Raccolta di esercizi svolti con Bayes

RACCOLTA DI ESERCIZI SUL TEOREMA DI BAYES
DA TEMI D’ESAME DI MATEMATICA B
ESERCIZIO 1
Tra i partecipanti ad un concorso per giovani compositori il 50 % suona il pianoforte, il
30% suona il violino e il 20% la chitarra. Partecipano ad un concorso per la prima volta
il 10% dei pianisti, il 33% dei violinisti e il 10% dei chitarristi. Applicando i concetti di
probabilita’ condizionata e il teorema di Bayes, rispondere alle seguenti domande.
a) Qual è la percentuale di aspiranti compositori alla prima esperienza?
b) Sapendo che ad esibirsi per primo sarà un compositore alla prima esperienza, qual è
la probabilità che sia un chitarrista?
Soluzione
P={pianisti}
V={violinisti}
C={chitarristi}
I={musicisti al primo concorso}
dati
f(P)=0.50, f(V)=0.30, f(C)=0.20
f(I|P)=0.10, f(I|V)=0.33, f(I|C)=0.10
f(P)+f(V)+f(C)=1
f(I)=f(I|P)f(P)+f(I|V)f(V)+f(I|C)f(C)=0.10 0.50+0.33 0.30+0.10 0.20=0.17
f ( I | C) f ( C )
p (C | I ) =
=0.12
f ( I)
ESERCIZIO 2
Un gruppo di escursionisti organizza una gita in montagna. Il 30% dei partecipanti e’
fuori allenamento. Si ipotizza che coloro che non sono allenati abbiano una probabilita’
di raggiungere la meta pari al 60% e che quelli allenati abbiano una probabilita’ pari al
95%.
a) Qual e’ la probabilita’ che un escursionista scelto a caso nel gruppo raggiunga la
meta?
b) Sapendo che un escursionista ha raggiunto la meta, con quale probabilita’ appartiene
al gruppo degli escursionisti allenati?
Soluzione
FA={escursionisti fuori allenamento}
A={escursionisti allenati}
NM={escursionisti che non raggiungono la meta}
M={escursionisti che raggiungono la meta}
Dati
f(FA)=0.30
f(A)=1-f(FA)=0.70
p(M|FA)=0.60
p(M|A)=0.95
1
p(M)=p(M|FA)f(FA)+p(M|A)f(A)=0.60 0.30+0.95 0.70=0.85
p( M | A ) f ( A )
p( A | M ) =
=0.79
p( M )
ESERCIZIO 3
Tra i villeggianti di una localita’ di mare, il 75% trascorre le vacanze sempre nello stesso
posto, il 25% solo saltuariamente. Il 60% dei villeggianti abitudinari possiede una casa e
cosi’ il 10% dei villeggianti saltuari.
Sapendo che un villeggiante scelto a caso possiede una casa, con che probabilita’ si tratta
di un abitudinario?
Soluzione
A={villeggianti abitudinari}
S={villeggianti saltuari}
C={villeggianti che posseggono una casa}
NC={villeggianti che non posseggono una casa}
Dati
f(A)=0.75
f(S)=0.25
f(C|A)=0.60
f(C|S)=0.10
p ( A | C) =
f (C | A )f ( A )
=0.95
f (C | A)f (A) + f (C | S)f (S)
ESERCIZIO 4
Un autobus di linea effettua il collegamento tra due stazioni A e B seguendo 2 percorsi
alternativi 1 e 2. La frequenza con cui segue il primo percoso e’ pari a 0.3, quella con cui
segue il secondo e’ pari a 1 – 0.3 = 0.7. Un gruppo di pendolari riesce a prendere il
suddetto autobus con probabilita’ pari a 0.25 quando questo percorre il tragitto 1 e con
probabilita’ 0.65 quando questo percorre il tragitto 2. Sapendo che il gruppo di pendolari
non e’ riuscito a prendere l’autobus, con che probabilita’ esso ha seguito il percorso 1?
Soluzione
1={autobus che segue il percorso 1}
2={autobus che segue il percorso 2}
A={pendolari che riescono a prendere l’autobus}
B={pendolari che non riescono a prendere l’autobus}
Dati
f(1)=0.3
f(2)=0.7
p(A|1)=0.25
p(A|2)=0.65
2
p(1 | B) =
p(B | 1)f (1)
p(B | 1)f (1) + f (B | 2)f (2)
dove:
p(B|1)=1-P(A|1)=0.75
p(B|2)=1-P(A|2)=0.35
p(1|B)=0.48
ESERCIZIO 5
Un gruppo di amici sono soliti frequentare una sala cinematografica, che proietta film di
prima visione (PV) per il 60% e film d'
essay (E) per il 40 % della programmazione. Il
gruppo di amici va al cinema con probabilita'pari a 0.4 nel caso in cui sia in programma
un film di prima visione e con probabilita' pari a 0.7 nel caso di film d'
essay. Sapendo
che mercoledi'scorso il gruppo di amici e'andato al cinema, con che probabilita'il film
era di prima visione?
Soluzione
A={gli amici vanno al cinema}
Dati
f(PV)=0.6
f(E)=0.4
p(A|PV)=0.4
p(A|E)=0.7
p(PV | A) =
p(A | PV)f (PV)
=0.46
p(A | PV)f (PV) + p(A | E )f (E )
ESERCIZIO 6
Un gruppo di bagnanti e'costituito per il 65% da persone di carnagione scura (S) e per il
rimanente 35% da persone di carnagione chiara (C). L'
uso non appropriato di creme
solari fa si'che si abbia una percentuale di persone danneggiate dal sole (U) del 10% se di
carnagione scura e del 60 % se di carnagione chiara.
Sapendo che un bagnante scelto a caso si e'ustionato al sole, con che probabilita'egli ha
una carnagione chiara?
Indicare inoltre le seguenti probabilita'condizionate:
- P(NU|S) = probabilita'che un individuo scuro non si ustioni;
- P(NU|C) = probabilita'che un individuo chiaro non si ustioni;
- P(S|U) = probabilita'che un individuo che si e'ustionato abbia carnagione scura.
Soluzione
Dati
f(S)=0.65
f(C)=0.35
p(U|S)=0.1
p(U|C)=0.6
3
p (C | U ) =
p ( U | C) f ( C)
=0.76
p( U | C)f (C) + p( U | S)f (S)
p(NU|S)=1-p(U|S)=0.9
p(NU|C)=1-p(U|C)=0.4
p(S|U)=1-p(C|U)=0.24
ESERCIZIO 7
La percentuale di studenti iscritti al secondo anno di ingegneria che frequenta il corso di
statistica e'del 90%. Si suppone che, tra questi, il 90% superera'l'
esame. Supponendo
inoltre che la percentuale di studenti che non supereranno l'
esame sia del 12%, si calcoli:
• qual e'la percentuale di studenti che non superera'l'
esame tra quelli che non
frequentano il corso;
• qual e'la percentuale di studenti che non frequentano tra quelli che si ipotizza non
supereranno l'
esame.
Soluzione
F={studenti del secondo anno che frequentano statistica}
NF={studenti del secondo anno che non frequentano statistica}
E={studenti che superano l’esame di statistica}
NE={studenti che non superano l’esame di statistica}
Dati
f(F)=0.9
p(E|F)=0.9
p(NE)=0.12
p(NE|NF)= =
p ( U | C) f ( C)
p( U | C)f (C) + p( U | S)f (S)
Esercizio 8
Sullo scaffale di un supermercato sono esposti 3 diversi tipi di detersivi per la casa, più
precisamente il 25% è del tipo A il 40% è del tipo B. L'
1% dei detersivi di tipo A sono
danneggiati e così lo 0.5% del tipo B e l'
1.5% del tipo C.
Qual è la percentuale dei flaconi danneggiati?
Preso un flacone a caso e trovatolo danneggiato, con che probabilità è di tipo A?
Esercizio 9
Nella dispensa sono disposte due ceste di fichi. Nella prima il 30% sono molto maturi,
nella seconda i fichi molto maturi sono solo il 10%. Preso a caso un fico e trovatolo
molto maturo, con che probabilita’ esso proviene dalla prima cesta?
4