I balconi appoggiati su mensole

3 Le murature
3.1 Strutture in muratura
1
3.1.5 Strutture in muratura non tridimensionale
I balconi appoggiati su mensole
Con un sistema costruttivo oggi in disuso, per l’impiego di
nuovi metodi che garantiscono una maggiore sicurezza, nelle
costruzioni realizzate sino a circa un secolo fa i balconi venivano ottenuti con una lastra di pietra di adeguato spessore,
appoggiata su due o più mensole (dette modiglioni), sempre in
pietra, incastrate nelle murature perimetrali portanti [fig. a],
non essendo possibile prolungare all’esterno la struttura degli
orizzontamenti, come attualmente viene fatto con i solai in
c.a., essendo questi prevalentemente costituiti da volte e solo
in alcuni casi da solai piani.
guata ripartizione dei carichi sui muri, nel vano aperto nella
muratura viene eseguito un cordolo, anche discontinuo, in
c.a., mentre, ai fini della sicurezza al ribaltamento, le parti terminali delle mensole vengono collegate con un profilato HE
ad ali larghe, sigillato alla muratura esistente con malta antiritiro, e quindi viene effettuata la chiusura del vano con muratura o calcestruzzo.
Con riferimento al balcone in pietra di figura c, per la sua verifica di stabilità si procede determinando dapprima lo schema
statico e di carico, che generalmente è il seguente:
a) la lastra in pietra presenta lo schema statico di una trave su
due appoggi, costituiti dalle mensole, e due sbalzi (oppure
senza se le mensole sono disposte alle estremità), gravata di
un carico ripartito, costituito dal peso proprio e dal carico di
Fig. a
È opportuno comunque affrontare l’argomento in quanto, in
caso di interventi su edifici nei centri storici, dovendo mantenere le caratteristiche architettoniche e strutturali esistenti, succede sovente di dover compiere verifiche statiche sull’esistente;
in altri casi può invece accadere di dover realizzare nuovi balconi in edifici murari preesistenti (costruzioni in campagna o in
montagna) al fine di adeguarli alle nuove esigenze.
In quest’ultimo caso il balcone viene ottenuto incastrando
nella parete in muratura profilati in acciaio a doppio , con
interasse di 1,40 ÷ 1,60 m, sui quali può essere realizzata una
soletta massiccia in cemento armato [fig. b]. Al fine di un’ade-
Fig. b
Fig. c
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3 Le murature
esercizio, e da due carichi concentrati alle estremità dovuti al
peso della ringhiera nel senso trasversale;
b) ogni mensola è una trave a sbalzo soggetta al carico ripartito
trasmesso dalla lastra, al peso proprio e a un carico concentrato
alle estremità determinato dalla metà del peso della ringhiera
nel senso longitudinale.
Si devono effettuare le seguenti verifiche:
1. verifica di stabilità al ribaltamento: consiste nel controllo
che l’incastro sia in grado di contrastare efficacemente la rotazione della mensola attorno allo spigolo esterno R [fig. c],
determinata dal momento Mi della mensola all’incastro:
Mi =Q⋅
l
2
al quale deve opporsi il momento di stabilità:
d
Ms = P ⋅
2
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3.1.5 Strutture in muratura non tridimensionale
che risulta più gravosa, fornendo valori di tensioni che possono essere considerati massimi.
0
Per effettuare questa verifica si immagina di sostituire l’incastro con due appoggi contrapposti molto vicini, per cui la
mensola viene così sostituita da una trave su due appoggi, in
U e V [fig. e], e una mensola, della quale vengono calcolati le
reazioni vincolari Rs ed Ri, i momenti flettenti MU ed MV e gli
sforzi di taglio VU e VV.
In favore della sicurezza, in quanto si vengono così a determinare tensioni più gravose, i due appoggi fittizi contrapposti si pensano disposti a una distanza pari a b/6 dalle estremità
della parte incastrata [fig. e] essendo b la lunghezza del tratto
di mensola incastrato nel muro. Con questa ipotesi si considerano reagenti le sole sezioni triangolari di traccia AE, inferiore, e CF, superiore, per le quali gli assi neutri coincidono
con i lati di traccia E ed F; di conseguenza ogni sezione presenta un diagramma tensionale triangolare e quindi risulta totalmente compressa. In base alla teoria della presso-flessione,
essendo P il carico trasmesso dal muro, compreso il peso proprio, gravante sulla mensola; qualora la larghezza della mensola fosse insufficiente a questo scopo, su questa viene
disposta una lastra in pietra al fine di aumentare la superficie
di appoggio della muratura, e quindi il relativo peso gravante
sulla mensola [fig. d]. La verifica di stabilità può ritenersi positiva quando risulta:
Ms
≥ 1,5
Mi
2. verifica delle tensioni determinate dalla mensola sulla
muratura: ammettendo una ripartizione triangolare delle tensioni indotte dalla mensola sulle murature, i loro valori massimi si verificano in corrispondenza delle estremità della
parte incastrata nella muratura, sulle sezioni superiore e inferiore della muratura stessa rispetto alla mensola.
Non essendo possibile individuare uno schema statico preciso
della mensola a causa della diversità fra i due materiali a contatto (in genere muratura e pietra), viene considerata l’ipotesi
Fig. d
Fig. e
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3
3.1.5 Strutture in muratura non tridimensionale
essendo ogni reazione RS ed Ri applicata all’estremo del terzo
medio delle due sezioni di traccia AE e CF, le tensioni massime alle estremità risultano [fig. f]:
σ sm = −
2 ⋅ RS
2 ⋅ RS
=−
b
A
⋅a
2
ossia:
σ sm = −
4 ⋅ RS
b⋅a
e analogamente:
σ im = −
4 ⋅ Ri
b⋅a
essendo a la base della mensola.
Fig. f
E S E R C I Z I O S V O LT O
Verificare la stabilità del balcone con mensole in pietra e soprastante lastrone, con le dimensioni riportate nelle figure a
e b, estendendo la verifica al muro in cui sono incastrate le mensole, che è in mattoni pieni (resistenza caratteristica
fbk = 20 N/mm2) e malta M10.
a
Verifica del lastrone di pietra
Lo schema statico è quello di una trave su due appoggi e due
sbalzi simmetrici; si assumono per la pietra le seguenti caratteristiche meccaniche:
–
2
■ tensione ammissibile a flessione: σfl = 140 N/cm
–
2
■ tensione ammissibile a taglio: τ = 50 N/cm
2
2
■ modulo elastico: E = 50 000 × 10 N/cm
3
■ peso volumico: γ = 28 kN/m
L’analisi dei carichi viene effettuata per la lunghezza di 1,00 m
e per la larghezza di 1,10 m.
b
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3.1.5 Strutture in muratura non tridimensionale
Carico di esercizio:
p = 4,00 kN/m2 × 1,10 m =
4,40 kN/m
Peso proprio del lastrone:
g = (1,00 × 1,10 × 0,10) m3/m ⋅ 28 kN/m3
c
= 3,08 kN/m
q = 7,48 kN/m
Alle estremità agiscono inoltre due carichi concentrati P che rappresentano
il peso della ringhiera trasversale, con valore P = 0,36 kN/m ⋅ 1,10 m ≈
≈ 0,40 kN (0,36 kN/m è il peso medio di una ringhiera in ferro a bacchetta diritta).
1. Ipotesi di carico
Al fine di ricercare le massime sollecitazioni, vengono effettuate tre ipotesi di carico.
Prima ipotesi [fig. c]
Reazioni vincolari
RA = RB =
1
× (2 × 4, 40 × 0,55 + 3, 08 × 2, 90 + 2 × 0, 40) ≈ 7, 29 kN
2
Sollecitazione di sforzo di taglio
VCd = − VDs = − 0,40 kN
VAs = − VBd = − 0,40 − 7,48 × 0,55 ≈ − 4,51 kN
VAd = − VBs = − 4,51 + 7,29 = 2,78 kN
Lo sforzo di taglio si annulla, per la simmetria, anche nella sezione con
ascissa
l
x = = 0,90 m
2
Sollecitazione di momento flettente
M A = M B = − 0,40 × 0,55 − 7,48 ×
M l = M A + VAd ⋅ 0,90 − g ⋅
2
0,552
≈ − 1,35 kN m
2
0, 902
=
2
= − 1,35 + 2,78 × 0,90 − 3,08 ×
0,902
= − 0,10 kN m
2
Seconda ipotesi [fig. d]
Reazioni vincolari
1
RA = RB = × (4, 40 ×1, 80 + 3, 08× 2, 90 + 2 × 0, 40) ≈ 8,83 kN
2
Sollecitazione di sforzo di taglio
VCd = − VDs = − 0,40 kN
VAs = − VBd = − 0,40 − 3,08 × 0,55 ≈ − 2,09 kN
VAd = − VBs = − 2,09 + 8,83 = 6,74 kN
Per la simmetria lo sforzo di taglio si annulla anche nella sezione di mezzeria.
Sollecitazione di momento flettente
M A = M B = − 0,40 × 0,55 − 3,08 ×
0,552
≈ − 0,69 kN m
2
d
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3.1.5 Strutture in muratura non tridimensionale
M l = M A + VAd ⋅ 0,90 − q ⋅
2
2
0, 90
=
2
= − 0,69 + 6,74 × 0,90 − 7,48 ×
0,902
≈ 2,35 kN m
2
Terza ipotesi [fig. e]
Reazioni vincolari
RA = RB = 0, 40 +
7,48 × 2,90
≈ 11,25 kN
2
Sollecitazione di sforzo di taglio
VCd = − VDs = − 0,40 kN
VAs = − VBd = − 0,40 − 7,48 × 0,55 ≈ − 4,51 kN
VAd = − VBs = − 4,51 + 11,25 = 6,74 kN
Sollecitazione di momento flettente
M A = M B = − 0,40 × 0,55 − 7,48 ×
M l = M A + VAd ⋅ 0,90 − q ⋅
2
0,552
≈ − 1,35 kN m
2
0, 902
=
2
= − 1,35 + 6,74 × 0,90 − 7,48 ×
0,902
≈ 1,69 kN m
2
Lo sforzo massimo di taglio si ottiene nella seconda e nella terza ipotesi,
con un valore V = 6,74 kN, mentre il massimo momento flettente in valore assoluto si ottiene nella seconda ipotesi dove M = 2,35 kN m; con
questi valori vengono ora effettuate le verifiche.
2. Verifica a flessione
Il modulo di resistenza risulta:
1
1
W = ⋅ b ⋅ h 2 = ×110 ×102 ≈ 1833,33 cm3
6
6
e la tensione nella lastra di pietra vale:
M 235000
σ=
=
≈ 128,18 N/cm 2 < σfl
W 1833,33
e
3. Verifica a taglio
3 V 3
6740
τ= ⋅ = ×
≈ 9,19 N/cm 2 < τ
2 A 2 110 ×10
4. Verifica della deformazione
La massima deformazione si verifica con la seconda ipotesi di
carico; la freccia teorica può essere calcolata applicando il
principio di sovrapposizione degli effetti, immaginando di
sopprimere gli sbalzi e applicando in A e B alla trave così ottenuta i relativi momenti di incastro.
Freccia teorica [fig. f]:
I=
f
1
1
⋅ b ⋅ h3 =
×110 ×103 ≈ 9166,67 cm4
12
12
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5 q ⋅ l4 M A ⋅ l2
⋅
+
=
384 E ⋅ I 8⋅ E ⋅ I
5
74,80 × 1804
0,69 × 105 × 1802
=
×
−
= 0,0223 − 0,0061 = 0,0162 cm
348 50 000 × 102 × 9166,67
8 × 50 000 × 102 × 9166,67
f = fp + fm =
0
Freccia ammissibile:
1
1
fam =
⋅l =
×180 = 0,36 cm > f
500
500
Le risorse elastiche della pietra sono molto limitate e per questo motivo la freccia teorica è molto ridotta e tale deve sempre essere, anche considerando che la pietra presenta una rottura fragile, passando cioè alla rottura senza apprezzabili deformazioni
plastiche.
Verifica di una mensola in pietra
1. Analisi dei carichi
■
■
0,25 + 0,40
q ′ = ⎛⎝
× 0,30 ×1,00⎞⎠ m3 /m ×
2
×⋅ 28,00 kN/m3 = 2,73 kN/m
Carico ripartito uniforme trasmesso dalla lastra di pietra, corrispondente alla reazione vincolare con intensità di 11,25 kN
agente sulla lunghezza l = 1,10 m [fig. g]:
q=
11,25
≈ 10,23 kN/m
1,10
Carico ripartito uniforme dovuto al peso proprio [fig. h] (la
sezione viene assimilata a un trapezio):
■
Carico concentrato applicato all’estremità della lastra rappresentato dal peso della ringhiera:
P = 0,36 kN/m ⋅ 1,45 m ≈ 0,52 kN
g
Lo schema strutturale e di carico è riportato in figura h.
2. Calcolo delle sollecitazioni
Reazione vincolare
R = 10,23 × 1,10 + 2,73 × 1,00 + 0,52 ≈ 14,50 kN
Sollecitazione di sforzo di taglio
VCd = 14,50 kN
VB = 14,50 − (10,23 + 2,73) × 1,00 = 1,54 kN
VAs = 1,54 − 10,23 × 0,10 ≈ 0,52 kN
Sollecitazione di momento flettente
0,102
= − 0,103 kN m
2
1,102
1,002
M C = − 0,52 ×1,10 − 10,23 ×
− 2,73 ×
=
2
2
= − 8,13 kN m
M B = − 0,52 × 0,10 − 10,23 ×
La verifica viene effettuata nella sezione di incastro che è la
più sollecitata.
3. Verifica a flessione
1
1
⋅ b ⋅ h 2 = × 30 × 402 = 8000 cm3
6
6
M 8,13 × 10 5
σ fl =
=
= 101, 63 N/cm2 < σ fl = 140 N/cm2
W
8000
W=
4. Verifica a taglio
0
h
τ=
3 V 3 14500
⋅ = ×
≈18,13 N/cm 2 < τ = 50 N/cm 2
2 A 2 30 × 40
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3.1.5 Strutture in muratura non tridimensionale
Verifica del muro
Per l’azione del momento di incastro (M = − 8,13 kN m), la
mensola in pietra tende a ruotare in modo rigido attorno al
punto C, e a tale rotazione deve opporsi il momento calcolato rispetto allo stesso punto, prodotto dalla massa muraria gravante sulla mensola [fig. i]. Supponendo un’altezza di
piano di 5,00 m e trascurando il carico trasmesso dai solai
per la loro limitata incidenza, data la superficie in pianta
molto ridotta della mensola, la sezione del prisma di muro
occorrente per la stabilità e che grava sulla lastra di pietra
disposta sopra la mensola, risulta:
A = 0,64 ⋅ x
con un peso:
Pm = A ⋅ h ⋅ γm = (0,64 ⋅ x ⋅ 5,00) m3 ⋅ 19,00 kN/m3 =
= (60,80 ⋅ x) kN
avendo assunto, per le caratteristiche della muratura, un peso
volumico con valore γm = 19,00 kN/m3; il relativo momento Ms
vale:
t
M s = Pm ⋅ = 60,80 ⋅ x ⋅ 0,32 ≈ (19, 46⋅ x) kN m
2
Per la stabilità al ribaltamento è necessario che si abbia almeno un coefficiente di sicurezza 1,5, ossia:
Ms
≥ 1,5
Mi
essendo Mi il momento di incastro (cioè il momento ribaltante) ed Ms il momento di stabilità; si ottiene quindi:
19 460 ⋅ x
= 1,5
8130
e quindi:
8130 ×1,5
x=
≈ 0,63 m ≈ 0,65 m
19 460
È necessario ora determinare le tensioni che si producono
sulle facce superiore e inferiore della parte incastrata della
mensola.
Si ipotizza quindi di sostituire l’incastro con due appoggi fittizi
contrapposti a distanza d/6 = 45/6 = 7,5 cm dalle estremità
della parte incastrata, per cui la mensola viene sostituita in
tale modo con una trave sui due appoggi in U e V e una mensola; le reazioni di appoggio valgono [fig. l]:
0
0
S Py = 0
− Rs + Ri − q⬘ ⋅ 1,00 − q ⋅ 1,10 − P = 0
− Rs + Ri − 2,73 × 1,00 − 10,23 × 1,10 − 0,52 = 0
− Rs + Ri ≈ 14,50 kN
l
i
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8
3.1.5 Strutture in muratura non tridimensionale
S MV = 0
1,00
1,10
+ 0,075⎞⎠ + q ⋅1,10 × ⎛⎝
+ 0,075⎞⎠ + P ⋅ (1,10 + 0075) = 0
+ Rs ⋅ 0,30 + q ′ ⋅1,00 × ⎛⎝
2
2
2,73 ×1,00 × 0,575 + 10,23 ×1,10 × 0,625 + 0,52 ×1,175
Rs = −
≈ − 30,70 kN
0,30
S MU = 0
1,00
1,10
− R i ⋅ 0,30 + q ′ ⋅1,00 × ⎛⎝
+ 0,375⎞⎠ + q ⋅1,10 × ⎛⎝
+ 0,375⎞⎠ + P⋅(1,10 + 0,375) = 0
2
2
2,73 ×1,00 × 0,875 + 10,23 ×1,10 × 0,925 + 0,52 ×1,475
Ri =
≈ 45,23 kN
0,30
Verifica
Rs + Ri = − 30,70 + 45,23 = 14,53 kN ≈ 14,50 kN
Vengono ora calcolati i momenti flettenti:
MU = 0
MV = Rs ⋅ 0,30 = − 30,70 × 0,30 = − 9,21 kN m
MC = Rs ⋅ 0,375 + Ri ⋅ 0,075 = − 30,70 × 0,375 + 45,23 ×
0,075 ≈ − 8,12 kN m
valore quest’ultimo praticamente uguale al momento di incastro della mensola prima calcolato.
Gli sforzi di taglio valgono:
VUd = Rs = − 30,70 kN
VVs = VUd = − 30,70 kN
V = V + Ri = − 30,70 + 45,23 = 14,53 kN
d
V
s
V
VC = VVd = 14,53 kN
Quest’ultimo valore corrisponde praticamente allo sforzo di
taglio prima calcolato.
Le reazioni RU ed RV, cambiate di verso, rappresentano le risultanti delle tensioni di compressione, con variazione trian-
golare, che si verificano sulle superfici superiore e inferiore
della parte incastrata della mensola, rispettivamente di traccia
DE ed EC; poiché tali risultanti coincidono con l’estremo del
terzo medio delle relative sezioni, queste ultime risultano totalmente compresse e le relative tensioni hanno il valore qui
di seguito calcolato.
Superficie superiore
Viene calcolata la tensione massima trasmessa dalla mensola
alla lastra di pietra sovrastante:
2 ⋅ Rs
4 ⋅ Rs
4 × 30 700
σ sp = −
=−
=−
≈ − 90,96 N/cm 2 ≈
d
45
×
30
d
⋅
a
⋅a
2
≈ − 0,91 N/mm2
valore inferiore alla tensione ammissibile per compressione
della pietra pari a circa 2 N/mm2.
Superficie inferiore
4 ⋅ Ri
4 × 45230
σ im = −
=−
≈ −134,01 N/cm 2 ≈
45 × 30
d ⋅a
− = fk = 8,0 = 1,6 N/mm2
≈ − 1,34 N/mm2 < σ
m
5
5
ESERCIZIO
I balconi appoggiati su mensole
Determinare le tensioni prodotte sulla muratura dal modiglione in pietra di un balcone con le caratteristiche geometriche riportate in figura che deve sopportare il carico q = 15 kN/m compreso il peso proprio.
Verificare inoltre l’eventuale necessità di disporre sotto il modiglione, in corrispondenza dell’incastro, un elemento di riparti– = −1,00 N/mm2.
zione della tensione. Assumere σ
m
[tensione superiore σms ≈ 0,83 N/mm2,
tensione inferiore σmi ≈ 1,27 N/mm2
È necessario disporre sotto la mensola
una lastra di ripartizione di 50 × 50 cm2
per cui la tensione
sulla muratura risulta σmi ≈ 0,77 N/mm2]
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