Problema 1 Problema 2 - Istituto Ven. A. Luzzago

LICEO SCIENTIFICO PARITARIO “Ven. A. Luzzago”
Simulazione della Seconda prova dell’Esame di Stato 2014 - 24 Maggio 2014
Il Candidato risolva uno dei due Problemi e cinque dei dieci Quesiti
Non è possibile lasciare l’Istituto prima delle ore 12.00. É tassativamente vietato l’uso dei telefoni cellulari. É ammesso l’utilizzo della calcolatrice non programmabile. É vietato consultare
appunti, testi e manuali. Tempo a disposizione: 5 ore dalla dettatura del tema.
Problema 1
Rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali xOy, si consideri il punto A(2; 0).
1. Si scriva l’equazione del luogo geometrico dei punti P (x; y) del piano che verificano la
2
2
condizione OP + 2 · AP = 8, controllando che si tratta di una circonferenza di cui si
calcolino le coordinate del centro e il raggio.
2. Si determini l’ampiezza dell’angolo acuto formato dalla retta OB con la tangente alla
circonferenza in B, essendo B il punto della curva avente la stessa ascissa di A e ordinata
positiva.
3. Si scriva l’equazione della cubica y = ax3 + bx2 + cx + d passante per O, per A, avente
un flesso di ascissa 1 e la cui tangente nel flesso è parallela alla bisettrice del II e del IV
quadrante. Rappresentare graficamente la funzione y = f (x).
4. Si calcoli l’area A della regione finita di piano limitata dal grafico della cubica e dall’asse
x.
5. Nel triangolo delimitato dagli assi cartesiani e dalla tangente nel flesso, individuare il rettangolo inscritto con i lati paralleli agli assi cartesiani: (a) equivalente alla metà dell’area
A individuata precedentemente; (b) avente area massima.
Problema 2
Si consideri una circonferenza con A e B estremi di una corda di lunghezza 1 e AC diametro.
1. Posto BC = x, si esprima in funzione di x il rapporto tra l’area del triangolo ABC
e quella del quadrato costruito sul diametro, provando che tale rapporto è dato da
x
f (x) =
. Indipendentemente dalle limitazioni imposte dal problema geome2 (1 + x2 )
trico, si studi la funzione y = f (x), si rappresenti il suo grafico γ e si dimostri che i punti
di flesso sono allineati.
2. Si scriva l’espressione analitica del valore medio di f (x) nel generico intervallo I = [0; h],
con h > 0; se ne determini poi il limite al tendere di h a +∞.
3. Considerato il fascio di rette di equazione y = mx, si stabilisca per quali valori di m ∈ R
esse intersecano γ in punti Q diversi dall’origine.
4. Si calcoli l’area S della regione di piano del primo quadrante sottesa al grafico γ tra i
punti Q e O.
5. Detta P la parabola passante per l’origine O e con vertice nel punto di massimo assoluto
della funzione y = f (x), si determini m in modo che l’area S sia uguale a quella del
segmento parabolico formato da P con l’asse delle ascisse.
1
Quesiti.
1. Dato il triangolo di lati 2 cm, 3 cm e 4 cm, si dimostri che è ottusangolo.
r
ln(x − 2)
2. Determinare il dominio D della funzione f (x) =
.
ln x − 2
3. Si consideri la funzione f : R → R definita da f (x) = x3 − 4x. Determinare il più grande
intervallo del tipo [1; b] (con b > 1) in cui è possibile applicare il teorema di Rolle alla funzione
data.
Z x
4. Calcolare f (4) sapendo che
f (t) dt = x cos(πx).
0
5. In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy è data la parabola P di equazione
y = 4 − x2 . Siano V il vertice, P un punto di P, T il punto di intersezione tra la retta OP
e la retta tangente a P in V . Dopo aver determinato la lunghezza dei segmenti V P e V T , si
calcoli il limite del rapporto VV PT al tendere di P a V .
6. Si dimostri che per gli zeri x1 e x2 di una funzione f (x) = ax2 + bx + c vale la relazione
f 0 (x1 ) + f 0 (x2 ) = 0. Si dia un’interpretazione geometrica della relazione dimostrata.
7. Si determinino i valori dei parametri a, b, c ∈
definita da

2

 ax + bx + c

cos(πx)
f (x) =



a ln x + 21
R in modo tale che la funzione f : R → R
se x ≤ −1 ,
se −1 < x <
se x ≥
1
2
1
2
,
,
sia continua e derivabile in R.
8. Sia f : R → R una funzione derivabile con continuità due volte e tale che f (0) = 0 e
[f (x)]2
f 0 (0) = 21 . Calcolare, giustificano tutti i passaggi effettuati, il limite lim
.
x→0 sen (2x2 )
9. Dimostrare che se p(x) è un polinomio a coefficienti reali, allora tra due qualsiasi radici
distinte di p(x) ne esiste una che è radice di p0 (x).
Z
10. Calcolare, integrando per parti,
1
arcsin x dx.
0
2