k n

b) (vedi grafo di lato)
B
7 23 8 22 15 15
P(E2 ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ = 0,623
30 29 30 30 30 31
I casi possibili sono
c) casi favorevoli:
R
22/30
R
N
15/31
N
8/30
15/30
P(E1 ) =
1
313
13
213  2 
'
13
D 2,13 = 2 : P(E2 ) = 13 =  
3
3
13!
D '2, 7 ⋅ P136, 7 = 27 ⋅
= 219.648 , ovvero 7 risultati sono errati (si
6!⋅7!
può sbagliare in 2 modi), 6 sono giusti (un solo modo) e occorre rimescolare le sequenze:
P(E3 ) =
Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio
(di Paolo Urbani – maggio 2011)
n = D '3,13 = 313
a) c’è solo un caso favorevole:
b) casi favorevoli:
B
7/30
Via
3) Calcolare, riguardo al gioco del totocalcio,
la probabilità dei seguenti eventi utilizzando
il calcolo combinatorio
a) E1: fare 13
b) E2: fare 0
c) E3: fare 6
23/29
219.648
313
Indice
Definizioni ............................................................................................... 1
Calcolo della probabilità............................................................................. 1
Teoria classica ...................................................................................... 1
Teoria frequentista (o statistica) ............................................................. 2
Teoria soggettiva .................................................................................. 4
Teoria assiomatica ................................................................................ 4
Probabilità additiva ................................................................................... 5
Problemi di calcolo delle probabilità risolvibili con la teoria classica ................. 5
Probabilità dell’intersezione di eventi........................................................... 6
Calcolo combinatorio ................................................................................. 8
Formulario di Calcolo Combinatorio ........................................................... 10
Problema dell’estrazione da un’urna contenente palline colorate ................... 11
Esercizi ................................................................................................. 15
Definizioni
Prova casuale: prova il cui esito è legato al caso.
Evento casuale: evento che può verificarsi o meno a seconda del caso; un e.c. è legato all’esito di una prova casuale
Esempio 1
Prova casuale: lancio un dado
Possibili eventi casuali:
E1: esce la faccia 4
E2: esce una faccia pari
E3: esce una faccia con un numero primo
E4: esce la faccia 8
E5: esce una faccia con un numero intero
Come si può facilmente intuire vi sono alcuni eventi casuali che si verificheranno più facilmente rispetto ad altri; ad esempio sarà più probabile che si verifichi E2 rispetto a E1 in quanto un dado ha 3 facce pari ed
una sola faccia con il 4.
La probabilità è una misura della possibilità del verificarsi di eventi casuali.
Nell’esempio precedente l’evento E4, che non può verificarsi, è detto
evento impossibile; viceversa l’evento E5, che si verificherà sicuramente, è detto evento certo.
Calcolo della probabilità
Per il calcolo della probabilità si sono sviluppate nel tempo diverse teorie.
Teoria classica
E’ sicuramente la più conosciuta; chiunque, anche prima di leggere
questo scritto, sa che la probabilità che esca testa nel lancio di una moneta è il 50%, o ½; sta, inconsapevolmente, applicando la teoria classica.
La probabilità viene calcolata come rapporto fra due numeri:
P (E ) =
k
n
Casi favorevoli
Casi possibili, supposti tutti ugualmente possibili (tutti gli
esiti della prova casuale): formano lo spazio campionario
In riferimento all’esempio 1 si avrà:
16
1
n=6 (sono tutte le possibilità che si possono verificare nel lancio di un
dado; supponendo che il dado sia bilanciato sono tutte ugualmente possibili)
P(E1 ) =
1
3 1
4 2
0
6
; P (E2 ) = = ; P (E3 ) = = ; P (E4 ) = = 0 ; P (E5 ) = = 1
6
6 2
6 3
6
6
Da questo semplice esempio si può dedurre che
0 ≤ P(E ) ≤ 1 ; gli estre-
mi valgono per gli eventi impossibile e certo.
La teoria classica è prevalentemente utilizzate nei giochi di sorte, ovvero dove conta solo la fortuna. Non si presta invece a valutare le probabilità dei seguenti eventi:
Esercizi
Problemi di calcolo combinatorio
1) Quanti sono i numeri di cinque cifre distinte
a) qualsiasi
b) che finiscono con 40
c) che hanno il 7 in terza posizione
d) in ordine crescente che finiscono per 7
Svolgimento:
a) Si tratta di raggruppamenti dove l’ordine è importante e non ci può essere ripetizione;
occorre togliere quelli che iniziano per 0:
b)
D8,3 = 336
- c) occorre togliere quelli che iniziano per 0:
f (E ) =
k
n
Numero di successi
Numero di prove effettuate. Tali prove devono essere indipendenti, ovvero fatte tutte nelle stesse condizioni.
C6, 4 = 15
2) Data la parola LAVAGNA, calcolare:
a) Numero di anagrammi
b) Numero di anagrammi con le tre A consecutive
c) Numero di anagrammi che abbiano vocali e consonanti vicine fra di loro
Svolgimento:
a)
c)
P73 = 840 - b) Le 3 A vengono considerate come un’unica lettera P5 = 120
1 ⋅ P4 ⋅ 2 = 48 blocco vocali, blocco consonanti, scambio dei blocchi
Problemi di calcolo delle probabilità
1) Si lanciano 3 dadi. Calcolare le probabilità dei seguenti eventi utilizzando il
teorema della probabilità composta
a) E1: tre numeri pari
b) E2: i numeri 3,5,4
c) E3: almeno un 6
(
3
6
 6
8
6
36
te ottengo testa si avrà:
f ( A1 ) =
10 1
= ≈ P( A1 ) ; il risultato è dunque
30 3
6
a) (vedi grafo di lato)
7 6  8  15 16
P(E1 ) = ⋅ +   + ⋅ = 0,377
30 29  30  30 31
B
6/29
B
R
8/30
R
N
16/31
N
7/30
Via
approssimato; facendo altri lanci posso ottenere una frequenza diversa;
2
3
2) Un’urna contiene 7 palline bianche, 8 rosse e 15 nere.
Si estrae una pallina e se è rossa viene reinserita nell’urna; se è nera viene
reinserita nell’urna insieme ad un'altra pallina nera; IN OGNI CASO si
estrae una seconda pallina. Calcolare con un grafo ad albero la probabilità
che le due palline estratte siano:
a) E1: dello stesso colore *
b) E2: di colore diverso (una bianca e una non bianca,…)
2
Considerando l’evento A1, se faccio 30 lanci di una moneta e per 10 vol-
)
a) P(E ) =  3  = 1 b) P(E ) =  1  ⋅ P = 6 = 1 c) P(E ) = 1 − P 6 I 6 I 6 = 1 −  5 
3
2
3
1
3
3
Teoria frequentista (o statistica)
Attraverso questa teoria non si riesce a conoscere la probabilità esatta
ma attraverso delle prove si valuta la frequenza dell’evento; tale frequenza viene utilizzata come approssimazione della probabilità.
D9, 4 − D8,3 = 2.688
d) si tratta di sistemare i numeri da 1 a 6 nelle prime 4 posizioni in un solo ordine - crescente – dunque senza rimescolarli:
A1: Esce faccia testa nel lancio di una moneta truccata
A2: Un 50enne sarà in vita fra 2 anni
A3: La mia auto non verrà rubata nel prossimo anno
La teoria classica non si può applicare in quanto i casi possibili non sono
tutti ugualmente possibili:
A1: la moneta è sbilanciata per cui Testa/Croce avranno diverse possibilità di verificarsi
A2: i casi possibili sono 2 (vita o morte) ma non sono tutti ugualmente
possibili; per un 50enne sano che fa una vita normale sarà molto probabile restare in vita per due anni
A3: anche in questo caso c’è diversa possibilità dei casi possibili, legata
anche dalla zona in cui si vive che potrebbe essere ad elevato furto auto o viceversa.
Per questi 3 casi ci viene incontro la seconda teoria.
D10,5 − D9, 4 = 27.216
8/30
15/30
15
Grafo ad albero
In questo caso la costruzione completa risulterebbe complessa in quanto i punti d’arrivo sono 33=27.
Conviene costruire grafi personalizzati per ogni evento.
Esempio:
E2: 2 palline rosse
estraz.1
estraz.2
R
estraz.3
13/23
R
10/23
probabilità
2 Rosse
10/23*10/23*13/23
+
R
R
10/23
R
10/23*13/23*10/23
Tale teoria può essere facilmente verificata provando a lanciare una
moneta bilanciata: maggiore sarà il numero di lanci tanto più la frequenza si avvicinerà ad ½.
Il seguente grafico mostra l’esito di una simulazione di 100 lanci di una
moneta bilanciata (fatta con il foglio elettronico)
1,00
0,80
Via
+
0,60
13/23
13/23*10/23*10/23
R
0,20
B
8/23
V
5/23
10/23*5/23*8/23
+
R
8/23
V
5/23
B
10/23
R
8/23
V
V
10/23
R
R
5/23
B
B
13/23
R
10/23
5/23
B
8/23
8/23
10/23
V
5/23
10/23*8/23*5/23
+
...
frequenza
96
91
86
81
76
71
66
61
56
51
46
41
0,00
36
probabilità
2 Rosse
31
estraz.3
26
estraz.2
21
E4: 3 palline di colore diverso
estraz.1
0,40
16
10/23
11
R
6
10/23
1
R
Via
lim f (E ) = P(E )
n →∞
1,20
13/23
10/23
è intuitivo pensare che l’approssimazione migliora facendo un numero
elevato di prove.
La legge empirica del caso afferma che effettuando un numero elevatissimo di prove la frequenza si avvicina molto alla probabilità
probabilità
Si può osservare che la spezzata della frequenza si avvicina alla retta
della probabilità con il crescere di prove.
La teoria si chiama frequentista perché calcola una frequenza; viene
detta anche statistica in quanto si basa su osservazioni.
Viene molto utilizzata in campo assicurativo per stimare le probabilità di
sopravvivenza (A2), di furto (A3), di incidente d’auto, ecc…; in base a
queste probabilità verranno calcolati i premi assicurativi; un neopatentato pagherà di più l’assicurazione della propria auto rispetto ad un
50enne che non ha avuto incidenti d’auto in quanto la probabilità che
avrà un incidente sarà, per inesperienza, superiore!
Per la valutazione di tali probabilità vengono utilizzate statistiche su
furti, incidenti, ecc… Per le probabilità di sopravvivenza esistono degli
studi demografici che rilevano l’estinzione negli anni di un numeroso
gruppo di popolazione: il rapporto fra i sopravvissuti ed il gruppo iniziale fornirà probabilità di sopravvivenza.
Ma ci sono ancora eventi per i quali, con le precedenti teorie, non si è in
grado di calcolare le probabilità:
14
3
C1: Nel prossimo incontro di calcio la squadra A vince contro la squadra B
C2: Nella corsa campestre un compagno della mia classe arriverà primo
Siamo nel campo del gioco in cui l’esito non è dovuto solo al caso.
Non è corretto utilizzare la teoria classica in quanto i casi possibili difficilmente saranno ugualmente possibili; l’esito dell’incontro di calcio dipende dalla bravura delle squadre (magari una è l’ultima in classifica e
l’altra è prima), dal giocare in casa, dalla formazione in campo, ecc…
dire che i 3 casi possibili, vincita-pareggio-perdita, sono ugualmente
possibili non sarà corretto, a meno che non si abbiano informazioni.
Anche la teoria frequentista non è applicabile in quanto bisognerebbe
fare incontrare le squadre molte volte e nelle stesse condizioni (quindi
anche lo storico dei precedenti incontri, svolti in condizioni differenti,
non è utilizzabile).
Teoria soggettiva
Ogni soggetto attribuirà una certa probabilità all’evento sulla base delle
informazioni possedute.
La valutazione numerica viene fatta con l’ottica della scommessa:
P (E ) =
s
S
Importo che sono disposto a puntare
Per esempio, se sono disposto a puntare solo 1 euro per vincerne 1000
P (E ) =
Il problema verrà risolto con tre approcci diversi: Teoria classica, Teorema della
Probabilità composta e Grafo ad albero.
Teoria classica.
1
1000
Viceversa, se sono disposto a puntare 800 euro per vincerne 1000 vor-
n = D ' 23,3 = 233
(nelle estrazioni con reinserimento si da importanza
all’ordine)
3
D '10,3  10 
P(E1 ) = ' =  
D 23,3  23 
D '10, 2 ⋅13 ⋅ P32 102 ⋅13 ⋅ 3
P(E2 ) =
=
D '23,3
233
D '10,3 + D '5,3 + D '8,3 103 + 53 + 83
P(E3 ) =
=
'
D23
233
,3
P (E 4 ) =
Importo che vinco se si verifica l’evento
E
vuol dire che reputo quella vincita molto improbabile!
Prova casuale: Si estraggono tre palline con reinserimento (ovvero ogni pallina
estratta va reinserita)
E1: 3 palline rosse
E2: 2 palline rosse
E3: 3 palline dello stesso colore
E4: 3 palline di colore diverso
E5: almeno una pallina rossa
10 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ P3 10 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 3!
=
'
D23
233
,3
NB: E4, estraendo 3 palline, non è contrario di E3
In questo ultimo caso conviene passare per l’evento contrario Nessuna pallina
sia rossa
D
P(E ) = 1 − P (R I R I R ) = 1 −
5
'
13, 3
D '23,3
800 4
rà dire che reputo quella vincita molto probabile. P (E ) =
= .
1000 5
Teorema della Probabilità composta
Teoria assiomatica
Questa teoria non è operativa ma, più che altro, fissa delle affermazioni
di base dette assiomi:
P (E 2 ) = P (R I R I R ) ⋅ sequenze =
0 ≤ P(E ) ≤ 1 , ovvero la probabilità è un numero compreso fra 0 e 1
2. P (S ) = 1 , dove S è lo spazio campionario, ovvero l’evento certo
3. P ( A U B ) = P ( A) + P(B ) con A I B = ∅ , ovvero la probabilità
1.
dell’unione di eventi (si verifica A oppure B) si calcola come la somma
delle singole probabilità se gli eventi A e B sono incompatibili, ovvero
non possono verificarsi contemporaneamente (la loro intersezione è
l’evento impossibile o insieme vuoto)
4
 10 
P (E1 ) = P (R I R I R ) =  
 23 
 13 
=1−  
 23 
3
3
10 2 13
10 2 ⋅ 13 ⋅ 3
2
⋅
⋅
P
=
3
23 2 23
23 3
3
3
 10   5   8 
P(E3 ) = P[(R I R I R ) U (B I B I B ) U (V I V I V )] =   +   +  
 23   23   23 
10 5 8
10 ⋅ 5 ⋅ 8
P(E4 ) = P(R I B I V ) ⋅ sequenze = ⋅ ⋅ ⋅ P3 =
⋅6
23 23 23
233
3
 13 
P(E5 ) = 1 − P (R I R I R ) = 1 −  
 23 
13
3
E2: 2 palline dello stesso colore
E3: 2 palline di colore diverso
E4: 1 pallina rossa ed 1 bianca
Utilizzando i 3 assiomi si può dimostrare che:
La probabilità di un evento impossibile è 0
P(∅ ) = 0
Il problema verrà risolto con tre approcci diversi: Teoria classica, Teorema della
Probabilità composta e Grafo ad albero.
Teoria classica.
n = C23, 2 = 253
(nelle estrazioni in blocco non si da importanza all’ordine)
C10, 2 + C5, 2 + C8, 2 83
45
; P ( E2 ) =
=
;
253 253
253
253
170
P(E3 ) = 1 − P(E2 ) =
estraendo due palline, gli eventi stesso colore e colore diverso so253
C10,1 ⋅ C5,1 10 ⋅ 5 50
no contrari; P (E4 ) =
=
=
253
253 253
P (E1 ) =
C10, 2
=
Teorema della Probabilità composta
P(E1 ) = P(R1 I R2 ) =
10 9
45
⋅
=
23 22 253
P(E2 ) = P[(R1 I R2 ) U (B1 I B2 ) U (V1 I V2 )] =
10 9
5 4
8 7
83
⋅ + ⋅ + ⋅
=
23 22 23 22 23 22 253
170
10 5
50
P(E3 ) = 1 − P(E2 ) =
; P (E4 ) = P(R1 I B2 ) ⋅ 2 =
⋅ ⋅2 =
253
23 22
253
Grafo ad albero
Tutti gli esiti della prova casuale
vanno riportato in un grafo ad albero
dove nei nodi verranno scritti gli
eventi e nei rami le probabilità di
passaggio.
Probabilità
stesso colore
R
10/23 * 9/22
Estrazione 1
R
5/22
8/22
Siano A e A due eventi contrari (su tratta di eventi incompatibili dove uno si
verifica quando NON si verifica l’altro – esempio Testa e Croce nel lancio di una
moneta)
Si può dimostrare che
…ed altri teoremi che verranno enunciati successivamente.
Problemi di calcolo delle probabilità risolvibili con la teoria classica
Prova casuale: estraggo una carta da un mazzo di 40
Eventi casuali:
E1: esce un re
E2: esce un asse
E3: esce una carta di bastoni
E4: E1UE2
E5: E2UE3
Si avrà:
P (E1 ) =
4
1
4
1
10 1
= ; P ( E2 ) =
= ; P (E3 ) =
=
40 10
40 10
40 4
4
4
2
P (E4 ) = P (E1 U E2 ) =
+
=
Gli eventi E1 ed E2 sono incompatibili
40 40 10
4 10 1 13
P (E5 ) = P (E2 U E3 ) =
+
−
=
Gli eventi E2 ed E3 sono compati40 40 40 40
B
V
Probabilità additiva: calcola la probabilità dell’unione fra eventi
10/23
R
Tipologia eventi
Descrizione
Incompatibili
Non si possono verificare contemporaneamente A I B = ∅
Compatibili
Si possono verificare
contemporaneamente
10/22
Via
5/23
B
4/22
B
5/23 * 4/22
8/22
V
R
patibili si avrà
B
V
12
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B )
P ( A U B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A I B )
Il secondo enunciato (eventi compatibili) è più generico; in caso di eventi com-
10/22
5/22
7/22
Probabilità
AI B ≠ ∅
8/23
V
P ( A) = 1 − P (A )
bili: occorre togliere alla somma delle singole probabilità la probabilità
dell’intersezione degli eventi (la parte comune: asse di bastoni) che, altrimenti,
viene conteggiata per due volte.
9/22
Osservando il diagramma di fianco si
può calcolare P(E2) sommando le
probabilità dei tre punti d’arrivo.
Nel grafo, che è una descrizione
completa di tutti gli esiti della prova
casuale, si potranno calcolare le
probabilità degli altri eventi.
Estrazione 2
Teorema delle probabilità contrarie
P( A I B ) = 0
8/23 * 7/22
5
Probabilità dell’intersezione (verificarsi contemporaneo) di eventi
Esempi:
A- Prova casuale: lancio due volte una moneta
Eventi casuale:
A1: esce due volte testa
A2: esce una sola volta testa
A3: esce almeno una testa
B- Prova casuale:
estraggo due palline dal sacchetto della tombola in blocco,
ovvero senza reinserire la prima pallina estratta
Eventi casuali:
B1: escono due numeri pari
B2: escono due numeri multipli di 10
B3: esce almeno un numero maggiore o uguale a 20
B4: esce l’ambo 5, 19
A- La prova casuale genera eventi indipendenti, ovvero l’esito del primo lancio
non condiziona l’esito del secondo. In tal caso la probabilità dell’evento composto (intersezione) si calcola come il prodotto fra le probabilità fra i singoli eventi
In generale, dati due eventi A e B indipendenti si avrà
P ( A I B ) = P ( A) ⋅ P ( B )
1 1 1
P( A1 ) = P(T1 I T2 ) = P(T1 ) ⋅ P(T2 ) = ⋅ =
2 2 4
1 1 1 1 1
P( A2 ) = P(T1 I T2 ) + P(T1 I T2 ) = ⋅ + ⋅ =
2 2 2 2 2
1 1 3
P( A3 ) = 1 − P(C1 I C2 ) = 1 − ⋅ =
in tal caso si è preferito utilizzare il
2 2 4
teorema della probabilità dell’evento contrario (croce nei due lanci, più semplice
da calcolare). Il termine almeno indirizza spesso verso l’uso di questo teorema.
B- La prova casuale genera eventi dipendenti: l’esito della prima estrazione
condiziona l’esito della seconda, in quanto la pallina, una volta estratta, non
viene reinserita.
P(B1 ) = P(Pari1 I Pari2 ) = P( Pari1 ) ⋅ P(Pari2 / Pari1 ) =
45 44
⋅
90 89
La seconda probabilità del prodotto è detta condizionata in quanto il calcolo è
condizionato da quanto è successo all’evento precedente.
In generale, dati due eventi A e B dipendenti si avrà
P(B2 ) = P(M 101 I M 10 2 ) =
9 8
⋅
90 89
P ( A I B ) = P ( A) ⋅ P ( B / A)
n Quesito
Simbolo
Soulzioni
1 In quanti modi 5 amici possono occupare 3 poltrone libere in un cinema?
Quanti sono i numeri di 4 cifre DISTINTE che si possono formare utilizzando i
2 numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Quanti sono i numeri di 4 cifre ANCHE RIPETUTE che si possono formare
3 utilizzando i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
D'7,4
2.401
4 Quante colonne si possono giocare al TOTOCALCIO?
D'3,13
1.594.323
5 In quanti modi si può estrarre una cinquina in una ruota del gioco del Lotto?
In quanti modi si possono mescolare 5 liquori presi 3 alla volta per ottenere
6 un cocktail?
C90,5
43.949.268
C5,3
10
7 Quanti sono gli anagrammi della parola CASO?
8 Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA?
D5,3
60
D7,4
840
P4
P103,2,2
9 In quanti modi si possono distribuire 10 caramelle uguali a 3 bambini?
24
50.400
C'3,10
66
Soluzione problemi con l’ausilio del calcolo combinatorio
Prova casuale: estrazione di 5 numeri in una ruota del Lotto
Evento casuale E: la cinquina estratta contiene i numeri 10 e 32
Teoria classica:
P (E ) =
C88,3
C90,5
=
88 ⋅ 87 ⋅ 86
5 ⋅ 4 ⋅ 3!
2
⋅
=
3!
90 ⋅ 89 ⋅ 88 ⋅ 87 ⋅ 86 801
Dove C88,3 sono tutte le cinquine contenenti i due numeri prefissati, ovvero: tolti i due numeri, in quanti modi si possono raggruppare i rimanenti 88 presi 3
alla volta?
Teorema della probabilità composta
P(E ) = P(101 I 322 I qualsiasi3 I qualsiasi4 I qualsiasi5 ) ⋅ sequenze =
1 1
1 1 5! 1 1 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 2
= ⋅ ⋅ 1 ⋅ P53 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
=
90 89
90 89 3! 90 89
3!
801
Dove P53 sono tutte le sequenze di 5 elementi fra i quali ve ne sono 3 ripetuti (qualsiasi).
Prova casuale:
lancio 5 volte una moneta
Evento casuale E: ottengo 3 volte Testa
Teorema della probabilità composta
5
1 5!
5
1
P(E ) = P(T1 I T2 I C3 I C4 I C5 ) ⋅ sequenze =   ⋅ P53, 2 = ⋅
=
32 3!⋅2! 16
2
3, 2
P5
Teoria classica: P (E ) =
dove 25 sono tutti i possibili esiti, ovvero raggruppa25
menti di 2 elementi (T,C) presi 5 alla volta dove l’ordine è importante e P53 sono tutte le
sequenze dei 5 lanci di monete contenenti 2 T e 3 C.
Problema dell’estrazione da un’urna contenente palline colorate
Un’urna contiene 10 palline rosse, 5 bianche e 8 verdi (patriottica?)
Prova casuale: Si estraggono due palline senza reinserimento (in blocco)
E1: 2 palline rosse
6
11
Formulario di Calcolo Combinatorio
P(B3 ) = 1 − P(< 201 I < 20 2 ) = 1 −
Ordine importante
19 18
⋅
90 89
in tal caso è risultato più conveniente
passare per l’evento contrario.
Disposizioni
Permutazioni
Dn,k
Semplici
Pn
n ⋅ (n − 1) ⋅ ...⋅ (n − k + 1) n! = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
D'n,k
Con
ripetizione
nk
Pna,b,..
Con
elementi
ripetuti
n!
a!⋅b!⋅c!⋅...
Ordine non importante
Combinazioni
Cn,k
Semplici
 n
n ⋅ ( n −1)⋅ ....⋅( n − k +1) Dn,k
n!
  =
=
=
k!
Pk
 k  k! ( n − k )!
C'n,k
Con
ripetizione
 n + k − 1


 k

Osservazioni
Dn,k: si fanno k prodotti di numeri partendo da n e diminuendo ogni volta di 1
D10, 7 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4
Il prodotto contiene 7 elementi a partire da 10
Pn=n!: n fattoriale: prodotto fra n, n-1, fino ad arrivare a 3,2,1; 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6
Cn,k: si possono calcolare o utilizzando il coefficiente binomiale o rapportando
Disposizioni e Permutazioni; il coefficiente binomiale è il rapporto fra fattoriali
Dn ,k
n
n!
  =
; ma è più pratico il calcolo
Pk
 k  k!(n − k )!
10
P(B4 ) = P(5 I 19 ) =
1 1
⋅ ⋅2
90 89
Eventi casuali
La procompatibili
babilità in tal caso va moltiplicata per 2, ovvero per tutte le sequenze con cui può verifiindipendenti
carsi l’evento: 5 alla prima estrazione e 19
alla seconda oppure 19 alla prima e 5 alla
seconda (ogni ordinamento ha la stessa probabilità).
incompatibili
dipendenti
Serve il calcolo combinatorio
Primo esempio
Problema: calcolare la probabilità che in un’estrazione del lotto (5 numeri
estratti in blocco da un’urna che ne contiene 90, come la tombola),
ci siano due numeri prefissati, per esempio 10 e 32; si tratta, in altre
parole, la probabilità che il mio ambo venga estratto e dunque sia
vincente.
Prova casuale:
estrazione in blocco di 5 numeri da un sacchetto che ne contiene 90
Evento casuale E: la cinquina estratta contiene i numeri 10 e 32
Il problema potrebbe essere risolto o con la teoria classica o con il teorema della probabilità composta (intersezione fra eventi); ma in entrambi i casi incontreremmo delle difficoltà.
Teoria classica:
n (casi possibili): quante sono le cinquine che si possono estrarre?
k (casi favorevoli): quante sono le cinquine che contengono i numeri 10 e 32?
Per rispondere ai quesiti occorre trattare il calcolo combinatorio che studia appunto come
calcolare raggruppamenti di un insieme di elementi presi a gruppi.
Teorema della probabilità composta
P(E ) = P(101 I 322 I qualsiasi3 I qualsiasi4 I qualsiasi5 ) ⋅ sequenze =
1 1
= ⋅ ⋅ 1 ⋅ sequenze
90 89
ma quante sono tutte le sequenze di 5 numeri contenenti 10 e 32? E’ necessario ancora il
calcolo combinatorio!
Secondo esempio
Prova casuale:
lancio 5 volte una moneta
Evento casuale E:
ottengo 2 volte Testa
Teorema della probabilità composta
5
1
P(E ) = P(T1 I T2 I C3 I C4 I C5 ) ⋅ sequenze =   ⋅ sequenze
2
In questo caso, a differenza del precedente, abbiamo prove indipendenti; rimane però il
problema di calcolare il numero di sequenze di 5 elementi contenenti 2T e 3C.
Terzo esempio…scolastico: Quanto vale la probabilità di essere interrogato se
l’insegnante chiama 4 alunni a caso?
7
Calcolo combinatorio
Serve per calcolare in quanti modi raggruppare n elementi presi k alla volta in
base a certe caratteristiche del raggruppamento.
Esempi:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Quesito
In quanti modi 5 amici possono occupare 3 poltrone libere in un cinema?
Quanti sono i numeri di 4 cifre DISTINTE che si possono formare utilizzando i numeri
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Quanti sono i numeri di 4 cifre ANCHE RIPETUTE che si possono formare utilizzando i
numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Quante colonne si possono giocare al TOTOCALCIO?
In quanti modi si può estrarre una cinquina in una ruota del gioco del Lotto?
In quanti modi si possono mescolare 5 liquori presi 3 alla volta per ottenere un cocktail?
Quanti sono gli anagrammi della parola CASO?
Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA?
In quanti modi si possono distribuire 10 caramelle uguali a 3 bambini?
Quanto valgono n e k negli esempi proposti?
n Quesito
In quanti modi 5 amici possono occupare 3 poltrone libere in un
1 cinema?
Quanti sono i numeri di 4 cifre DISTINTE che si possono formare
2 utilizzando i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Quanti sono i numeri di 4 cifre ANCHE RIPETUTE che si possono
3 formare utilizzando i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
4 Quante colonne si possono giocare al TOTOCALCIO?
In quanti modi si può estrarre una cinquina in una ruota del gioco del
5 Lotto?
In quanti modi si possono mescolare 5 liquori presi 3 alla volta per
6 ottenere un cocktail?
7 Quanti sono gli anagrammi della parola CASO?
8 Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA?
9 In quanti modi si possono distribuire 10 caramelle uguali a 3 bambini?
n
k
5
3
7
4
7
4
3 13
4 Quante colonne si possono giocare al TOTOCALCIO?
In quanti modi si può estrarre una cinquina in una ruota del gioco del
5 Lotto?
In quanti modi si possono mescolare 5 liquori presi 3 alla volta per
6 ottenere un cocktail?
7 Quanti sono gli anagrammi della parola CASO?
8 Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA?
9 In quanti modi si possono distribuire 10 caramelle uguali a 3 bambini?
Ordine importante
Importanza
ordine
Possibilità
ripetizione
5
3
Sì
No
Sì
No
7
4
7
4
Sì
Sì
3 13
Sì
Sì
90
5
No
No
5
3
No
No
4
4
Sì
No
10 10
Sì
No
3 10
No
Sì
Ordine non importante
Permutazioni
Combinazioni
Semplici
Dn,k
Pn
Cn,k
D'n,k
Con ripetizione
5
3
4
4
Con elementi
ripetuti
3 10
k
Disposizioni
5
10 10
n
Assegniamo ora un nome ed un simbolo: vengono chiamati disposizioni i raggruppamenti dove l’ordine è importante e combinazioni i raggruppamenti dove l’ordine NON è importante. I raggruppamenti vengono inoltre dette semplici
se gli elementi non possono essere ripetuti, altrimenti con ripetizione. Le disposizioni con n=k vengono dette permutazioni. La seguente tabella mostra
anche i simboli con i quali i vari raggruppamenti vengono identificati.
90
Proviamo ad individuare alcune caratteristiche dei raggruppamenti
In alcuni raggruppamenti l’ordine con il quale prendere gli elementi è importante, ovvero due raggruppamenti che differiscono solo per l’ordine sono diversi, in
altri l’ordine non è importante.
In alcuni raggruppamenti gli elementi si possono ripetere in altri no.
Per esempio:
Nel n.2 è evidente che l’ordine è importante ma che le cifre non possono ripetersi (distinte)
Nel n.5 invece l’ordine della sequenza di estrazione dei numeri non è importante e non ci può essere ripetizione in quanto i numeri estratti non vengono reinseriti.
Anche nel n.6 l’ordine con il quale vengono presi i liquori non è importante.
Nei numeri 8 e 9 SOLO l’ordine è importante (fa la differenza).
8
n Quesito
In quanti modi 5 amici possono occupare 3 poltrone libere in un
1 cinema?
Quanti sono i numeri di 4 cifre DISTINTE che si possono formare
2 utilizzando i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Quanti sono i numeri di 4 cifre ANCHE RIPETUTE che si possono
3 formare utilizzando i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
C'n,k
Pn
a,b,..
Nell’ultimo caso, le permutazioni con elementi ripetuti, è il gruppo iniziale che,
fra gli n elementi, ne contiene alcuni ripetuti a volte, b volte,…
n Quesito
1 In quanti modi 5 amici possono occupare 3 poltrone libere in un cinema?
Quanti sono i numeri di 4 cifre DISTINTE che si possono formare
2 utilizzando i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Quanti sono i numeri di 4 cifre ANC HE RIPETUTE che si possono formare
3 utilizzando i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Simbolo
D 5,3
D 7,4
D'7,4
4 Quante colonne si possono giocare al TOTOC ALC IO?
In quanti modi si può estrarre una cinquina in una ruota del gioco del
5 Lotto?
In quanti modi si possono mescolare 5 liquori presi 3 alla volta per
6 ottenere un cocktail?
7 Quanti sono gli anagrammi della parola C ASO?
D'3,13
8 Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATIC A?
9 In quanti modi si possono distribuire 10 caramelle uguali a 3 bambini?
P 103,2,2
Vediamo ora le formule utili al calcolo dei raggruppamenti:
9
C 90,5
C 5,3
P4
C '3,10