente i risultati del lancio di 60 monete e il numero dei successi ottenuti da
ciascuno dei venti studenti, sostituendo così la funzione casuale che si presenta nella seconda
colonna.
Il grafico mostra la convergenza “empirica” della frequenza relativa Fi/N dei successi alla
probabilità p, attraverso il cosiddetto “grafico ad imbuto” che evidenzia come questa
approssimazione migliori all’aumentare di N .
Osservazione: come è noto, per un certo valore di N, la distribuzione di Fi/N ha media p e varianza
p(1-p)/N. Si può perciò delimitare una banda di oscillazione attorno a p = 0,5, visualizzata dal
grafico ad imbuto, che rappresenta il valore atteso minimo e massimo delle frequenze relative. Le
bande hanno ampiezza 3 ⋅ p (1 − p ) N rispetto a p e contengono circa il 99,7% dei casi. Al
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
cumularsi dei lanci, cioè al crescere di N, si vede come la frequenza relativa dei successi tende a
stare nel grafico ad imbuto e ad avvicinarsi a p.
Osservazione (qualitativa): all’aumentare del numero di prove, aumenta la probabilità che la
frequenza empirica si avvicini al valore teorico p = 0,5 e, quindi, aumenta la fiducia che Fi/N sia
una “buona” stima della vera probabilità.
Naturalmente, nel caso si operi con una moneta equilibrata, si osserva che ciò è solo una verifica
empirica di quanto già si sapeva: che la frequenza relativa stima bene la probabilità, al crescere di
N.
Ma in una serie non numerosa di osservazioni, può accadere che la stima sia “lontana” da 0,5, anche
in una moneta equilibrata.
Come possiamo, perciò, operando all’inverso, valutare l’attendibilità di tale congettura se non
abbiamo una forte informazione iniziale sulla moneta?
Ipotesi nulla: La moneta è equilibrata p = 0,5
Ipotesi alternativa: La moneta non è equilibrata p ≠ 0,5
Possiamo operare in questo modo:
Costruiamo un criterio di decisione (o Test statistico) basato sulla distribuzione Normale
standardizzata dello stimatore della Fi/N
Fi
− p
N
z =
p (1 − p )
N
Tale variabile, nel caso in cui la moneta sia equilibrata, si distribuisce come una variabile casuale
Normale standardizzata (0,1), di cui si dispone delle necessarie tavole numeriche.
Il procedimento per decidere è il seguente:
Si decide di effettuare un numero di lanci “abbastanza grande”: per la ragione appena esposte la
frequenza relativa tende alla probabilità p (ad es. si possono fare N = 100 lanci).
Si sceglie un grado di attendibilità funzionale alla decisione che vogliamo prendere; se, ad es.
fissiamo una attendibilità del 95%, vuol dire che, nel caso la moneta sia equilibrata, siamo pronti ad
accettare una probabilità di sbagliare il giudizio, a causa del campionamento, del 5%.
Si determina empiricamente il valore di Fi /N nel caso esaminato.
Si determina il valore di z, se p=0,5 e N=100.
Si osserva se z cade nell’intervallo standardizzato ( −1,96 , +1,96); è noto che tale intervallo
contiene il 95% circa dei valori di z, nell’ipotesi che p= 0,5 e N=100.
In conclusione:
si accetta l’ipotesi di moneta equilibrata se z è compreso nell’intervallo considerato;
si conclude, invece, che la moneta è truccata se z cade fuori dell’intervallo considerato.
Il processo di decisione può essere schematizzato in una tabella a doppia entrata (Tabella 2). I
simboli α e β indicano, rispettivamente, la probabilità di prendere una decisione errata in presenza
di ipotesi nulla e in presenza di ipotesi alternativa. Il grado di attendibilità 1 – α = 0,95 è stato
fissato preliminarmente e così pure, ovviamente, α = 0,05, che rappresenta la probabilità di
sbagliare nel caso sia vera l’ipotesi nulla. Rimane indeterminata la probabilità β di sbagliare nel
caso sia vera l’ipotesi alternativa.
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Situazione effettiva
Regola di
decisione
Ipotesi nulla
(moneta equilibrata)
p=½
z cade
nell’intervallo
(−1,96, +1,96): Decisione corretta
1 – α = 0,95
si accetta
l’ipotesi nulla
z cade fuori
dell’intervallo
(−1,96, +1,96): Decisione errata
α = 0,05
si accetta
l’ipotesi
alternativa
Tabella 2
Ipotesi alternativa
(moneta non equilibrata)
p≠½
Decisione errata
β
Decisione corretta
1-β
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
L’affondamento del Titanic
Livello scolare: 2° biennio
Abilità
interessate
Identificare situazioni che
richiedono di rilevare lo
stesso carattere su una unità
statistica formata da 2
elementi, o 2 caratteri diversi
sulla stessa unità statistica.
Impostare una tabella a
doppia entrata; classificare i
dati secondo due caratteri e
riconoscere in essa i diversi
elementi individuabili.
Selezionare, produrre ed
usare appropriate
rappresentazioni grafiche
delle distribuzioni doppie.
Conoscenze
Distribuzione doppia di
frequenze e tabella a
doppia entrata.
Distribuzioni condizionate
e marginali.
Principali
rappresentazioni grafiche
per le distribuzioni doppie
rispetto a caratteri di
qualsiasi natura.
Concetto e significato di
modello: dipendenza e
indipendenza stocastica.
Probabilità semplice,
condizionata e composta.
Nuclei
coinvolti
Risolvere e porsi
problemi
Collegamenti
esterni
Dati e previsioni
Argomentare,
congetturare,
dimostrare
Contesto
Dipendenza stocastica.
Il contesto è di tipo matematico ed extramatematico; per quest’ultimo aspetto si colloca nell’ambito
della vita sociale e dell’attualità.
Questo esempio è riferito a dati reali che facilmente possono colpire lo studente nella vita
quotidiana attraverso notizie provenienti da televisione e giornali. La parte didatticamente più
importante è l’attenzione da porre a dati e percentuali che, a prima vista, potrebbero fuorviare.
Descrizione dell’attività
Il Titanic trasportava passeggeri in tre classi: 1a, 2 a, 3 a. Dopo l’affondamento fu stilata la relazione
relativa all’incidente ed a tutte le operazioni di salvataggio successive. Alcuni dati sono
sinteticamente riportati nelle seguenti tabelle:
Viaggiatori alla partenza
Classe dei
Totale
viaggiatori
Uomini
Donne
Bambini
1a Classe
175
144
6
325
a
2 Classe
168
93
24
285
3 a Classe
462
165
79
706
Totale
805
Classe dei
viaggiatori
1a Classe
2 a Classe
3 a Classe
Uomini
57
14
75
Totale
146
402
109
Tabella 1
Sopravvissuti
Donne
Bambini
140
6
80
24
76
27
296
Tabella 2
57
1316
Totale
203
118
178
499
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Classe dei
viaggiatori
1a Classe
2 a Classe
3 a Classe
Totale
Morti o Dispersi
Uomini
Donne
Bambini
118
4
0
154
13
0
387
89
52
659
106
Totale
122
167
528
52
817
Tabella 3
Osservazione 1: I passeggeri delle tre classi non viaggiavano tutti nelle stesse condizioni. Ad
esempio, i passeggeri di terza classe erano in gran parte emigranti con famiglia e figli,
probabilmente non tutti erano perfettamente padroni della lingua inglese (c’erano emigranti
francesi, ma anche inglesi usi a parlare in dialetto) e, inoltre, gli alloggi di terza erano collocati in
luoghi della nave da cui non era immediato l’accesso al ponte dove si trovavano le lance di
salvataggio. Al contrario, i passeggeri di prima erano persone facoltose abituate a parlare in inglese,
in generale coppie senza figli in viaggio di divertimento e gli alloggi di prima si affacciavano sul
ponte o erano nelle vicinanze. Per dare forza all’osservazione che in terza classe c’erano molti più
bambini che nelle altre classi, si può costruire la Tabella 4 con i dati relativi ai bambini alla
partenza.
Classe
1a Classe
2 a Classe
3 a Classe
Totale
Viaggiatori alla partenza
Bambini
In totale
Percentuale
6
325
1,8 %
24
285
8,4 %
79
706
11,2 %
109
1316
8,3 %
Tabella 4
Effettivamente, in terza classe i bambini erano molto più numerosi, rappresentavano l’11,2% dei
passeggeri di quella classe, in seconda rappresentavano l’8,4% dei passeggeri e in prima
rappresentavano solo l’1,8% dei passeggeri. Rivolgiamoci alcune domande atte a capire come
stavano effettivamente le cose.
Domanda: Osservando i dati riportati nelle tabelle, sembra possibile affermare che, a causa delle
maggiori difficoltà incontrate nel salvataggio dei passeggeri di terza classe (con famiglie, con
bambini, alloggiati in luoghi poco agevoli, con difficoltà di linguaggio), sono stati salvati più
passeggeri di seconda e prima classe che di terza. Questa è solo una impressione o può essere
confermata da una analisi puntuale ed approfondita dei dati?
Vediamo alcune (possibili) risposte, suddivise per “categorie”.
Prima risposta (uomini): Per rispondere alla domanda, si incominci a prendere in considerazione i
soli maschi. A partire dalle Tabella 2 e 3 si costruisca la Tabella 5. Salta agli occhi che più della
metà dei sopravvissuti maschi (il 51,4%) è di terza classe). Verrebbe da dire, ad una prima affrettata
(e, come vedremo, errata) conclusione, che tra gli uomini si sono salvati soprattutto quelli di terza
classe (51,4%), seguiti da quelli di prima (39%) e da quelli di seconda (9,6%).
Classe
Sopravvissut
i uomini
Ripartizione Uomini alla
percentuale dei
partenza
sopravvissuti
uomini
Ripartizione
percentuale
degli uomini
alla partenza
Percentuale
di
sopravvissuti
sui partenti
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
1a Classe
2 a Classe
3 a Classe
57
14
75
39,0
9,6
51,4
175
168
462
21,7
20,9
57,4
32,6
8,3
16,2
Totale
146
100,0
805
100,0
18,1
Tabella 5
Guardando con più cura la tabella, però, si nota che anche alla partenza ci sono più uomini in terza
classe (57,4%), che non in seconda (20,9%) o in prima (21,7%).
A questo punto si può provare a dare una prima risposta (corretta): tra gli uomini, alla partenza i
viaggiatori di terza classe sono il 57,4%; tra i sopravvissuti, invece, gli uomini di terza sono solo il
51,4%. In seconda classe, invece: gli uomini sono il 20,9% dei i partenti, ma il 9,6% dei
sopravvissuti. Diversa ancora la situazione in prima: gli uomini sono il 21,7% dei partenti ed il 39%
dei sopravvissuti.
L’ultima colonna della Tabella 5 riporta, per i maschi, la percentuale di sopravvissuti sui partenti,
classe per classe. Si vede bene, adesso, che in terza i sopravvissuti sono il 16,2% dei partenti, in
seconda sono l’8,3% e in prima il 32,6%.
Osservazione 2: Con quanto detto finora, si può fare riferimento alle probabilità condizionate.
Si provi a immaginare di pescare a caso un nome dall’elenco dei viaggiatori: se si pesca tra i nomi
di prima classe, la probabilità di trovare il nome di un sopravvissuto è 0,326; se si pesca tra i nomi
di seconda classe la probabilità di trovare il nome di un sopravvissuto è 0,083; se si pesca tra i nomi
di terza classe la probabilità è 0,162. Appare così evidente, come avevamo sottolineato prima, che è
molto più facile trovare il nome di un sopravvissuto in prima classe che non in terza perché le
probabilità condizionate di sopravvivenza sono diverse e dipendono dalla classe del viaggiatore.
Seconda risposta (donne): E per le donne?
Si cominci a costruire la Tabella 6, analoga alla 5 ma relativa alle donne. Tra le sopravvissute, il
47,3% è di prima classe, il 27% è di seconda e solamente il 25,7% è di terza. Alla partenza, però, le
percentuali sono molto diverse: il 35,8% delle donne viaggia in prima, il 23,1% in seconda e il
41,1% in terza.
Se poi si va a vedere l’ultima colonna della Tabella 5, che riporta, per le donne, la percentuale di
sopravvissute sulle partenti, classe per classe, si vede bene che in terza le sopravvissute sono il
46,1% delle partenti, in seconda classe sono l’86,0% e in prima sono state salvate praticamente tutte
le passeggere (140 su 144, pari al 97,2%).
Ripartizione
percentuale
delle
sopravvissut
e donne
Percentuale
di
sopravvissut
e sulle
partenti
Classe
Sopravvissute
donne
1a Classe
140
47,3
144
35,8
97,2
2 a Classe
80
27,0
93
23,1
86,0
3 Classe
76
25,7
165
41,1
46,1
Totale
296
100,0
402
100,0
73,6
a
Donne alla
partenza
Ripartizione
percentuale
delle donne
alla partenza
Tabella 6
Anche adesso si potrebbe dire che, se si pesca a caso un nome dall’elenco delle viaggiatrici, la
probabilità di trovare il nome di una sopravvissuta è 0,972, se si pesca tra i nomi di prima classe; è
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
0,86, se si pesca tra i nomi di seconda classe; è infine 0,461, se si pesca tra i nomi di terza classe.
Anche per le donne, è dunque molto più facile trovare il nome di una sopravvissuta in prima classe
che non in terza.
Osservazione 3: Anche in questo caso si vede che le probabilità di sopravvivenza sono condizionate
alla classe del viaggiatore.
Terza risposta (tutti = uomini+donne+bambini): Alla domanda di partenza, può essere risposto
anche prendendo in considerazione tutti i passeggeri complessivamente considerati, maschi e
femmine, compresi i bambini (cfr. Tabella 7).
La domanda di partenza può essere riformulata nei seguenti modi alternativi fra loro equivalenti:
- i passeggeri delle tre classi hanno avuto le stesse opportunità di salvezza?
- la appartenenza a una classe ha modificato in meglio o in peggio le opportunità di salvezza?
- la conclusione favorevole del viaggio è dipesa dalla classe?
Se le opportunità di salvezza sono state (più o meno) eguali per tutti i passeggeri di tutte le classi, in
tutte e tre le classi si deve trovare (più o meno) la stessa percentuale di sopravvissuti.
Complessivamente, i sopravvissuti sono stati 499 su 1316 passeggeri, pari al 37,9%. La stessa
percentuale di sopravvissuti si deve trovare in tutte tre le classi.
Per quanto riguarda la prima classe, il 37,9% di 325 è 123,7: questo è il numero atteso di
sopravvissuti nella prima classe, nella ipotesi che questi passeggeri abbiano avuto le stesse
opportunità di salvezza degli altri.
Per la seconda classe il 37,9% di 285 è 108,1: questo è il numero atteso di sopravvissuti in seconda,
nella stessa ipotesi di indipendenza delle opportunità di salvezza dalla classe.
Analogamente, per quanto riguarda la terza classe, il 37,9% di 706 è 267,7: questo è il numero
atteso di sopravvissuti in terza.
Si procede nello stesso modo al calcolo dei morti e dispersi classe per classe. Complessivamente,
tra morti e dispersi ci sono stati 817 passeggeri su 1316, pari al 62,1%. La stessa percentuale di
dispersi si dovrebbe trovare nelle tre classi.
I numeri attesi, così calcolati, di sopravvissuti e di morti e dispersi sono riportati in ogni casella
della tabella 7, in basso a destra, in carattere corsivo.
Si vede che in prima classe i sopravvissuti sono 203, più di quanti (123,2) risultano calcolati nella
ipotesi di indipendenza tra esito del viaggio e classe. In terza classe, invece, i sopravvissuti sono
178, meno di quanti (267,7) risultano calcolati nella ipotesi di indipendenza tra esito del viaggio e
classe. Per quanto riguarda i dispersi, avviene il contrario. In prima classe i dispersi sono 122, meno
di quanti (201,8) risultano calcolati nella ipotesi di indipendenza tra esito del viaggio e classe. In
terza classe, invece, i dispersi sono 528, più di quanti (438,3) risultano calcolati nella ipotesi di
indipendenza tra esito del viaggio e classe.
Complessivamente, questi risultati permettono di affermare che effettivamente il numero di
sopravvissuti, da un lato, e quello di morti e dispersi, dall’altro, sono in qualche modo collegati alla
classe dei viaggiatori.
Classe dei
viaggiatori
Sopravvissuti
Morti o
Dispersi
Totale
1a Classe
203
122
325
2 a Classe
118
3 a Classe
178
Totale
499
123,2
201,8
167
108,1
285
176,9
528
267,7
817
Tabella 7
706
438,3
1316
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Osservazione 4: Si provi a generalizzare i ragionamenti fatti a riguardo dei dati della tabella 7
riguardo al calcolo delle frequenze attese nell’ipotesi di indipendenza tra esito del viaggio e classe.
La tabella 8 è fatta come la 7, l’unica differenza è che si riferisce al caso generale di due variabili X
con h modalità (h righe) e Y con k modalità (k colonne). Le frequenze osservate, riportate in ogni
casella nella prima riga, sono indicate con f ij ; le frequenze attese (calcolate nell’ipotesi di
indipendenza tra classe e esito del viaggio), riportate in ogni casella nella seconda riga, sono
indicate con fˆij . Ricordando come sono state calcolate le frequenze attese della tabella 7, nella
tabella 8 risulta, in ogni casella, fˆij = Ti.T. j / T.. .
Osservazione 5: Verificare che in una tabella a doppia entrata, come la 7 o la 8:
- in ogni riga la somma delle frequenze osservate risulta eguale alla somma delle frequenze
∑ih=1 f ij = ∑ih=1 fˆij = Ti.
(i=1,2,…h);
attese:
- in ogni colonna la somma delle frequenze osservate risulta eguale alla somma delle
frequenze attese:
(j=1,2,…k);
∑ kj = 1 f ij = ∑ kj = 1 fˆij = T. j
- il totale generale delle frequenze osservate risulta eguale al totale delle frequenze attese:
∑ih=1 ∑ kj =1 f ij = ∑ih=1 ∑ kj =1 fˆij = T..
(i=1,2,…h; j=1,2,…k).
Osservazione 6: Usando la tabella 7 come un’urna e prendendo in considerazione la prima casella si
possono facilmente calcolare tre probabilità: quella di estrarre a caso il nome di un viaggiatore di
prima classe, quella di estrarre a caso il nome di un viaggiatore sopravvissuto, quella di estrarre a
caso il nome di un viaggiatore di prima classe sopravvissuto.
P(Ia) = P(di estrarre a caso il nome di un viaggiatore di prima classe) = 325/1316
P(S) = P(di estrarre a caso il nome di un viaggiatore sopravvissuto) = 499/1316
P(Ia ∩ S) = P(di estrarre a caso il nome di un viaggiatore di prima classe sopravvissuto) = 203/1316
Risulta facile verificare la non indipendenza tra i due eventi: i) viaggiatore di prima classe
e ii) viaggiatore sopravvissuto:
P(Ia)·P(S) = (325/1316)·(499/1316) = 0,09364 ≠ P(Ia ∩ S) = 203/1316 = 0,1543
Variabile
X
x1
.
.
Variabile Y
y1
f11
fˆ11
f i1
.
.
f h1
Totale
yj
f1 j
fˆ1 j
Totale
...
...
.
.
fˆi1
xh
...
.
xi
.
...
.
...
.
f ij
...
T.1
...
f 1k
fˆ1k
T1.
.
.
.
...
f ik
.
fˆik
Ti.
.
.
.
f hj
f hk
fˆij
.
fˆh1
yk
.
.
fˆhj
...
fˆhk
Th.
T.j
...
T.k
T..
Tabella 8
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Osservazione 7: Per valutare le distanze tra le frequenze osservate della tabella 7 (in carattere
normale) e quelle attese nella ipotesi di indipendenza tra classe e esito del viaggio (in corsivo) è
possibile utilizzare anche l’indice sintetico χ2 .
Nel caso generale della tabella 8, l’espressione dell’indice è:
( fij − fˆij )2
χ =∑ ∑
fˆ
i =1 j =1
2
h
k
ij
Nel caso particolare della tabella 7, l’indice risulta:
χ2 = (203-123,2)2/123,2 + (122-201,8)2/201,8 + (118-108,1)2/108,1 + (167-176,9)2/176,9 +
+ (178-267,7)2/267,7 + (528-438,3)2/438,3 = 133,1.
Questo valore indica un allontanamento dalla situazione di indipendenza stocastica e, quindi, una
dipendenza tra classe ed esito del viaggio.
Osservazione conclusiva: Si possono fare due ulteriori considerazioni sul risultato numerico del
calcolo dell’indice χ2.
Il valore di χ2 è determinato, oltre che dalla eventuale dipendenza tra i due caratteri X e Y
che si vuole misurare, anche dalla numerosità totale T. Infatti, se si moltiplicano tutte le
frequenze della tabella 8, e quindi anche il totale T, per una costante k>0, le proporzioni
interne alla tabella rimangono invariate, ma si verifica facilmente che il nuovo indice risulta
kχ2
h
∑
i=1
(kfij − kfˆij )2
= kχ 2
∑
kfˆ
j=1
k
ij
Per avere un indice che permetta confronti e giudizi, senza essere influenzato dal numero
totale T dei casi osservati e della dimensione h x k della tabella, si utilizza un indice
normalizzato χ~ 2 compreso tra 0 (nel caso di indipendenza) ed 1 (nel caso di massima
dipendenza, compatibile con la struttura della tabella: dimensione h x k e numerosità T).
0 ≤ χ~ 2 =
χ2
T min{(h − 1); (k − 1)}
< 1.
Nel caso della tabella 7, l’indice normalizzato risulta:
133,1
133,1
χ~ 2 =
=
= 0,05 .
1316 min{(3 − 1); (2 − 1)} 1316 ⋅ 2
Questo valore misura l’allontanamento dalla situazione di indipendenza e indica, quindi, una
certa dipendenza tra classe ed esito del viaggio.
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
E che sia negativa!
Livello scolare: 2° biennio
Abilità
interessate
Riconoscere situazioni
problematiche affrontabili
con metodi matematici
analoghi: riconoscere
fenomeni riconducibili ad
uno stesso modello
matematico ai fini di attività
di interpretazione o di
previsione.
Porsi problemi aperti ed
esplicitare le possibilità che
esistano formalizzazioni
matematiche diverse di uno
stesso problema.
Conoscenze
Equazioni polinomiali:
numero delle soluzioni e
algoritmi di approssimazione.
Nuclei
Collegamen
coinvolti
ti esterni
Porsi e risolvere
problemi
Numeri e algoritmi
Esempi di funzioni e dei loro
grafici: funzione potenza,
funzioni polinomiali.
Zeri e segno di funzioni:
equazioni e disequazioni di
secondo grado, esempi scelti
di equazioni, disequazioni,
sistemi non lineari.
Relazioni e funzioni
Argomentare,
congetturare,
dimostrare
Contesto
Polinomi.
Il contesto è matematico e, più precisamente, riguarda i polinomi, e le equazioni polinomiali in una
variabile.
Il punto essenziale è l’utilizzo di proprietà importanti delle funzioni per avere informazioni su
particolari richieste. Nella soluzione del problema posto si possono seguire due procedure risolutive
diverse, una di tipo esclusivamente concettuale, una di tipo grafico e dunque più pragmatica, per
ottenere la stessa risposta.
Descrizione dell’attività
Prima fase
Si chiede inizialmente di rispondere alla seguente domanda:
L’equazione x3 + πx2 + 1,763 = 0 può avere una soluzione negativa?
I coefficienti sono stati scelti ovviamente in modo tale da dissuadere gli studenti dal fare i calcoli,
anche se è probabile che qualcuno ci provi lo stesso.
Inizia a questo punto la discussione su come si possa rispondere alla domanda. E’ probabile che
emergano due diverse indicazioni. Una che privilegia l’aspetto computazionale, l’altra che
privilegia l’aspetto grafico. In entrambi i casi si procederà in un primo momento per tentativi, ma
l’insegnante farà attenzione a sottolineare quei tentativi che si basano, anche inconsapevolmente,
sul concetto di continuità.
Si analizza l’aspetto computazionale. Sicuramente si inizierà col valutare la funzione in
corrispondenza di x = 0; qui la funzione assume chiaramente un valore positivo. Altrettanto
facilmente ci si rende conto che lo stesso accade per ogni valore positivo di x. Gli studenti
cominceranno allora a dare a x valori anche negativi; il primo di essi potrebbe essere x = -1, il
valore è ancora positivo. Per x = -4 si trova “finalmente” un valore negativo della funzione. A
questo punto non solo ci si rende conto che nell’intervallo [-4; -3] ci sarà sicuramente una
soluzione, ma che non ce ne saranno altre in quanto il polinomio si mantiene negativo per ogni
valore minore di -4.
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Il secondo metodo, quello grafico potrebbe, un primo momento, mettere in crisi gli studenti, per la
difficoltà di tracciare il grafico di una funzione polinomiale di 3° grado della quale non è noto
calcolare gli zeri, se non ricorrendo di nuovo al computo di alcuni valori. L’insegnante suggerirà
allora di trasformare l’equazione in un’altra equivalente, ma con un diverso significato concettuale.
La scrittura x 3 + π x 2 = - 1,763 può essere pensata come l’intersezione di una retta di valore
costante e di un polinomio di 3° grado, più semplice del precedente. L’insegnante può comunque
approfittare dell’occasione per far riprendere agli studenti, a livello qualitativo, l’andamento di una
funzione polinomiale, il suo comportamento per valori che tendono all’infinito, il numero massimo
dei suoi zeri.
La funzione y = x 3 + π x 2 , a meno della traslazione, può essere scritta y = x 2 (x +π); essa tocca
l’asse x in x = 0 e in x = -π. Le considerazioni sul segno fanno anche capire che la funzione si
mantiene negativa per valori di x < -π, mentre è sempre positiva per tutti gli altri valori.
Figura 1
Il grafico fa capire che le due funzioni hanno una sola intersezione, che in questo caso è negativa, e
– se disegnato con una certa accuratezza – ci da anche una stima numerica della soluzione.
Seconda fase
Si considera adesso l’equazione x3 + ax2 + b = 0 a cui si vogliano applicare i due metodi proposti
nell’esempio precedente. E’ interessante sottolineare subito come la nozione di continuità sia
l’elemento fondamentale che consente di portare avanti con successo le due procedure, anche da un
punto di vista generale.
Procedendo per casi gli studenti si renderanno conto che se a e b sono positivi, la situazione ricalca
del tutto quella precedente. Gli altri casi prevedono però la considerazione di ulteriori sottocasi che
portano a rendere complessa la discussione generale dell’equazione. Tuttavia si possono trovare
altre condizioni: l’intersezione del polinomio con l’asse x, il fatto che per x che tende a meno
infinito il polinomio ha sicuramente segno negativo e che per x tendente a più infinito il polinomio
ha segno positivo. Quindi si può affermare che c’è sempre almeno una soluzione reale, di cui però è
necessario discutere il segno.
Il metodo grafico visto in precedenza porta invece un po’ più avanti. Scriviamo ancora l’equazione
come x3 + ax2 = - b, riferendoci dunque all’intersezione delle due funzioni
y = - b , e y = x3 + ax2 = x2(x +a).
La prima è una retta parallela all’asse delle ascisse, nel semipiano inferiore o superiore a seconda
che b sia positivo o negativo. La seconda interseca l’asse x in x = 0 e in x = -a, è positiva per x > -a,
e negativa per x < -a.
Se a è positivo si ha una grafico con lo stesso andamento di quello visto nell’esempio precedente,
ovvero c’è una soluzione negativa per b positivo e una o tre soluzioni se b è negativo.
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Se a è negativo, il grafico ha un andamento del tipo indicato in figura (in cui abbiamo posto a =-3).
Se b è positivo, c’è sicuramente una soluzione negativa, se b è negativo c’è solo una soluzione
positiva.
Figura 2
Possibili sviluppi
Il metodo utilizzato, che consiste nell’interpretare un’equazione come intersezione di due funzioni,
portando opportunamente alcuni termini a secondo membro, può essere utilizzato vantaggiosamente
in molte situazioni, anche per funzioni non polinomiali. Si provi ad esempio a determinare gli
intervalli in cui si trovano gli zeri dell’equazione 2ln(x+2) –x = 0.
Senza riferirsi alle funzioni, ma utilizzando considerazioni teoriche in modo analogo a quanto fatto
nel primo esempio, si può rispondere subito alla domanda, apparentemente mostruosa:
L’equazione x5 – 7Log(x + 1) + sin x – (x + 1)1/2 = 0 ha radici reali? La risposta è sì (infatti per x = 0
il primo membro assume valore -1, mentre per x = 9 l’espressione è abbondantemente positiva).
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
La moneta è truccata!
Livello scolare: 2° biennio
Abilità
interessate
Confrontare schematizzazioni
matematiche diverse di uno
stesso fenomeno o situazione
in relazione ai loro limiti di
validità, alle esigenze (in
particolare di descrizione o di
interpretazione o di
previsione), e alle risorse
(tempo, conoscenze, mezzi
tecnologici) disponibili.
Valutare criticamente le
informazioni.
Selezionare, produrre ed usare
appropriate distribuzioni
grafiche.
Conoscenze
Il ragionamento
induttivo e le basi
dell’inferenza.
Nuclei
coinvolti
Risolvere e porsi
problemi
Collegamenti
esterni
Dati e previsioni
Produrre grafici di
relazioni.
Relazioni e funzioni
Laboratorio di
matematica
Contesto
Statistica.
Il contesto è di tipo matematico ed extramatematico; per quest’ultimo aspetto si colloca nell’ambito
della vita sociale cercando di dare indicazioni di consapevolezza critica verso il mondo circostante.
Giochi di sorte. Si propone alla classe un semplice problema che implica la necessità di una (forse
prima) riflessione circa il modo di verificare se una congettura, o una ipotesi, è vera oppure è falsa.
“Si gioca a Testa e Croce con una moneta di cui non si conosce la provenienza...magari per farci
delle scommesse. Prima di fare delle puntate, si vorrebbe sapere, con una certa attendibilità, se essa
è equilibrata o meno, cioè se si può attribuire la stessa probabilità alle 2 facce, Testa o Croce, cioè
se P(T)=P(C)=1/2 “
Descrizione dell’attività
Si propone inizialmente agli studenti di riflettere sul fatto che non sempre, quando sono di fronte a
due eventi alternativi, devono pensare che tali eventi abbiano la stessa probabilità di verificarsi. Ciò
perché in modo spontaneo, ma non sempre corrispondente alla realtà, gli studenti, messi a confronto
con le prime considerazioni probabilistiche, sono portati a considerare equilibrata qualsiasi moneta,
e quindi, ad attribuire la stessa probabilità alle due facce.
Per rendere più evidente la cosa facciamo notare che è senz’altro corretto attribuire un alto grado di
fiducia, o “verità” a questa congettura, se ci troviamo fra le mani una moneta coniata dalla Zecca
di Stato, mentre non sappiamo cosa si può dire se fra le mani ci è capitata una vecchia moneta o se,
chi ci propone di usarla per il gioco, sia qualcuno che sospettiamo abbia truccato la moneta, ad
esempio, in modo da far venire mediamente più Teste che Croci.
Un’altra possibile osservazione, che viene spontanea in classe, è sul significato di frequenza
dell’evento: si può ragionevolmente ritenere che, anche se una moneta è equilibrata, in una serie
limitata di osservazioni, ciò porti esattamente ad ottenere il 50% di Teste e 50% di Croci?
Prima conclusione che si raggiunge dalla discussione: un numero non molto grande di lanci può non
essere sufficiente a scoprire, anche con monete equilibrate, se è attendibile l’ipotesi di
equiprobabilità.
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Ma vediamo cosa succede se facciamo crescere il numero di prove.
Un modo per “risolvere” il problema dato può essere chiamato “metodo empirico”, e risulta
particolarmente significativo per la sua valenza didattica.
“Metodo Empirico”
Per creare le premesse per il ragionamento induttivo, si propone ai ragazzi di usare una moneta di
uso corrente, ad esempio da 2 Euro, per fare un numero di prove sempre più elevato ed osservare
cosa succede della frequenza relativa di successo, ad esempio di Testa, costruendo il grafico che
esprime l’andamento delle frequenze relative di successi Fi/N all’aumentare delle prove.
Sarà utile, infine, chiedersi se lo scostamento fra le Frequenze relative osservate, al variare del
numero dei lanci, è lontano, in modo significativo da p = ½. Se ciò avviene diremo che la moneta
è truccata.
1) Si invitano gli studenti a costruire una tabella delle osservazioni (Tabella 1), ripetendo più volte
il lancio della stessa moneta. Si possono far fare, ad esempio, 60 lanci a ciascuno dei 20 studenti e
poi raggruppare in un'unica tabella i dati ottenuti. Nella tabella che segue, dopo aver chiamato con
N il numero complessivo dei lanci e con Fi e con Fi/N rispettivamente la frequenza cumulata e la
frequenza cumulata relativa, si sono indicati gli estremi dell’intervallo con
p(1 − p ) 1 1,5
p±3
= ±
. E’ noto infatti che tale intervallo comprende statisticamente più del
N
2
N
99% dei dati e che il centro di tale intervallo è la probabilità p richiesta. Diventa particolarmente
significativo osservare dalla Tabella 1 la differenza fra la frequenza ottenuta Fi/N e la probabilità
teorica indicata con p nell’ultima colonna.
Lanci complessivi Freq. Cumulate Frequenza relativa
N
60
120
180
240
300
360
420
480
540
600
660
720
780
840
900
960
1020
1080
1140
1200
Fi
31
65
98
121
151
183
216
246
271
301
331
367
400
430
460
489
526
561
591
619
Fi/N
0,52
0,54
0,54
0,50
0,50
0,51
0,51
0,51
0,50
0,50
0,50
0,51
0,51
0,51
0,51
0,51
0,52
0,52
0,52
0,52
Tabella 1
Min
Max
p − 1,5 N p + 1,5 N
0,39
0,61
0,42
0,58
0,44
0,56
0,45
0,55
0,45
0,55
0,46
0,54
0,46
0,54
0,46
0,54
0,47
0,53
0,47
0,53
0,47
0,53
0,47
0,53
0,47
0,53
0,47
0,53
0,47
0,53
0,47
0,53
0,48
0,52
0,48
0,52
0,48
0,52
0,48
0,52
Probabilità
p
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Si riportano i dati in un grafico su un foglio elettronico per vedere se la frequenza relativa si stringe
attorno alla probabilità 0,5 in caso di moneta equilibrata.
Andamento della Frequenza relativa di successo Fi/N
0,70
Frequenza relativa e probabilità
0,60
0,50
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Numero di lanci conplessivo
La linea dei triangolini indica l'estremo superiore
La linea dei quadrati indica l'estremo inferiore
La linea dei rombi indica l'andamento delle frequenze relative
Figura 1
La verifica empirica è simulata, con i limiti dipendenti dalla non perfetta casualità della funzione di
Excel usata, sul foglio elettronico allegato: Lancio_moneta_TCA
(Per attivare la simulazione è sufficiente inserire un qualsiasi dato nella casella gialla e premere
invio). E’ anche possibile effettuare la verifica realmente in classe, usando lo stesso foglio e
inserendo manualmente i risultati del lancio di 60 monete e il numero dei successi ottenuti da
ciascuno dei venti studenti, sostituendo così la funzione casuale che si presenta nella seconda
colonna.
Il grafico mostra la convergenza “empirica” della frequenza relativa Fi/N dei successi alla
probabilità p, attraverso il cosiddetto “grafico ad imbuto” che evidenzia come questa
approssimazione migliori all’aumentare di N .
Osservazione: come è noto, per un certo valore di N, la distribuzione di Fi/N ha media p e varianza
p(1-p)/N. Si può perciò delimitare una banda di oscillazione attorno a p = 0,5, visualizzata dal
grafico ad imbuto, che rappresenta il valore atteso minimo e massimo delle frequenze relative. Le
bande hanno ampiezza 3 ⋅ p (1 − p ) N rispetto a p e contengono circa il 99,7% dei casi. Al
cumularsi dei lanci, cioè al crescere di N, si vede come la frequenza relativa dei successi tende a
stare nel grafico ad imbuto e ad avvicinarsi a p.
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Osservazione (qualitativa): all’aumentare del numero di prove, aumenta la probabilità che la
frequenza empirica si avvicini al valore teorico p = 0,5 e, quindi, aumenta la fiducia che Fi/N sia
una “buona” stima della vera probabilità.
Naturalmente, nel caso si operi con una moneta equilibrata, si osserva che ciò è solo una verifica
empirica di quanto già si sapeva: che la frequenza relativa stima bene la probabilità, al crescere di
N.
Ma in una serie non numerosa di osservazioni, può accadere che la stima sia “lontana” da 0,5, anche
in una moneta equilibrata.
Come possiamo, perciò, operando all’inverso, valutare l’attendibilità di tale congettura se non
abbiamo una forte informazione iniziale sulla moneta?
Ipotesi nulla: La moneta è equilibrata p = 0,5
Ipotesi alternativa: La moneta non è equilibrata p ≠ 0,5
Possiamo operare in questo modo:
Costruiamo un criterio di decisione (o Test statistico) basato sulla distribuzione Normale
standardizzata dello stimatore della Fi/N
Fi
− p
N
z =
p (1 − p )
N
Tale variabile, nel caso in cui la moneta sia equilibrata, si distribuisce come una variabile casuale
Normale standardizzata (0,1), di cui si dispone delle necessarie tavole numeriche.
Il procedimento per decidere è il seguente:
Si decide di effettuare un numero di lanci “abbastanza grande”: per la ragione appena esposte la
frequenza relativa tende alla probabilità p (ad es. si possono fare N = 100 lanci).
Si sceglie un grado di attendibilità funzionale alla decisione che vogliamo prendere; se, ad es.
fissiamo una attendibilità del 95%, vuol dire che, nel caso la moneta sia equilibrata, siamo pronti ad
accettare una probabilità di sbagliare il giudizio, a causa del campionamento, del 5%.
Si determina empiricamente il valore di Fi /N nel caso esaminato.
Si determina il valore di z, se p=0,5 e N=100.
Si osserva se z cade nell’intervallo standardizzato ( −1,96 , +1,96); è noto che tale intervallo
contiene il 95% circa dei valori di z, nell’ipotesi che p= 0,5 e N=100.
In conclusione:
si accetta l’ipotesi di moneta equilibrata se z è compreso nell’intervallo considerato;
si conclude, invece, che la moneta è truccata se z cade fuori dell’intervallo considerato.
Il processo di decisione può essere schematizzato in una tabella a doppia entrata (Tabella 2). I
simboli α e β indicano, rispettivamente, la probabilità di prendere una decisione errata in presenza
di ipotesi nulla e in presenza di ipotesi alternativa. Il grado di attendibilità 1 – α = 0,95 è stato
fissato preliminarmente e così pure, ovviamente, α = 0,05, che rappresenta la probabilità di
sbagliare nel caso sia vera l’ipotesi nulla. Rimane indeterminata la probabilità β di sbagliare nel
caso sia vera l’ipotesi alternativa.
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Situazione effettiva
Regola di
decisione
Ipotesi nulla
(moneta equilibrata)
p=½
z cade
nell’intervallo
(−1,96, +1,96): Decisione corretta
1 – α = 0,95
si accetta
l’ipotesi nulla
Ipotesi alternativa
(moneta non equilibrata)
p≠½
Decisione errata
β
z cade fuori
dell’intervallo
(−1,96, +1,96): Decisione errata
α = 0,05
si accetta
l’ipotesi
alternativa
Decisione corretta
1-β
Tabella 2
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Elementi di prove di verifica
1. Bisogna essere precisi
Se abbiamo un cubo di lato 2 cm ed una sfera in esso inscritta, di quante cifre decimali esatte di
2 e di π abbiamo bisogno per esprimere il volume del solido differenza con due cifre decimali
esatte ? E se volessimo 4 cifre decimali esatte per il risultato finale ?
2. In gita scolastica
Un pulmino per una gita scolastica può trasportare 36 passeggeri. Se in una scuola ci sono 1129
studenti e 53 professori, quanti pulmini sono necessari ?
E se si prendono pullman grandi da 61 posti ?
Rispondere alle stesse domande tenendo conto anche che un pullman costa i 2 3 in più di un
pulmino.
3. Al cinema dove? E con chi?
Andrea, Beppe, Carlo, Dario ed Elena vanno al cinema e si siedono in una fila di 10
poltroncine. Supponendo che altre 5 persone si siedano nella stessa fila, qual è:
la probabilità che Andrea e Beppe siano seduti accanto?
la probabilità che Carlo, Dario ed Elena siano seduti accanto?
la probabilità che Carlo, Dario ed Elena siano seduti accanto con Andrea e Beppe lontani?
la probabilità che Carlo sia seduto fra Dario ed Elena ( ma non necessariamente adiacente)?
Nota: Ci si deve porre il problema di come si siedono (a caso oppure no?): anche questo problema
può essere affrontato in più modi diversi.
E se ci si chiedesse:
la probabilità che Andrea e Beppe siano seduti accanto ad una ragazza col maglione rosso?
la probabilità che Andrea e Tiziana non siano seduti accanto?
la probabilità che Dario decida di non andare al cinema?
di quali altre informazioni avremmo bisogno?
4. Chi è più la più grande ?
Se tagliamo una sfera con un piano è facile vedere che la più grande superficie ottenibile è un
cerchio con centro nel centro della sfera. E se tagliamo un cubo con un piano, qual è la più grande
superficie ottenibile? E’ possibile determinare il numero di piastrelle quadrate (di lato 1 cm)
sufficiente per ricoprire tale superficie, supponendo il cubo di lato 1 m ?
5. Serve conoscere?
Si estraggono 2 carte da un mazzo di 52. Qual è la probabilità che la seconda estratta sia una carta
di Cuori?
E se si estraggono 9 carte da un mazzo di 52, qual è la probabilità che la nona carta estratta sia di
Picche ?
Nota: Ci deve porre il problema della “conoscenza”, oppure no, delle carte già estratte e si può
affrontare il problema in modi diversi (anche derivanti dall’intuizione).
6. Euro e Dollari
RISOLVERE e PORSI PROBLEMI
Alla data del 20 febbraio 2003 un Euro vale 1,07 Dollari.
a. quanti Euro vale un dollaro?
b. Come varia il cambio Euro – Dollaro, se il Dollaro è svalutato del 10%?
7. Zeri di funzioni
Nell’intervallo [0; 1] la funzione 3x2 – ex + 0,5 ha uno zero. Perché? Possiamo dire che ne ha un
altro per x > 1?
8.Altezze, mediane e bisettrici.
In un triangolo ABC si tracciano l’altezza, la bisettrice e la mediana uscenti dal vertice C. Le tre
rette si possono susseguire in ordini diversi, e in alcuni casi coincidere. A che tipi di triangoli danno
luogo le varie configurazioni?
9. Calcio-scommesse.
Nell’ultima domenica di campionato due agenzie di scommesse davano la vittoria della Juventus sul
Bologna rispettivamente 3 : 1 e 5 : 2.
a. Quali erano le probabilità di vittoria del Bologna?
b. Perché, secondo te, le due agenzie hanno dato quote diverse?
(Nel rispondere considera anche che le agenzie devono avere un margine di guadagno).
Riferimenti bibliografici
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Bologna.
D’Amore, B. (1993), Problemi. Pedagogia e psicologia della matematica nell'attività di problem
solving, Franco Angeli, Collana “La scuola se - Progetto MA.S.E”, Milano.
de Finetti, B. (1959), Matematica Logico Induttiva, Cremonese, Roma.
Jaglom, I.M. (1983), Trasformazioni geometriche: Le Isometrie, Zanichelli Bologna.
Maraschini, W. - Menghini, M. - Palma, M. (1997), Strategie matematiche: formalizzare per
risolvere,
Pitagora, Bologna,
Polya, G. (1967), Come risolvere i problemi di matematica, Feltrinelli, Milano, 1967.
Polya, G. (1971), La scoperta matematica, (2 vol.) Feltrinelli, Milano.
Rossi, C. (1999), La matematica dell’incertezza: didattica della probabilità e della statistica,
Zanichelli, Bologna.
Schoenfeld, A.H. (1997), Mathematical Problem Solving, Academic Press.