Funzione radice - Dipartimento di Farmacia

La radice n-esima
Radice n-ma, n dispari
• Dalle proprietà della potenza n-ma, n dispari,
avevamo visto che l’equazione
an = b
nell’incognita
nell
incognita a, ha sempre una sola
soluzione. Cioè per ogni numero b esiste un sol
numero a tale che an = b. Tale a si chiama la
radice n-ma di b e si indica con
a = b =b
n
1
n
n
b
1
a = n b =bn
1
1
− 2 = 3 −8 = ( − 8 ) 3
2 = 3 8 = 83
1
2 = 5 32 = 32 5
1
3 = 3 27 = 27 3
Abbiamo scoperto che le seguenti due scritture sono
equivalenti
a=
Esempi
1
− 2 = 5 −32 = ( −32 ) 5
1
− 3 = 3 −27 = ( −27 ) 3
Concetto di funzione inversa
an = b
nel senso che dire che 2 è la radice quadrata di 4
equivale
i l a di
dire che
h 4 è lla potenza
t
((esponente
t 2) di 2
• Allora per n dispari, possiamo affermare che si può
calcolare la radice n-ma di qualsiasi numero reale e
che essa può assumere qualsiasi valore reale. In altre
parole il dominio ed il codominio della radice n-ma
coincidono con tutto l’asse reale
1
In simboli
Grafico per vari valori di n, n dispari
, n dispari: x ∈ ( −∞, + ∞ ) → y = n x ∈ ( −∞, + ∞ )
n
y = n x ⇔ yn = x
Si ha inoltre
( x)
n
n
=x
n
e che
xn = x
Ancora, ∀ x1 , x2 ∈ x1 < x2 ⇒
n
x1 ≤ n x2
e
x1 > x2 ⇒
n
x1 ≥ n x2
Radice n-ma, n pari
• Dalle proprietà della potenza n-ma, n pari, avevamo visto
che l’equazione
an = b
nell’incognita a, ha due soluzioni (ne ha una solo se b=0).
Cioè per ogni numero b non esiste un solo numero a tale
che an = b.
b
• PERO’ se consideriamo solo i numeri a non negativi
l’equazione sopra ha una sola soluzione in a e quindi
in tale caso possiamo dire che a è la radice n-ma di b
a = b =b
n
1
n
Esempi
1
a = n b =bn
1
1
2 = 2 4 = 42
4 = 16 = (16 ) 2
2 = 4 16
4 = 4 256 = ( 256 ) 4
1
1
3 = 2 9 = 92
1
3 = 4 81 = ( 81) 4
2
In simboli
Le seguenti due scritture sono equivalenti a patto di
considerare solo le a non negative
a=
n
b
an = b
, n pari: x ∈ ⎡⎣0, + ∞ ) → y = n x ∈ ⎡⎣0, + ∞ )
n
y = n x ⇔ yn = x
Allora per n pari, possiamo dire che si può calcolare la
radice
di n-ma di qualsiasi
l i i numero reale
l positivo
iti o nullo
ll e
che essa può assumere qualsiasi valore reale positivo
o nullo. In altre parole il dominio ed il codominio della
radice n-ma coincidono con la semiretta positiva (0
incluso)
Si ha inoltre
( x)
n
n
=x
n
e che
xn = x
Ancora, ∀ x1 , x2 ∈ ⎡⎣0, + ∞ )
x1 < x2 ⇒
n
x1 ≤ n x2
x1 > x2 ⇒
e
n
x1 ≥ n x2
Restrizione
Proprietà algebriche
Grafico per vari valori di n, n pari
Qualunque siano x, y ≥ 0 ed n, m, p ∈ xn = y n ⇔ x = y
( x)
n
n
x
n
n
=x;
n
y = n xy
n
xm =
( x)
n
xm =
np
n
x mp
x n = x;
n
0 = 0;
n
n
x
n
y
1 =1
=n
x
y
m
n p
x = np x
3
Esercizi
• Quando è possibile, portare fuori del segno di radice
qualche termine in modo da semplificare il radicando
• Scrivere più e più volte le proprietà algebriche
con vari valori per x, y, n, m, p
• Disporre in ordine crescente i seguenti numeri
x +1 ;
1; − 2 ; −3,5; 3 3, 2; 3 1,5; 3 1,52
16 ;
1+ 2 ;
x2 ;
13;
10 ;
2;
x3 ;
4;
x 2 + 1;
• Portare entro il segno di radice il fattore del radicale
3
3 2 ; −3 2 ; x 2; 2 3 5; − 2 3 5; x 3 5; a a 2 + b 2 2 3 5; x 3 a 2 + b 2
4 + 27 ;
4 + 16;
a 2 + b2 ;
a 2b 2
4