Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali

Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
(Ob. 4, 6, 7, 12)
3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
3.2 Il punto
3.3 La linea
3.4 La linea retta
3.5 Le posizioni reciproche delle rette nel piano
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
3.1 L’impostazione assiomatica della geometria
La si deve a Euclide, con il testo Elementi, che è stato studiato
dettagliatamente, per verificare la consistenza della proposta.
Oggi si condivide l’impostazione suggerita da David Hilbert (1862-1943),
che ne è una rivisitazione, ed è contenuta nei Fondamenti della
Geometria del 1899.
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
L’impostazione assiomatica di Hilbert prevede di dichiarare:
I
gli enti primitivi;
I
le relazioni primitive (per Euclide: nozioni comuni o assiomi);
I
gli assiomi o postulati (per Euclide: postulati);
Da essi, tramite deduzioni logiche, discendono i teoremi.
Che cosa sono e a che cosa servono enti primitivi, relazioni primitive e
assiomi?
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
Per Hilbert, ad esempio:
I
il punto, la retta e il piano sono enti primitivi;
I
appartenere è una relazione primitiva;
I
“dati due punti, esiste una retta alla quale i due punti
appartengono” è un assioma.
Dall’esempio si vede come l’assioma serva a descrivere il comportamento
degli enti primitivi, anche attraverso le relazioni primitive.
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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
L’idea è simile a questo esempio.
I
Non conosco nessuna parola finlandese.
I
Devo tradurre una frase dal finlandese all’italiano.
I
Mi viene fornito un vocabolario finlandese monolingua.
Non riesco a tradurre.
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
L’idea è simile a questo esempio.
I
Non conosco nessuna parola finlandese.
I
Devo tradurre una frase dal finlandese all’italiano.
I
Mi viene fornito un vocabolario finlandese monolingua.
Non riesco a tradurre.
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
Ma se conoscessi:
la traduzione di qualche (due o tre)
parola finlandese;
qualche regola di base
(che mi dice come funziona
una lingua in generale);
qualche regola di
grammatica finlandese;
allora riuscirei a tradurre (avendo il vocabolario monolingue) e magari a
intuire qualche altra regola grammaticale che prima non conoscevo.
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
Ma se conoscessi:
la traduzione di qualche (due o tre)
parola finlandese;
qualche regola di base
(che mi dice come funziona
una lingua in generale);
qualche regola di
grammatica finlandese;
allora riuscirei a tradurre (avendo il vocabolario monolingue) e magari a
intuire qualche altra regola grammaticale che prima non conoscevo.
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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
Riportando l’esempio alla Geometria (o alla Matematica in generale):
la traduzione di qualche (due o tre)
TERMINI PRIMITIVI
parola finlandese;
qualche regola di base
RELAZIONI PRIMITIVE
(che mi dice come funziona
una lingua in generale);
qualche regola di
ASSIOMI
grammatica finlandese;
allora riuscirei a tradurre (avendo il vocabolario monolingue) e magari a
intuire qualche altra regola grammaticale che prima non conoscevo.
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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
Anche i giochi sono sistemi assiomatici...
Gioco: Bandierina
I
enti primitivi: la bandiera, le due squadre (equinumerose), il
bambino B che tiene la bandiera, il campo da gioco
I
relazioni primitive: ci sono due squadre; ogni squadra ha il proprio
campo; ogni squadra vuole vincere la partita; i giocatori devono
essere onesti e condividere il fatto che si tratta di un gioco;...
I
assiomi: ogni bambino, in ogni fila, è associato a un numero, a
partire da 1; egli corre verso la bandiera quando B chiama il suo
numero; deve cercare di portare la bandiera oltre il confine (linea dei
bambini della propria squadra), senza invadere l’altro campo e senza
essere toccato dall’avversario;...
“Teorema”. Se ci sono 11 bambini, uno di loro sarà B e le squadre
saranno composte ciascuna da 5 giocatori, numerati da 1 a 5.
“Teorema”. Se ci sono 21 bambini, B non chiamerà il numero 12.
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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
Pensiamo al gioco della Briscola (1 contro 1) e proviamo a capire quale
sia la sua impostazione assiomatica.
Cerchiamo di elencare:
I
enti primitivi
I
relazioni primitive
I
assiomi
Successivamente proviamo a dedurre un “Teorema”.
Impostazione assiomatica della briscola
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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
Assiomatica Hilbert
Corso di Geom. Elementare
enti p.
punto, retta, piano
punto, linea, piano
relaz. p.
giacere, fra, congruente
appartenere, direzione,
delimitare, trasportare
assiomi
collegamento, ordinamento,
[idem]
congruenza, parallelismo,
continuità
Di tutto ciò i bambini devono aver fatto esperienza.
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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
Per dare ordine ai concetti e per poterli richiamare velocemente, in
Matematica assumono un ruolo fondamentale le definizioni.
Il loro scopo è proprio quello di identificare con una parola (o più) un
certo concetto (magari anche molto articolato), in modo che
l’interpretazione sia univoca.
Esempi?
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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
Che cos’è una definizione?
1. Ciascuno scriva sul proprio foglio una definizione di parallelogramma
e una di circonferenza.
2. Raccogliamo quanto scritto per poi commentarlo.
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
Una definizione, per essere tale, deve esprimere:
I
quanto necessario per identificare l’oggetto e
I
quanto sufficiente per identificare l’oggetto.
Cioè:
I
non dimenticare elementi essenziali e
I
non essere sovrabbondante.
Le “definizioni sovrabbondanti” non sono “buone” in matematica, ma
sono utili nella scuola primaria! Le chiameremo descrizioni.
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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
3. Torniamo a considerare le definizioni scritte precedentemente e
valutiamole.
4. Creiamo una definizione corretta.
Compito. Scrivere definizioni e descrizioni di: rettangolo, rombo,
triangolo equilatero.
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3.1 L’impostazione assiomatica della Geometria
Scegliamo di presentare gli enti geometrici nel seguente ordine (non è
l’unico possibile):
1. il punto;
2. le linee e la loro classificazione;
3. linee particolari: le rette;
4. le posizioni reciproche delle rette nel piano;
5. parti di retta (segmento e semiretta) e parti di piano (angoli);
6. i poligoni;
7. la circonferenza;
8. le trasformazioni del piano.
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3.2 Il punto
3.2 Il punto
I
I
I
I
I
È l’astrazione della posizione di un oggetto.
Descrizione: ente geometrico privo di dimensione.
Rappresentazioni: granello di sabbia, punta di spillo, segno della
punta della matita sul foglio.
Notazione: lettere maiuscole dell’alfabeto italiano.
Se i punti A e B coincidono: A ≡ B.
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.3 La linea
3.3 La linea
I
I
I
I
È l’astrazione della traiettoria di un corpo in movimento.
Descrizione: ente geometrico avente un’unica dimensione, costituito
da infiniti punti.
Rappresentazioni: un filo disposto in modo qualsiasi, la traccia della
matita sul foglio,...
Notazione: lettere minuscole dell’alfabeto italiano.
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3.3 La linea
Compito. Elencare modelli materiali di punto e di linea (vantaggi e
svantaggi del loro utilizzo).
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3.3 La linea
Classificazione delle linee:
I secondo criteri topologici: aperta o chiusa, semplice o intrecciata:
I
I
I
aperta = il punto iniziale coincide con il punto finale (viceversa:
chiusa);
semplice = non attraversa se stessa (viceversa: intrecciata);
secondo criteri non topologici: spezzata, curvilinea, mistilinea:
I
I
I
spezzata = formata solo da segmenti (detti lati)
curvilinea = formata solo da tratti curvi
mistilinea = formata sia da tratti rettilinei sia da tratti curvi
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.3 La linea
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.3 La linea
Alcuni esempi tratti da testi scolastici. Quali osservazioni si possono fare?
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.3 La linea
Qualche buon esempio (C. Colombo Bozzolo, A. Costa, Nel mondo della
Geometria, Erickson 2002).
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3.3 La linea
Osservazione: sia le linee chiuse sia quelle intrecciate (chiuse o aperte che
siano), suddividono il piano. Parleremo, però di confine e di regione
interna solo nel caso di linee chiuse e semplici.
Il confine è la linea chiusa e semplice, la regione interna è la parte di
piano che tale linea circoscrive.
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.3 La linea
Attività. Proporre alcune opere pittoriche, fornendone una copia per
ogni bambino. Chiedere di ricalcare le linee presenti nell’opera e di
classificarle. Alcuni esempi:
Figura: Paul Klee, Insula dulcamara, 1938.
Figura: Vasilij Kandinskij, Composizione VIII, 1923.
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3.4 La linea retta
3.4 La linea retta
I
È l’astrazione della traiettoria di un corpo in movimento che
mantiene costante la propria direzione.
I
Descrizione: ente geometrico avente un’unica dimensione, costituito
da infiniti punti che mantengono la stessa direzione; illimitata.
I
Rappresentazioni: la scia di un aereo, la traccia rettilinea della
matita sul foglio (con i puntini),...
I
Notazione: lettere minuscole dell’alfabeto italiano.
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.4 La linea retta
Quante rette passano per un punto?
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3.4 La linea retta
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.4 La linea retta
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.4 La linea retta
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.4 La linea retta
Quante rette passano per un punto? Infinite. È un assioma.
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.4 La linea retta
Attività. Proporre immagini di rette e punti e chiedere se il punto
appartiene o meno alla retta, variando le posizioni reciproche (dopo aver
discusso sul significato di appartenere).
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.4 La linea retta
Testi scolastici. Legame tra realtà e enti geometrici.
Capitolo 3. Enti geometrici fondamentali
3.4 La linea retta