Le spettroscopie ad impulsi e la trasformata di Fourier

Le spettroscopie magnetiche impulsate
e la trasformata di Fourier
1
Le forme di riga lorenziane ricavate dalle equazioni di Bloch o dalla matrice
densità assumono una radiazione di intensità B1 costante (spettroscopie in onda
continua, CW).
Cosa succede se la radiazione viene inviata ad impulsi (per periodi brevi)?
•
Descrizione vettoriale
•
Descrizione con matrice densità
2
Un impulso di radiazione contiene frequenze in un intervallo attorno alla frequenza
ωrad della radiazione
B1 (t ) = B1 cos(ωrad t )
per 0 ≤ t ≤ τ p
B1 (t ) = 0 per - ∞ ≤ t ≤ 0 e τ p ≤ t ≤ +∞
L’analisi di Fourier fornisce il contenuto in frequenze dell’impulso:
+∞
B (ω ) = ∫ cos(ωrad t )e −iωt dt
−∞
ω
ωrad
B (ω ) =
B1 sin (ωrad − ω )τ p
(ωrad − ω )τ p
sinc(x ) =
sin( x )
x
3
Descrizione vettoriale dell’esperimento impulsato:
Nel sistema di assi rotanti la magnetizzazione risente del campo magnetico B
efficace
dM
= γ (B eff ∧ M )
dt
Nel sistema rotante la magnetizzazione precede con frequenza ω0-ω, cioè come
se sentisse un campo statico (parallelo a z) pari a:
Bz
(
ω0 − ω )
=
γ
Il campo B totale è la somma di Bz e del campo della radiazione, lungo x
(ω − ω ) kˆ
B eff = B1ˆi + 0
γ
2
ω −ω 
B eff = B12 +  0
 = B12 + ∆B 2
 γ 
4
La magnetizzazione subisce un moto di precessione attorno alla direzione di Beff
Se consideriamo di essere in condizioni di risonanza: ω = ω0 , le equazioni del
moto della magnetizzazione (equazioni di Bloch) si semplificano.
Se a t =0 Mz=Mz0, si ottiene che:
M z = M z0 cos ω1t
M ' y = M sin ω1t
0
z
ω1 = γB1
M 'x = 0
Cioè la magnetizzazione precede attorno alla
direzione x’, come se non sentisse il campo B0. La
magnetizzazione ruota nel piano zy’.
5
L’angolo di rotazione è dato da
β = ω1τ p
Si definiscono
Impulso π/2 (90°) un impulso di
radiazione di durata tale da ruotare la
magnetizzazione di π/2
Impulso π (180°) un impulso di radiazione di
durata tale da ruotare la magnetizzazione di π
6
Quali sono le durate/intensità tipiche di impulsi di radiazione:
Per NMR, considerando 1H gli impulsi durano normalmente alcuni microsecondi:
γ = 42.6 MHz T -1
τ p = 10µs
B1 =
π
⋅
1
2 γτ p
≈ 6 ⋅ 10−4 T
impulso di π/2
(Notare la differenza con i campi B0 che sono di 4-20 T)
7
Se l’impulso di radiazione è molto più breve dei rilassamenti di spin, al termine
dell’impulso si ottiene una magnetizzazione (di non-equilibrio):
My = 0
M y = M z0
Dopo impulso π/2:
Mx = 0
Dopo impulso π:
Mx = 0
M z = − M z0
Mz = 0
La magnetizzazione dopo l’impulso, inizia un moto di precessione con
smorzamento delle componenti x,y e ripristino della componente z.
Dopo un impulso π/2:
M y = M z0 cos(ω0t ) ⋅ e
M x = M z0 sin (ω0t ) ⋅ e
−
−
t
T2
t
T2
“oscillazioni smorzate”
t
− 

M z = M z0 1 − e T1 




8
9
Se l’impulso non è risonante (ω ≠ ω0), la magnetizzazione precede attorno al
campo efficace Beff.
2
ω −ω 
B eff = B12 +  0
 = B12 + ∆B 2
 γ 
Al termine di un impulso di π/2 la
magnetizzazione
non
ha
solo
componente My, ma anche Mx e in parte
anche Mz
B0
Beff
B1
M
10
In generale, è preferibile diminuire gli effetti di “off-resonance” cioè rotazioni della
magnetizzazione diverse tra pacchetti in risonanza (ω = ω0) e fuori risonanza (ω ≠
ω0). Si vuole quindi che:
B1 >>
Cioè:
ω0 − ω
γ
Beff ≈ B1
B eff
ω −ω 
= B +  0

 γ 
2
2
1
Questo si ottiene con intensità di radiazione elevate e impulsi molto brevi.
Se ∆ω è l’intervallo delle frequenze di risonanza in uno spettro, allora la
condizione sopra si traduce in:
Per un impulso di 90°
ω0 − ω
B1 >>
γ
π
γB1τ p =
2
π 1
∆ω
>>
γ
2 γτ p
quindi τ p <<
π
2 ∆ω
11
Esempio
In NMR del 1H in soluzione, si hanno variazioni delle frequenze di risonanza fino a
circa 20 ppm. A 400 MHz questo significa:
∆ω = 20 ⋅ 10-6 × 400 ⋅ 106 Hz = 8 KHz
Quindi gli impulsi di 90° dovranno essere di durata
τp <
π
2 ∆ω
= 200µs
(In effetti si usano impulsi di 5-10 µs)
Queste considerazioni sono equivalenti all’analisi della larghezza di banda di un
impulso mediante la trasformata di Fourier.
ω
ωrad
Per “irradiare” tutte le frequenze dello
spettro in modo uniforme (uguale B1),
si vuole che
2/τp>>∆ω
12
Si definiscono:
Impulsi non selettivi (“hard pulses” o “strong pulses”) impulsi, brevi e intensi,
usati per eccitare tutte le frequenze dello spettro
Impulsi selettivi (“soft pulses” o “selective pulses”) impulsi lunghi e poco
intensi, usati per eccitare solo una piccola parte dello spettro
13
La variazione della magnetizzazione trasversale (My) è il dato sperimentale. Il
segnale misurato dopo un impulso viene detto FID (Free Induction Decay) :
FID
Il segnale in funzione del tempo s(t) (il FID) viene trasformato in una Intensità in
funzione della frequenza S(ω) mediante la trasformata di Fourier:
S (ω ) =
+∞
−iωt
(
)
s
t
e
dt
∫
−∞
14
Lo spettro di risonanza magnetica ad impulsi (NMR o EPR) è la trasformata
di Fourier del FID:
S (ω ) =
+∞
−iωt
(
)
s
t
e
dt
∫
Trasformata diretta, FT
−∞
1
s (t ) =
2π
s(t)
+∞
iωt
(
)
S
ω
e
dω
∫
Trasformata inversa, IFT
−∞
FT
S(ω)
IFT
15
Se la magnetizzazione è data dalla somma di varie componenti (“pacchetti di
spin”) ciascuno con la sua frequenza di precessione ω0, il FID è una somma di
oscillazioni smorzate
M y = ∑ M z0,i cos(ω0,i t ) ⋅ e
−
t
T2
i
M y = ∑ M z0,i sin (ω0,i t ) ⋅ e
−
t
T2
i
t
− 

M z = ∑ M z0,i 1 − e T1 


i


FT
La trasformata di Fourier
mostra diversi “picchi”
16
e iA = cos( A) + i sin( A)
Per la formula di Eulero
F (k ) =
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ f ( x ) cos(2πkx )dx − i ∫ f ( x ) sin(2πkx )dx
Si definisce la “trasformata coseno” come
Fc ( k ) =
+∞
∫ f ( x ) cos(2πkx )dx
−∞
E la “trasformata seno” come
Fs ( k ) =
+∞
∫ f ( x ) sin(2πkx )dx
−∞
Da cui:
F ( k ) = Fc ( k ) − iFs ( k )
17
La trasformata di Fourier ha una parte reale ed una parte immaginaria:
S (ω ) =
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
−iωt
(
)
s
t
e
dt =
∫
∫ s(t )cos(ωt )dt − i ∫ s(t )sin(ωt )dt
“trasformata coseno”
“trasformata seno”
18
La trasformata di Fourier ha una parte reale ed una parte immaginaria:
S (ω ) =
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
−iωt
(
)
s
t
e
dt =
∫
∫ s(t )cos(ωt )dt − i ∫ s(t )sin(ωt )dt
“trasformata coseno”
“trasformata seno”
La parte reale rappresenta la componente di assorbimento, la parte
immaginaria rappresenta la dispersione.
+∞
 +∞

Assorbimento(ω ) = Re  ∫ s (t )e −iωt dt  = ∫ s (t ) cos(ωt )dt
 −∞
 −∞
+∞
 +∞

Dispersione(ω ) = − Im  ∫ s (t )e −iωt dt  = ∫ s (t )sin (ωt )dt
 −∞
 −∞
19
Trasformata di Fourier
Una funzione periodica può essere espressa come serie di funzioni seno e
coseno (serie di Fourier):
I coefficienti sono:
Es:
20
Per una funzione anche non periodica f(t), si definisce la trasformata di Fourier
F(ν) come:
F (ν ) =
+∞
∫ f (t )e
− 2πiνt
dt
−∞
Si definisce anche la trasformata inversa di Fourier
f (t ) =
+∞
∫ F (ν )e
2πiνt
dν
−∞
I due domini che definiscono le variabili t e ν, dette variabili coniugate, sono tali
per cui il loro prodotto vale 1 ed è adimensionale.
La trasformata di Fourier F(ν) fornisce lo ”spettro” cioè le
frequenze contenute nel segnale f(t)
21
Parte reale:
assorbimento
Fourier
Transform
Parte immaginaria:
dispersione
22
La Trasformata di Fourier di una oscillazione smorzata è una funzione
Lorenziana centrata sulla frequenza di oscillazione e di larghezza inversamente
proporzionale al tempo di decadimento:
FT
FT
23
Esempi di coppie di Trasformate
Trasformata di Fourier
Funzione costante
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-5
0
5
-500
0
K
x
t
500
ν
Un segnale costante nel tempo contiene solo la frequenza zero!
Fuunzione Delta di Dirac
-500
0
Trasformata di Fourier
500
tX
Un impulso contiene tutte le frequenze!
-5
0
5
x
ν
24
Funzione Coseno
Trasformata di Fourier (parte reale)
1
600
500
0.5
400
300
0
200
100
-0.5
0
-1
-2
-1
0
1
2
-100
-40
-20
x
0
20
40
K
Una funzione coseno contiene una frequenza ben definita (±ω0). La
sua trasformata è funzione pari
Funzione Seno
Trasformata di Fourier (parte immaginaria)
1
600
400
0.5
200
0
0
-200
-0.5
-400
-1
-2
-1
0
x
1
2
-600
-40
-20
0
20
40
K
Una funzione seno contiene una frequenza ben definita (±ω0). La
sua trasformata è funzione dispari
25
Funzione Esponenziale
Trasformata di Fourier
1
100
80
0.5
parte Reale
Parte Immaginaria
60
40
0
20
0
-0.5
-20
-40
-1
0
2
4
6
8
10
x
-50
0
50
k
Una funzione esponenziale ha come trasformata una funzione complessa
Parte reale: funzione lorenziana (spettro di
assorbimento)
Parte immaginaria: funzione dispersiva
26
Un FID è il prodotto di funzioni oscillanti (es: coseno) e di un
esponenziale:
t
f (t ) = cos(ω0t )e
−
T2
La trasformata di Fourier del FID è calcolabile usando il "teorema di
convoluzione", che afferma:
La trasformata di Fourier di un prodotto di funzioni è uguale alla
convoluzione delle trasformate
La CONVOLUZIONE di due funzioni f(x) e g(x) è definita dalla
formula:
y ( x) = f ( x) ∗ g ( x) =
+∞
∫ f (t ) g ( x − t )dt
−∞
27
Risulta particolarmente semplice la convoluzione di una funzione qualsiasi
con la funzione delta di Dirac.
Per definizione vale:
E quindi la convoluzione tra una funzione qualsiasi f(x) e una delta di (irac
(centrata sul valore x0) è il valore della funzione f(x0).
28
La trasformata del FID è una funzione lorenziana (trasformata
dell’esponenziale) centrata alla frequenza della oscillazione (convoluzione con
una delta di Dirac che è la trasformata della funzione coseno).
Esempio per FID che contiene due frequenze:
29
Spettroscopie magnetiche : impulsate o CW?
La spettroscopia EPR frequentemente si attua in modo CW, ma anche
in modo impulsato. Motivo: difficoltà tecniche per ottenere impulsi non
selettivi in EPR (estensione degli spettri molto ampia), tempi di
rilassamento di spin elettronico molto brevi.
La spettroscopia NMR viene effettuata sempre in modalità impulsata. I
rilassamenti sono normalmente lunghi e l’estensione degli spettri
(“larghezza spettrale”) è contenuta, che consente di ottenere impulsi
non selettivi e la eccitazione di tutto uno spettro simultaneamente
30
Le spettroscopie “in onda continua” e impulsata forniscono entrambe il dato
spettroscopico (spettro di assorbimento e di dispersione).
• Il metodo impulsato, eccita tutte le frequenze insieme e la
rivelazione è “simultanea” nel FID. (“acquisizione multicanale”). Per
aumentare il rapporto segnale/rumore (S/N) basta ripetere N volte
la sequenza Impulso-FID, (attendendo tra una scansione e l’altra un
tempo > T1)
• Col metodo impulsato si possono eseguire esperimenti con
sequenze di impulsi multipli che forniscono molte informazioni
aggiuntive
• La tecnica impulsata richiede hard pulses, che si ottengono
facilmente per NMR in soluzione ma non per NMR in stato solido (∆ω
~ MHz) o per EPR (∆ω fino a GHz)
• Il metodo CW richiede la scansione di varie frequenze in condizioni di
equilibrio (soluzioni stazionarie delle equazioni di Bloch) con tempi
lunghi di acquisizione.
31
Spettroscopia EPR: è in molti casi una spettroscopia CW con scansione del
campo magnetico. La radiazione di intensità costante inviata in sul campione ha
una frequenza fissa νrad e la condizione di risonanza si ottiene al valore di
campo magnetico:
hvrad = g e µ B B0
ris
0
B
hvrad
=
ge µB
32
Bris0
L’esperimento impulsato più semplice prevede una impulso di radiazione
(indicato come RF) π/2 seguito dalla registrazione del FID (acquisizione)
Lo spettro si ottiene dalla trasformata di Fourier del FID
Esistono tuttavia molti esperimenti con un maggiore numero di impulsi ed
eventi : sono dette sequenze di impulsi
33
SEQUENZE di impulsi:
Esperimenti nei quali si inviano molti impulsi al campione, con diversa fase,
angolo di rotazione e distanza temporale (delays). Spesso si considerano
anche impulsi a diversa frequenza di radiazione.
Si
rappresentano
schematicamente
come rettangoli
Esempio di
sequenza
complessa !!
34
Come si realizzano fasi diverse degli impulsi ? Si attua uno spostamento della
fase (shift) della radiazione
(π/2)x
t
(π/2)y
t
35
Come si realizzano impulsi di π/2 e π ? Ci sono due possibilità (spesso si usa
la prima)
1) Raddoppiando la DURATA (a parità di intensità) dell’impulso π/2 si ottiene
impulso π
π/2
π
t
2) Raddoppiando la INTENSITA’ (a parità di durata) dell’impulso π/2 si ottiene
impulso π
π
π/2
t
36
L’ ECO DI SPIN
La sequenza di eco di spin è costituita da
un impulso di 90° seguito, ad un ritardo τ
da un impulso 180° .
Per vedere l’effetto dei due impulsi, si può considerare come evolve la
magnetizzazione data da un insieme di spin con una singola frequenza di
Larmor (un singolo “pacchetto di spin”).
Al tempo 2τ la magnetizzazione è ritornata alla posizione successiva al primo
impulso di 90°
37
Effetto di un impulso π (lungo x) sulla magnetizzazione trasversale cioè nel
piano x,y:
38
Se la magnetizzazione è data dalla somma di più gruppi di spin con diverse
frequenze di Larmor:
le
magnetizzazioni
dovute ai diversi
pacchetti di spin si
defasano dopo il
primo impulso di 90°
(che le porta su –y)
39
le
magnetizzazioni
dovute
ai
diversi
pacchetti
di
spin
vengono
rovesciate
dall’impulso di 180° :
Dopo un tempo τ
dall’impulso π le
componenti della
magnetizzazione si
rifocalizzano
40
Il segnale rifocalizzato è detto eco di spin (spin-echo)
In forma grafica semplificata:
Eco di spin
L’impulso π viene perciò detto impulso di rifocalizzazione.
41
L’eco a due impulsi viene detto eco di Hahn.
Eco di Hahn
Un’altra sequenza di eco viene detta eco stimolato, o eco a tre impulsi
Eco stimolato
nella quale l’impulso di inversione viene sostituito da due impulsi di π/2
separati dal tempo T. L’eco si ottiene ad un tempo τ dopo l’ultimo impulso.
42
Valori tipici per I tempi di rilassamento ipendono da T e dalla fase
Per NMR in soluzione
T2 ∼ 10-3-10 secondi (millisecondi-secondi)
T1 ∼ 10-1-100 secondi (secondi-minuti)
Per NMR in stato solido
T2 ∼ 10-6-10-5 secondi (microsecondi)
T1 ∼ 10-3-102 secondi (millisecondi-minuti)
Per EPR in soluzione
T2 ∼ 10-9-10-6 secondi (nanosecondi-microsecondi)
T1 ∼ 10-8-10-3 secondi (microsecondi-millisecondi)
Per EPR in stato solido
T2 ∼ 10-12-10-6 secondi (picosecondi-microsecondi)
T1 ∼ 10-8-10-3 secondi (microsecondi-millisecondi)
Come si misurano i tempi di rilassamento? Sequenze di impulsi
43
Misura del T2 dalla larghezza di riga Lorenziana:
γB1T2
Y∝
2
2
1 + T2 (ω − ω0 )
Righe NON lorenziane
Spesso però le righe spettroscopiche sono la
sovrapposizione
di
molte
righe
vicine
(“allargamento inomogeneo”). Le differenze di
frequenze di risonanza derivano da variabilità
delle interazioni locali o da imperfezioni
strumentali. Il T2 NON si determina dalla
larghezza di riga.
44
Misura del T2 con esperimenti a impulsi:
1) Decadimento dell’eco di Hahn
π/2
π
τ
τ
t
τ’
τ’
t
τ’’
τ’’
t
τ’’’
τ’’’
t
45
Riportando in grafico l’intensità dell’eco di Hahn in funzione del tempo τ si
ottiene una curva di decadimento esponenziale:
La costante di tempo del decadimento esponenziale è il T2.
46
Misura del T2:
2) Sequenza di Carr-Purcell-Meiboom-Gill (CPMG)
In questa sequenza si misurano le intensità degli echi rifocalizzati dai
successivi impulsi π. Il decadimento della intensità degli echi è di tipo
esponenziale , con costante di tempo T2.
Si noti che gli impulsi di π vengono inviati su +y. In questo modo eventuali
imperfezioni negli impulsi (ad es: non perfettamente π) non vengono
successivamente accumulate
47
Misura del T1:
Sequenza di Inversion recovery: π-T-π/2-acq
Z
B1
X
Z
Z
Y
Y
M
A) Impulso π iniziale
X
M
B) attesa tempo T
M
M
X
Z
Y
B1
C) Impulso π/2
Y
X
D) FID (acq)
Il primo impulso inverte la magnetizzazione. Dopo un tempo di attesa T
variabile, l’impulso π/2 porta la magnetizzazione dall’asse Z al piano X,Y dove
viene rivelata, ad esempio come FID
48
Misura del T1: Inversion recovery: π-T-π/2-acq
π/2
π
t
tempo
FID
π
π/2
t + ∆t
tempo
π
π/2
t + 2∆t
FID
tempo
π
π/2
t + 3∆t
FID
49
tempo
FT
50
Esempio di esperimento di Inversion Recovery in NMR
51
Riportando in grafico l’intensità della magnetizzazione dopo l’impulso π/2 (FID)
o l’intensità dello spettro, in funzione del tempo T, si ottiene una curva di
ripristino della magnetizzazione lungo Z di tipo esponenziale:
La costante di tempo del decadimento esponenziale è il tempo di rilassamento
longitudinale T1.
52