1. Spazi di Fréchet Riportiamo brevemente nozioni e risultati

1. Spazi di Fréchet
Riportiamo brevemente nozioni e risultati principali sugli spazi di Fréchet. Per
le dimostrazioni ed eventuali approfondimenti si può consultare il libro di W. Rudin
“Functional Analysis”.
Su uno spazio vettoriale V (che supporremo complesso, salvo avviso contrario)
si consideri una famiglia numerabile P = {pn }n∈N di seminorme. Indichiamo con
τP la meno fine tra tutte le topologie τ su V che rendano continua l’applicazione
identica i : (V, τ ) −→ (V, pn ) per ogni n.
Si dice che P è una famiglia separante di seminorme se per ogni x ∈ V esiste n
tale che pn (x) > 0. Supporremo sempre che P sia separante.
Proposizione 1.1. La topologia τP gode delle seguenti proprietà:
(1) (V, τP ) è separato e localmente convesso;
(2) le intersezioni finite degli insiemi
1
Bn,m = x : pn (x) <
m
formano un sistema findamentale di intorni di 0;
(3) τP è una topologia metrica, nel senso che è la topologia indotta dalla distanza
(1.1)
dP (x, y) =
X
2−n
n
pn (x − y)
;
1 + pn (x − y)
(4) una successione {xj } di punti di V converge a x nella topologia τP se e solo
se converge a x rispetto a ciascuna delle seminorme pn , ossia se
lim pn (x − xj ) = 0
j→∞
∀n ;
(5) una successione {xj } di punti di V è di Cauchy nella topologia τP se e solo
se è di Cauchy rispetto a ciascuna delle seminorme pn .
La distanza dP nella (1.1) è invariante, nel senso che
dP (x + z, y + z) = dP (x, y)
per ogni x, y, z ∈ V .
Proposizione 1.2. Sia V uno spazio vettoriale topologico. Le seguenti proprietà
sono equivalenti:
(1) la topologia di V è definita da una famiglia numerabile e separante di seminorme;
(2) V è localmente convesso e la sua topologia è indotta da una distanza invariante.
Uno spazio vettoriale topologico si dice di Fréchet se la sua topologia soddisfa le
proprietà della Proposizione 1.2 ed è completo.
1
2
Esempio.
Dato un compatto K in Rn , sia D(K) lo spazio delle funzioni di classe C ∞ su
Rn con supporto contenuto in K. Si ponga
X
pk (f ) =
k∂ α f k∞ .
|α|≤k
Chiaramente la famiglia P = {pk } è separante, per il semplice fatto che ciascuna
di esse è una norma. Verifichiamo che D(K) è completo per la distanza dP .
Sia {fj } una successione di Cauchy in D(K). Segue dalla Proposizione 1.1(5)
che
lim pk (fi − fj ) = 0
i,j→∞
per ogni k. Di conseguenza per ogni α la successione {∂ α fj } è di Cauchy rispetto
alla norma uniforme. In particolare le fj convergono uniformemente a una funzione f , ed è un risultato ben noto che allora le derivare ∂ α fj convergono a ∂ α f
uniformemente per ogni α.
Dunque f è C ∞ e ha supporto in K, ossia è in D(K). Le fj convergono a f
rispetto a ognuna delle norme pk . Per la Proposizione 1.1(4), esse convergono a f
nella topologia τP .
Applicazioni lineari.
Sia T : V −→ W un’applicazione lineare tra due spazi di Fréchet. Siano P =
{pn } e Q = {qn } due famiglie di seminorme che definiscono le topologie di V e W
rispettivamente.
Proposizione 1.3. T è continua se e solo se per ogni intero n esistono un intero
m e una costante Cn tali che
m
X
(1.2)
qn (T x) ≤ Cn
pk (x)
k=0
per ogni x ∈ V .
Da questo enunciato discendono le seguenti conseguenze:
Corollario 1.4.
(1) Sia T un’applicazione lineare di uno spazio di Fréchet V (dotato di seminorme P = {pn }) in uno spazio di Banach W . Allora T è continua se e
solo se esistono un intero m e una costante C tali che
m
X
pk (x) .
kT (x)kW ≤ C
k=0
(2) Due famiglie separanti di seminorme P = {pn } e P 0 = {p0n } su V definiscono la stessa topologia se e solo se per ogni intero n esistono un intero m
e una costante Cn tali che
m
X
pn (x) ≤ Cn
p0k (x) ,
p0n (x) ≤ Cn
k=0
m
X
k=0
per ogni x ∈ V .
pk (x)
3
Data una famiglia di seminorme P = {pn }, si ponga
p0n (x) =
n
X
pk (x) .
k=0
Pn
Poiché pn (x) ≤ p0n (x) ≤ k=0 pk (x), le due famiglie di seminorme sono equivalenti, nel senso che definiscono la stessa topologia. La famiglia {p0n } ha il vantaggio di essere crescente.
Si noti che se una famiglia di seminorme {pn } su uno spazio V è crescente, la
(1.2) si può scrivere più semplicemente nella forma
qn (T x) ≤ Cn pm (x) ,
e analogamente nel Corollario 1.4(1).
Teoremi su operatori lineari e forme bilineari.
Teorema di Hahn-Banach. Sia W un sottospazio vettoriale di uno spazio di
Fréchet V , dotato di una famiglia crescente di seminorme {pn }. Sia T un funzionale lineare su W , tale che |T (x)| ≤ Cpn (x) per ogni x ∈ W . Esiste allora un
prolungamento lineare T̃ di T a tutto V tale che |T̃ (x)| ≤ Cpn (x) per ogni x ∈ V .
Un sottoinsieme E di uno spazio
di Fréchet V si dice limitato se per ogni seminorma pn si ha sup pn (x) : x ∈ E < ∞.
Una famiglia T di operatori lineari tra due spazi vettoriali topologici V e W si
dice equicontinua se per ogni intorno U di 0 in W esiste un intorno U 0 di 0 in V
tale che T (U 0 ) ⊂ U per ogni T ∈ T . Quando V e W sono spazi di Fréchet, dotati
di famiglie crescenti di seminorme {pn } e {qn } rispettivamente, una famiglia T di
operatori lineari è equicontinua se e solo se per ogni intero n esistono un intero m
e una costante Cn tali che
qn (T x) ≤ Cn pm (x)
per ogni x ∈ V e T ∈ T .
Teorema di limitatezza uniforme, o di Banach-Steinhaus. Sia T una famiglia di operatori lineari continui tra due spazi di Fréchet V e W . Se per ogni x ∈ V
l’insieme Ex = {T x : T ∈ T } è limitato in W , allora T è equicontinua.
Teorema dell’applicazione aperta. Sia T un operatore lineare continuo tra due
spazi di Fréchet V e W . Se T è suriettivo, allora T è aperto. In particolare, se T
è iniettivo, allora anche T −1 è continuo.
Teorema del grafico chiuso. Sia T un operatore lineare tra due spazi di Fréchet
V e W . Si supponga che il suo grafico ΓT = {(x, T x) : x ∈ V } sia chiuso in V × W ,
ossia che le ipotesi:
(1) limj→∞ xj = x in V ,
(2) limj→∞ T (xj ) = y in V
implichino che y = T x. Allora T è continuo.
Una forma bilineare B : V × W −→ C, dove V e W sono spazi vettoriali topologici, si dice separatamente continua se
(1) B(x0 , ·) è continua su W per ogni x0 ∈ V ;
(2) B(·, y0 ) è continua su V per ogni y0 ∈ W .
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Teorema di Bourbaki. Sia B una forma bilineare separatamente continua sul
prodotto di due spazi di Fréchet V e W . Allora B è continua.
2. Lo spazio delle funzioni test
Cominciamo con alcuni preliminari sulla duttilità delle funzioni C ∞ .
Si consideri su R la funzione
(
f (t) =
1
e − t2
se t > 0
0
se t ≤ 0 .
È noto che f è C ∞ . Quindi
g(t) = f (t)f (1 − t)
è pure C ∞ e ha supporto in [0, 1].
R1
Sia c > 0 tale che 0 g(t) dt = c−1 e si ponga
Z
t
G(t) = c
g(u) du .
−∞
Allora G è C ∞ , crescente, G(t) = 0 per t ≤ 0 e G(t) = 1 per t ≥ 1. Se si pone,
per δ > 0,
t
Gδ (t) = G
,
δ
allora Gδ (t) = 1 per t ≥ δ, e per il resto gode delle stesse proprietà di G.
Se b > 2δ, la funzione
Hb,δ (t) = Gδ (t)Gδ (b − t)
è C ∞ , ha supporto in [0, b], è uguale a 1 su [δ, b−δ], è crescente su [0, δ] e decrescente
su [b − δ, b].
È importante a questo punto valutare la grandezza delle derivate delle funzioni
che abbiamo costruito. Si osservi che
(n)
Gδ (t)
=δ
−n
(n)
G
t
,
δ
(n)
per cui |Gδ (t)| ≤ Cn δ −n . Di conseguenza, applicando la regola di Leibniz,
(2.1)
(n)
|Hb,δ (t)| ≤ Cn0 δ −n .
Per mezzo di una opportuna traslazione, la funzione Hb,δ può essere riportata
su un generico intervallo [a, b], in modo da avere il seguente enunciato.
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Proposizione 2.1. Dati un intervallo [a, b] e un sottointervallo [a0 , b0 ] ⊂ (a, b),
esiste una funzione f di classe C ∞ su R con supporto in [a, b], tale che 0 ≤ f (t) ≤
1, identicamente uguale a 1 su [a0 , b0 ] e tale che, posto δ = min{a0 − a, b − b0 },
|f (n) (t)| ≤ Cn δ −n , dove le Cn sono costanti assolute.
Passiamo ora a più dimensioni. Si prenda una funzione g di classe C ∞ su R,
pari, tale che 0 ≤ g(t) ≤ 1, con supporto in [−1, 1] e uguale a 1 su [−1/2, 1/2].
Su Rn si ponga
ϕ( x) = g(|x|) .
Poiché |x| è una funzione C ∞ fuori dall’origine, ϕ è pure C ∞ fuori dall’origine.
D’altra parte ϕ è anche C ∞ sulla palla di centro 0 e raggio 1/2, essendo ivi costante.
Dato δ > 0, la funzione
x
ϕδ (x) = ϕ
δ
ha supporto nella palla chiusa di centro 0 e raggio δ, ed è identicamente uguale a 1
sulla palla di raggio δ/2. Inoltre, se bα = k∂ α ϕk∞ , si ha
|∂ α ϕδ (x)| ≤ bα δ −|α| .
(2.2)
Teorema 2.2. Dati un aperto A ⊆ Rn e un compatto K ⊂ A, sia d ∈ (0, +∞] la
distanza di K dal complementare di A. Dato δ < d, esiste una funzione ψ ≥ 0,
di classe C ∞ su Rn , con supporto compatto in A, identicamente uguale a 1 su un
intorno di K, e tale che
|∂ α ψ(x)| ≤ Cα,n δ −|α| ,
dove le costanti Cα,n dipendono solo da α e dalla dimensione n.
Dimostrazione. Siano K 0 = {x : d(x, K) ≤ δ/4}, K 00 = {x : d(x, K) ≤ δ/2},
K 000 = {x : d(x, K) ≤ 3δ/4}. Allora K 0 , K 00 e K 000 sono compatti e K ⊂ K 0 ⊂
K 00 ⊂ K 000 ⊂ A. Si definisca
u(x) = χK 00 ∗ ϕδ/4 (x)
Z
=
χK 00 (y)ϕδ/4 (x − y) dy
Rn
Z
=
ϕδ/4 (x − y) dy .
K 00
Derivando sotto integrale, si ha
α
Z
∂ u(x) =
∂ α ϕδ/4 (x − y) dy .
K 00
Poiché la funzione integranda è diversa da 0 solo quando |x−y| < δ/4, l’integrale
è esteso a K 00 ∩ B(x, δ/4), che ha misura minore o uguale a ωn δ n /4n (dove ωn è la
misura della palla unitaria). Di conseguenza, per la (2.2),
|∂ α u(x)| ≤ Cα,n δ n−|α| .
Se x 6∈ K 000 , allora K 00 ∩ B(x, δ/4) = ∅, per cui u(x) = 0. Quindi supp u ⊆ K 000 .
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Se x ∈ K 0 , B(x, δ/4) ⊆ K 00 , per cui
Z
ϕδ/4 (x − y) dy
u(x) =
ZR
n
=
ϕδ/4 (y) dy
Z
n −n
=4 δ
ϕ(x) dx
Rn
Rn
= cn δ
−n
.
n
Si verifica allora facilmente che ψ(x) = c−1
n δ u(x) ha le proprietà richieste. Topologia di D(A).
Sia A ⊆ Rn un aperto non vuoto. Ricordiamo che, dato un compatto K ⊂ A, si
indica con D(K) lo spazio de Fréchet delle funzioni C ∞ su A con supporto in K,
dotato delle norme
X
pk (f ) =
k∂ α f k∞ .
|α|≤k
La convergenza di una successione {fk } nella topologia di D(K) è la convergenza
uniforme di tutte le successioni {∂ α fk }, per ogni multiindice α.
Poniamo
[
D(A) =
D(K) ,
K compatto ,K⊂A
e indichiamo con iK : D(K) −→ D(A) l’inclusione. Su D(A) introduciamo la
topologia più fine che renda continue le varie inclusioni iK .
Proposizione 2.3. Valgono le seguenti proprietà:
(1) un sottoinsieme U ⊂ D(A) è aperto se e solo se per ogni K U ∩ D(K) è
aperto nella topologia di D(K);
(2) la topologia indotta da D(A) su D(K) coincide con la topologia propria di
D(K);
(3) un’applicazione lineare T da D(A) in uno spazio vettoriale topologico V è
continua se e solo se per ogni K ⊂ A compatto, l’applicazione T ◦ iK :
D(K) −→ V è continua.
Dimostrazione. La (1) è una riformulazione della condizione che definisce la topologia di D(A). La (2) e la (3) sono conseguenze immediate della (1). Dobbiamo ora premettere un lemma di carattere topologico, di facile verifica.
Lemma 2.4. Sia A un aperto di Rn . Posto
Kj =
1
x ∈ A : |x| ≤ j, d(x, A) ≥
j
c
se A 6= Rn , e Kj = {x : |x| ≤ j} se A = Rn , allora
K ⊂ A è contenuto in uno dei Kj .
S∞
j=1
Kj = A e ogni compatto
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Teorema 2.5. Una successione {fn } converge a f in D(A) se e solo se i supporti
delle fn e di f sono contenuti in un unico compatto K ⊂ A, e tutte le derivate
∂ α fn convergono a ∂ α f uniformemente.
Dimostrazione. Se i supporti delle fn sono contenuti in un unico compatto K ed
esse convergono a f in D(K), allora esse convergono a f anche in D(A) per la
Proposizione 2.3(2).
Supponiamo viceversa che le fn convergano a f in D(A). Sostituendo fn con fn −
f , possiamo supporre che f = 0. Per assurdo, ammettiamo che i supporti delle fn
non siano contenuti in un unico compatto. Esisterebbe allora una sottosuccessione
fnj con la seguente proprietà: considerati i compatti Kj del Lemma 2.4, per ogni
j esiste un punto xj 6∈ Kj tale che fnj (xj ) 6= 0. Posto εj = |fnj (xj )|, si consideri
l’insieme
U = {g ∈ D(A) : |g(xj )| < εj ∀ j} .
Verifichiamo che U è aperto in D(A). Dato un compatto K ⊂ A, sia j̄ tale che
K ⊂ Kj̄ . Allora solo i punti x1 , . . . , xj̄−1 possono essere contenuti in K. Pertanto
U ∩ D(K) = {g ∈ D(K) : |g(xj )| < εj j = 1, . . . , j̄ − 1} .
Per j = 1, . . . , j̄ si consideri il funzionale lineare Φj (g) = g(xj ) su D(K). Esso è
continuo perché |Φ(g)| ≤ p0 (g). Dunque l’insieme Uj = {g : |g(xj )| < εj } è aperto
Tj̄
in D(K). Ma U ∩ D(K) = j=1 Uj , da cui l’asserto.
Quindi U è un intorno di 0 in D(A). Tuttavia nessuna delle fnj è in U , da cui
l’assurdo.
Una volta stabilito che i supporti delle fn sono contenuti in un unico compatto,
il resto segue dalla Proposizione 2.3(2). Corollario 2.6. Sia T un’applicazione lineare di D(A) in D(A0 ). Allora T è continua se e solo se per ogni compatto K ⊂ A esiste un compatto K 0 ⊂ A0 tale che
T D(K) ⊂ D(K 0 ) e T ◦ iK : D(K) −→ D(K 0 ) è continua.
Dimostrazione. Supponiamo che la condizione nell’enunciato sia soddisfatta. Allora
T ◦ iK è continua per ogni K come funzione da D(K) in D(A0 ), per la continuità
dell’inclusione iK 0 . Per la Proposizione 2.3(3), T è continua.
Viceversa, si supponga T continua e sia K ⊂ A compatto. Allora T ◦ iK è
continua. Presa una successione {Kj0 } di compatti di A0 come nel Lemma 2.4,
ammettiamo per assurdo che T D(K) non sia contenuto in D(Kj0 ) per nessun j.
Per ogni j esisterebbe allora fj ∈ D(K) tale che supp T fj 6⊂ Kj0 .
Possiamo supporre che limj→∞ fj = 0. Infatti, se d è la distanza (1.1) su D(K),
si può sostituire fj con un opportuno multiplo scalare λj fj in modo che d(λj fj , 0) <
1/j.
Ma essendo T continua, dovremmo allora avere limj→∞ T fj = 0, in particolare
i supporti delle T fj dovrebbero essere contenuti in un unico compatto K 0 . Ma ciò
è assurdo perché ogni compatto di A0 è contenuto in uno dei Kj0 . Corollario 2.7. Le seguenti applicazioni lineari di D(A) in sé sono continue:
(1) Tα f = ∂ α f per ogni multi-indice α;
(2) TΦ f = f Φ per ogni Φ ∈ C ∞ (A).
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Inoltre, se A = Rn , l’applicazione
Z
Tg f = f ∗ g(x) =
f (x − y)g(y) dy
Rn
è continua per ogni g ∈ L1 (Rn ) con supporto compatto.
Dimostrazione. Osserviamo che se f ∈ D(K), con K ⊂ A, allora anche Tα f ∈
D(K). Inoltre pk (Tα f ) ≤ pk+|α| (f ). Dunque Tα ◦ iK è continua da D(K) in sé. Per
il Corollario 2.6, Tα è continua.
Per f ∈ D(K) si ha poi, per la regola di Leibniz,
X
pk (f Φ) =
k∂ α (f Φ)k∞
|α|≤k
≤
X X
cα,β k∂ β f ∂ α−β Φ)k∞
|α|≤k β≤α
X
≤
cα,β k∂ β f k∞ k∂ α−β Φ)k∞,K
|α|≤k,|β|≤k
≤ CK
X
k∂ β f k∞
|β|≤k
= CK pk (f ) .
Dunque anche TΦ è continua.
Infine sia f ∈ D(K), e si consideri la convoluzione f ∗g. Derivando sotto integrale,
si vede che f ∗ g è C ∞ . Inoltre, sia K0 il supporto compatto di g. Allora la somma
K 0 = K + K0 = {y + z : y ∈ K, z ∈ K0 } è pure compatta. Ma f ∗ g(x) = 0 se
x 6∈ K 0 . Infatti l’integrale di convoluzione è esteso agli y che soddisfano entrambe
le condizioni y ∈ K0 e x − y ∈ K. Se esistesse almeno un y con queste proprietà, si
avrebbe x ∈ K + K0 , contro l’ipotesi.
Dunque Tg applica D(K) in D(K 0 ). A questo punto si ha
Z
|f ∗ g(x)| ≤
|f (x − y)||g(y)| dy
K0
≤ kgk1 kf k∞ ,
per cui p0 (f ∗ g) ≤ kgk1 p0 (f ). 3. Distribuzioni
Si chiama distribuzione su A un funzionale lineare continuo
T : D(A) −→ C .
Useremo la notazione hT, f i in luogo di T (f ). In base alla Proposizione 2.3(3),
un funzionale lineare T su D(A) è continuo (cioè definisce una distribuzione) se
e solo se per ogni compatto K ⊂ A esistono un intero n = n(K) e una costante
C = C(K) tali che per ogni f ∈ D(K)
hT, f i ≤ Cpn (f ) ,
9
dove
X
pn (f ) =
kDα f k∞ .
|α|≤n
Esempi.
Sia ϕ(x) una funzione localmente integrabile su A. Il funzionale
Z
hTϕ , f i =
f (x)ϕ(x) dx
A
definisce una distribuzione su A. Se infatti f ∈ D(K) con K ⊂ A, si ha
Z
Z
hTϕ , f i ≤
|f (x)||ϕ(x)| dx ≤ kf k∞
|ϕ(x)| dx .
K
K
R
Si ha quindi in questo caso n(K) = 0 per ogni K e C(K) = K |ϕ(x)| dx.
Scriveremo nel seguito hϕ, f i in luogo di hTϕ , f i quando la distribuzione e’
definita dall’integrazione con la funzione ϕ localmente integrabile. Diremo anche
che la distribuzione coincide con la funzione ϕ.
Più in generale, si ponga
Z
∂ α f (x)ϕ(x) dx ,
hT, f i =
A
sempre con ϕ localmente integrabile su A. Si ha allora
Z
hT, f i ≤
|ϕ(x)| dx pn (f )
K
con n = |α|.
La delta di Dirac nel punto x0 ∈ A è definita da
hδx0 , f i = f (x0 ) .
Si verifica facilmente che n(K) = 0 e C(K) = 1 per ogni K.
Operazioni su distribuzioni.
Ovviamente le distribuzioni su A si possono sommare e moltiplicare per scalari.
Esse formano dunque uno spazio vettoriale, che si indica con D0 (A).
Vediamo ora come si definiscono le derivate di una distribuzione. Per motivare
la definizione, supponiamo inizialmente di avere una distribuzione coincidente con
una funzione ϕ di classe C 1 . In questo caso vogliamo che la derivata ∂j ϕ di ϕ come
distribuzione nella variabile xj coincida con la derivata di ϕ come funzione nella
variabile xj . Si osservi allora che integrando per parti
Z
h∂j ϕ, f i =
f (x)∂j ϕ(x) dx
A
Z
=−
∂j f (x)ϕ(x) dx
A
= −hϕ, ∂j f i
(l’integrazione per parti non produce termini al bordo in quanto f si annulla sulla
frontiera di A).
Per estensione definiamo allora per una generica T ∈ D0 (A)
(3.1)
h∂j T, f i = −hT, ∂j f i .
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Proposizione 3.1. La (3.1) definisce una distribuzione ∂j T .
Dimostrazione. In base al Corollario 2.7(1), l’applicazione ∂j : D(A) −→ D(A) è
continua. Di conseguenza la composizione
T ◦ ∂j : D(A) −→ C
è continua. Per definizione, ∂j T = −T ◦ ∂j , da cui la tesi.
Iterando l’operazione di derivazione, si pone
(3.2)
h∂ α T, f i = (−1)|α| hT, ∂ α f i .
Siano T ∈ D0 (A) e Φ ∈ C ∞ (A). Si definisce T Φ ∈ D0 (A) ponendo
hT Φ, f i = hT, Φf i .
(3.3)
La continuità di T Φ segue dal Corollario 2.7(2).
Vogliamo ora definire la convoluzione T ∗ g di T ∈ D0 (Rn ) con g ∈ D(Rn ). Per
motivare la definizione, supponiamo che T coincida con la funzione ϕ localmente
integrabile su Rn . In tal caso vogliamo ottenere la normale convoluzione
Z
ϕ ∗ g(x) =
ϕ(y)g(x − y) dy .
Rn
Si ha allora
ZZ
hϕ ∗ g, f i =
ϕ(y)g(x − y) dy f (x) dx
Z
Z
= ϕ(y)
g(x − y)f (x) dx dy
= hϕ, ǧ ∗ f i ,
dove si è posto ǧ(x) = g(−x).
Per estensione, sostituendo ϕ con una generica distribuzione T ∈ D0 (Rn ), si pone
(3.4)
hT ∗ g, f i = hT, ǧ ∗ f i .
Esempi.
Abbiamo detto che se T coincide con una funzione ϕ di classe C 1 le sua derivate
prime distribuzionali coincidono con le derivate ordinarie. Se ϕ non è C 1 , ma solo
localmente integrabile, le sue derivate possono differire notevolmente dalla nozione
ordinaria di derivata puntuale.
Si prenda ad esempio su R una funzione a gradino
ϕ(x) =
a
se x < x0
b
se x > x0 ,
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con a 6= b. La derivata puntuale esiste per x 6= x0 ed è nulla. La derivata distribuzionale di ϕ, che indichiamo qui con Dϕ, si ottiene invece come segue (considerando una funzione test f ∈ D(R)):
hDϕ, f i = −hϕ, f 0 i
Z x0
Z ∞
0
=−
af (x) dx −
bf 0 (x) dx
−∞
x
∞0
x0
− bf (x)
= −af (x)
−∞
x0
= (b − a)f (x0 ) .
Si ha quindi
Dϕ = (b − a)δx0 .
Un altro esempio interessante è il seguente. Si consideri la funzione localmente
integrabile ϕ(x) = log |x| su R. Per calcolarne la derivata distribuzionale Dϕ
procediamo come prima, ponendo, per f ∈ D(R),
∞
Z
0
f 0 (x) log |x| dx .
hDϕ, f i = −hϕ, f i = −
−∞
L’integrazione per parti non può essere fatta direttamente, per la singolarità del
logaritmo in 0. Conviene invece eliminare dal dominio di integrazione un intorno
simmetrico (−ε, ε) di 0, osservando che
Z
∞
Z
0
f 0 (x) log |x| dx .
f (x) log |x| dx = lim
ε→0
−∞
|x|>ε
Si ha allora
Z
−ε
hDϕ, f i = − lim
Z
0
f (x) log |x| dx +
ε→0
−∞
ε→0
ε
−∞
Z
−ε
1
+
f (x) dx +
x
−∞
ε→0
f (x) log |x| dx
0
−ε
∞
− f (x) log |x|
− f (x) log x
= lim
= lim
∞
Z
ε
∞
!
1
f (x) dx
x
ε
!
Z
1
f (ε) − f (−ε) log ε +
f (x) dx .
x
|x|>ε
Poiché f è derivabile in 0, f (ε) − f (−ε) ≤ Cε, per cui
lim f (ε) − f (−ε) log ε = 0 .
ε→0
Si ha quindi
Z
hDϕ, f i = lim
ε→0
1
f (x) dx .
x
|x|>ε
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L’espressione a secondo membro prende il nome di integrale con valore principale
e si indica con il simbolo
Z ∞
1
p.v.
f (x) dx .
x
−∞
Occorre tener presente che non si tratta di un normale integrale. Per esempio,
non è assolutamente convergente; inoltre la sua convergenza presuppone che f sia
derivabile in 0.
Si verifica facilmente che le derivate della delta di Dirac in x0 sono date da
h∂ α δx0 , f i = (−1)|α| ∂ α f (x0 ) .
Vediamo ora un esempio di convoluzione. Se g ∈ D(Rn ), calcoliamo δx0 ∗ g. Per
la (3.4) si ha
hδx0 ∗ g, f i = hδx0 , ǧ ∗ f i
= ǧ ∗ f (x0 )
Z
= ǧ(x0 − x)f (x) dx
Z
= g(x − x0 )f (x) dx .
da cui si deduce che δx0 ∗ g coincide con una funzione, precisamente
δx0 ∗ g(x) = g(x − x0 ) .
L’effetto su g della convoluzione con δx0 è dunque la traslazione del suo grafico
di un incremento x0 .
Supporto di una distribuzione.
Si dice che una distribuzione T è nulla su un aperto A0 ⊆ A se hT, f i = 0 per
ogni funzione test f con supporto contenuto in A0 .
Lemma 3.2. Se una distribuzione T è nulla su due aperti A1 e A2 , allora è nulla
anche su A1 ∪ A2 .
Dimostrazione. Sia f ∈ D(A) con supporto K contenuto in A1 ∪ A2 . L’insieme
K1 = K \ A2 è compatto e contenuto in A1 . Sia ϕ una funzione C ∞ con supporto
compatto in A1 e uguale a 1 in un intorno V di K1 . Si decomponga f come
f = f ϕ + (f − f ϕ). Allora
hT, f i = hT, f ϕi + hT, f − f ϕi .
Poiché T è nulla su A1 , hT, f ϕi = 0. Inoltre il supporto di f − f ϕ è contenuto in
K \ V , che è un compatto contenuto in A2 . Di conseguenza anche hT, f − f ϕi = 0.
Si conclude allora che hT, f i = 0. 13
Corollario 3.3. Data T ∈ D0 (A), esiste un massimo aperto A0 ⊆ A su cui T è
nulla.
Dimostrazione. Si consideri la famiglia A degli aperti A0 ⊆ A su cui T è nulla,
parzialmente ordinata per inclusione. A questa famiglia si può applicare il Lemma
di Zorn.
S Sia infatti {Aj }j∈J una sottofamiglia di A totalmente ordinata e si prenda
A0 = j∈J Aj . Se f ha supporto compatto K ⊂ A0 , per la proprietà di ricoprimento
finito esiste j ∈ J tale che K ⊂ Aj . Ma allora hT, f i = 0 perché T è nulla su Aj .
In conclusione T è nulla su A0 .
Esistono dunque, per il Lemma di Zorn, elementi massimali in A. Se A1 e A2
sono due di tali aperti massimali, T è nulla su entrambi. Per il Lemma 3.2, T è
nulla anche sull’unione, e dunque A1 = A2 per la loro massimalità. Si chiama supporto di T il complementare del massimo aperto su cui T è nulla.
Esso viene indicato con supp T .
Per definizione, il supporto di una distribuzione è un chiuso. Esso è vuoto se e
solo se T si annulla su tutto A, ossia se e solo se T = 0.
Proposizione 3.4. Valgono le seguenti proprietà:
(1) se f ∈ D(A) e supp f ∩ supp T = ∅, allora hT, f i = 0;
(2) se Φ ∈ C ∞ (A) e supp Φ ∩ supp T = ∅, allora T Φ = 0;
(3) se Ψ ∈ C ∞ (A) e Ψ(x) = 1 su un intorno di supp T , allora T Ψ = T .
Dimostrazione. La (1) è ovvia, in quanto T è nulla sul complementare del suo
supporto.
Per la (2), si prenda f ∈ D(A). Allora
hT Φ, f i = hT, Φf i ,
dove f Φ ∈ D(A) e supp (f Φ) ⊆ supp Φ. Per la (1), hT, Φf i = 0, da cui la conclusione.
Per la (3), si osservi che il supporto di Ψ − 1 è disgiunto dal supporto di T . Per
la (2), T (Ψ − 1) = T Ψ − T = 0, da cui la tesi. Si osservi che, nella (2), l’ipotesi che supp Φ∩supp T = ∅ è più forte che richiedere
semplicemente che Φ si annulli sul supporto di T : si richiede infatti che Φ si annulli
in un intorno di supp T . La conclusione della (2) non è vera nella sola ipotesi che
Φ sia nulla su supp T .
Si prenda ad esempio T = δ00 , Φ(x) = x su R. Osserviamo innanzitutto che
suppδ00 = {0}. Infatti se f ∈ D(R) ha supporto in R \ {0}, allora hδ00 , f i = −f 0 (0) =
0. Quindi Φ si annulla sul supporto di T . Ma, se ora f ∈ D(R),
hxδ00 , f i = hδ00 , xf i = −hδ0 , f + xf 0 i = −f (0) .
Quindi xδ00 = −δ0 .
Considerazioni analoghe valgono per la (1) e la (3).
Si dice che due distribuzioni T e U coincidono su un aperto A0 ⊆ A se T − U
è nulla su A0 . Segue facilmente dalla Proposizione 3.4 che date T ∈ D0 (A) e
Φ ∈ C ∞ (A) con Φ(x) = 1 su A0 , allora T Φ coincide con T su A0 .
Sia T una distribuzione su A con supporto compatto. In tal caso il funzionale
lineare T : D(A) −→ C si può estendere a C ∞ (A). Per fare ciò si prenda una
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funzione F ∈ D(A) che sia identicamente uguale a 1 in un intorno si supp T . Si
ponga allora
def
hT, Φi = hT, F Φi .
Questa è una buona definizione in quanto
(1) F Φ ∈ D(A), in quanto F ha supporto compatto;
(2) la definizione non dipende dalla scelta di F ; infatti se G è un’altra funzione
in D(A) uguale a 1 in un intorno di supp T , allora
hT, F Φi − hT, GΦi = hT, (F − G)Φi = 0 ,
in quanto (F − G)Φ si annulla in intorno di supp T .
Ordine di una distribuzione.
Nella definizione di distribuzione data all’inizio di questo paragrafo compare un
intero n(K), dipendente dal compatto K ⊂ A, che indica quale norma pn (f ) su
D(K) controlla il valore di hT, f i.
Si dice che T ∈ D0 (A) ha ordine finito n se questi interi n(K) si possono prendere
tutti uguali a n (o minori), ossia se per ogni compatto K esiste una costante C =
C(K) tale che
hT, f i ≤ Cpn (f ) .
Le distribuzioni che abbiamo incontrato finora hanno tutte ordine finito. In
particolare quelle definite da integrali con funzioni localmente integrabili hanno
ordine 0.
Inoltre è abbastanza evidente che se T ha ordine finito n, allora ∂ α T ha ordine
n + |α|.
Si verifichi che la distribuzione p.v.1/x ha ordine 1 (in quanto derivata di log |x|
che ha ordine 0), ma non ha ordine zero!
Esistono distribuzioni che non hanno ordine finito. Per costruirne una, si prenda
una successione di punti {xk } che tendano verso un punto in ∂A ∪ {∞}, e si ponga
T =
∞
X
δx(k)
.
k
k=0
Se f ∈ D(A),
hT, f i =
∞
X
(−1)k f (k) (xk ) .
k=0
Poiché f ha supporto compatto, solo un numero finito dei termini della serie è
diverso da 0, per cui hT, f i è ben definito.
Dato un compatto K ⊂ A, esso contiene solo un numero finito di punti, compresi
nell’insieme {x1 , . . . , xm }, con m dipendente da K. Se f ∈ D(K),
m
m
X
(k)
X
hT, f i ≤
f (xk ) ≤
kf (k) k∞ = pm (f ) .
k=0
k=0
Poiché al variare di K intervengono tutte le derivate di f , è ovvio che non si può
controllare il valore di hT, f i con una stessa norma pm (f ).
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Proposizione 3.5. Una distribuzione con supporto compatto ha ordine finito.
Dimostrazione. Sia K = supp T il supporto compatto della distribuzione T . Si
prenda ϕ ∈ D(A) uguale a 1 su un intorno di K e sia K 0 il supporto di ϕ. Esiste
allora un intero n tale che per ogni g ∈ D(K 0 )
hT, gi ≤ Cpn (g) .
Sia ora f ∈ D(A). Per la Proposizone 3.4(3),
hT, f i = hT ϕ, f i = hT, f ϕi .
Poiché f ϕ ∈ D(K 0 ),
hT, f i ≤ Cpn (f ϕ) ≤ C 0 pn (f ) ,
come si verifica facilmente applicando la regola di Leibniz.
Se K è un comptto contenuto in A, indichiamo con Dm (K) lo spazio di Banach
delle funzioni di classe C m in Rn e con supporto in K, dotato della norma pm .
In dichiamo poi con Dm (A) lo spazio delle funzioni di classe C m con supporto
compatto in A, dotato della topologia più fine che rende continue le inclusioni
iK : Dm (K) −→ Dm (A) per ogni K compatto.
Si verifica facilmente che l’inclusione
im : D(A) −→ Dm (A)
è continua e ha immagine densa per ogni m.
Proposizione 3.6. Una distribuzione T ha ordine finito m se e solo se si estende
con continuità a Dm (A).
Dimostrazione. Un funzionale lineare T su Dm (A) è continuo se e solo se per ogni
K esiste una costante C(K) tale che per ogni f ∈ Dm (K)
(3.5)
hT, f i ≤ C(K)pm (f ) .
Se T è una distribuzione di ordine m, vale la (3.5) per ogni f ∈ D(K). Essendo
D(K) denso in Dm (K), T si estende in modo unico a Dm (K) e si conserva la
disuguaglianza (3.5). Poiché ciò vale per ogni K, T si estende a tutto Dm (A)
rimanendo continuo.
Viceversa se T ha un’estensione continua a Dm (A), allora vale la (3.5) per ogni
K compatto e per ogni f ∈ Dm (K). A maggior ragione la (3.5) vale per f ∈ D(K),
per cui T è una distribuzione di ordine m.