Matematica per SS1G-Biennio SS2G ENIGMA DEI NUMERI PRIMI

L’ENIGMA
DEI
NUMERI PRIMI
Luce Clara
I.S.I.S. “A. TILGHER”
ERCOLANO (NA)
Visione del filmato
L’ENIGMA DEI NUMERI
PRIMI
Il breve filmato è tratto (circa 7 minuti ) dal
–ENIGMA DEI NUMERI PRIMI- Marcus du Sautoy
Distribuito da: Cinehollywood - Digital Adventure
Data pubblicazione: Marzo 2010 Durata: 78 m
il link per visualizzare il filmato:
http://youtu.be/ AQr7puF82A
http://youtu.be/_AQr7puF82A
Luce Clara
2
DESTINATARI: Il lavoro vuole essere uno spunto di riflessione per le classi 2/3
della SS1G e per il biennio della SS2G
Gli alunni dovrebbero saper calcolare il
più numeri
M.C.D. e il m.c.m. fra due o p
mediante la scomposizione in fattori primi
e conoscere il concetto di numero primo
Il filmato illustra molto bene il concetto di numero primo e
scomposizione, per cui si può procedere anche ad una visione del
filmato e poi ad una sistematizzazione dei concetti suindicati
Luce Clara
3
INDICE
Le cicale conoscono la matematica
Le
cicale conoscono la matematica
Un numero ripetuto: sempre multiplo di 7,11,13
p
p
p
, ,
Il mistero dei numeri primi
Il i ll di E t t
Il crivello di Eratostene
Un rompicapo
Un rompicapo
Un numero è primo? WILSON e FERMAT
M.C.D e m.c.m:problemi
Diap
Diapp
Diap
Di
Diap
Diap
Diap
Diap
5
8
10
15
20
24
27
Luce Clara
4
1,2,3,5,7,11,13,17,19,23…..
Le cicale
conoscono la
matematica, cioè
conoscono i
numerii primi
i i
Luce Clara
5
Le cicale americane Magicicada
g
tredecim e
Magicicada septendecim vivono in gruppi
geograficamente ben distinti, condividendo lo
stesso periodo di latenza, rispettivamente di 13 e
17 anni, per poi uscire dal sottosuolo per
accoppiarsi, deporre le uova ed infine morire. Non
sembra un caso che tali cicli vitali siano
rappresentati da sue numeri primi.
Perché?
Scopo delle cicale è:
diminuire notevolmente la possibilità di ibridazione con il conseguente
indebolimento della specie
evitare
it
di d
dover competere
t
per lle stesse
t
risorse
i
ambientali
bi t li
Se consideriamo due cicli di n e m anni, che iniziano nello stesso momento,
essi si ritroveranno a coincidere ogni numero di anni uguale al
_______________________ di n e m. Per esempio, se n=4 e m=6, ogni
___________ anni l’inzio dei due cicli vitali combacerà.
Nel caso in cui n e m siano numeri primi fra loro (e nel caso delle
cicale
i l è ciò
iò che
h avviene
i
essendo
d id
due cicli
i li vitali
it li numerii primi
i i
saranno in particolare primi fra loro), tali coincidenze si verificano
solo una volta ogni ______ anni. Per i due tipi di cicale americane
questo accade ogni _____=___ anni.
Osserviamo che con cicli entrambi più lunghi, ma non primi fra loro,
la frequenza delle coincidenze potrebbe aumentare: per esempio
con cicli di 15 e 18 anni l’incontro avverrebbe ogni _______.
Il fatto che, oltre ad essere primi tra loro, 13 e 17 siano anche
singolarmente due numeri primi, riduce al minimo anche la
frequenza degli incontri con eventuali predatori che abbiano cicli
vitali più brevi
I due tipi di cicale americane con cicli di 13 e 17 anni si
incontrano ogni
g _________=______
Luce Clara
7
Scrivete un numero di tre cifre
e poi scrivete ancora queste
cifre nello stesso ordine.
“E’ divisibile per 7 ?
“E’divisibile
E divisibile per 11?
E’divisibile per 13?
Sai spiegare
p g
p
perché?
Luce Clara
8
Ciò che
h sii verifica
ifi ffacilmente
il
è
che un numero così costruito è
sempre multiplo di 7, 11, 13 in
quanto
t non faremo
f
altro
lt che
h
moltiplicare
p
il numero di p
partenza
per 1000 + 1 = 1001 multiplo di 7,
11 13
11,
13. Infatti:
235235 = 235·1000 + 235 = 235·
(1000 + 1) = 235·1001 =
235 7 11 13
235·7·11·13
Luce Clara
9
Il matematico
t
ti Marcus
M
du
d S
Sautoy
t parla
l
delle cicale e altre curiosità legate ai
numerii primi
i i nell lib
libro The
Th M
Music
i off the
th
Primes (in italiano edito col titolo
L’ i
L’enigma
dei
d i numerii primi)…
i i)
Determinare i numeri primi
primi… tutti
tutti… è possibile?
Quanti sono?Secondo voi esiste un modo per
determinare tutti i numeri primi?
Riuscite a trovare una formula che g
generi i
numeri di questo elenco che vi dica qual è il
centesimo numero primo?
Luce Clara
10
Al primo problema già Euclide nel III secolo a.C. aveva
trovato risposta e, come si legge nei suoi Elementi
aveva dimostrato che i numeri primi sono infiniti.
Il secondo p
problema,, relativo alla determinazione di tutti i
numeri primi mediante una particolare formula, affligge
invece la mente dei matematici da secoli, la successione
dei numeri primi rappresenta, infatti, fin dall'antica Grecia
uno dei misteri più affascinanti della scienza: c'è un ordine
prevedibile nella serie dei numeri primi? Nonostante più di
duemila anni di sforzi, i numeri primi sembrano vanificare
ogni tentativo di inserirli in un semplice schema regolare.
Luce Clara
11
• Nel 1859 il matematico tedesco Bernard Riemann,
presentò, in un articolo intitolato "Sul numero dei primi
minori di una certa grandezza"
grandezza", una sua ipotesi per
arrivare a comprendere l'armonia che si nasconde nel
pp
della successione dei numeri p
primi,,
caos apparente
numeri.
• L'ipotesi avrebbe permesso di "trovare una formula per
generare l'elenco
l' l
d
deii numerii primi”.
i i” È improbabile
i
b bil che
h
Riemann abbia risolto la congettura che porta il suo
nome,, non avendo lui pubblicato
p
mai una dimostrazione.
purtroppo parte delle sue carte furono distrutte dopo la
sua morte da una troppo zelante domestica; non
possiamo quindi sapere per certo se egli avesse solo
impostato o risolto il problema.
Luce Clara
12
• Da un secolo e mezzo dunque, l'ipotesi di
Riemann ossessiona i matematici, e
oggi chi riuscisse a dimostrarla vincerebbe
un premio da un milione di dollari!
• Cogliere un ordine nella loro sequenza,
trovare una regola che permetta di
stabilire quale sia, ad esempio, il
miliardesimo numero primo
primo, avrebbe
implicazioni ricadute sulle applicazioni
informatiche odierne e future
future.
Luce Clara
13
In particolare il mondo della finanza
sarebbe in pericolo
P questo
Per
t approfondimento
f di
t sii rimanda
i
d alla
ll parte
t
seconda di questa lezione ma…
Per capire il perché:
quando facciamo un acquisto e paghiamo con la carta di credito, la
nostra transazione è messa in sicurezza proprio grazie all’utilizzo di
numeri primi.
primi In particolare,
particolare ll’azienda
azienda ci invia due numeri molto
grandi, uno dei quali è dato dalla moltiplicazione di due numeri primi
essi stessi di molte cifre (circa 60), con cui “occultare” il nostro
numero di carta di credito.
credito Grazie poi ad un altro numero conosciuto
solo dall’azienda, l’azienda stessa può risalire al numero originale
della carta. La sicurezza di questo metodo sta tutta nel fatto che
moltiplicare due numeri primi è facile, ma è molto difficile scomporre
in fattori un numero grandissimo, per numeri così grandi, quindi è
altamente improbabile che un hacker possa risalire ai due numeri
primi utilizzati dall’azienda
p
Luce Clara
14
Già nel III sec. a.C. Eratostene
da Cirene determinò un
procedimento, detto crivello
di Eratostene per
determinare tutti i numeri
primi minori di un prefissano
numero.
numero
Crivello significa setaccio,
Il metodo infatti consiste nell’eliminare progressivamente,
come facendoli passare attraverso un setaccio, tutti i
numeri composti,
composti ovvero i numeri che oltre ad essere
divisibili per 1 e per se stessi,
Luce Clara
15
Si scrivono i numeri
fino a N in ordine
crescente,si elimina
l'uno e, dopo il 2, tutti i
numeri pari perché
multipli di 2. A partire
dal 3 si eliminano
successivamente tutti
i multipli di 3 (cioè un
numero ognii ttre).
) D
Dopo
il 3 si incontra il 5 e si
eliminano quindi tutti
i multipli di 5(cioè un
numero ogni 5) e così
via finchè non sono
stati eliminati tutti i
numeri composti
Luce Clara
16
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/
b9/Si
b9/Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif
f E t th
i ti
if
Applicazione del crivello di Eratostene per trovare i
numeri primi minori o uguali a 120.
Luce Clara
17
Luce Clara
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Luce Clara
19
UN
ROMPICAPO
Luce Clara
20
Due amici matematici, il Signor ALDO e il Signora ANDREA, si
incontrano dopo molto tempo.
tempo
Quanti figli hai?
"Ho tre figli e non ti dico quanti anni hanno
ma sappi
pp che moltiplicando
p
le loro età si
ottiene 36 e sommandole si ottiene il
numero civico del portone di fronte al
quale siamo ora fermi."
Non mi hai dato sufficienti
i f
informazioni.!
i i!
E' vero! Ti dico allora
che la maggiore ha dei
bellissimi occhi verdi.
Luce Clara
QUAL’E’ L’ETA’ DEI TRE FIGLI?
21
Se il prodotto delle tre età è 36, si possono presentare i
seguenti casi:
(36= 22·32)
a. 36=1·1·36 e la somma delle età vale 38
b. 36 =1·2·18 e la somma delle età vale 21
c. 36 = 1·3·12 e la somma delle età vale 16
d. 36 =1·4·9 e la somma delle età vale 14
e. 36 =1·6·6 e la somma delle età vale 13
f. 36 =2·2·9 e la somma delle età vale 13
g. 36 =2·3·6 e la somma delle età vale 11
h. 36 =3·3·4 e la somma delle età vale 10
Luce Clara
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SOLUZIONE
Poiché
P
i hé ALDO di
dice che
h sino
i a questo
t punto
t lle informazioni
i f
i i
non sono sufficienti, significa che, poiché lui conosce il
valore della somma
somma, è in un caso di incertezza
incertezza.
Tale caso può essere dato solo dalle ipotesi
e) ed f). (La somma delle età è in entrambi i casi uguale a 13)
e.
f
f.
36 =1·6·6 e la somma delle età vale 13
36
6 =2·2·9 e la
l somma delle
d ll età
tà vale
l 13
L'esistenza
L
esistenza di un figlio maggiore porta a concludere che le età
dei figli del Signor ANDREA sono 2,2,9.
Luce Clara
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UN APPROFONDIMENTO: WILSON
E FERMAT, PER CAPIRE SE UN
NUMERO È PRIMO…
PRIMO
Per capire se un numero è primo, oltre al
f
famoso
crivello
i ll di E
Eratostene
t t
sii può
ò
applicare anche il famoso
Teorema di Wilson
E
Il Piccolo Teorema di Fermat
Luce Clara
24
Teorema di Wilson1
• "n è primo se e solo se n divide (n-1)! + 1".
Per esempio 7 è primo perché divide 6! +
1 = 721.
721
Wilson, Sir John. - Giudice e avvocato (Applethwaite, Westmorland, 1741 Kendal 1793); studiò al Peterhouse College di Cambridge. Sotto l'influenza
del matematico E. Waring compì studî sulla teoria dei numeri
Luce Clara
25
Il Piccolo Teorema di Fermat
Sia m un intero positivo qualsiasi. Se p è
primo che non divide m,, allora
un numero p
p divide mp-1 - 1.
Per esempio 17 divide 65535 = 216 – 1.
Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, 17 agosto 1601[1] – Castres, 12 gennaio 1665)
è stato
t t un matematico
t
ti e magistrato
i t t francese.
f
Fu tra i principali matematici della prima metà del XVII secolo e dette importanti contributi
allo sviluppo della matematica moderna
Luce Clara
26
MCD
M.C.D
m
m.c.m
cm
PROBLEMI
Luce Clara
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UN PROBLEMA per IL MAÎTRE DI SALA AL RISTORANTE
Un ristorante deve ospitare un gruppo di fan della saga
“Il signore degli anelli” il gruppo è composto
40 persone
Hanno più di 41 anni
30 persone
Hanno un’età compresa tra i 31 e 40 anni
20 persone
Hanno un’età compresa tra i 20 e i 30 anni
Bisogna organizzare i tavoli in modo che ad ogni tavolo ci sia un numero
uguale di appartenenti alle tre fasce di età.
Ogni tavolo può essere apparecchiato al massimo per 10 persone
Quanti tavoli uguali tra loro?
Q l sarà
Quale
à la
l loro
l
composizione(come
i i
(
saranno distribuiti
di ib i i i
commensali)?
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Per risolverlo? MCD
Bisogna trovare un
divisore
comune a tutti i
numeri dati, il più
grande possibile.
g
p
20=22·5
30=2 ·3 ·5
40 23 ·5
40=2
5
MCD=5
SI FORMERANNO 5 TAVOLI. AD OGNI TAVOLO SI ACCOMODERANNO:
20:5=4 persone di età compresa tra i 20 e i 30 anni
30:5=6 persone di età compresa tra i 31 e i 40 anni
40:5=8 persone che hanno più di 41 anni
Altro problema : i tavoli possono ospitare al massimo 10 persone!
2 persone di età compresa tra i 20 e i 30 anni
3 persone di età compresa tra i 31 e i 40 anni
4 persone che hanno più di 41 anni
Luce Clara
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UN PROBLEMA PER IL PROPRIETARIO
DI UNA SCUOLA DI BALLO
In una scuola di ballo ci sono molte sale, ma solo due sale sono
abbastanza grandi per fare le prove per le gare.
PROVANO PER LE GARE TRE GRUPPI:
Ogni
g 15 g
giorni il g
gruppo
pp del tango
g
Ogni 18 giorni il gruppo del ballo latino americano
Ogni 10 giorni il gruppo del ballo hip hop
Si incontreranno i tre gruppi?
Quando?
Luce Clara
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Per risolverlo? m.c.m
Bisogna trovare un
multiplo comune a
tutti i numeri dati, il
più piccolo possibile
15 3 5
15=3·5
18=2·32
10=2·5
mcm=2·3
mcm
2 32·5
5=90
90
I TRE GRUPPI SI
CO
O OGNI
OG 90
INCONTRERANNO
GIORNI
Luce Clara
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