la membrana tesa uniformemente - Università degli Studi della

Corso di
Progetto di Strutture
POTENZA, a.a. 2012 – 2013
Comportamento membranale
Dott. Marco VONA
Scuola di Ingegneria, Università di Basilicata
[email protected]
http://www.unibas.it/utenti/vona/
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
Per membrana intendiamo un elemento strutturale superficiale
avente rigidezza flessionale nulla
Consideriamo una membrana di forma qualsiasi che sia tesa
uniformemente sul suo contorno
Tale azione è esercitata da una forza H per unità di lunghezza
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
Tutti gli elementi interni sono tesi della stessa quantità (la forza H)
H
1
H
1
Supponiamo di applicare un carico p ortogonale alla membrana
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
Sia il carico
p
tale da creare abbassamenti w senza alterare lo
stato tensionale dovuto ad
(incogniti) piccoli
H,
ovvero siano gli abbassamenti
H
H
p
H
H
w
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
Consideriamo nello spessore della membrana un elemento dx, dy
Esaminiamo lo stato di equilibrio di tale elemento in direzione
normale al suo piano
Gli spostamenti v sono determinati nell’ipotesi che siano
abbastanza piccoli da non provocare sensibile variazioni di H
dx
dy
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
Lo stato di equilibrio delle forze in direzione normale
all’elemento dx dy è analizzato considerando:
•Il carico p
•La componente della forza H lungo il lato dy
Hdy
•La componente della forza H lungo il lato dx
Hdx
dx
H
dy
H
H
α1
α2
H
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
Il carico esterno vale pdxdy
dx
Le componenti di H lungo y
valgono:
dy
− H ⋅ dy ⋅ sin α1
+ H ⋅ dy ⋅ sin α 2
H
α1
α2
H
Nell’ipotesi di piccole deformazioni
∂w
sin α1 ≡ tan α1 ≡
∂x
∂w ∂ 2 w
sin α 2 =
+ 2 dx
∂x ∂x
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
dx
Le componenti di H lungo y
diventano:
dy
∂w
− H ⋅ dy ⋅
∂x
H
 ∂w ∂ 2 w 
+ H ⋅ dy ⋅ 
+ 2 dx 
 ∂x ∂x

α1
α2
H
La somma delle componenti di H lungo y
2
∂w
 ∂w ∂ 2 w 
w
∂
− H ⋅ dy ⋅
+ H ⋅ dy ⋅ 
+ 2 dx  = H ⋅ 2 dxdy
∂x
∂x
 ∂x ∂x

LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
Analogamente le componenti
lungo il lato dx delle forze H
valgono
dx
∂2w
H ⋅ 2 dxdy
∂y
dy
H
α1
α2
H
L’equilibrio
quindi
determina come
∂2w
∂2w
p ⋅ dxdy + H ⋅ 2 dxdy + H ⋅ 2 dxdy = 0
∂x
∂y
si
LA MEMBRANA TESA UNIFORMEMENTE
dx
Da cui semplificando
∂w ∂w
p
+
=
−
2
2
∂x
∂y
H
2
dy
H
2
α1
α2
H
Equazione delle superficie
elastica
deformata
della
membrana
(detta
anche
superficie funicolare)
p
∆w = −
H
ANALOGIA CON LA MEMBRANA TESA
UNIFORMEMENTE
La trattazione esposta è analoga alla curva funicolare definita per
un carico p
dx
dy
H
H
α1
H
∂2 y
p
=−
2
∂x
H
α2
H
∂2w ∂2w
p
+ 2 = ∆w = −
2
∂x
∂y
H
ANALOGIA CON LA MEMBRANA TESA
UNIFORMEMENTE
L’analogia con la piastra comporta inoltre
1. L’equazione differenziale del momento invariante di una
piastra caricata con carico p coincide con quella funicolare di
una membrana caricata dal carico –p e soggetta ad una
tensione uniforme H = 1.
Le ordinate della funicolare, nulle sul contorno, coincidono
con il momento M in tutti i casi in cui M risulti nullo sul
contorno
2. L’equazione differenziale della superficie elastica di una
piastra soggetta al momento invariante M coincide con quella
di una membrana caricata dal carico fittizio p = - M / D e
soggetta alla tensione uniforme H = 1
Le ordinate delle due superfici coincidono se la piastra è
vincolata sul contorno dove sarà w = 0