I componenti ideali

I componenti ideali
1
I bipoli elettrici
Sono sede di un unico fenomeno elettromagnetico.
Nella realtà all’interno di un componente reale sono
presenti diversi fenomeni fisici di cui uno
preponderante.
2
Il resistore ideale
Il resistore è un bipolo la cui relazione caratteristica è v=iR
Dato un filo di rame percorso da corrente elettrica i, ai suoi capi
esiste una differenza di potenziale v. Al variare della d.d.p.
varia l’intensità della corrente.
i
v = iR
legge di ohm
Conv. Utilizzatori
A
v
B
R resistenza
Esiste proporzionalità diretta tra V ed I. i
Il resistore è lineare
A
R
v
B
La resistenza indica l’attitudine a lasciar passare una corrente
di maggiore o minore intensità, sotto l’azione di una tensione.
v
i=
R
3
[V ]
V
[ R] =
R=
I
[I ]
Resistenza elettrica
Unità di misura [Ω
Ω] ohm
Resistenza di un corpo che sottoposto alla tensione di un Volt
è percorso dalla corrente di un ampere.
I = GR
1
G=
R
conduttanza
[I ]
[G ] =
[V ]
Unità di misura [S] siemens
Il valore di una resistenza dipende da
•forma e dimensioni geometriche
•materiale
•temperatura
4
Resistività di un materiale
la resistenza tra 2 facce opposte del cubo di volume unitario
E’ una resistenza specifica
Consente di calcolare la resistenza di un corpo note le sue
dimensioni geometriche
Per un conduttore filiforme
di lunghezza l e sezione S:
l
R= ρ⋅
S
[ ρ ] = [ R ⋅ S ⋅ l −1 ] = [ R ⋅ l 2 ⋅ l −1 ] = [ R ⋅ l ]
Unità di misura [Ωm]
Per i conduttori si usa il µΩ
Ω cm
Per gli isolanti il MΩ
Ωm
1
g=
ρ
conducibilità
5
ρ e g indicano se un certo materiale si comporta o no come un
buon conduttore
MULTIPLO
ρ (Ω × m) a 0°
0
100
1,63 ×
10−8
1,72 ×
10−8
2,44 ×
10−8
2,83 ×
10−8
tungsteno
6,52 ×
10−8
silicio
2 300
mica
1014
argento
MARRON
1
101
rame
ROSSO
2
102
oro
ARANCIO
3
103
alluminio
GIALLO
4
104
VERDE
5
105
BLU
6
106
VIOLA
7
107
GRIGIO
8
108
9
-
buoni conduttori
BIANCO
ORO
conduttori
ARGENTO
semiconduttori
NERO o null
isolanti
ρ varia con la temperatura θ.
TOLL.ZA
CIFRA
NERO
COLORE
MATERIALE
10-1
±5%
10-2
±10%
-
±20%
6
Caratteristiche i-v
v
v
i
i
Lineare
R = costante
v=Ri
Non Lineare
(ex, diodi)
v=f(i)
7
Il resistore è un bipolo passivo
v(t) = R · i(t)
p(t) = v · i = R · i2(t)
w=
∫
t
t
p (τ ) ⋅ dτ = R ⋅ i 2 ⋅ dτ > 0
−∞
∫
−∞
R · i2(t) > 0 sempre
Energia assorbita
Il resistore è un puro dissipatore di energia.
Assorbe energia senza mai restituirla e l’energia ad esso
trasferita non è più riutilizzabile ai terminali.
8
Il resistore è definito su base tensione e su base corrente
i
v A
R
A
AR
R
E
E
A
base corrente
i
E/R
i
base tensione
9
I generatori
Generatore ideale di
tensione
v(t)
i(t)
e(t)
Generatore ideale di
corrente
v(t) = e(t)
i(t)
a(t)
v(t)
i(t) = a(t)
Conv. generatori
Conv. generatori
i
v
i
v
10
Un generatore ideale di
tensione
fornisce
qualunque
corrente
necessaria per mantenere
il livello di tensione
specificato
ai
suoi
terminali.
Un generatore ideale di corrente
fornisce qualunque tensione
necessaria per mantenere il
livello specificato di corrente.
Possono fornire in teoria una energia infinita
Non è definibile un livello zero di energia
Essi possono non solo erogare potenza ma anche assorbirne
(la corrente di un generatore di tensione, non è nota finché
non lo si collega al circuito).
11
La potenza erogata da un generatore non è necessariamente
positiva
generatore di TENSIONE e(t)
generatore di CORRENTE a(t)
ES: e(t) = E ≡ cost ; i(t) = A ≡ cost
E
A
∆ω =
t
∫ p(t )⋅ dt = E ⋅ − A ⋅ (t − t
∆ω ' =
t0
0
t
∫ p(t )⋅ dt = E ⋅ A ⋅ (t − t
t0
0
)
Erogata dal generatore di tensione
(Conv. Generatori)
)
Erogata dal generatore di corrente
La potenza assorbita dall'uno non è altro che quella generata dall'altro
12
Il generatore di tensione è
definito su base corrente
Il generatore di corrente è
definito su base tensione
i
v
v
i
i
i
e
Assurdo fisico
a
Assurdo fisico
13
Corto circuito e circuito aperto
Corto Circuito
Circuito Aperto
i(t)
v(t)
v(t) = 0
i qualunque
Caso degenere del
generatore di tensione o del
resistore di resistenza nulla
o conduttanza infinita
i(t)
v(t)
i(t) = 0
v qualunque
Caso degenere del
generatore di corrente o del
resistore di resistenza
infinita o conduttanza nulla
Si utilizzano per modellizzare gli interruttori
aperto
chiuso
14
ic+ondu
ttor
+
e
+
d
Il condensatore
+ + A+ ++
v
iso + + + +
la n
- - te +
- i
- q = C⋅ v
dq
dv
= C⋅
dt
dt
dq
= i
dt
dv
i =C⋅
dt
Se si applica una tensione tra le
armature, le cariche elettriche
si separano e si forma un
campo elettrico all'interno del
dielettrico. L'armatura collegata
al potenziale più alto si carica
positivamente, negativamente
l'altra. Le cariche positive e
negative sono uguali ed il loro
valore assoluto costituisce la
carica q del condensatore.
C capacità
Unità di misura F (farad)
1F=1C/1V
Esiste proporzionalità diretta tra v ed di/dt.
Il condensatore è lineare
A
Per un condensatore a facce
ε =ε0 ⋅εr
C=ε⋅
piane e parallele
d
15
εr
MATERIALE
neoprene
6,46
silicone
3,20
carta
3.5
mica
5,40 - 9,0
acqua distillata
78,20
aria
1
Esempio
d=10-4 m
C=1 F
εr=3.5 (carta)
Cd
1 ⋅10 − 4
6
2
A=
=
=
3
.
33
⋅
10
m
ε 0ε r 8.85 ⋅10 −12 ⋅ 3.5
Quadrato di lato 1800 m
Nella pratica C è compreso tra qualche pF e qualche mF.
16
t
dv
1
i = C ⋅ ⇒ v(t ) = ∫ i(t )dτ
dt
C −∞
v dipende dalla i che è
fluita fino a t
Posto
t0
t
1
1
V0 = v(t0 ) = ∫ i(t )dτ ⇒ v(t ) = ∫ i(t )dτ + V0 per t ≥ t0
C −∞
Ct
0
v dipende da v(t0) e da i tra t0 e t è un componente con
memoria
V0 tiene conto della carica Q0 che è accumulata nel
condensatore al tempo t0
Q0 = Cv(t0) = CV0
Conoscere V0 equivale a conoscere l’intera storia della
corrente del condensatore.
17
Il condensatore è un bipolo passivo.
dv d  1 2 
p(t ) = v(t )i (t ) = vC =  Cv 
dt dt  2

v (t )
1 dv 2
1 2
1 2
ω (t ) = ∫ p (τ ) ⋅ dτ = ∫
C
dτ = Cv
= Cv (t ) > 0
−∞
−∞ 2
dτ
2
2
v (−∞ )
t
t
per v ≠ 0
v(-∞)=0
Il differenziale dell’energia assorbita è un differenziale esatto
l’energia è una funzione di stato
la tensione è la variabile che descrive lo stato del
condensatore
18
Il condensatore è un puro accumulatore, ovvero non
dissipa energia ma può immagazzinarla
L’energia assorbita tra ta e tb
1
ω ab = ∫ p(τ ) ⋅ dτ = C ⋅ [v 2 (tb ) − v 2 (t a )] >=< 0
t
2
tb
a
v
Se
v(tb ) = v(t a ) ⇒ ω ab = 0
anche se
ω ac ≠ 0 t a < t c < t 2
ta
tc
t
tb
Fra tc e tb è stata restituita tutta l’energia assorbita tra ta e tc Il condensatore ha operato trasformazioni energetiche senza
dissipazione.
19
In corrente continua il capacitore si comporta come un circuito
aperto
v = costante i = 0
i(t)
i(t)
v(t)
i(t)=0
v(t)
E’ definito su entrambe le basi
dv
i = C⋅
dt
t
v(t ) =
1
i(t )dτ
∫
C −∞
20
21
Proprietà
La tensione ai morsetti di un condensatore è una funzione
continua (in senso matematico)
( ) = v (t )
vC t
−
0
C
v(t)
+
0
i(t)
per ogni t0
+∞
t
t
−∞
Il condensatore si oppone a variazioni brusche della tensione
22
Caso in cui la continuità sembra violata
t=0
( )
vC 0 − = 0
v(t)
12 V
R
12 V
La chiusura dell’interruttore impone vC
(0 ) = 12 V
+
La tensione sul condensatore sembra passare
istantaneamente da 0 a 12 V. Ciò è dovuto al
fatto che il circuito è un modello semplificato
t=0
v(t)
Modello più realistico con la resistenza dei fili
e dell’interruttore chiuso.
Si vedrà come la tensione sul condensatore
passi gradualmente da 0 a 12 V
23
i
L’induttore
i
L'induttore immagazzina energia nel suo campo magnetico. Qualunque filo percorso da corrente i
possiede proprietà induttive.
Può avere al suo interno un nucleo in materiale ferromagnetico o essere avvolto in aria. Quest'ultima
configurazione non gli consente valori di induttanza alti quanto quella con nucleo.
L
L induttanza
dφ
di
Unità di misura H (henri)
φ = L⋅i v =
v = L⋅
dt
dt
1H=1V·s/1A
Esiste proporzionalità diretta tra i ed dv/dt.
L’induttore è lineare
24
l
N2A
L=µ⋅
l
per un induttore toroidale
N
spire
A
bobina composta
da 40 spire
di filo di rame
smaltato
del
diametro di 1,2
mm su toroide Ø
32
mm
di
induttanza 110µH.
25
t
v dipende dalla i che è
fluita fino a t
1
di
v = L ⋅ ⇒ i(t ) = ∫ v(t )dτ
dt
L −∞
Posto
t0
I 0 = i(t0 ) =
t
1
1
v
(
t
)
d
τ
⇒
i
(
t
)
=
v(t )dτ + I 0 per t ≥ t0
∫
∫
C −∞
Lt
0
i dipende da i(t0) e da v tra t0 e t è un componente con
memoria
I0 tiene conto del flusso φ0 concatenato con l’induttore al tempo
t0
φ0 = Li(t0) = LI0
Conoscere I0 equivale a conoscere l’intera storia della tensione
dell’induttore.
26
L’induttore è un bipolo passivo
p(t ) = v(t )i (t ) = L
di
d 1

v =  Li 2 
dt
dt  2

1 di 2
1
ω = ∫ p(τ ) ⋅ dτ = ∫
L
dτ = Li 2 > 0
−∞
−∞ 2
dτ
2
t
t
per i ≠ 0
i(-∞)=0
Il differenziale dell’energia assorbita è un differenziale esatto
l’energia è una funzione di stato
la corrente è la variabile che descrive lo stato dell’induttore
27
L’induttore è un puro accumulatore, ovvero non dissipa
energia ma può immagazzinarla
L’energia assorbita tra ta e tb
1
ω ab = ∫ p(τ ) ⋅ dτ = C ⋅ [i 2 (t b ) − i 2 (t a )] >=< 0
t
2
tb
a
i
Se
i(t b ) = i(t a ) ⇒ ω ab = 0
anche se
ω ac ≠ 0 t a < t c < t 2
ta
tc
t
tb
Fra tc e tb è stata restituita tutta l’energia assorbita tra ta e tc L’induttore ha operato trasformazioni energetiche senza
dissipazione.
28
In corrente continua l’induttore si comporta come un corto
circuito
i = costante v = 0
i(t)
i(t)
v(t)
v(t)=0
v(t)
E’ definito su entrambe le basi
di
v = L⋅
dt
t
1
i(t ) = ∫ v(t )dτ
L −∞
29
Proprietà
La corrente nell’induttore è una funzione continua (in senso
matematico)
( ) = i (t )
iL t
−
0
L
i(t)
+
0
v(t)
per ogni t0
+∞
t
t
−∞
L’induttore si oppone a variazioni brusche della corrente
30
Caso in cui la continuità sembra violata
t=0
( )
iL 0 − ≠ 0
R
L’ apertura dell’interruttore impone
i(t)
12 V
L
( )
iL 0 + = 0
La corrente sembra discontinua. Ciò è dovuto al
fatto che non sempre un interruttore aperto è un
circuito aperto. Per un breve intervallo dopo
l’apertura si verifica una scarica elettrica. La
tensione ai capi dell’induttore provoca
un’accelerazione degli ioni nell’aria che separa i
contatti.
Le collisioni con le molecole d’aria liberano altri
ionicorrente scarica.
p=1 atm Vscarica= 3kV/mm
Perciò la corrente si annulla in un tempo molto breve rimanendo continua.
31
I componenti reali
I componenti costruiti nella pratica hanno caratteristiche che approssimano
quelle dei componenti ideali.
Cause di non idealità:
Limiti fisici per v e i (ragioni termiche limitano la corrente
e
ragioni di isolamento elettrico limitano la tensione)
Effetti parassiti (i componenti reali contengono più
di un fenomeno fondamentale)
L
R
E
C
Ri
I
Ri
32
Combinazione serie e parallelo di condensatori
v1(t)
v2(t)
v3(t)
i(t)
v(t)
C1
C2
N
1
1
=∑
Cs k =1 Ck
C3
N = 2 ⇒ Cs =
v(t ) = v1 (t ) + v2 (t ) + v3 (t ) =
t
t
C1C2
C1 + C2
t
1
1
1
(
)
i
d
v
(
t
)
i (τ )dτ =
τ
τ
= v1 (t0 ) + ∫ i (τ )dτ +v2 (t0 ) +
+
+
3 0
∫
∫
C1 t0
C2 t0
C3 t 0
t
 1
1
1 
= v1 (t0 ) + v2 (t0 ) + v3 (t0 ) +  +
+  ∫ i (τ )dτ =
C
C
C3  t 0
2
 1
t
1
= v(t0 ) +
i (τ )dτ =
∫
C s t0
un unico condensatore di capacità Cs
 1
1
1  1
con  +
+  = ; v1 (t0 ) + v2 (t0 ) + v3 (t0 ) = v(t0 )
 C1 C2 C3  C s
33
i(t)
v(t)
N
i1(t)
i2(t)
i1(t)
C1
C2
C3
C p = ∑ Ck
k =1
i (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) + i3 (t ) =
dv(t )
dv(t )
dv(t )
dv(t )
dv(t )
+ C2
+ C3
= (C1 + C2 + C3 )
= Cp
dt
dt
dt
dt
dt
con C p = C1 + C2 + C3 un unico condensatore di capacità Cp
= C1
34
Attenzione!!!
t=0
t>0
( )
v (0 ) = 0
2
C1
v1 (t ) = v2 (t )
v1 0 − = v0 ; q1 = C1v0
−
C2
C1
C2
q1 = C1v; q2 = C2 v;
Poiché la carica si conserva
C1v0 = (C1 + C2 )v;
C1v0
v=
C1 + C2
La tensione sui condensatori è discontinua in t=0????
35
Combinazione serie e parallelo di induttori
v1(t)
v2(t)
v3(t)
i(t)
N
L2
L1
v(t)
L3
Ls = ∑ Lk
k =1
N = 2 ⇒ Lp =
i(t)
v(t) i1(t)
L1
i2(t)
i1(t)
L2
L3
L1 L2
L1 + L2
36
Multipoli
37
Multipoli
2
v2
i2
p(t ) = v1 ⋅ i1 + v2 ⋅ i2 + v3 ⋅ i3
i3
i1
1
3
v1
v3
0
n -1
n-2
0
Se
ω (t ) ≥ 0 ∀ t
n - polo
 i1 
i =  
in−1 
 v1 
v =  
vn−1 
p = v1i1 + + vn −1in −1 = vT ⋅ i
ω (t ) = ∫−∞ vT ⋅ i ⋅ dτ
t
il multipolo si dice PASSIVO
Equazione Costituitiva: [A]⋅ v + [B]⋅ i + C = 0
38
(resistivi,lineari, tempo invarianti)
Multiporta
Un multiporta è un particolare multipolo con i morsetti organizzati in
coppie, in modo tale che, per ogni coppia, la corrente entrante in un
morsetto è uguale a quella uscente dal secondo morsetto della coppia.
Ogni coppia è detta PORTA.
vn
v1
in
n
n'
in
i1
1
1'
 i1 
i =  
in 
 v1 
[A]⋅ v + [B]⋅ i + C = 0
v =  
vn  (resistivi, lineari, tempo invarianti)
i1
La potenza assorbita (1’ come riferimento)
p (t ) = v11'i1 + v21'i2 + v2'1' ( −i2 ) + v31'i3 + v3'1' (−i3 ) + .... + vn1'in + vn '1' (−in ) =
= v1i1 + v2i2 + v3i3 + .... + vnin = v T ⋅ i
ω (t ) =
t
∫−∞
vT ⋅ i ⋅ dτ
39
Quando i morsetti di un multipolo sono a coppie chiuse su
bipoli, i morsetti del multipolo sono organizzati in porte.
Si dice che il multipolo è un multiporta non intrinseco in
quanto il funzionamento da multiporta è garantito solo dalle
particolari connessioni del multipolo con l’esterno.
Un multiporta intrinseco è un multipolo che funziona
sempre come multiporta, comunque siano connessi i suoi
morsetti (ex uniportabipolo)
40
Trasformatore ideale
i1
n
i2
v1
1
A=
0
v2
− n
0 
v1 = n ⋅ v2


1
i1 = − n ⋅ i2
0
B=
1
0 
1 / n
base di definizione mista:
[ v1 ; i2] , [ v1 ; i1] [ v2 ; i1] o [v2 ; i2]
C = 0 (inerte)
v1
è trasparente alle potenze
p(t ) = v1i1 + v2i2 = v1i1 + (− n ⋅ i1 ) = 0
n
E' un componente PASSIVO non dissipativo
•Non è dotato di stato
•E’ un 2-porte (o doppio bipolo) intrinseco
41
Giratore
i1
r
v1
1 0
A=

0
1


i2
v2
base di definizione :
[v1 ; i1] [ v2 ; i2] mista
[v2 ; v1] tensione
[i2 ; i1] corrente
v1 = r ⋅ i2

v2 = −r ⋅ i1
0 − r 
B=

r
0


C =0
(inerte)
v1
p(t ) = v1i1 + v2i2 = v1i1 − ri1 = 0 è trasparente alle potenze
r
E' un componente PASSIVO non dissipativo
•Non è dotato di stato
•E’ un 2-porte (o doppio bipolo) intrinseco
42
Si utilizza per trasformare il capacitore in un induttore
(microcircuiti).
i1
v1
r
i2
v2
C
v1 = Cr 2
di
dii
=L i
dt
dt
L = Cr 2
43
Generatori pilotati
v1
v=β v1
Ex. triodo
β : parametro di controllo adimensionale
i1
v=R i1
i=g v1
Ex. FET
g : parametro di controllo
dimensionalmente è una conduttanza
i1
i=α i1
ag
R2
i1
R1
0,5 i1
Ex. dinamo
R : parametro di controllo
dimensionalmente è una resistenza
v1
esempio:
I generatori dipendenti o pilotati
sono componenti essenziali nei
circuiti amplificatori, in cui
l'ampiezza dell'uscita è maggiore
di quella dell'ingresso.
Ex. transistor
α : parametro di controllo adimensionale
44
A
v1 i 1
i2
k·i1 v2 R
i1 = A

v2 = k ⋅ i1
v1 = 0
i = A
1
v2 = k ⋅ i1 = k ⋅ A

v
k⋅A
i2 = − 2 = −
R
R

La condizione di passività
l'integrando è negativo
p (t ) = v1i1 + v2i2
2
(
)
k
A
k
A
⋅
⋅


p(t ) = k ⋅ A ⋅  −
=−
R
 R 
t
∫t p(t ) ⋅ dt ≥ 0
0
non vale poiché
COMPONENTE ATTIVO
I generatori pilotati sono componenti attivi
45
Amplificatore operazionale
L’Amplificatore Operazionale (Operational Amplifier - OP) è un elemento
circuitale attivo progettato per eseguire le operazioni matematiche di
addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, derivazione e integrazione.
E’ un circuito integrato costituito da una rete di resistenze, capacità, diodi e
transistori incapsulati in unico contenitore di plastica o di metallo, che viene
collegato normalmente al circuito mediante una zoccolatura a pressione.
CONFIGURAZIONE DEI PIN
BILANCIAMENTO
ING. INVERTENTE
ING. NON INVERT.
1
2
3
4
E-
8
7
6
5
SIMBOLO CIRCUITALE
SCOLLEGATO
E+
2
USCITA
ING. INVERTENTE
BILANCIAMENTO
ING. NON INVERT.
ING. INVERTENTE
ING. NON INVERT.
2
3
_
+
6
USCITA
Terra delle alimentazioni E
3
7
E+
_
6
+
4 -1
E
USCITA
5
AZZERAMENTO
OFFSET
46
Vcc
vo
saturazione positiva
vd
saturazione negativa
-Vcc
Caratteristica di trasferimento
Valori tipici
A
aperto
Ri
Ro
Vcc
105÷108 guadagno di tensione ad anello
106÷1013 Ω resistenza di ingresso
10÷100 Ω resistenza di uscita
5 ÷24 V ≅ E
Nella zona lineare (-10µV<vd< 10µV)
v0 = Avd
v d = v 2 − v1
vo = A ⋅ vd = A ⋅ (v2 −v1 )
v1
vd
v2
Ri
A·vd
Ro
vo
Circuito equivalente nella
regione lineare
Generatore di tensione
controllato in tensione
47
Amplificatore operazionale ideale
i1 = 0
v1 i2 = 0
_
vd
v2 = v1
+
vo
i1 = 0
i2 = 0
A=∞
v0

=
∞
⇒
R
=
=0
v
 i
d
A
R = 0
 o
vd = v2 − v1
v2 = v1
v0 non dipende da vd
Nella maggior parte delle applicazioni si considerano op
ideali nella regione lineare di funzionamento
48
_
io
Rete 2 porte
vd
+
i1 = 0
vo
i0 = ∀
i = 0


=
v
0
 d
v0 = ∀
Base di definizione: [ v0 ; i0] mista
NULLORE
i∞
i0
v0
0
∞
v∞
v 0 = 0

 i0 = 0
v∞ = ∀

 i∞ = ∀
uscita
La condizione di passività ∫t p(t ) ⋅ dt ≥ 0 non vale poiché l'integrando può
assumere qualunque segno
t
0
COMPONENTE ATTIVO
49
Le alimentazioni vengono spesso omesse negli schemi circuitali, ma l’op
deve sempre essere alimentato.
E+
ING. INVERTENTE
vd
ING. NON INVERT.
_
USCITA
+
io
vo
E-
vd Tensione differenziale
in
Quadripolo
LKC in=i0
Appare evidente che il collegamento di terra è essenziale
nell’operazionale. Senza di esso sarebbe violata la LKC. A volte per
semplicità tale collegamento potrebbe essere omesso ma è sempre
presente.
50
i1
M
v1 L1
i1
v1
Mutue induttanze
i2
L2 v2
M
L1 L2
i2
v2
Componente passivo non dissipativo
di1
di2

v
L
M
=
⋅
+
⋅
=0
1
12
 1
dt
dt

v2 = M 21 ⋅ di1 + L2 ⋅ di2 = 0

dt
dt
L1 , L2 ≥ 0
di1
Infatti se i2 = 0, v1 = L1 . (idem per L2 )
dt
In Regime stazionario
V = 0
⇒ 1
V2 = 0
I1
[H]
V1=0
I2
V2=0
51
Dal punto di vista energetico, la mutua induttanza è analoga ad un induttore.
i1
Φ
N1
Φd1
i2
Φd 2
 Φ1 = Φ + Φ d 1

Φ 2 = Φ + Φ d 2
Φ = G m (N1i1 + N 2i2 )

Φ d 1 = G d 1( N1i1 )
Φ = G (N i )
d2
2 2
 d2
⇒
N2
Φ
Φd1
Φd2
Φ1
Φ2
Flusso Principale
Flusso Disperso Primario
Flusso Disperso Secondario
Flusso Concatenato con una Spira Primaria
Flusso Concatenato con una Spira Secondaria
 Φ c1 = N1Φ + N1Φ d 1

Φ c 2 = N 2 Φ + N 2 Φ d 2
Gm permeanza del circuito magnetico
Gd1 permeanza costante (percorso in aria)
Gd2 permeanza costante (percorso in aria)
Φ c1 = N1G m ( N1i1 + N 2i2 ) + N1G d 1( N1i1 )

Φ c 2 = N 2G m ( N1i1 + N 2i2 ) + N 2G d 2 ( N 2i2 )
52
 L1 = N12 (G d 1+ G m )

2
=
L
N
 2
2 (G d 2 + G m )
M = N N G
1 2
m

⇒
Induttanza propria del circuito 1
Induttanza propria del circuito 2
Mutua induttanza
Φ c1 = L1 ⋅ i1 + M ⋅ i2

Φ c 2 = L2 ⋅ i2 + M ⋅ i1
Se siamo in condizioni dinamiche:
di1
di2
 dΦ c1
 dt = L1 ⋅ dt + M ⋅ dt
 dΦ
di
di
 c 2 = L2 ⋅ 2 + M ⋅ 1
dt
dt
 dt
⇒
di1
di2

v
L
M
=
⋅
+
⋅
1
1
dt
dt

di
di
v2 = L2 ⋅ 2 + M ⋅ 1
dt
dt

Si possono definire le induttanze di dispersione dei due circuiti.
Φ cd 1 = N1Φ d 1 = N12G d 1⋅ i1 = Ld 1 ⋅ i1

2
N
N
Φ
=
Φ
=
2 d2
2 G d 2⋅ i2 = Ld 2 ⋅ i2
 cd 2
 Ld 1 = N12G d 1
⇒ 
2
L
=
N
2 G d 53
2
 d2
± M?
Φd1
Φd2
Se avvolgiamo le dita
della mano destra intorno
alla bobina nel verso
della corrente, il flusso
generato dalla corrente
ha il verso indicato dal
pollice.
Φ12+ Φ21= Φ
I flussi prodotti dalle due correnti sono concordi: una corrente i2 crescente
produce un termine positivo nella tensione v1 (+M).
Dipende da come il filo è stato fisicamente avvolto nella due bobine.
Per non mostrare i dettagli costruttivi nella schema circuitale si ricorre alla
convenzione dei puntini.
54
Convenzione dei punti
Nel calcolo della tensione su un induttore, la caduta di
tensione provocata dalla corrente che scorre nell’altro è
concorde (+M) con quello provocato dalla corrente propria, se
le due correnti si trovano nella stessa posizione rispetto ai
suddetti punti (entrambe entranti o uscenti)
i1
v1
M
L1 L2
a) +M
i1
i2
v2
v1
M
L1 L2
b) +M
i1
i2
v2
v1
M
i1
i2
L1 L2
c) +M <
v2
v1
M
i2
L1 L2
v2
d) -M
LE MUTUE A 3 E 4 TERMINALI HANNO LE STESSE EQUAZIONI
55
M ≤ L1L2
Dim:
Hp:
componente PASSIVO NON DISSIPATIVO
M 12 ≠ M 21 ⇒ M 21 = M 12 + g
p(t ) = v1i1 + v2i2 =
d 1 2 1 2
di1

L
i
+
L
i
+
M
i
i
+
g
⋅
i
 11
2 2
12 1 2 
2
dt  2
2
dt

Per la condizione di non dissipatività':
∆ω1 + ∆ω 2 = 0 ⇒ ∫ p(t ) ⋅ dt = 0
∆w1 e ∆w2 devono dipendere solo dagli estremi →
p(t) deve essere un differenziale esatto →g = 0 → M12 = M21 = M
i2
A
l1
B
l2
i1
56
Infatti
∫ g ⋅ i2 di1 = 0
Lungo le l1 e l2
AREA A TRATTEGGIO SEMPLICE
∫ g ⋅ i2 di1
assume valori differenti.
Per la condizione di passività
ω=
1
[i1
2
∫
t
−∞
p(t )dt ≥ 0
 L1
i2 ]
M
∀t
1 2
1 2
⇒ L1i1 + Mi1i2 + L2i2 ≥ 0 ∀t ⇒
2
2
M   i1 
≥0



L2  i2 
FORMA QUADRATICA SEMIDEFINITA POSITIVA → MINORI ≥ 0 →
L1 ≥ 0
L2 ≥ 0
L1 L2 -M2 ≥ 0
57
k=
M
L1L2
COEFFICIENTE DI ACCOPPIAMENTO ( 0 ≤ k ≤ 1)
Se k = o (disaccoppiamento)
Se k = 1 (accoppiamento stretto – avvolgimenti quanto più possibile vicini):
M = L1L2
di1
di2

=
+
v
L
L
L
1
1 2
 1
dt
dt

v2 = L1L2 di1 + L2 di2

dt
dt
di1
di2

v
L
L
L
=
+
1
1 2
 1
dt
dt
⇒ 
L
di
di
 1 v2 = L1 1 + L1L2 2
dt
dt
 L2
⇒ v1 =
L1
⋅ v2 = n ⋅ v2
L2
Non è possibile imporre arbitrariamente v1 e v2 la mutua induttanza non è definita su base tensione in
caso di accoppiamento stretto
58
Basso
accoppiamento
Accoppiamento
stretto
Trasformatore di potenza
Trasformatori audio
59