Soluzioni quesiti ordinaria 1

Quesiti ord 2010 Pagina 1 di 5
a cura dei Prof. A. Scimone, G. Florio, . R. Sofia
Sia p( x) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n esima è p ( n ) ( x) = n !an dove il
coefficiente an è il coefficiente di x n
Sia
p( x) = an x n + an −1 x n −1 + ...... + a0
Applicando la regola di derivazione delle f:unzioni polinomiali avremo
p '( x) = nan x n −1 + (n − 1)an −1 x n − 2 + ...... + a1
Ripetendo la procedura n volte avremo
p ( n ) ( x) = (n(n − 1)(n − 2)...........1)an
Cioè
p ( n ) ( x) = n !an
Siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo e P
un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB,PBC,PCA sono triangoli rettangoli
I triangoli PAB e PBC sono rettangoli in B perché la retta r è perpendicolare al piano
Il triangolo PAC è rettangolo per il teorema delle tre perpendicolari:
Se dal piede di una retta perpendicolare ad un piano si conduce la perpendicolare ad una retta del
piano, la congiungente il piede di questa seconda perpendicolare con un qualunque punto della
prima, è perpendicolare alla retta giacente sul piano
Quesiti ord 2010 Pagina 2 di 5
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Sia γ il grafico di f ( x) = e3 x + 1 . Per quale valore di x la retta tangente a γ in ( x, f ( x) ) ha
pendenza uguale a 2
f ( x ) = e3 x + 1
Sia
Il coefficiente angolare della retta tangente nel generico punto x sarà dato da
f '( x) = 3e3 x
Si ha quindi
3e3 x = 2
2
ln
2
e3 x =
x= 3
3
3
Si calcoli lim 4 x sin
x →∞
1
x
1
1
=t
avremo x =
x
t
t→0
Per x → ∞
Per cui o otteniamo
1
sin t
lim 4 x sin = lim 4 x
=4
x →∞
x t →0
t
Ponendo
Un serbatoio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 80 cm. Quale è la
capacità
Indichiamo con a l’apotema del cono, r il raggio di base e h l’altezza. Il volume del cono sarà
1
V = π r 2h
essendo
r 2 + h2 = a 2
avremo
3
1
1
1
V = π h( a 2 − h 2 ) = − π h 3 + π a 2 h
3
3
3
Quesiti ord 2010 Pagina 3 di 5
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Per trovare il massimo, calcoliamo la derivata
1
V ' = π −h 2 + a 2 ≥ 0
si ha
3
a 2 − 3h 2 ≤ 0
a
Essendo
h=±
otteniamo
3
a
3
Sostituendo avremo, essendo 80 cm = 8 dm
1 a
a2
1 a 2 2 2π a 3
V= π
a2 −
= π
a =
3
3
3
3
33
9 3
2 π 512
V=
206 litri
9 3
Si ha un massimo per h =
essendo a = 8 dm otteniamo
Si determini il dominio della funzione f ( x) = cos x
Il dominio sarà dato da
cos x ≥ 0
−
π
2
+ 2 kπ ≤ x ≤
π
2
e quindi
+ 2 kπ
con
k∈
Per quali valori di k la funzione h( x) =
3x 2 − 11x − 1 per
Dovrà aversi
h(4) = lim− (3 x 2 − 11x − 1) = lim+ (kx 2 − 2 x − 1)
x→4
16k − 9 = 0
x→4
per cui
k=
9
16
x≤4
kx − 2 x − 1 per → x > 4
2
ovvero
è continua in x = 4
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n
Se n > 3 e
n −1
,
n
n−2
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,
n
n−3
sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n
Essendo i termini in progressione aritmetica sarà costante la differenza tra due coppie di termini
successivi. Avremo
n
n!
a2 − a1 = a3 − a2
quindi essendo
=
otteniamo
k
k !(n − k )!
n
n
n
n
−
=
−
n−3
n−2
n−2
n −1
n
=2
n
−
n
e quindi
n −1
n!
n!
n!
=2
=
dividendo per n! avremo
(n − 3)!(n − (n − 3))!
(n − 2)!2! (n − 1)!1!
1
1
1
1
1
1
=
−
cioè
=
−
e quindi
6(n − 3)! (n − 2)! (n − 1)!
6(n − 3)! (n − 2)(n − 3)! (n − 1)(n − 2)(n − 3)!
1
1
1
=
−
6 (n − 2) (n − 1)(n − 2)
(n − 1)(n − 2) = 6(n − 1) − 6
(n − 1)(n − 2) = 6(n − 2)
(n − 2) ( n − 1 − 6 ) = 0 essendo n > 3 otteniamo
n−3
n−2
n=7
Si provi che non esiste il triangolo ABC con AB = 3, AC = 2 e ABC = 45°. Si provi altresì che se
AB =3, AC = 2 e ABC =30°, allora esitono due triangoli che soddisfano queste condizioni
Sia AB = 3
AC = 2 β = 45°
Applicando il teorema dei seni avremo
AC
AB
=
sin β sin γ
cioè
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3
3 2
sin γ = sin 45° =
> 1 quindi non esiste il triangolo ABC
2
4
Se β = 30° avremo
3
3
sin γ = sin 30° =
2
4
L’angolo γ avrà due soluzioni e si avranno due triangoli uno acutangolo e l’altro ottusangolo
Si consideri la regione delimitata da y = x , dall’asse x e dalla retta x = 4 e si calcoli il volume del
solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all’asse y
Essendo x ≥ 0 sarà y ≥ 0
Risolvendo il sistema
x = y2
avremo y = ±2
x=4
Il volume del solido si ottiene sottraendo al volume del cilindro avente raggio 4 e altezza 2, il
volume generato facendo ruotare la curva attorno all’asse y
Si ha
Vol cilindro = π r 2 h = 32π
2
2
y5
Vol solido = π f ( y ) dy = π y dy = π
5
0
0
Il volume richiesto sarà
32
128
V = 32π − π =
π
5
5
2
2
=
4
0
32
π
5