Comments
Transcript
Moltiplicatore di collasso di strutture intelaiate
Moltiplicatore di collasso di strutture intelaiate Corso di Teoria delle Strutture 1, Prof. V. Gusella 23 novembre 2007 1 Rotazione in piccoli spostamenti Si abbia una rotazione (positiva se oraria) del punto P intorno a Ω0 (Fig.1). P y P′ α θ Ω0 x Figura 1: Rotazione in piccoli spostamenti −−→ Il vettore Ω0 P ha componenti: d cos α = d sin α q −−→ dove si è indicato con d il modulo del vettore Ω0 P , ovvero d = (xP − xΩ0 )2 + (yP − yΩ0 )2 , e con α la −−→ Ω0 P = xP − xΩ0 yP − yΩ0 y −y sua anomalia, ovvero l’angolo che forma con l’asse x (positivo se antiorario) dato da α = arctan xPP −xΩΩ0 . 0 −−→ Lo spostamento del punto P è dato dal vettore P P ′ , che può esprimersi come: −−→′ −−−→′ −−→ P P = Ω0 P − Ω0 P −−−→ Poichè lo spostamento è rigido, il vettore Ω0 P ′ ha componenti: −−→′ d cos (α − θ) d cos α cos θ + d sin α sin θ Ω0 P = = d sin (α − θ) d sin α cos θ − d cos α sin θ −−→ e quindi il vettore P P ′ ha componenti: −− →′ d cos α (cos θ − 1) + d sin α sin θ PP = d sin α (cos θ − 1) − d cos α sin θ Nell’ipotesi di piccoli spostamenti, si hanno valori piccoli di θ e si può assumere: sin θ ≈ θ cos θ ≈ 1 −−→ quindi il vettore P P ′ ha componenti: d sin α θ θ (yP − yΩ0 ) PP′ = = −d cos α θ −θ (xP − xΩ0 ) 2 Moltiplicatore di collasso −−→ −−→ Come è immediato verificare, il prodotto scalare Ω0 P · P P ′ = 0 ∀θ, per cui in piccoli spostamenti lo spostamento di un punto è ortogonale alla sua congiungente con il centro di rotazione e proporzionale alla sua distanza da esso. 2 Stima del moltiplicatore di collasso Sia asseganta la struttura in Fig.2 3µP 2µP 2 4 3 L 11 00 L 1 111 000 L L Figura 2: Schema strutturale La struttura è due volte iperstatica (i = 2), mentre le possibili sedi di cerniera plastica (che, stante la linearità del diagramma dei momenti, possono essere localizzate solo nei punti di applicazione di carichi o vincoli e variazioni della direzione di linea d’asse) sono quattro (N = 4). Si richiede la stima del moltiplicatore di collasso µr sia col metodo statico che col metodo cinematico. 2.1 Metodo statico 3µP 2µP 2 4 3 L H 11 00 V 1 111 000 L L Figura 3: Schema struttura L 2 STIMA DEL MOLTIPLICATORE DI COLLASSO 3 Si prendono come incognite iperstatiche le reazioni alla cerniera. Le equazioni di equilibrio si scrivono: M4 = HL M3 = V L + HL M2 = 2V L + HL M1 = 2V L − HL − 7µP L Il precedente è un sistema di 4 equazioni in 7 incognite. Per risolverlo, si deve fissare il valore di tre incognite: le incognite di cui si supporrà noto il valore sono tre dei momenti. Si noti che il numero di momenti che occorre fissare è pari al numero di gradi di iperstaticità aumentato di uno, ovvero le cerniere plastiche necessarie per trasformare la struttura in meccanismo. • si fissano M2 , M3 e M4 ; si ha: H = ML4 3 V = − M4 −M L M4 −2M3 +M2 µ=− 3P L 3 −7M2 M1 = − 2M4 +8M 3 Ciò che interessano sono le ultime due equazioni, che forniscono il valore di µ e M1 : il meccanismo è staticamente ammissibile se è |M1 | ≤ Mp . Si può costruire la tabella seguente: M2 +Mp −Mp +Mp −Mp M3 +Mp +Mp −Mp −Mp M4 +Mp +Mp +Mp +Mp M1 −Mp − 17 3 Mp 13 3 Mp − 13 Mp µ 0 2 Mp 3 PL M − 43 P Lp M − 23 P Lp S.A. sı̀ no no sı̀ Si noti come non è necessario considerare i valori di M4 = −Mp in quanto si otterrano gli stessi risultati, a meno del segno, di quelli precedenti. • si fissano M1 , M3 e M4 ; si ha: Si può costruire la tabella seguente: M1 +Mp −Mp +Mp −Mp M3 +Mp +Mp −Mp −Mp H = ML4 3 V = − M4 −M L 3M4 −2M3 +M1 µ = − 7P L 3 +3M1 M2 = 2M4 +8M 7 M4 M2 µ +Mp +Mp +Mp +Mp 13 7 Mp Mp − 37 Mp − 97 Mp M − 72 P Lp 0 M − 76 P Lp M − 74 P Lp S.A. no sı̀ sı̀ no • si fissano M1 , M2 e M4 ; si ha: Si può costruire la tabella seguente: M1 +Mp −Mp +Mp −Mp M2 +Mp +Mp −Mp −Mp H = ML4 3 V = − M4 −M L 2M4 −M2 +M1 µ=− 4P L 2 +3M1 M3 = − 2M4 −7M 8 M4 M3 µ +Mp +Mp +Mp +Mp 1 4 Mp Mp − 32 Mp − 34 Mp M − 21 P Lp 0 M − P Lp M − 21 P Lp S.A. sı̀ sı̀ no sı̀ • si fissano M1 , M2 e M3 ; si ha: H = ML4 3 V = − M4 −M L 4M3 −3M2 +M1 µ= 2P L 2 +3M1 M4 = − 8M3 −7M 2 4 Moltiplicatore di collasso Si può costruire la tabella seguente: M1 +Mp −Mp +Mp −Mp M2 M3 +Mp +Mp −Mp −Mp +Mp +Mp +Mp +Mp M4 µ −2Mp −Mp −9Mp −6Mp Mp PL S.A. no sı̀ no no 0 M 4 P Lp M 3 P Lp La migliore stima del moltiplicaro di collasso è data dal valore µs = 2.2 6 Mp 7 PL. Metodo cinematico • Meccanismo # 1: cerniere in 1, 2 e 4. Ω20 3µP Ω12 2µP Ω23 2 2 4 θ3 3 Ω30 1 3 Ω13 L 11 00 θ1 L Ω10 1 111 000 L L Figura 4: Schema primo cinematismo I centri di rotazione assoluta Ω10 e Ω30 e quelli di rotazione relativa Ω12 e Ω23 sono di immediata determinazione, in quanto sono posti nelle cerniere. Per la determinazione di Ω20 si fa ricorso al primo teorema delle catene cinematiche usato due volte, in quanto si deve avere allineamento fra Ω10 − Ω12 − Ω20 e Ω20 − Ω23 − Ω30 . Risulta che Ω20 è il punto improprio della direzione verticale, per cui l’asta 2 traslerà orizzontalmente. Le relazioni fra gli angoli sono date da: Continuità spostamento (orizzontale) Ω12 − Ω23 : θ1 2L = θ3 L ⇒ θ3 = 2θ1 Le espressione dei lavori valgono: LIN T = Mp |θ1 | + Mp |0 − θ1 | + Mp |θ3 − 0| = 4Mp θ1 LEST = +2µP θ1 2L = 4µP Lθ1 Perciò dall’uguaglianza dei lavori si ha: LIN T = LEST ⇒ µ = Mp PL 2 STIMA DEL MOLTIPLICATORE DI COLLASSO 5 Ω20 θ2 θ2 2µP 3µP L Ω12 2 Ω23 2 3 4 θ3 3 L Ω30 1 11 00 θ1 L Ω10 1 111 000 L L Figura 5: Schema secondo cinematismo • Meccanismo # 2: cerniere in 1, 2 e 3. I centri di rotazione assoluta Ω10 e Ω30 e quelli di rotazione relativa Ω12 e Ω23 sono di immediata determinazione, in quanto sono posti nelle cerniere. Per la determinazione di Ω20 si fa ricorso al primo teorema delle catene cinematiche usato due volte, in quanto si deve avere allineamento fra Ω10 − Ω12 − Ω20 e Ω20 − Ω23 − Ω30 . Le relazioni fra gli angoli sono date da: Continuità spostamento (orizzontale) Ω12 : θ1 2L = θ2 (−L) ⇒ θ2 = −2θ1 Continuità spostamento (orizzontale) Ω23 : θ2 (−L) = θ3 L ⇒ θ3 = −θ2 = 2θ1 Le espressione dei lavori valgono: LIN T = Mp |θ1 | + Mp |θ2 − θ1 | + Mp |θ3 − θ2 | = 8Mp θ1 LEST = +2µP θ1 2L − 3µP (−θ2 L) = −2µP Lθ1 Pochè si ha LEST < 0, il meccanismo non è cinematicamente ammissibile. Tuttavia, è un meccanismo cinematicamente ammissibile quello in cui la rotazione θ1 è antioraria, per cui si ha: LIN T = 8Mp θ1 LEST = − (−2µP L) Perciò dall’uguaglianza dei lavori si ha: LIN T = LEST ⇒ µ = 4 Mp PL • Meccanismo # 3: cerniere in 2, 3 e 4. I centri di rotazione assoluta Ω10 e Ω30 e quelli di rotazione relativa Ω12 e Ω23 sono di immediata determinazione, in quanto sono posti nelle cerniere. Per la determinazione di Ω20 si fa ricorso al primo teorema delle catene cinematiche usato due volte, in quanto si deve avere allineamento fra Ω10 − Ω12 − Ω20 e Ω20 − Ω23 − Ω30 . 6 Moltiplicatore di collasso 3µP 2µP Ω10 θ 1 2 Ω12 1 Ω23 ≡ Ω20 2 4 3 θ2 L Ω30 3 11 00 L 1 111 000 L L Figura 6: Schema terzo cinematismo Quindi, Ω23 , visto come appartenente all’asta 2, non subirà spostamenti perchè coincidente con il proprio centro di rotazione. Ma Ω23 appartiene anche all’asta 3, la quale ha nell’altro estremo il proprio centro di rotazione. Perciò l’asta 3, avendo due punti che non subiscono spostamenti, non subirà spostamenti in nessun altro punto, ovvero l’asta 3 è fissa. Le relazioni fra gli angoli sono date da: Continuità spostamento (verticale) Ω12 : − θ1 L = −θ2 (−L) ⇒ θ2 = −θ1 Le espressione dei lavori valgono: LIN T = Mp |θ1 | + Mp |θ2 − θ1 | + Mp |−θ2 | = 4Mp θ1 LEST = −3µP (−θ1 L) = 3µP Lθ1 Perciò dall’uguaglianza dei lavori si ha: LIN T = LEST ⇒ µ = 4 Mp 3 PL • Meccanismo # 4: cerniere in 1, 3 e 4. I centri di rotazione assoluta Ω10 e Ω30 e quelli di rotazione relativa Ω12 e Ω23 sono di immediata determinazione, in quanto sono posti nelle cerniere. Per la determinazione di Ω20 si fa ricorso al primo teorema delle catene cinematiche usato due volte, in quanto si deve avere allineamento fra Ω10 − Ω12 − Ω20 e Ω20 − Ω23 − Ω30 . Le relazioni fra gli angoli sono date da: Continuità spostamento (verticale) Ω12 : − θ1 L = −θ2 (−L) ⇒ θ2 = −θ1 Continuità spostamento (orizzontale) Ω23 : θ2 (−2L) = θ3 L ⇒ θ3 = −2θ2 = 2θ1 Le espressione dei lavori valgono: LIN T = Mp |θ1 | + Mp |θ2 − θ1 | + Mp |θ3 − θ2 | = 6Mp θ1 LEST = +2µP θ1 2L − 3µP (−θ2 (−L)) = 7µP Lθ1 Perciò dall’uguaglianza dei lavori si ha: LIN T = LEST ⇒ µ = 6 Mp 7 PL 2 STIMA DEL MOLTIPLICATORE DI COLLASSO 7 Ω20 θ2 θ2 2L 3µP Ω12 2µP 2 Ω23 2 4 θ3 3 Ω30 1 3 L 11 00 θ1 L Ω10 1 111 000 L L Figura 7: Schema quarto cinematismo La migliore stima del moltiplicaro di collasso è data dal valore µc = 2.2.1 6 Mp 7 PL. Sovrapposizione dei meccanismi Se si decide di adottare il metodo della sovrapposizione dei meccanismi di Symonds & Neal, si può operare come segue. Il numero di meccanismi linearmente indipendenti è pari a due, ovvero n = N − i = 2. Adottando come meccanismi indipendenti il #1 e il #2, si può costruire la seguente tabella, dove è indicata con ϕi la rotazione della (eventuale) i-esima cerniera plastica (positiva se tende le fibre di riferimento), con h2 si è indicato lo spostamento orizzontale del punto di applicazione della forza 2µP (positivo se verso destra) mentre con v3 si è indicato lo spostamento verticale del punto di applicazione della forza 3µP (positivo se verso il basso): # ϕ1 ϕ2 ϕ3 ϕ4 h2 v3 µ note 1 −θ1 +θ1 0 −2θ1 2Lθ1 0 Mp /P L 2 +θ1 −3θ1 +4θ1 0 −2Lθ1 2Lθ1 4Mp /P L 3 0 −θ1 +2θ1 −θ1 0 Lθ1 4/3 Mp/P L = 12 #1 + 21 #2 4 −θ1 0 +2θ1 −3θ1 2Lθ1 Lθ1 6/7 Mp/P L = 32 #1 + 21 #2 Il lavoro interno è dato da: LIN T = Mp quello esterno da: X |ϕi | LEST = 2µP h2 + 3µP v3 mentre il moltiplicatore corrsipondente al meccanismo è dato al solito uguagliando LIN T = LEST . Per la rotazione ϕi della i-esima cerniera plastica, si può adottare la seguente: ϕi = θi,k − θi,j dove θi,k è la rotazione dell’asta che precede e θi,j è la rotazione dell’asta che segue (si veda Fig. 8). Si noti che avendo assunto positive le rotazioni orarie la precedente fornisce il segno corretto della rotazione della sezione (positive se sono tese le fibre di riferimento). 8 Moltiplicatore di collasso θi,k i −θi,j Figura 8: Rotazione sede i-esima 2.3 Conclusioni Dai teoremi dell’analisi limite si ha che: µs ≤ µr ≤ µc In questo caso, poichè si ha uguaglianza fra le stime del moltiplicatore effettuate col metodo statico e col metodo cinematico, si ha che: 6 Mp µr ≡ µs ≡ µc = 7 PL