Esercitazione 2 – 07/10/2015 Testo

07 OTTOBRE 2015
ESERCIZIO 1
Siano dati due vettori A e B. Affinché il modulo di A+B sia maggiore del modulo di A-B di un fattore n,
quale deve essere l’angolo fra i due vettori? Quanto vale in particolare l’angolo se i due vettori hanno lo
stesso modulo?
ESERCIZIO 2
Un punto P è descritto dalle coordinate (x 0, y0) rispetto al piano cartesiano xy. Trovare le coordinate del
punto (x’0, y’0) rispetto al piano x’y’ ruotato di un angolo  rispetto al primo.
ESERCIZIO 3
Un aereo atterra ad una velocità di 100 m/s e, per fermarsi, può accelerare al massimo di -5 m/s2. Dall’istante
in cui esso tocca il suolo, qual è l’intervallo di tempo minimo necessario per fermarsi? Può questo aereo
atterrare su una piccola isola tropicale che possiede un aeroporto con una pista lunga 0.8 km?
ESERCIZIO 4
Una studentessa lancia un mazzo di chiavi ad un’amica affacciata ad una finestra, situata ad un’altezza di
4 m. Le chiavi vengono afferrate dopo 1.5 s. Determinare la velocità del mazzo di chiavi (a) al momento del
lancio e (b) all’istante prima di essere afferrato dall’amica.
ESERCIZIO 5
Un’audace donna acrobata seduta sul ramo di un albero vuole lasciarsi cadere verticalmente sulla groppa di
un cavallo che passa al galoppo sotto l’albero. La velocità del cavallo è 10 m/s e la distanza dal ramo alla
sella è 3 m. (a) A quale distanza, in direzione orizzontale, deve trovarsi la sella dal ramo, nell’istante in cui la
donna inizia a muoversi? (b) Per quanto tempo la donna rimane in aria?
14 OTTOBRE 2015
ESERCIZIO 1
Uno studente di fisica, indagatore ed alpinista, scala una parete di 50 m che si affaccia su uno specchio
d’acqua. Dalla cima della parete scaglia due pietre verticalmente verso il basso con 1 s di ritardo l’una
dall’altra, osservando che entrambe provocano un unico tonfo. La prima pietra ha una velocità iniziale di
2 m/s. Quanto tempo dopo il rilascio della prima pietra le due pietre cadono in acqua? Quale velocità iniziale
deve avere la seconda pietra affinché entrambe arrivino simultaneamente? Quale sarà la velocità di ciascuna
pietra nell’istante in cui toccano l’acqua?
ESERCIZIO 2
Un punto si muove lungo un’orbita circolare di raggio R = 0.2 m con velocità angolare costante ω 0 = 15
rad/s. A partire dall’istante t0 = 0 s fino all’istante t1 = 16 s la sua accelerazione angolare vale α0 = -0.1 rad/s2;
per t ≥ t1 l’accelerazione angolare α1 = -1.6 rad/s2 fino a che il punto si ferma. Calcolare: (a) il modulo
dell’accelerazione a1 del punto nell’istante t1; (b) in quale istante tf il punto si ferma.
ESERCIZIO 3
Un treno, affrontando una curva, rallenta uniformemente da 90 km/h a 50 km/h nei 15 s che impiega a
completare la curva. Il raggio della curva è 150 m. Calcolare l’accelerazione nel momento in cui la velocità
del treno è 50 km/h.
ESERCIZIO 4
Un satellite descrive un’orbita circolare attorno alla Terra, a 600 km dalla superficie terrestre, dove
l’accelerazione di gravità vale 8.21 m/s2. Assumendo che il raggio della Terra sia 6400 km e che il satellite si
muova di moto uniforme, determinarne la velocità e calcolare il tempo necessario perché il satellite completi
un’orbita attorno alla Terra.
21 OTTOBRE 2015
ESERCIZIO 1
Un calciatore calcia il pallone ad una distanza di 36 m dalla porta. Il pallone deve evitare la traversa, che ha
un’altezza di 3.05 m. Il pallone lascia il suolo con un angolo di 53° rispetto all’orizzontale e velocità di
20 m/s. (a) A che distanza passa sotto o sopra la traversa? (b) Il pallone supera la porta durante la parte
ascendente o discendente della traiettoria?
ESERCIZIO 2
Uno sciatore lascia la rampa di salto con una velocità di 10 m/s, a 15° al di sopra dell’orizzontale. La discesa
è inclinata di 50° e la resistenza dell’aria è trascurabile. Trovare (a) la distanza alla quale lo sciatore atterra
sulla discesa e (b) le componenti della velocità appena prima di atterrare.
ESERCIZIO 3
Due nuotatori, Federica e Filippo, partono dallo stesso punto in un ruscello, in cui la corrente ha una velocità
vR. Entrambi si muovono alla stessa velocità (con > vR) relativa al ruscello. Federica nuota a favore di
corrente per una distanza L e poi torna indietro per la stessa distanza; Filippo invece percorre una distanza L
nuotando in modo tale che il suo moto relativo alla terraferma risulti perpendicolare alle sponde del ruscello,
poi torna indietro. Entrambi i nuotatori tornano al punto di partenza, ma chi dei due torna per primo?
28 OTTOBRE 2015
ESERCIZIO 1
Un sacco di cemento che pesa Fp è sostenuto da tre funi,
delle quali due formano gli angoli 1 e 2 con
l’orizzontale. Se il sistema è in equilibrio, qual è la
tensione T1 della fune di sinistra?
ESERCIZIO 2
Un corpo di massa m1 posto su un piano
orizzontale liscio è collegato ad un altro corpo
di massa m2 tramite delle funi inestensibili e
una coppia di carrucole lisce P1 e P2, come
mostrato in figura. Sapendo che P2 è fissa e
trascurando la massa delle carrucole e delle
funi, determinare le accelerazioni delle due
masse e le tensioni nelle funi in funzione di m 1,
m2 e g.
P1
P2
m1
m2
ESERCIZIO 3
Un blocco di 3 kg parte da fermo dalla sommità di un piano inclinato di 30°. Se il coefficiente di attrito
statico del piano è S = 0.5, il blocco può scivolare verso il basso? In caso affermativo, si supponga che il
blocco copra tutta la distanza del piano, L = 2 m, in 1.5 s. Trovare l’accelerazione del blocco, il coefficiente
di attrito dinamico fra il blocco ed il piano, la forza di attrito agente sul blocco e la velocità del blocco alla
fine del tratto L.
TEMA D’ESAME 14/02/2013: ESERCIZIO 2
Due masse m = 1 kg e M = 2 kg sono unite da un’asta e si trovano su un piano liscio inclinato di 30°.
Calcolare la tensione dell’asta quando il sistema scivola lungo il piano.
04 NOVEMBRE 2015
ESERCIZIO 1
Due punti materiali di massa m1 = 2 kg e m2 = 5 kg sono collegati tramite un filo inestensibile di
massa trascurabile e una carrucola liscia. Ciascuno dei due corpi è appoggiato (vedi figura) su un
piano liscio inclinato con l’orizzontale di 1 = 45° e 2 = 30° rispettivamente. Inoltre il corpo di
massa m1 è vincolato ad una estremità di una molla ideale di massa trascurabile e costante elastica
k = 300 N/m elongata di l = 30 cm, mentre un fermo che blocca m2 tiene in quiete il sistema.
Calcolare: (a) il modulo della reazione vincolare agente su m 2; (b) l’accelerazione dei corpi
immediatamente dopo che il fermo viene rimosso.
m2
2
m1
1
ESERCIZIO 2
Un modellino d’aereo di 0.75 kg di massa vola lungo una circonferenza orizzontale, collegato all’estremità di
un cavo di controllo lungo 60 m, con una velocità di 35 m/s. Calcolare la tensione del cavo se esso forma un
angolo di 20° con l’orizzontale. L’aereo è controllato dalla tensione del cavo di controllo, dal suo peso e
dalla spinta aerodinamica che agisce a 20° rispetto alla verticale verso l’alto e verso il centro.
ESERCIZIO 3
Quale forza orizzontale deve essere applicata ad un carrello
affinché i blocchi che trasporta rimangano fermi relativamente
ad esso? Si assuma che tutte le superfici siano prive di attrito.
ESERCIZIO 4
Un divertimento da luna-park consiste in un grande cilindro verticale che ruota attorno al suo asse, tanto
velocemente che una persona al suo interno è bloccata contro la parete, anche quando il pavimento viene
aperto. Il coefficiente di attrito statico tra la persona e la parete è s, il raggio del cilindro è R. Qual è il
massimo periodo di rotazione TMAX necessario per evitare che la persona cada? Quanto vale TMAX se R = 4 m
e s = 0.4? Quanti giri al minuto deve compiere il cilindro?
11 NOVEMBRE 2015
ESERCIZIO 1
Una cassa di massa 10 kg viene tirata in salita lungo un piano inclinato scabro con una velocità iniziale di
1.5 m/s. La forza esercitata è di 100 N, parallelamente al piano, inclinato di 20° rispetto all’orizzontale. Il
coefficiente di attrito dinamico è 0.4 e la cassa viene tirata per 5 m. Quanto lavoro viene compiuto dalla forza
di gravità? Quanta energia si dissipa per attrito? Quanto lavoro viene svolto dalla forza di 100 N? Qual è la
velocità della cassa dopo essere stata tirata per 5 m?
ESERCIZIO 2
Un pendolo semplice è costituito da un punto materiale di massa m = 500 g, legato ad un filo inestensibile di
massa trascurabile e lunghezza L = 1 m, capace di sopportare la tensione massima di rottura T r = 12 N.
Inizialmente il punto materiale è tenuto in quiete alla stessa quota del punto di sospensione O e il filo è
completamente disteso. Calcolare: (a) a quale angolo θr il filo si rompe; (b) il modulo dell’accelerazione ar in
questo istante; (c) il tempo Δt impiegato dal corpo a passare per la verticale dopo la rottura del filo.
ESERCIZIO 3
Una sferetta scivola senza attrito lungo una
guida mostrata in figura. Se la sferetta viene
lasciata andare da un’altezza h = 3.5 R, (a)
qual è la sua velocità nella posizione A? (b)
Quanto vale la forza normale agente sulla
sferetta, se questa ha una massa di 5 g?
A
h
R
18 NOVEMBRE 2015
ESERCIZIO 1
Un blocco di massa m1 = 20 kg è connesso ad un altro blocco di massa m2 = 30 kg da una corda di massa
trascurabile che passa attorno ad una puleggia priva di attrito. Il blocco m 2 è collegato ad una molla di massa
trascurabile e costante elastica 250 N/m. La molla non è in tensione quando il sistema si trova nelle
condizioni indicate in figura (con m2 ad una quota h = 20 cm dal pavimento) ed il piano, inclinato di 40°
rispetto all’orizzontale, è liscio. Il blocco m1 è tirato in giù, lungo il piano inclinato, di 20 cm ed è lasciato
libero da fermo. Trovare la velocità di ciascun blocco quando quello di massa m2 ritorna alla quota iniziale h
dal pavimento (cioè quando la molla non è in tensione).
m1
m2
h
40°
ESERCIZIO 2
Un blocco di massa 0.5 kg viene premuto contro una molla orizzontale, di massa trascurabile, provocandone
una compressione Δx, come mostrato in figura. La costante elastica della molla è di 450 N/m. Il blocco,
lasciato libero, si muove lungo un piano orizzontale privo di attrito fino al punto C, al fondo di una guida
circolare verticale scabra di raggio R = 1 m e continua a muoversi in su lungo la guida. La velocità del
blocco nel punto C è vC = 12 m/s. Il blocco è sottoposto ad una forza media d’attrito di 7 N lungo il percorso
circolare della guida. Determinare: la compressione iniziale della molla; la velocità del blocco alla sommità
della guida circolare. Il blocco riuscirà a raggiungere la sommità della pista o cadrà prima? Si calcoli il
valore della forza normale agente sul blocco nel punto D.
D
R
Δx
m
C
B
A
TEMA D’ESAME 30/01/2014: ESERCIZIO 1
Un veicolo di massa m = 500 kg, inizialmente fermo, accende il motore e scende lungo un piano inclinato di
10° con velocità costante. Calcolare il lavoro fatto dai freni e la potenza frenante, avendo percorso una
distanza di 20 m in 4 s lungo il piano inclinato.
25 NOVEMBRE 2015
ESERCIZIO 1
Un proiettile di massa m = 8 g è lanciato contro un blocco di massa M = 2.5 kg, inizialmente a riposo al
bordo di un tavolo liscio ad altezza h = 1 m dal suolo. Il proiettile si conficca nel blocco e, dopo l’urto, cade
a distanza d = 2 m, lungo l’asse orizzontale, dal fondo del tavolo. Determinare la velocità iniziale del
proiettile. Di che tipo di urto si tratta? (Motivare la risposta).
m
v0
M
h
d
ESERCIZIO 2
Un cannone è rigidamente attaccato ad un carro che può
muoversi lungo un binario orizzontale. Il carro è a sua
volta vincolato al muro per mezzo di una molla,
inizialmente a riposo e con costante elastica
k = 2 104 N/m. Il cannone spara un proiettile di 200 kg ad
una velocità di 125 m/s, con un alzo di 45° rispetto
all’orizzontale. Sapendo che la massa del carro con il
cannone è 5000 kg, si calcoli la velocità di rinculo del
cannone. Si determini inoltre la massima estensione della
molla e la massima forza che la molla esercita sul carro.
45°
TEMA D’ESAME 16/07/2014: ESERCIZIO 3
Due carrelli di massa m = 100 kg e M = 200 kg sono inizialmente agganciati e fermi su una rotaia
orizzontale. In un certo istante viene disposto uno sgancio automatico che avviene in 0.2 s e che imprime al
carrello m una velocità di 2 m/s. Calcolare: (a) la velocità di entrambi i carrelli dopo lo sgancio; (b) la forza
sviluppata fra i carrelli durante lo sgancio; (c) il lavoro fatto dal dispositivo di sgancio.
m
M
ESERCIZIO 4
Un pendolo semplice di lunghezza l = 30 cm e massa m 1 = 300 g viene lasciato libero da un’altezza iniziale h
rispetto al suolo. Sulla verticale urta anelasticamente un punto materiale di massa m 2 = 150 g posto su un
piano. Sapendo che il punto di massa m2 parte con velocità v2 = 2 m/s e che l’angolo massimo formato dal
pendolo con la verticale dopo l’urto è  = 30°, determinare: la velocità v1 del pendolo immediatamente dopo
l’urto; l’altezza iniziale h del pendolo; l’energia E dissipata nell’urto.
l
m1
h
m2
02 DICEMBRE 2015
ESERCIZIO 1
Due corpi puntiformi di massa m1 = 0.24 kg e m2 = 0.15 kg sono fermi nell’origine di un asse x orizzontale,
lungo il quale possono muoversi senza attrito. Nell’istante t0 = 0 entrambi i corpi iniziano a muoversi: il
corpo m1 si sposta con accelerazione costante a1 = a1 ux, con a1 = 1.8 m/s2; il corpo m2 si sposta lungo il
verso negativo dell’asse con velocità costante v2 = -v2 ux, con v2 = 3.6 m/s. Calcolare: l’istante t1 in cui il
centro di massa del sistema coincide con l’origine; l’istante t2 in cui la velocità del centro di massa è nulla; la
risultante Fext delle forze esterne agenti sul sistema.
ESERCIZIO 2
Un aereo carico di aiuti umanitari vola ad una altezza h = 300 m dal suolo ad una velocità v0 = 360 km/h e
deve lanciare un pacco di provviste di massa M = 100 kg in un villaggio. Calcolare a che distanza d dal
villaggio, lungo l’asse orizzontale, deve sganciare il pacco. Malauguratamente durante il volo il pacco si
divide in tre parti di massa m1 = 50 kg, m2 = 30 kg e m3 = 20 kg. Sapendo che la prima viene ritrovata a
r1 = 150 m in direzione 45° a Sud-Est rispetto al villaggio, la seconda a r2 = 100 m in direzione Sud, dove
bisognerà cercare l’ultima parte?
ESERCIZIO 3
Un blocco di massa m è rilasciato da una quota h, con
velocità iniziale nulla, lungo un cuneo di massa M. Il
cuneo a sua volta è appoggiato su un piano liscio.
Determinare la velocità di m e M al momento della
loro separazione e di quanto si è spostata la massa M
in quell’istante.
m
h
M
L
TEMA D’ESAME 05/09/2014: ESERCIZIO 3
Una massa M = 200 kg si spacca improvvisamente in due parti uguali, che si allontanano a 2 m/s l’una
rispetto all’altra. Calcolare: (a) la velocità dei frammenti rispetto ad un osservatore fisso inerziale (fermo a
terra); (b) il lavoro fatto per la frammentazione.
16 DICEMBRE 2015
ESERCIZIO 1
Una palla di massa m è fissata all’estremo di un’asta portabandiera che è
solidale nel punto P con la parete di un edificio. La lunghezza dell’asta è l
e  è l’angolo che l’asta forma con il piano orizzontale. Si supponga che la
palla, non fissata a dovere sull’asta, ad un certo istante inizi a cadere. Si
determini, in funzione del tempo, il momento angolare della palla rispetto
al polo P. Si trascuri la resistenza dell’aria.
m
l

P
ESERCIZIO 2
Un pendolo conico consiste in una massa m in moto lungo una traiettoria circolare su un piano orizzontale,
come mostrato in figura. Durante il moto il cavo di supporto di lunghezza l mantiene un angolo  costante
con la verticale. Determinare il valore del momento angolare della massa rispetto al centro O della traiettoria
circolare.
θ
O
l
m
ESERCIZIO 3
Un pattinatore sta sorreggendo due manubri pesanti di massa m mentre ruota con 0 = 2 rad/s; a questo
punto il pattinatore raccoglie le braccia vicino al petto. Supponendo che all’inizio i manubri siano distanti
d0 = 60 cm dall’asse di rotazione del pattinatore e vengano poi portati a distanza d 1 = 10 cm, calcolare la
frequenza finale di rotazione dell’atleta. (Trascurare il momento meccanico fornito dal pattinatore e
considerare il pattinatore puntiforme).
TEMA D’ESAME 14/02/2013: ESERCIZIO 5
m
Due masse uguali m = 2 kg sono unite da un’asta rigida di massa
trascurabile e lunghezza d = 1 m. L’asta è posta sul piano
orizzontale, inizialmente ferma, quando le vengono applicate due
forze orizzontali come nel disegno, imprimendo un moto
rotazionale dell’asta di 1 giro/min. Calcolare: a) per quanto tempo
le forze agiscono; b) la velocità del centro di massa.
2F = 200 N
O
F = 100 N
m
13 GENNAIO 2016
ESERCIZIO 1
Un corpo puntiforme di massa M è appeso tramite un’asta rigida,
lunga l = 1.2 m e di massa trascurabile, al soffitto e può oscillare
senza attrito. L’asta, inizialmente in quiete, viene urtata in
maniera completamente anelastica a metà altezza da un corpo di
massa m, in moto con velocità v0 = 3 m/s lungo l’asse
orizzontale. Determinare l’angolo massimo formato dal pendolo
con la verticale dopo l’urto, ipotizzando M = 2m.
l/2
v0
m
l/2
M
TEMA D’ESAME 30/01/2014: ESERCIZIO 2
Una catena di massa m e lunghezza L è appoggiata su un piano orizzontale senza attrito e trascinata con una
forza F. Determinare la tensione in un punto x generico della catena.
m
F
L
ESERCIZIO 3
Due punti materiali di massa m1 = 50 g e m2 = 200 g sono vincolati a ruotare su un piano orizzontale liscio,
attorno ad un asse verticale passante per il centro di una barra rigida di massa trascurabile che li unisce
tramite un opportuno sistema di perni. Il sistema viene messo in moto utilizzando un motore applicato
all’asse che fornisce un momento meccanico di modulo M = 0.08 Nm costante. Ciascun braccio della barra è
lungo R = 10 cm e sopporta una tensione massima di rottura Tr = 30 N in direzione parallela alla barra.
Calcolare: (a) la velocità angolare ωr al momento della rottura; (b) il tempo tr necessario a rompere il braccio
collegato a m2.
TEMA D’ESAME 16/07/2014: ESERCIZIO 2
Un treno percorre un tratto curvo alla velocità di 200 km/h. Si osserva che un oggetto appeso forma un
angolo di 10° con la verticale. Calcolare il raggio R della curva.