ANALISI STATICA DI EDIFICI IN MURATURA SOGGETTI AD AZIONI

- 861 ANALISI STATICA DI EDIFICI IN MURATURA SOGGETTI AD AZIONI ORlZZONTALI
STATIC ANALYSIS OF MASONRY BUILDINGS SUBJECI'ED TO LATERAL LOADS
Franco Fusier
Dr. Ing.
U niversità degli Studi di Firenze
Dipartimento di lngegneria Civile
Firenze - Italia
Andrea Vignoli
Prof. Dr. lng.
Università degli Studi di Firenze
Dipartimento di Ingegneria Civile
Firenze - Italia
Sommario
Nella prima parte deI lavoro viene affrontata I'analisi deI comportamento a flessione di pareti in
muratura non armata sotto I'azione di forze orizzontali applicate sia in sommità dell'elemento che
distribuite lungo la sua a1tezza. Vengono fornite relazioni esplicite che permettono di valutare la forza
orizzontale di collasso tenendo conto sia della non linearità di comportamento dei materiale che degli
effetti dei secondo ordine. Successivamente viene descritto un metodo di calcolo alio stato limite ultimo
per edifiei di lirnitata altezza soggetti a forze orizzontali, il relativo programma di calcolo
stato
ehlamato VEM. I punti che lo caratterizzano sono l'a1goritmo di risoIuzione basato sul metodo della
matrice delle rigidezze in campo non lineare, i possibili meccanisrni di collasso dei pannelli murari
(fessurazione diagonale, fessurazione orizzontale, flessione), Ia verifica di resistenza delle fasce di piano.
Viene inoltre riportato un confronto tra i risuItati ottenuti coI metodo POR e con il metodo VEM.
e
Ahstract
Brick or stone masonry panels are often subjected to horizontal Ioads due to the seisrnic actioDS.
For slim panels the flexural collapse is the most frequent. Numerical simulatioDS have been carried out
in order to evaluate the cracking behaviour of masonry panels subjected to simpIe restraints at the end
sectioDS. In the analyses the masonry diaphragms have been Ioaded both with horizontal forces acting at
the bottom of the panel and with uniIorm load a10ng the height. Explicit approximated relatioDS are
proposed to interpret numerical results and to evaluate the panel's collapse load whether the second
order effects are considered or not. Then a method for the statie calculation of low masonry buildings
subjected to horizontal loads is presented (VEM method). The a1gorithm is based on the non-linear
stiffness matrix method; consequently any planimetric distribution of waJls and any seisrnie direction can
be correctly treated. Moreover three different wali failure mechanisms can be taken into account and a
simplified verify of strips is presented. Finaliy, with regard to a real bnilding, the horizontal failure force
caJculated with POR method and with the VEM method are compared.
1. Leggi costitutive
(T-€'
per e1ementi inflessi in mmatma di mattoni soggetti a tensioni normali
TI materiale muratura presenta un comportamento marcatamente non lineare di cui, se si vuole
indagare sul comportamento a rottura di elementi strutturali, occorre tenere conto. Sono state proposte,
per m urature di mattoni, a1cune relazioni di derivazione sperimentale tra le quali si ricordano quella
dovuta a Turnsek e Sheppard (1) e quella di Turnsek e Cacovic (2). Nel lavoro
stata adottata
un 'espressione abbastanza generica capace di rappresentare, in maniera esatta o a1meno eon buona
approssimazione, le relazioni citate:
e
[1]
NelJe applicazioni numeriche i coefficienti A, B, C sono stati assunti
B=-5.4, C=l.17, in modo da riprod=e la reIazione di Turnsek e Sheppard (1).
2.
valori: A=6.4,
Equazioni di equilihrio per un elemento di parete di altezza mritaria..
Considerando un elemento di parete di a1tezza unitaria per individuare completamente lo stato
di tensione e di defonnazione presente, sia in fase fessurata che nel caso di sezione interamente reagente,
occorre conoscere la posizione dell'asse neutro e la rotazione relativa tra le due facce dei concio. Per
- 862 determinare queste due quantità possiamo impostare le equazioni di equi librio alia traslazione ed alia
rotazione dell'elemento, con riferimento alia [I] ed alie figg. I a e I b si ottiene:
figo I: concio elementare di
pannello in muratura.
figo I: elementary trunk of
masonry pane!.
figo I a
I)
fig o I b
[2]
sezione fessurata:
B ,pC
X(C+l)(X_~))
(C+I)
2)
Eu C
[3]
sezione non fessurata:
[4]
B ,pC X(C+l)(X_~) [ X(C+1)_ ( X_d)(C+l)])
(C+I)
[5]
Eu C
E stato ottenuto dunque un sistema non
lineare di due equazioni nelle du e incognite:
distanza dell'asse neutro daI bordo compresso della sezione
,p rot.azione relativa tra le due facce poste a distanza unitaria
per la risoluzione deI quale puo essere adott.ato un apposito algoritmo di calcolo automatico (4).
X
1J I~d~
fig o 2: schema statico deI
pannello in muratura (infles-
It
-.l
sol·
fig o 2:
static
scheme
masonry panel (flexure).
of
figo 2
Determinate le dimensioni della sezione reagente e la curvatura (d 2 x/ dz 2 ) lungo tutta l'altezza
- 863 della pare te si puo procedere alia doppia integrazione di quest'ultima in modo da ricavare la deformata
deI pannello. Nel presente lavoro la pare te viene supposta incastrata alia base e vincolata mediante
incastro scorrevole in sommità (fig. 2), quindi le equazioni aI contorno sono:
[~ ~]
3.
z=O
= O
[~ ~]
[xl z=O = O
z= h
= O
[6]
Forza orizzontale di collasao per flessione di un pannello in muratura.
Alio scopo di derivare un'espressione in grado di fomire il valore della resistenza ultima deI
pannello si e proceduto in (4) ad una estesa serie di test numerici, in particolare e stata assunta la [1]
quale relazione tensioni-deformazioni, mediante le [2], [3], [4], [5] sono stati valutati, per vari tipi di
materiale, le deformazioni della pare te ed i valori deI taglio a rottura (tenendo conto o meno degli effetti
dei secondo ordine). Sulla base dei risultati raccolti e stato notato che il valore deI carico di collasso puo
essere espresso mediante una relazione esplicita deI tipo:
2
d
U
t [ 1-8
Vu=~
(uu: )A]
II-O'qh
[7]
(~:) 2.0]
[8]
dove:
11 = [1-/0 ex~-,J~)] [1-0.007 (~)
1.7
tiene conto degli effetti deI secondo ordine mentre (O' q h) tiene conto della presenza deI canco
distribui to.
Assumendo: A=1.0, 8=1.10 la [7] si e dimostrata in grado di adattarsi ai risultati numerici con
un ottimo grado di approssimazione fino a valori deI rapporto (u oi u J minori od uguali a circa 0.6, per
valori maggiori I'approssimazione diminuisce leggermente ma si mantiene entro limiti piu che accettabili
fino a valori prossimi a 0.9 quando diventano evidenti, specie per pare ti molto snelle gli effetti
instabilizzanti deI carico assiale. 11 coefficiente adimensionale 0', compreso in quasi tutti i ca~i
nell'intervallo [0.56.;- 0.62], ha come valore medio circa 0.60. Qualora il valore di V li risultasse negativo
cio significa che il solo carico distribuito riesce a portare a collasso la parete.
4. Un metodo di calcolo per una classe particolare di edifici soggctti ad azioni orizzontali.
La procedura di calco lo che viene illustrata si basa sulla scomposizione deI sistema resistente
dell'edificio in sottoelementi ognuno dei quali rappresenta la piu piccola unità strutturale di interesse per
il comportamento complessivo dell'edificio.
Gli elementi strutturali che hanno mostrato influenzare sensibilmente il comportamento di
edifici sottoposti all'azione sismica sono, oltre ai solai, essenzialmente due: i pannelli vertical i e le fa~ce
murarie di piano. 11 collasso di una parete in muratura puo infatti essere ricondotlo sempre alia crisi dei
maschi murari deI piano piu sollecitato eventualmente facilitata dalle mutate condizioni di vincolo alie
estremità determinate daI collasso delle travi alte di cúllegamento.
Ogni parete con fori viene schematizzata per mezzo di un telaio "equivalente" i cui ritti, da
assumersi di altezza pari a quella delle aperture che li delimitano, sono costituiti dalle murature
comprese tra due file vertical i di aperture ed i traversi dalle fasce piene di interpiano. Le ipotesi di
calcolo che vengono adottate sono le seguenti:
a) le pareti vengono schematizzate mediante assemblaggio di elementi monodimensionali che simulano
il comportamento dei maschi murari e delle fasce di piano;
b) le fasce murarie sono elementi infinitamente rigidi ma non infinitamente resistenti. I tipi di colla~so
a cui essi vanno incontro sono dovuti sia alia fessurazione diagonale delle parti comprese tra due
maschi contigui che alia fessurazione verticale sulle due sezioni di estremità;
c) i maschi murari hanno comportamento definito, in ognuno dei due piani principali, mediante una
curva caratteristica composta, in genere, da quattro tratti aventi rigidezza tangente diversa. 11 collasso
puo avvenire sia per fessurazione diagonale che per scorrimento orizzontale o per flessione;
- 864d) le rotazioni delle sezioni di est.remità degli elementi sono considerate impedite dalla presenza delle
fasce murarie ed il momento flettente e distribuito linearmente lungo I'altezza dell'elemento con punto
di nullo in mezzeria;
e) lo sforzo normale nei pannelli si mantiene costante durante il processo di carico;
f) gli orizzontamenti sono dotati di sufficiente resistenza e rigidità nel proprio piano in modo tale da
poter essere considerati come un diaframma inestensibile.
La verifica delle fasce viene condoUa a posterior i con lo scopo di assicurarsi se esse siano o meno
capaci di garantire le condizioni di vincolo di rotazione impedita sulle basi dei maschi murari. A questo
scopo viene ipotizzato che la fascia sia in grado di impedire le rotazioni fino aI momento deI proprio
collasso, in accordo col modello rigido-fragile ipotizzato.
11 ca\colo della capacità portante ultima dell'edificio viene inteso nel senso di determinare il
moltiplicatore dei carichi esterni che provoca la rottura nei maschi murari posti ad un determinato
livello con conseguente perdita di efficienza dell'intera costruzione. Quale primo passo viene ca\colata per
ogni maschio murario la forza orizzontale massima che esso pua sopportare nelle tre ipotesi di rottura
per taglio con fessurazione diagonale, per taglio con scorrimento orizzontale lungo i letti di malta e per
flessione. 11 minimo dei tre valor i determina la resistenza ultima dell'elemento e la sua modalità di
collasso. Le relazioni adottate sono le seguenti:
Rottura per fessurazione diagonale (1)
Rottura per scorrimento orizzontale
dtO"n ~
V u, diag = -b-- '-J 1 + U;;
V u, orizz = d t (T ok
+ f O" o)
[9]
Rottura per flessione (3): viene adottata la relazione [7)
Per ogni modalità di collasso deve essere precisata la forma della curva caraUeristica, tenendo
conto deI fatto che, in genere, rotture per fl essione sono associate ad un comportamento piu duttile. A
conc\usione di questa fase sono completamente individuate le caratteristiche reologiche di ogni pannello e
quindi la rigidezza tangent.e nei due piani principal i per ogni livello di deformazione.
Successivamente occorre determinare per il generico piano i-esimo il corrispond ente
moltiplicatore dei carichi esterni /li che ne provoca il collasso. Nel seguito verrà in genere omesso il
riferimento esplicito aI piano considerato. L'indicazione dei piano viene mantenuta solo nei casi in cui e
strettamente necessaria.
Sia XYZ la terna ortonormale destra con origine nel punto O generico che costituisce il sistema
di riferimento generale (l'asse Z viene assunto verticale ascendente). Pensati isolai indeformabili nel loro
piano, il movimento di ciascun impa\cato e completamente determinato se conosciamo gli spostamenti
secondo X e Y della proiezione dell'origine O delle coordinate e la rotazione B attorno all'asse Z (verso
positivo per le rotazioni quello antiorario). Queste tre quantità sono rilJn,ite nel vettore degli spostamenti
relativi di interpiano { Q }. Gli spostamenti deI pannello k - esimo .rispetto aI sistema di riferimento
locale individuato dai propri assi di simmetria si ottengono con la relazione:
{ 7J h
dove [ R)k
[10]
= [ R )k {Q}
e la matrice di rotazione ad esso relativa·e di espressione:
[11]
La sua matrice di rigidezza tangente nel sistema di riferimento locale ha espressione:
O
O
O
1
[12]
- 865dove gli scalari kuJ. e k vk sono le rigidezze tangenti nei piani di maggiore e minore rigidezza,
rispettivamente. Osserviamo per inciso che questa definizione di [k )k escJude che il maschio possa avere
rigidezza torsionale propria.
Possiamo esprimere la [k)k nel sistema di riferimento generale e determinare la matrice di
rigidezza tangente deI piano:
NM
(13)
[K) =
[k)k
L
k
dove NM
e il numero dei
maschi murari. Naturalmente [ K )
=1
e funzione deI vettore { o
}.
Passiamo alia analisi deI comportamento deI piano i-esimo: supponiamo che aI generico piano
j-esimo siano applicate le forze fjx ' fjy passanti per I'origine O ed il momento torcente mjz (fig. 3)
figo 3: forze applicate
i - esimo impalcato.
figo 3:
floor.
for~es
alio
acting on the i-th
figo 3
la forza total e agente aI piano i - esimo ha espressione:
{ F }
= [F iX
' Fiy ,
t
FiZ
]
[NP
= ,L. fjx
J
=
1
NP
Lfjy'
j
=i
NP
Lffijz
1
t
(14)
j =i
Il moltiplicatore di rottura !li e quello che appli cato aI vettore { F } produce il collasso deI
piano, questa situazione viene considerata raggiunta quando il vettore {o} individua una
configurazione in cui la matrice dei rigidezza tangente [ K ) non risulta piu definita positiva. Per la sua
ricerca e stato adottato il metodo di Newton -Raphson per sistemi non lineari a piu gradi di libertà (6).
I passi principal i dell'algoritmo sono i seguenti:
I) Viene assegnato un primo valore { ~F h aI vettore azioni esterne, ottenuto come percentuale
deI vettore { F }, per cui le azioni totali applicate aI piano risultano:
(i5)
2) Calco lata la matrice di rigidezza tangente in corrispondenza della configurazione individuata
daI vettore spostamento { o}o
{O} viene risolto il sistema delle equazioni di equilibrio e determinato
il vettore spostamento totale:
=
(16)
3) Si ottengono gli spostamenti dei maschi murari nel sistema locale {(j h 1 = {uk' vk}
applicando la relazione [lO) aI vettore { o h 1 ed in base a questi si ricavano le loro forze reattive
espresse nel sistema locale { S h ]1 (dove i due indici sottoscritti indicano, rispettivamente, il maschi
murario considerato e il passo incr~mentale, mentre I'indice soprascritto indica l'iterazione all'interno deI
passo incrementale). Occorre notare che il contributo dell'elemento alia resistenza deI piano viene
conteggiato solamente se esso non risulta collassato, condizione questa che supponiamo si verifichi
quando viene superato lo spostamento ultimo relativo ad uno dei due piani principali locali.
4)
Le {S
h
,11
vengono espresse nel sistema di riferimento generale e ne viene calco lato il
- 866valore totale:
NM
[17]
{Fh!=L{Sh.!1
k=!
5)
Viene calcolato il valore deI residuo deI vettore forza reattiva:
[18]
e si determina la matrice di rigidezza tangente [ K
6)
hI
in corrispondenza deI vettore spostamento {
Q
h I.
L'incremento di spostamento prodotto da { ~F h! si ottiene con la relazione:
lo spostamento totale vale ora: {
Q
h2 =
{ Q }o + { ~Q h! + { ~Q
}J2
= { Q }I! + { ~Q h
2
[20]
11 procedimento di calco lo prosegue iterando il punto 3) e seguenti fino a quando il valore deI
residuo della forza reatt iva soddisfa la condizione:
[21]
7) Viene assegnato un nuovo incremento aI vettore delle forze applicate c si ripetono,
aggiornando gli indici il punto 2) e seguenti. 11 procedimento si arresta quando nel corso della
elaborazione si trova che la matrice di rigidezza tangente non risulta piu defini ta positiva. 11 valore deI
carico di collasso { F }u e l'ultimo per il quale e stato portato a termine il punto 6), in corrispondcnza
deI quale si determina il moltiplicatore deI piano vi'
Una volta determinati i moltiplicatori di rottura per ogni piano quello corrispondente all'intero
ed ificio si ri cava dalla relazione:
[22]
v
min [ vi ' i
1, ... ... ,NP 1
=
=
Analogamente a quanto visto per la pare te singola possiamo dire che se i vettori { F } sono,
piano per piano, quelli determinati in base alia normativa la verifica a rottura risu lta soddisfatta se vale
la disuguaglianza: v 2:: 1.
Conosciamo adesso le sollecitazioni in tutti i maschi murari: possiamo quindi procedere alia
verifica delle fasce di piano. 11 procedimento adottato (4) stato derivato da quello riportato in (5). Ci
pare utile sottolineare che il metodo che verrà esposto applicabile solo per pareti in cui le aperture
siano disposte lungo file verticali e gli elemen ti orizzontali in muratura individuino chiaramente delle
strutture che possano essere ricondotte a travi orizzontali, viene richiesta dunqu e una notevole regolarità.
e
e
Le forze di taglio agenti nelle travi alte sono valutate partendo dagli sforzi taglianti presenti nei
maschi murari dei due livelli adiacenti e schematizzando il piano k-esimo come mostrato nella figo 4.
L'azione tagliante nella i-esima campata della fascia appartenente aI pi ano k-es imo data da:
e
[23]
dove i coeflicienti di ripartizione p hanno espressione:
PI . k
= Pn , k = 1
i
= 2, .... , n-l
[24]
- 867 -
D D D Di
-- - ---- --------------
figo 4: schema statico adottato
per la verifica delle fasce
murarie.
---------,
figo 4: static scheme used for
the
evalutation
of strips
resistance.
-b.-
_1._
figo 4
11 momento flettente di verifica dell'elemento viene calcolato con la relazione:
Mi
,k
= 0.5 (
Ti , k
bi
[25]
,k )
Le resistenze di progetto della trave alta vengono determinate con le relazioni:
T R
Dove: s
b
= (2
r) s
Tkf~l + ~xf
kf
2
M R -- ~
3s r
= spessore della fascia
= luce libera della fascia
r
[26]
= altezza della fascia
= resistenza caraUeristica alia fessurazione
Tkf
(7 fp = resistenza caratteristica a
flessione della
fascia.
Se le due disuguaglianze:
((7 fp +~)
2
M i,k :S M
R i,k
(7 xf =
diagonale della fascia.
tensione di precompressione orizzontale
nella fascia.
T i,k
:S
V R i,k
[27]
non sono verificate entrambe occorre procedere ad un consolidamento della trave alta.
5.
Applicazioni numeriche.
Vengono riportati i risultati derivanti dall'applicazione dell'algoritmo illustrato ad un edificio
realmente esistente e soUoposto ad un accurata verifica con l'algoritmo di calcolo POR, riportato in (7),
in modo da valutare numericamente le differenze dovute alie diverse ipotesi di base. L'edificio analizzato,
appartiene ad una zona con grado di sismicità S=9 (Firenze, Italy) e presenta tre piani fuori terra. Le
pareti sono ordite lungo due direzioni ortogonali e presentano spessore variabile da 0.12 a 0.31 m. La
planimetria tipo ê riportata in figo 5.
E stato stimato un valore della Tk pari a 0.07 MPa. I valori dei moduli di elasticità tangenziale
e longitudinale sono stati assunti pari a: G e 77 MPa, Ee 462 MPa. La curva caratteristica delle
pareti ê stata ipotizzata di tipo elastico perfettamente plastico, la duttilità nel caso di rottura per
fessurazione diagonale ê stata posta pari a 1.5, mentre nel caso di rottura per flessione ê stato fissato un
valore pari a 2 (neHa verifica POR ê stato fissato un valore unico pari a 1.5).
=
=
11 primo obiettivo dell'indagine ê stato quello di valutare I'influenza sul valore del carico ultimo
derivante daI considerare o meno la resistenza dei pannelli nel piano di minore rigidezza. A questo
riguardo occorre notare che I'edificio in oggetto presenta pareti aventi (nel loro piano secondario)
un 'elevata snellezza: ê dunque lecito attendersi solo una leggera variazione percentuale tra i valori dei
carichi di rottura calcolati tenendo conto o meno deI suddetto contributo. Dalle analisi svolte risulta che
nella maggior parte dei casi tale influenza ê abbastanza contenuta essendo pari a circa il 4% per un
angolo di incidenza dell'azione sismica (rispetto all'asse X) di 90° per crescere fino aI 10- 11% quando
I'angolo assume valori pari a 0° e a 45°. In edifici in cui siano presenti maschi murari caratterizzati da
- 868minori snellezze si puo pero supporre che il divario cresca e quindi sia necessario valutare attentamente
se le pareti siano in grado di sviluppare la capacità portante ultima teorica anche nel loro piano
secondario.
y
figo 5: planimetria tipo dello
edificio.
figo 5: typical plan of building.
figo 5
Confrontando i risultati con quelli ottenuti applicando il metodo POR, nella versione che tiene
conto dei contributo delle pareti nel loro piano di minore rigidezza, riportata in (7), si nota che quando
le dimensioni delle pare ti e la tensione verticale sono tali da innescare prevalentemente meccanismi di
rottura per fessurazione diagonale i valori dei carico ultimo sono quasi coincidenti. Diversa appare invece
la situazione quando vengano innescati anche meccanismi di rottura per flessione o per scorrimento lungo
i giunti orrizzontali, come avviene soprattutto per il terzo piano a causa della bassa tensione verticale
presente nei maschi murari, in questi casi i valori della resistenza dedotti mediante il metodo VEM sono
sensibilmente minori (fino ai 30%) dei corrispondenti valor i POR. 11 secondo tipo di indagine svolto e
consisti to nella determinazione delle direzioni di massima e minima resistenza dell'cdificio sotto l'azione
di un sistema di forze proporzionale a quello previsto dalla normativa italiana. A questo scopo viene
determinato, in funzione dell'angolo di incidenza dei sisma, il coefficiente moltiplicatore dei carichi che
determina il collasso dell'edificio. E stato messo in luce come la direzione di minima resistenza
dell'edificio coincida effettivamente con una delle direzioni secondo cui sono ordite le pareti. Si puo
ipotizzare che per edifici regolari, dove con questa definizione si intendono quelli aventi pianta
rettangolare o quasi-rettangolare le cui pare ti sono disposte, con buona approssimazione, parallelamente
a due assi ortogonali, aventi inoltre baricentro delle rigidezze e baricentro delle masse non moi to
distanti, sia giustificata la scelta di direzioni dell'azione sismica coincidenti con quelle lungo le qual i sono
disposte le pareti. Nel caso di edifici con pianta irregolare e/o pareti variamente inclinate e possibile che
la direzione di minima resistenza non coincida con le direzioni degli assi di rifcrimento e puo essere
determinata per tentativi.
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
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