Equazione di Stokes

Laboratorio di Simulazione
Atomistica e Fluidodinamica
Equazione di Stokes e
soluzione numerica col metodo degli
elementi di contorno
Equazione di Stokes
Struttura della lezione:
●
Equazione di Navier Stokes
●
Forma adimensionale e numero di Reynolds
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Equazione di Stokes
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Cenni ai metodi di soluzione numerica
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Solutori agli elementi di contorno
●
Esempio: equazione di Poisson
Mauro Chinappi
Qualche esempio
Mauro Chinappi
Equazioni di Navier Stokes (incomprimibile!!)
velocità
densità
Mauro Chinappi
pressione
viscosità
forze
esterne
Equazioni di Navier Stokes
Ipotesi (le più importanti):
●
Continuo !!!
●
Fluido incomprimibile
●
●
Relazione costitutiva !!!
(fluido Newtoniano)
Effetti termici trascurabili
(esempio: no galleggiamento)
Mauro Chinappi
Il tensore degli sforzi è una
funzione lineare del
tensore velocità
di deformazione
Equazioni di Navier Stokes: forma adimensionale
Grandezze di riferimento
Numero di Reynolds:
rapporto tra forze di inerzia
e forze viscose
Viscosità cinematica
Mauro Chinappi
… per casa …
●
●
●
●
Unità di misura della viscosità dinamica e della viscosità
cinematica
Convincetevi che il numero di Reynolds è adimensionale
Scrittura equazione di Navier Stokes (bilancio qdm) sia in
forma vettoriale che indiciale
Se avete dubbi: Fluid Mechanics Kundu Second Edition
oppure dispense del corso di fluidodinamica del Prof. R. Piva
(http://dma.ing.uniroma1.it/users/m_fluid_c1/index.html sezione “Materiale”)
Mauro Chinappi
Numero di Reynolds
●
Viscosità cinematica aria: 1.5 * 10^-5 (m^2/s)
●
Viscosità cinematica acqua: 1. * 10^-6 (m^2/s)
Numero di Reynolds:
rapporto tra forze di inerzia
e forze viscose
Re ~ 10^5
Mauro Chinappi
L ~ 10^-6 m
U ~ 30*10-6 m/s
Numero di Reynolds … e quindi?
Numero di Reynolds:
rapporto tra forze di inerzia
e forze viscose
Re ~ 10^5
Mauro Chinappi
L ~ 10^-6 m
U ~ 30*10-6 m/s
Equazione di Stokes
Cons. qdm
Cons. massa
Domanda frequente:
●
Il tempo ??
...But I want to take you into the world of very low Reynolds number - a
world which is inhabited by the overwhelming majority of the organisms in
this room. This world is quite different from the one that we have
developed our intuitions in. "
(E.M. Purcell).
Mauro Chinappi
Solutori numerici equazione di Stokes
Perché:
●
Esistono poche soluzioni analitiche note (flusso in un
canale piano, flusso intorno ad una sfera etc. etc.)
Esistono varie classi di metodi:
●
Differenze finite (la funzione è rappresentata su una
griglia, derivate stimate sui punti della griglia)
●
Elementi finiti ...
●
…
●
Elementi di contorno
Mauro Chinappi
Esempio I
u = U, v = 0
u=0
v=0
u=0
v=0
u = 0, v = 0
Mauro Chinappi
Esempio II
u=U
v=0
U
u = 0, v = 0
Mauro Chinappi
Metodi agli elementi di contorno
NOTA:
Per chiarezza il metodo agli elementi di controllo verrà presentato
per l'equazione di Poisson
Da risolvere nel dominio D
Condizioni al bordo assegnate su frontiera di D
REF: Dispense del Prof R. Piva, Paragrafo 5.5-5.7
(http://dma.ing.uniroma1.it/users/m_fluid_c1/index.html sezione “Materiale”)
Mauro Chinappi
Qualche identità matematica
Verificatela !!
Dominio
Green-Gauss
Mauro Chinappi
Qualche identità matematica
Finora solo identità matematiche !!!
Da risolvere in D
C. B. su frontiera di D
Mauro Chinappi
Metodi agli elementi di contorno: eq. Poisson
LA SAPPIAMO
RISOLVERE !!!
Da risolvere in D
C. B. su frontiera di D
Soluzione
nel campo
Mauro Chinappi
Spazio libero
Valori sulla
frontiera
Metodi agli elementi di contorno: eq. Poisson
Ne conosco uno solo
Soluzione
nel campo
Valori sulla
frontiera
Se “porto” il punto x* dall'interno di D alla frontiera si può dimostrare che:
Valori sulla
frontiera
Mauro Chinappi
Valori sulla
frontiera
f è solo sulla
frontiera !!
Metodi agli elementi di contorno: eq. Poisson
Esempio: Contorno diviso in N elementi e dominio in M elementi
(f e a continue a tratti !!! solo per chiarezza espositiva)
½ o 1 (contorno o
interno al dominio)
Mauro Chinappi
Metodi agli elementi di contorno: eq. Poisson
½ o 1 (contorno o
interno al dominio)
La formula sopra vale per ogni punto sia del
dominio (C=1) che della frontiera (C=1/2)
Mauro Chinappi
Metodi agli elementi di contorno: eq. Poisson
Esempio:
Supponiamo di conoscere il gradiente normale sulla frontiera
●
Scrivo N equazioni per gli N valori xi sulla frontiera
●
Ho quindi un sistema lineare del tipo ...
●
… che posso risolvere numericamente per
trovare le N f(xi)
●
Una volta che ho le f(xi) a questo punto usando l'equazione
sopra posso ottenere qualunque valore voglio sia nel campo
che sulla frontiera
●
Mauro Chinappi
Lab. di simulazione atomistica e fluidodinamica
?
Mauro Chinappi