Modelli di sistemi elementari

Modelli di sistemi
elementari
(Fondamenti di Automatica – G. Ferrari Trecate)
Circuiti elettrici
Resistore
R : resistenza
i : corrente
Modello
v(t ) = Ri (t )
v : tensione
Induttore
L : induttanza
i : corrente
v : tensione
Modello
Li!(t ) = v(t )
Equazione Differenziale
Ordinaria (EDO)
Circuiti elettrici
Condensatore
Modello
C : capacita’
i : corrente
Cv!(t ) = i (t )
v : tensione
EDO
Rete elettrica
Modello
Cv!c = i
vR = Ri
vg = RCv!c + vc
vc ( t ) vg ( t )
v!c ( t ) = −
+
RC
RC
EDO
Sistemi meccanici
Massa in moto rettilineo
Modello
M : massa
r : posizione
v : velocita’
a : accelerazione
F : forza esterna
Oscillatore armonico
r!(t ) = v(t )
v!(t ) = a (t )
F (t ) = Ma(t )
EDO+equazione
lineare
Modello
r!(t ) = v(t )
v!(t ) = a(t )
Ma (t ) = F (t ) − kr (t ) − Dv(t )
k : costante elastica
D : coeff. di attrito
EDO+equazione
lineare
Sistemi meccanici
Pendolo
m : massa
g : accelerazione di gravita’
l : lunghezza asta (priva di massa)
ϑ : posizione angolare
τ : coppia forzante
ω : velocita’ angolare
α : accelerazione angolare
Modello
ϑ!(t ) = ω (t )
ω! (t ) = α (t )
ml 2α (t ) = τ (t ) − mgl sin(ϑ (t ))
EDO+equazione
nonlineare
Sistemi idraulici
Serbatoio cilindrico
AS : area della sezione
h : livello del liquido
qi : portata entrante
Modello
AS h!(t ) = qi (t )
EDO
Sistemi idraulici
Serbatoio cilindrico con valvola di efflusso
Av : area di efflusso della valvola
k : coefficiente caratteristico
della valvola
Modello
AS h!(t ) = qi (t ) − kAv h(t )
EDO
Forno
Capacità termica del forno
Temperatura interna
Temperatura esterna
Coefficiente di scambio
Potenza termica in ingresso
Cf
θi
θe
kie
q
Se si suppone che non ci sia accumulo di energia nelle pareti, dal
principio di conservazione dell’energia si ottiene il modello:
C f θ!i (t ) = kie (θ e (t ) −θi (t )) + q(t )
Forno - 2
Supponiamo ora che ci sia accumulo di energia nelle pareti
Capacità termica interna del forno
Capacità termica delle pareti C p
Temperatura interna θ e
Temperatura esterna θ i
Temperatura delle pareti θ p
kip , k pe
Coefficienti di scambio
Potenza termica in ingresso q
Ci
Dal principio di conservazione dell’energia:
Ciθ!i (t ) = kip (θ p (t ) − θ i (t ) ) + q (t )
C pθ!p (t ) = k pe (θ e (t ) − θ p (t ) ) − kip (θ p (t ) − θ i (t ) )
Modelli compartimentali
Modelli per il trasferimento di massa tra diverse regioni (compartimenti)
usati in farmacocinetica e bioingegneria
Modello monocompartimentale
d (t )
q (t )
k
Frecce: portate di massa
q : massa [Kg]
d : portata di massa [Kg/s]
k : coeff. di
trasferimento [1/s]
(portata di massa= kq(t ) )
Modello
q! (t ) = −kq (t ) + d (t )
Esempio: evoluzione di un farmaco mel compartimento ematico:
q : quantità del farmaco nel
compartimento ematico
: iniezione endovenosa al tempo t=0
d
k : coefficiente di trasferimento dei
processi metabolici ed escretori
Modelli compartimentali
Modelli con piu’ compartimenti
d1 (t )
q1 (t )
k1
k12
k 21
d 2 (t )
q2 (t )
Modello
q!1 (t ) = −(k1 + k12 )q1 (t ) + k 21q2 (t ) + d1 (t )
q! 2 (t ) = −(k 21 + k 2 )q2 (t ) + k12 q1 (t ) + d 2 (t )
k2
Esempio: evoluzione di un farmaco nel compartimento gastrointestinale (1)
ed ematico (2):
d1 ,d2 = somministrazione orale/endovenosa
q1 ,q2= quantità del farmaco nel compartimento gastrointestinale/ematico
k12 = coefficiente di trasferimento dal compartimento 1 al compartimento 2
k21 = coefficiente di trasferimento dal compartimento 2 al compartimento 1
k1 = coefficiente di trasferimento del compartimento gastrointestinale
k2 = coefficiente di trasferimento dei processi metabolici ed escretori
Modelli compartimentali
Modelli con piu’ compartimenti
d1 (t )
q1 (t )
k12
k13
q2 (t )
k 23
q3 (t )
k3
Modello
q1 (t) = −(k13 +k12 )q1 (t)+d1 (t)
q2 (t) = −k23q2 (t)+k12 q1 (t)
q3 (t) = k13q1 (t)+k23q2 (t) − k3q3 (t)
Modelli compartimentali con
trasferimento di massa non lineare
d (t )
q (t )
f (q (t ))
Modello
q! (t ) = − f (q(t )) + d (t )
(Michaelis-Menten)
•  Nel caso di coeff. di trasferimento
costante si aveva f ( q ) = kq
•  Ora, quando q e’ “grande”, la portata
uscente satura al valore Vmax
Vmax q
f (q) =
km + q
f (q) =
Vmax
q
km
f (q) =
Vmax q
km + q
Modelli fondamentali per l’esame
•  Circuiti elettrici
•  Sistemi meccanici
•  Sistemi idraulici
•  Forno
•  Modelli compartimentali
… e per concludere alcuni esempi addizionali
Dinamica di popolazione – modello di Malthus
Modello di Malthus (1798) – crescita esponenziale
N (t ) :popolazione
b : tasso di natalita’
d : tasso di mortalita’
Modello
N! (t ) = bN (t ) − dN (t )
EDO
La soluzione dell’ EDO e’
N ( t ) = N0 e(b−d )t
•  Se b > d > 0 il modello prevede una crescita esponenziale
della popolazione
•  Non si tiene conto della limitatezza delle risorse (cibo,
acqua etc ...) ne’ di altri fattori che impediscono la crescita.
Dinamica di popolazione – modello di Verhulst
Modello di Verhulst (1848) - “crescita logistica”
⎛ N (t ) ⎞
!
N (t ) = bN (t )⎜1 −
⎟
A ⎠
⎝
termine di competizione per le risorse
A > 0 : “capacità della popolazione” dovuta a limiti nella disponibilità
di nutrimento, spazio etc.
2
•  se N (t ) > A la popolazione
decresce (risorse scarse)
•  se N (t ) < A la popolazione
cresce (risorse disponibili)
N
A
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
t
6
7
8
9
10
Motore in corrente continua
Circuito d’armatura
Rotore
Parte elettrica
Parte meccanica
Ri(t ) + Li!(t ) = v(t ) − e f (t )
Jw! (t ) = Cm (t ) − Cr (t ) − Ca (t )
Cm (t ) = ki (t ), Ca (t ) = hw(t )
e f (t ) = kw(t )
J
Cm
Coppia resistente Cr
Ca
Coppia di attrito
Velocità di rotazione w
Forza elettromotrice e f
Inerzia del rotore
Coppia generata
Modello
!i (t ) = − R i (t ) − kw(t ) + v(t )
L
L
L
k
C (t ) h
w! (t ) = i (t ) − r − w(t )
J
J
J