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Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discreto
Fondamenti di Automatica 6. Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discreto Fondamenti di Automatica ___________________________________ 01AYSbn – 01FTPbn – 01AYSct Ingegneria delle Telecomunicazioni e Ingegneria Fisica ___________________________________ ___________________________________ 6. Modellistica dei sistemi dinamici a tempo discreto ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Stefano Malan ___________________________________ ___________________________________ Fondamenti di Automatica – Stefano MALAN – Modellistica dei sistemi TD 1 ___________________________________ ___________________________________ Introduzione ___________________________________ ___________________________________ I sistemi dinamici a tempo discreto esprimono relazioni tra variabili il cui andamento è definito soltanto in istanti di tempo discreti Tali sistemi sono utilizzati per descrivere: fenomeni la cui osservazione avviene ad intervalli regolari di tempo (ad es. ogni anno, ogni mese, ogni ora …) come succede, ad esempio, negli studi demografici ed economici il campionamento di segnali continui nel tempo ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Fondamenti di Automatica – Stefano MALAN – Modellistica dei sistemi TD 2 Sistemi a tempo discreto Esempio 1 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Calcolo del capitale di un conto bancario ___________________________________ Sia x(k) il valore del capitale depositato al generico anno k ___________________________________ Sia x(0) il valore del capitale inizialmente depositato all’anno k = 0 Sia u(k) il capitale netto equivalente versato al termine di ogni anno k ___________________________________ Sia α > 0 il tasso di interesse annuo ___________________________________ L’aumento di capitale all’anno k + 1 è quindi dato da: ___________________________________ x(k+1) = (1+ α)⋅ x(k) + u(k) ___________________________________ ___________________________________ Fondamenti di Automatica – Stefano MALAN – Modellistica dei sistemi TD Stefano Malan, DAUIN, Politecnico di Torino 3 ___________________________________ 6.1 Fondamenti di Automatica Sistemi a tempo discreto Esempio 2 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Modelli a classi di età Sono utilizzati per studiare l’evoluzione di determinate classi di popolazioni in periodi di tempo fissati e costanti ___________________________________ Esempio: l’evoluzione annuale del numero di abitanti di una città che hanno età compresa nelle classi 0-4 anni, 5-9 anni, 10-14 anni, … ___________________________________ In questi sistemi la componente i-esima dello stato xi(k) rappresenta la numerosità della popolazione della classe i nel periodo temporale considerato k ___________________________________ L’evoluzione di ciascuna delle classi considerate dal periodo k al periodo k + 1 avviene tenendo conto dei cosiddetti tassi di sopravvivenza αi (0 ≤ αi ≤ 1) e di mortalità βi (0≤ βi≤ 1) Fondamenti di Automatica – Stefano MALAN – Modellistica dei sistemi TD ___________________________________ ___________________________________ 4 Sistemi a tempo discreto Esempio 2 x1 (k + 1) = β 1 x1 (k ) + u (k ) x 2 (k + 1) = α 1 x1 (k ) + β 2 x 2 (k ) x (k + 1) = α x (k ) + β x (k ) 2 2 3 3 3 y ( k ) = α 3 x3 (k ) ___________________________________ ___________________________________ Notazioni usate: k Anno Accademico xi(k) numero di studenti iscritti all’i -esimo anno di corso nell’anno k, con i = 1,2,3 u(k) numero di matricole nell’anno k y(k) numero di laureati nell’anno k αi tasso di promossi nell’anno di corso i-esimo (0 ≤ αi ≤ 1) βi tasso di ripetenti nell’anno di corso i-esimo (0≤ βi≤ 1) 1−αi − β i ≥ 0 tasso di abbandoni Fondamenti di Automatica – Stefano MALAN – Modellistica dei sistemi TD ___________________________________ ___________________________________ Modelli a classi di età: studio della dinamica di una popolazione studentesca in un corso di Laurea triennale Ipotesi: durata del corso di Laurea: 3 anni percentuali di promossi, ripetenti e abbandoni: costanti per ogni anno non è possibile iscriversi direttamente al II e III anno e non sono ammessi studenti fuori corso ___________________________________ 5 Sistemi a tempo discreto Esempio 3 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Modelli di popolazioni interagenti: il modello preda-predatore (non lineare) di Lotka Volterra ___________________________________ x1 ( k + 1) = (1 + α ) x1 (k ) − β x12 ( k ) − γ x1 ( k ) x2 ( k ) x2 (k + 1) = (1 − δ ) x2 ( k ) + ε x1 ( k ) x2 ( k ) ___________________________________ ___________________________________ y ( k ) = x2 ( k ) Notazioni usate: k periodo temporale x1(k) numero di prede nel periodo k x2(k) numero di predatori nel periodo k ___________________________________ α ≥ 0 natalità delle prede β ≥ 0 limitazione delle risorse nutritive δ ≥ 0 mortalità dei predatori γ ≥ 0 e ε ≥ 0 interazione prede predatori Fondamenti di Automatica – Stefano MALAN – Modellistica dei sistemi TD Stefano Malan, DAUIN, Politecnico di Torino 6 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 6.2 Fondamenti di Automatica Sistemi a tempo discreto Esempio 4 ___________________________________ ___________________________________ Discretizzazione di un sistema dinamico a tempo continuo Nei problemi di analisi e di progetto di sistemi di controllo digitale gioca un ruolo di fondamentale importanza il problema della conversione di modelli a tempo continuo in modelli a tempo discreto. Tale operazione prende il nome di discretizzazione Discretizzare un sistema a tempo continuo corrisponde a trovare le matrici Ad, Bd, Cd, Dd di un sistema a tempo discreto a partire dalle matrici A, B, C, D del sistema a tempo continuo: x(t) = A x(t) + Bu(t) y(t) = C x(t) + Du(t) ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ x(k +1) = Ad x(k) + Bd u(k) y(k) = Cd x(k) + Dd u(k) ___________________________________ La variabile temporale è k = i ⋅ T s (i = 0, 1, …) dove Ts è detto tempo (o passo) di campionamento da scegliersi in modo opportuno Fondamenti di Automatica – Stefano MALAN – Modellistica dei sistemi TD ___________________________________ ___________________________________ 7 Sistemi a tempo discreto Esempio 4 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Discretizzazione di un sistema dinamico a tempo continuo (continua) ___________________________________ La discretizzazione di un sistema a tempo continuo corrisponde a studiare l’evoluzione degli stati negli istanti di campionamento ___________________________________ Supponendo che l’ingresso u(t) sia costante tra un istante di campionamento e l’altro si ottiene: ___________________________________ Ad = e ATs Ts Bd = ∫ e A(Ts −τ ) ___________________________________ dτ B ___________________________________ 0 Cd = C ___________________________________ Dd = D ___________________________________ Fondamenti di Automatica – Stefano MALAN – Modellistica dei sistemi TD 8 Sistemi a tempo discreto Esempio 4 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Discretizzazione di un sistema dinamico a tempo continuo (continua) Traccia della dimostrazione. Si consideri la formula di Lagrange: x (t ) = e A ( t − t0 ) t x ( t0 ) + ∫ e A ( t − t0 −τ ) Bu (τ ) dτ t0 si ottiene: Ts x ( k + 1) = e A( Ts ) x ( k ) + ∫ e A( Ts −τ ) dτ Bu ( k ) quindi: Ad = e ATs Ts Bd = ∫ e A (Ts −τ ) ___________________________________ t0 = i ⋅ Ts = k t = (i + 1) ⋅ Ts = k + 1 x(t0 ) = x(i ⋅ Ts ) = x(k) ponendo: u(τ ) = u(i ⋅ Ts ) = u ( k ) = 0 dτ B =costante per i ⋅ Ts ≤ τ ≤ (i + 1) ⋅ T 0 poiché il legame tra lo stato e l’ingresso con l’uscita è di tipo statico si ha: Cd = C, Dd = D Fondamenti di Automatica – Stefano MALAN – Modellistica dei sistemi TD Stefano Malan, DAUIN, Politecnico di Torino ___________________________________ 9 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ 6.3