raccolta di temi d`esame

Università degli Studi di Genova
Facoltà di Scienze M.F.N.
Corso di laurea in Fisica
LABORATORIO 1-B
Esercizi
Anno Accademico 2006 - 2007
PARTE I: DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ
1. Due amici giocano a bocce. In media il primo boccia bene 3 volte su 5, il secondo 4 volte
su 5. Se effettuano 2 tiri ciascuno, calcolare la probabilità:
a) Che il primo faccia più bocciate buone del secondo.
b) Che la sfida finisca pari.
2. In un casello autostradale passano 300 auto in un ora.
a) Qual è la probabilità di non avere nessuna auto per 30 secondi?
b) Osservando il traffico durante un’ora per intervalli di 30 secondi si rimane stupiti se
si trovano 10 intervalli con meno di una macchina? (Giustificare la risposta).
3. Undici amici in campeggio assieme per 8 giorni decidono di sorteggiare ogni giorno tra loro
chi deve lavare i piatti. Mettono 11 biglietti con i loro nomi in un cappello, li mescolano
bene, ne estraggono uno (il nome scritto sul biglietto è quello di chi laverà i piatti quel
giorno!) e lo rimettono nel cappello. Cosı̀ via per tutti i giorni del campeggio.
a) Che probabilità ha Carlo, uno degli 11 amici, di lavare i piatti per 3 volte?
b) Se a Carlo capita di non lavare mai i piatti, si può giudicare strano questo fatto?
4. Si conosce che sulle strade di una certa regione accadono, in media, 10 incidenti all’ ora.
a) Quanti incidenti ci si aspetta di avere in 10 minuti?
b) Qual è la probabilità di non avere nessun incidente in 10 minuti?
5. Se il peso medio delle persone in un condominio è di 68 kg con una deviazione standard
di 6 kg, trovare:
a) Qual è la probabilità che presa una persona a caso questa pesi tra 70 ed 80 Kg?
b) Se il condominio possiede un ascensore che trasporta 4 persone e può sopportare un
peso massimo di 300 Kg, calcolare la probabilità che l’ascensore vada in sovrappeso.
6. Giocando a freccette la probabilità di colpire il bersaglio ad occhi chiusi è pari a 1/4.
a) Se si tenta 7 volte, qual è la probabilità di colpirlo almeno 2 volte?
b) Quante volte devo tentare perchè la probabilità di colpirlo almeno una volta sia
maggiore di 2/3?
7. Un certo pezzo meccanico viene fabbricato utilizzando un tornio elettronico che produce
un pezzo difettoso ogni 200. I pezzi prodotti vengono confezionati in scatole da 50 pezzi
che, a loro volta, sono imballate in cartoni di 100 scatole. Si determini:
a) la probabilità che in una scatola da 50 pezzi sia contenuto, al più, un pezzo difettoso.
b) la probabilità che 97 scatole di un cartone contengano ciascuna, al più, un pezzo
difettoso.
8. Trovare la probabilità che, lanciando due dadi contemporaneamente per 5 volte, si presenti
dopo ogni lancio un punteggio complessivo maggiore di 8
a) esattamente 3 volte.
b) per almeno 3 volte.
9. La probabilità che un componente di un apparato duri più di t ore è data da P (t∗ ) =
∞
−t/k dt = e−t∗ /k , con k = 1500 ore.
t∗ (1/k)e
a) Calcolare la probabilità che un componente si guasti entro (cioè duri al masssimo fino
a) t∗ = 2000 ore;
b) Nell’ipotesi che l’apparato contenga 3 di questi componenti e che la rottura di uno di
essi non dipenda da quella degli altri, determinare la probabilità che un componente
si guasti entro le prime t0 = 1800 ore, un altro nelle successive t0 ore ed il rimanente
dopo più di 2 · t0 ore.
10. Si gettano simultaneamente 4 monete. Si calcoli:
a) la distribuzione di probabilità delle teste rappresentadola graficamente utilizzando un
diagramma a barre;
b) la probabilità di ottenere almeno 3 teste.
11. Se un’agenzia immobiliare vende in media 3 appartamenti alla settimana, qual è la probabilità di venderne:
a) esattamente 9 in tre settimane;
b) meno di 2 in tre settimane.
12. Un’azienda ortofrutticola misura la lunghezza della sua produzione di peperoncini. L’istogramma che se ne ricava è ben descritto da una distribuzione normale con media μ =
9.60 cm e varianza σ 2 = 4.41 cm2 . Calcolare:
a) la percentuale dei peperoncini con lunghezza compresa tra μ − 0.50σ e μ + 1.54σ;
b) il numero dei peperoncini con lunghezza compresa tra x1 = 9.00 cm e x2 = 10.00 cm,
sapendo che il valore massimo della distribuzione vale 1150.
13. Dei bigliettini con i nomi, tutti differenti, di undici amici vengono posti, ben mescolati, in
un cappello. Si estrae un bigliettino, si legge il nome e lo si rimette nel cappello.
a) Dopo 8 estrazioni qual è la probabilità di avere estratto il nome di Ottavio esattamente
2 volte?
b) Quante volte, e con che varianza, ci si aspetta di estrarlo su 80 estrazioni?
14. Una bozza di stampa di 500 pagine contiene complessivamente 50 errori casualmente distribuiti nell’insieme delle pagine. Il correttore di bozze comincia a leggerla; calcolare la
probabilità che:
a) il primo errore si trovi nelle prime 5 pagine.
b) il secondo errore si trovi dopo le prime 15 pagine.
15. In accordo con una rilevazione statistica, il numero di casi di annegamento in una città di
mare con un milione di abitanti è di 3 annegamenti/anno. Considerando una città costiera
con 200000 abitanti, qual è la probabilità che avvengano
a) meno di 3 annegamenti/anno;
b) tra 4 ed 8 annegamenti/anno.
16. Un’accurata indagine ha stabilito che un principiante ha una probabilità dell’80% di superare l’esame per ottenere la patente di guida. Supponendo che tutti i tentativi dei
principianti siano indipendenti, determinare:
a) la probabilità che un principiante non passi l’esame in due tentativi;
b) dopo quanti tentativi ci si aspetta che la probabilità di non passare l’esame sia minore
dello 0.1%.
17. Un assicuratore assicura 10 persone tutte della stessa età ed in buona salute. Secondo i
dati rilevati dall’assicurazione la probabilità che una di queste persone sopravviva 30 anni
dal momento della stipulazione della polizza di assicurazione è pari a 2/3. Determinare la
probabilità che, nei 30 anni presi in considerazione:
a) tutti i 10 assicurati siano ancora viventi;
b) almeno quattro di essi lo siano.
18. Un test di esame è composto da 10 quesiti ciascuno avente cinque risposte. Una di queste
è corretta (e le viene attribuito un punteggio +3), tre sono errate ma non penalizzate
(punteggio 0), una è errata e penalizzata (punteggio -1). Uno studente impreparato segna
tutte le risposte in modo completamente casuale.
a) Quale punteggio può sperare di ottenere operando in questo modo?
b) Qual è la probabilità che egli ha di superare il test se per superarlo occorre ottenere
almeno 7 risposte esatte, indipendentemente dal punteggio delle rimanenti?
19. Si consideri una variabile aleatoria X che risulta essere minore di 3 nel 10% dei casi e
maggiore di 15 nel 6% dei casi. Se la distribuzione di probabilità per questa variabile può
essere assunta gaussiana, determinare:
a) la media e la varianza della distribuzione;
b) quante volte, ci si aspetta, in media, di trovare X con un valore compreso tra 5 e 10
su 100 prove.
20. Una macchina fabbrica portasigarette di forma cilindrica con coperchio. I diametri della
scatola e del coperchio sono, rispettivamente, d = (78.0 ± 1.0)mm e D = (80.0 ± 1.0)mm
e seguono la distribuzione normale.
a) Scegliendo 1000 volte, a caso, una scatola ed un coperchio, quanti coperchi non si
adatteranno, in media, alla propria scatola?
b) Qual è la probabilità che su 20 coperchi tutti si adattino alla scatola corrispondente?
21. Le bustine di lievito vanigliato da 16 g vengono prodotte meccanicamente e si può pensare
che la distribuzione del peso del loro contenuto sia bene espressa da una distribuzione di
Gauss. Per legge è stabilito che il contenuto minimo di una bustina non debba essere
inferiore, al massimo, dell’1% del valore nominale.
a) Quale deve essere la deviazione standard del peso delle bustine per avere un rigetto
della produzione inferiore del 2%?
b) Se la deviazione standard s fosse uguale a 1 g, su 5000 bustine quante sarebbero le
bustine fuorilegge?
22. Da numerose indagini demoscopiche la popolazione di una regione risulta composta per il
53% da donne e per il 47% da uomini. Esaminando un campione di 321 persone di quella
regione che si iscrivono ad un concorso di pari interesse per i due sessi, determinare:
a) il numero previsto di maschi ( col suo errore);
b) la probabilità che vi siano più del 57% di donne;
c) la probabilità che vi siano 164 donne.
23. Alle elezioni un candidato riceve il 40% dei voti. Si vuole conoscere la probabilità con cui
un sondaggio di opinione su un gruppo di elettori, scelti a caso, avrebbe fatto prevedere
la maggioranza assoluta (il 50% dei voti più uno) per quel candidato. Considerate due
eventualità:
a) il gruppo campione sia formato da 100 elettori;
b) il gruppo campione sia formato da 300 elettori.
24. Un certo macchinario produce mine per matite. Il diametro delle mine è distribuito normalmente con valor medio μ = 0.500mm e deviazione standard σ = 0.005 mm. Sapendo
che la tolleranza massima ammessa nello scarto del valor medio è t = 0.008 mm
a) qual è la percentuale di mine che vengono scartate?
b) Quante mine occorre produrre per avere in media una partita di 1000 mine buone?
25. Trovare la varianza ed il valor medio della variabile aleatoria X sapendo che:
a) la sua densità di probabilità è:
A
f (x) = √
x
per 0 < x ≤ 1, 0 altrimenti
b) la sua densità di probabilità è:
f (x) = Bx(1 − x)
per 0 ≤ x ≤ 1, 0 altrimenti
c) È più probabile trovare la variabile aleatoria X tra 0.5 ed 1 nel caso a) o nel caso b)?
Parte I: Risposte
1.
a) p =93/625 (15%)
b) p = 244/625 (39%)
2.
a) p = 0.082 (8%)
b) No perchè ci aspettiamo un numero medio di intervalli di 30 s con zero macchine pari
a (10 ± 3)
3.
a) p = 0.026 (2.6%
b) Una persona lava mediamente i piatti per (0.7 ± 0.8) giorni, quindi non deve stupire
il fatto che Carlo non lavi mai i piatti. Inoltre P (0) = 0.47 > P (1) = 0.37
4.
a) N = (1.7 ± 1.3) incidenti; ci si aspetta quindi di avere da 1 a 3 incidenti ogni 10
minuti.
b) p(0) = 0.189 (19%)
5.
a) p = 0.3479 (35%)
b) p = 0.0099 (1%)
6.
a) p(≥ 2) = 0.556 (56%)
b) n ≥ 4
7.
a) p = 0.9735 (97%)
b) p = 0.2223 (22%)
8.
a) p(3) = 0.112 (11%)
b) p(≥ 3) = 0.135 (13.5%)
9.
a) p = 0.736 (74%)
b) p = 0.079 (8%)
10.
a) B(0) = B(4) = 0.0625 (6%); B(1) = B(3) = 0.250 (25%); B(2) = 0.375 (38%)
b) B(≥ 3) = 0.3125 (31%)
11.
a) p = 0.13 (13%)
b) p = 0.123 · 10−3 (0.1%)
12.
a) p = 0.6297 (63%)
b) N = 1147
13.
a) B(2; 8, 1/11) = 0.1306 (13%)
b) x = 7.27, σ 2 = 6.61 e quindi x = (7 ± 3) volte.
14.
a) p = 0.39 (39%)
b) p = 0.557 (56%)
15.
a) p(k < 3) = 0.9767 (98%)
b) p(4 ≤ K ≤ 8) = 3.35 · 10−3 (0.3%)
16.
a) B(0; 2, 0.8) = 0.04 (4%)
b) N > 4.29 cioè N ≥ 5
17.
a) p = 0.0173 (1.7%)
b) p = 0.9803 (98%)
18.
a) N = 4
b) p = 8.64 · 10−4
19.
a) μ = 8.43, σ 2 = 17.72
b) n = 43.7
20.
a) N = 79.3 (circa 80 coperchi)
b) p = 0.19 (19%)
21.
a) σ = 0.078g
b) N = 2182
22.
a) Nmaschi = (151 ± 9)
b) p = 0.075 (7.5%)
c) p = 0.0351 (3.5%)
23.
a) p = 0.0125 (1.2%)
b) p = 0.0001 (0.01%)
24.
a) p = 0.1096 (11%)
b) almeno 1124 mine.
25.
4
a) E(x) = 13 ; V (x) = 45
1
1
b) E(x) = 2 ; V (x) = 20
c) Pa = 0.29 Pb = 0.5: più probabile nel caso b.
PARTE II: STATISTICA
1. Quattro monete vengono lanciate contemporaneamente per 400 volte. Il numero di teste
ottenute è cosı̀ ripartito: 0 = 20 volte, 1 = 72 volte, 2 = 168 volte, 3 = 108 volte, 4 = 32
volte.
a) Qual è il miglior valore sperimentale, col suo errore, del numero di teste ottenute in
un lancio?
b) Quali sono i migliori valori teorici aspettati per il numero di teste e a che livello di
fiducia si può affermare che essi corrispondano ai dati sperimentali?
2. Una ditta costruisce circuiti elettronici differenti.
a) Sottoposto a controllo il 7.5% di tali circuiti è risultato difettoso. Il sistema di produzione dei circuiti elettronici è stato allora modificato e controllandone 80, ben 78
sono risultati perfetti. Si può affermare, al 5% di livello di significatività, che il
processo di produzione sia stato effettivamente migliorato?
b) Con questo secondo metodo vengono costruiti 2400 apparati con 40 circuiti elettronici
ciascuno, quanti ne scarterò perchè hanno più di 4 circuiti difettosi?
3. In uno stabilimento è stata fatta un’analisi per verificare l’affidabilità di certi apparati.
Su 432 esaminati 223 non presentano alcun difetto, 142 ne hanno 1, 48 ne hanno 2, 15 ne
hanno 3 e solo 4 ne presentano 4 o più.
a) Questi difetti possono essere considerati come eventi rari?
b) Se 1 difetto è ancora accettabile ma 2 rendono l’apparato del tutto inaffidabile, quanti
ne devono essere tenuti in stock per averne, in media, 500 funzionanti?
4. Da un’analisi effettuata in una città su un campione di 550 studenti di una scuola superiore,
si è ricavato che 134 di essi sono fumatori.
a) Qual è la migliore stima percentuale che si può dare al numero di studenti fumatori
della popolazione scolastica dell’intera città?
b) Al livello di significatività del 5% si può affermare che questo campione sia in accordo
con una statistica nazionale che fissa il rapporto di 2 a 5 tra fumatori e non fumatori
nella popolazione studentesca?
5. Due campioni estratti da due differenti partite di mozzarelle hanno dato i seguenti risultati. Campione A: 40 mozzarelle, peso medio mA = 74g, deviazione standard sA = 8g;
Campione B: 50 mozzarelle, peso medio mB = 78g, deviazione standard sB = 7g.
a) Al livello di significatività dell’1% la diversità di peso del campione A rispetto al
campione B è indice di una differenza di peso delle due partite?
b) Quanto vale il valor medio da mettere sull’ etichetta delle mozzarelle in base ai due
campioni effettuati?
6. Si prendano in esame due campioni di radio-televisori. Su 1000 apparecchi esaminati del
campione A, 3 hanno denotato qualche imperfezione di costruzione; su 500 esaminati del
campione B, 4 hanno denotato qualche imperfezione costruttiva.
a) Al livello di significatività del 5% si può affermare che i due campioni sono equivalenti
tra loro?
b) Prendendo 180 televisori a caso tra i 1500, quanti se ne aspettano di trovare con
qualche imperfezione di costruzione?
7. Per accettare l’ipotesi che una moneta sia onesta si usa la seguente procedura: si lancia
la moneta 100 volte. Se il numero di teste è compreso tra 40 e 60 la moneta è accettata
come onesta.
a) Con quale livello di significatività si accetta l’ ipotesi?
b) Quali devono essere, per lo stesso livello di significatività, i limiti entro cui si accetta
l’ ipotesi nel caso si lanci la moneta 10000 volte?
8. Una società produttrice di pile afferma che il suo prodotto dura, in media, 16 ore. Preso
un campione di 100 pile a caso, si è trovato un valor medio di durata di 15.7 ore con
deviazione standard 1.2 ore. Al livello di significatività del 5% e dell’1% stabilire se:
a) la società può legittimamente fare l’ affermazione suddetta;
b) c’è evidenza per una effettiva durata inferiore delle pile del campione rispetto a quelle
della popolazione.
9. Dopo un’accurata indagine condotta per molti anni una fabbrica di automobili ha stabilito
le seguenti percentuali di auto con difetti di costruzione: 0 difetti = 45%, 1 = 20%, 2 =
15%, 3 = 10%, 4 = 8%, 5 = 2%. Dopo aver modificato il processo di costruzione la fabbrica
esamina un campione di 200 auto e trova che i difetti di costruzione sono distribuiti in
modo seguente: 0 difetti = 110 auto, 1 = 35 auto, 2 = 25 auto, 3 = 16 auto, 4 = 12 auto,
5 = 2 auto. Al livello di significatività del 5% è possibile affermare:
a) che la distribuzione della probabilità dei difetti del campione sia una poissoniana?
b) che il processo di costruzione sia cambiato?
10. Due fabbriche, Albatros e Beccaccia, utilizzano due differenti tipi di macchinari per produrre un certo componente per fucili da caccia. Un campione casuale di 200 componenti
prodotti dalla fabbrica Albatros ne contiene 19 difettosi mentre un campione di 100 componenti prodotti dalla fabbrica Beccaccia ne ha solo 5 difettosi. Ad un livello di significatività
del 5% si può affermare:
a) che i macchinari adottati dalle due fabbriche abbiano diverso rendimento?
b) che il rendimento della fabbrica Beccaccia sia migliore di quello della fabbrica Albatros?
11. La frequenza dei risultati, raggruppati in classi, di un esperimento in cui si misura una
variabile casuale X sono: 13 dati per x compreso tra 20 e 45, 13 dati tra 45 e 60, 8 dati
tra 60 e 70, 6 dati tra 70 e 80, 11 dati tra 80 e 90, 19 dati tra 90 e 120. Data una funzione
f(x) definita come f(x) = K per 20 ≤ x ≤ 120 e f(x) = 0 altrove:
a) determinare il coefficiente K in modo che f(x) divenga una funzione densità di probabilità.
b) Si verifichi al livello di significatività del 5% se è accettabile l’ipotesi che la variabile
casuale dalla quale proviene il campione sperimentale abbia la funzione di densità
suddetta.
12. La seguente tabella indica il numero di imperfezioni del tessuto riscontrate, in un dato
periodo di tempo, in un processo di fabbricazione di vestiti di seta: 0 imperfezioni in 20
vestiti, 1 imperfezioni in 66 vestiti, 2 imperfezioni in 55 vestiti, 3 imperfezioni in 38 vestiti,
4 imperfezioni in 15 vestiti, 5 (o più) imperfezioni in 6 vestiti.
a) Si può affermare, a un livello di significatività del 5%, che la presenza di imperfezioni
in un indumento costituisca un evento raro?
b) Quante imperfezioni per vestito ci si aspetta? Con quale indeterminazione?
13. Da un’urna contenente 8 palline vengono eseguite 70 estrazioni di blocchi di 4 palline
ciascuna. Sapendo che non sono mai stati estratti blocchi con 0 palline bianche, 6 volte
sono stati estratti blocchi con 1 pallina bianca, 35 volte blocchi con 2 palline bianche, 27
volte blocchi con 3 palline bianche, 2 volte blocchi con 4 palline bianche;
a) verificare, al livello di significatività del 10%, l’ipotesi che l’urna contenga 5 palline
bianche.
b) Calcolare, sempre nell’ipotesi del punto a), il valore atteso di palline bianche per ogni
estrazione e la corrispondente deviazione standard.
14. Da una popolazione di media μ = 50 e deviazione standard σ = 30 vengono estratti due
campioni di N1 = 25 ed N2 = 35 elementi.
a) Qual è la media e la deviazione standard della distribuzione campionaria delle medie
per ciascuno dei due campioni?
b) Qual è la media e la deviazione standard della distribuzione campionaria della somma
e della differenza delle medie?
15. Un’urna contiene innumerevoli palline di colore rosso o verde. Si estraggono a sorte 300
palline rimettendole ogni volta nell’urna. Facciamo l’ipotesi che ci siano due palline rosse
per ogni pallina verde e che l’ipotesi venga accettata se il numero di palline verdi estratte
è nel range tra 90 e 110.
a) Calcolare la probabilità di un errore di tipo I, cioè il suo livello di significatività.
b) Nell’urna ci sono invece tre palline rosse per ogni due palline verdi. Qual è la probabilità di accettare l’ipotesi di due palline rosse per ogni pallina verde quando invece
dovrebbe essere rigettata (errore di II tipo)?
16. Un campione casuale di 100 lampadine del tipo A ha una durata media xA = 980h con
deviazione standard sA = 80h. Un analogo campione di lampadine del tipo B ha una
durata media xB = 1010h con sB = 120h.
a) Al livello di significatività del 5%, si può dire che esiste una differenza tra i due tipi
di lampadine?
b) Al livello di significatività dell’1%, si può dire che esiste una differenza tra i due tipi
di lampadine? (commentare il risultato)
17. Un dado viene gettato 360 volte ottenendo i risultati seguenti: 46 volte si è ottenuta la
faccia 1, 65 volte si è ottenuta la faccia 2, 71 volte si è ottenuta la faccia 3, 70 volte si è
ottenuta la faccia 4, 56 volte si è ottenuta la faccia 5 e 52 volte si è ottenuta la faccia 6.
a) Con che livello di significatività si può affermare che il dado sia onesto?
b) Se raddoppiando il numero di lanci la frequenza relativa ottenuta sperimentalmente
resta invariata, il livello di significatività del test resta immutato, aumenta o diminuisce?
18. A due gruppi di studenti è dato da svolgere un test per determinare il quoziente di intelligenza (Q.I.). La media di tale test è μ e la sua varianza è σ 2 = 400. Il risultato del primo
gruppo di 64 studenti ha media m1 = 105, quello del secondo gruppo (100 studenti) ha
invece media m2 = 110. Determinare:
a) la deviazione standard delle distribuzioni campionarie delle medie dei due gruppi;
b) il livello di significatività con cui si può accettare l’ipotesi che i due campioni provengano
dalla stessa popolazione.
19. Per esaminare la qualità di un generatore di numeri a caso (ricordando che il concetto
di casualità implica che tutti le cifre 0, 1, 2..., 9 siano equiprobabili) vengono registrate
le frequenze di ciascuna cifra nella generazione di 500 cifre. I risultati ottenuti sono i
seguenti:
Cifra
Frequenza
0
43
1
58
2
51
3
59
4
39
5
56
6
45
7
37
8
60
9
52
a) Cosa si può dire del generatore di numeri a caso al livello di significatività del 5%?
b) Nel caso che i risultati ottenuti fossero i seguenti:
Cifra
Frequenza
0
40
1
61
2
46
3
64
4
36
5
59
6
45
7
60
8
37
9
52
quale sarebbe la significatività del test?
20. Si prendono due campioni di 25 elementi ciascuno da una popolazione molto ampia. Le
medie sono 18.4 e 17.8 rispettivamente. Conoscendo che la deviazione standard della
popolazione è 2.0, calcolare:
a) Qual è la deviazione standard della distribuzione campionaria delle medie per ciascuno
dei due campioni?
b) A che livello di significatività si può affermare che i due campioni provengano dalla
stessa popolazione?
21. I risultati di un’indagine condotta nazionalmente su larga scala per stabilire se una certa
legge debba essere abrogata hanno fornito i seguenti risultati: fortemente a favore 20%, a
favore 30%, indifferenti 20%, contrari 20%, fortemente contrari 10%. Un campione casuale
di 100 studenti di una città ha invece fornito le seguenti risposte: fortemente a favore 14,
a favore 18, indifferenti 18, contrari 26, fortemente contrari 24.
a) Al 5% di livello di significatività, questi dati forniscono evidenza per una differenza
di vedute degli studenti riguardo all’abrogazione della legge, rispetto al resto della
popolazione?
b) Cosa si può concludere riguardo alla significatività del campione esaminato?
22. In un esperimento una moneta è lanciata 5 volte per 330 volte. In 12 casi si sono avute 0
teste, 54 volte 1 testa, 106 volte 2 teste, 94 volte 3 teste, 57 volte 4 teste e 7 volte 5 teste.
a) Calcolare la media e la deviazione standard della distribuzione del numero delle teste
dando 2 cifre significative.
b) Cosa si può concludere sul fatto che la moneta sia onesta?
23. In un campione di 200 intervistati il 20% è risultato favorevole ad un certo tipo di detersivo
che lava più bianco di un fiocco di neve. Dopo un’intensa campagna pubblicitaria su un
campione di 300 intervistati il 27% è risultato favorevole allo stesso detersivo.
a) Si può ritenere, al livello di significatività del 5% che la campagna pubblicitaria abbia
avuto successo?
b) Cosa si può affermare al livello di significatività dell’1%?
24. Da un esperimento fatto su 80 campioni della densità relativa di un liquido si è determinato
il valor medio μ = 2.0 e la deviazione standard σ = 0.2. Il numero di campioni al di sotto
di 1.8 sono 17, quelli tra 1.8 e 2.0 sono 23, quelli tra 2.0 e 2.2 sono 21 e quelli al di sopra
di 2.2 sono 19. Utilizzando 3 cifre significative per i valori teorici:
a) a che livello di significatività si può affermare che la distribuzione dei campioni segua
una distribuzione gaussiana?
b) Se la densità relativa fosse perfettamente conosciuta tramite altri esperimenti, fatti
su migliaia di campioni, ed avesse valore δ = μ cosa cambierebbe nella domanda
precedente?
25. La distribuzione del diametro di bulloni in ferro prodotti da una fabbrica metalmeccanica
è risultata essere normale con μ = 70.00mm e σ = 3.10mm.
a) Prendendo un bullone a caso e misurandone il diametro con uno strumento di sensibilità 0.01mm si ha x = 70.50mm. Si può affermare che il diametro del bullone in
questione differisca significativamente dalla popolazione dei bulloni prodotti da quella
fabbrica?
b) Cosa cambia nella asserzione precedente se il valore 70.50mm viene calcolato come
media della misura del diametro di un campione di 200 bulloni?
26. La statistica sugli incidenti mortali per folgorazione in una grande metropoli è stata la
seguente: in 223 giorni si sono avuti 0 incidenti, in 142 giorni 1 incidente, in 48 giorni 2
incidenti, in 15 giorni 3 incidenti, in 4 giorni 4 incidenti, in 0 giorni più di 4 incidenti.
a) Quanti incidenti ci si può aspettare nei prossimi 100 giorni?
b) Si può affermare, al livello di significatività del 5% che la morte per folgorazione sia
un evento raro?
27. Nella casa di Marco 25 libri su 165 sono libri di fisica, in quella di Dario 32 su 183, in
quella di Vittorio 24 su 192.
a) In base a questi risultati, a che livello di significatività si può accettare l’ ipotesi che
i libri di fisica siano una percentale costante nel totale dei libri posseduti?
b) Quanti libri di fisica, e con quale indeterminazione, ci si aspetta di trovare nella casa
di Gerolamo che di libri ne possiede 240 se l’ipotesi del punto a) è assunta valida?
28. Al primo appello estivo un certo esame è stato superato, in due anni accademici sucessivi,
da 45 studenti e da 70 studenti rispettivamente, mentre i bocciati sono stati 50 in ambedue
i casi.
a) In base a questi dati, quanti studenti ci si aspetta vengano promossi quest’anno (e
con quale errore) se gli iscritti a quell’esame sono 100?
b) Al livello di significatività del 5% si può dire che gli studenti del secondo anno
accademico considerato erano più preparati di quelli dell’anno precedente?
29. Un concessionario di automobili ha notato che i clienti al di sotto dei 30 anni hanno
acquistato, nell’ultimo mese, 30 automobili straniere e 40 italiane, mentre quelli al di
sopra dei 30 anni hanno scelto 20 automobili straniere ed 80 italiane.
a) Calcolare il valore delle frequenze attese nell’ipotesi che la scelta di una macchina
italiana o straniera sia indipendente dall’età.
b) Al livello di significatività dell’1% determinare se la scelta dell’automobile dipende
dall’età dell’acquirente.
30. Si è fatta un’indagine sul gradimento di una certa trasmissione televisiva. Su 80 intervistati al di sotto dei 20 anni, 52 hanno affermato di gradire il programma mentre, su 120
intervistati al di sopra dei 20 anni, sono 60 i favorevoli alla trasmissione.
a) Al 5% di livello di significatività è possibile affermare che la trasmissione è preferita
dai giovani (cioè quelli al di sotto dei 20 anni)?
b) Stessa domanda di (a) ma con livello di significatività posto all’1%. Cosa si può
concludere riguardo ai risultati ottenuti?
31. Prendendo 100 ragazzi e 100 ragazze si trova che 40 ragazzi hanno capelli biondi, 50 li
hanno neri e 10 li hanno rossi mentre 60 ragazze hanno capelli biondi, 30 li hanno neri e
10 li hanno rossi.
a) Quali sono i valori teorici attesi supponendo che il colore dei capelli non dipenda dal
sesso?
b) A quale livello di significatività può essere accettata questa ipotesi?
32. È stata fatta un’indagine su 200 persone per stabilire se la preferenza di differenti generi
letterari sia indipendente dalla fascia di età degli intervistati. I risultati ottenuti sono i
seguenti:
fascia di età 20-30 anni - genere preferito: romanzo 20 saggistica 12 giallo 8
fascia di età 30-40 anni - genere preferito: romanzo 15 saggistica 25 giallo 10
fascia di età 40-50 anni - genere preferito: romanzo 30 saggistica 20 giallo 10
fascia di età 50-60 anni - genere preferito: romanzo 25 saggistica 20 giallo 5.
a) Con quale livello di significatività si può affermare che la preferenza di differenti generi
letterari sia indipendente dalla fascia di età degli intervistati?
b) Sotto questa ipotesi, qual è il valore atteso, con il suo errore, di risposte favorevoli
alla saggistica per un campione di 80 persone nella fascia di età 60-70 anni?
33. Una prova di ragionamento attuata da un numero elevato di individui ha consentito di
decidere che il risultato medio della prova è μ = 40 con deviazione standard σ = 10; la
forma della distribuzione è normale (H0 ).
È sorto il dubbio che le istruzioni date per l’esecuzione della prova fossero troppo complesse
e che tali istruzioni influissero sul risultato. Si è successivamente attuata la prova con nuove
istruzioni pi semplici con un campione di n=35 soggetti, ottenendo un punteggio medio
xm = 43 ed una varianza adattata sn = 8.
Al 5% di livello di significatività
a) Possiamo affermare che è cambiato qualcosa?
b) Possiamo affermare che le nuove istruzioni abbiano migliorato la comprensione della
prova?
34. Si misura la massa di 40 fragoloni, trovando un valore medio di 26 g, con una varianza di
8 g2 .
a) Determinare, ad un livello di confidenza del 95%, la stima del valore medio della
massa dei fragoloni di quella coltivazione.
b) Scegliendo casualmente altri 50 fragoloni, si trova una massa media di 25.6 g, con
varianza 10 g2 . Possiamo affermare che questo campione è compatibile con il precedente al 5% di livello di significatività? Se sono compatibili, determinare la miglior
stima del valor medio ed il suo errore standard.
c) Da statistiche su campioni molto più numerosi risulta che la massa media dei fragoloni
è distribuita gaussianamente con media μ = 24 g e varianza 12 g2 ; possiamo affermare che i 40 fragoloni di partenza, al 5% di livello di significatività, hanno massa
maggiore di quelli generici? Cosa possiamo dire al livello dell’1%?
35. Il tempo medio di produzione di un certo prodotto finito è stato calcolato sull’arco di un
lungo periodo ed è risultato essere di 90 s al pezzo con deviazione standard di 12 s. Dopo
aver cambiato il processo produttivo, si sono esaminati i tempi di produzione di 50 pezzi
trovando un valor medio di 85 s con deviazione standard di 10 s.
a) Questi dati forniscono una forte evidenza del fatto che il processo produttivo sia
migliorato?
b) Stabilire al livello di fiducia del 99% il tempo di produzione con il nuovo processo
produttivo.
36. I numeri di viti difettose trovate in 25 campioni, ognuno di 50 pezzi, estratti da un macchinario che produce viti sono i seguenti: 1, 5, 0, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 0, 5, 1, 0, 0, 0, 6, 1, 1, 0, 1,
3, 0, 0, 1, 0.
a) Qual è la miglior stima che possiamo dare della proporzione delle viti difettose (probabilità che una vite estratta casualmente sia difettosa)? Con che indeterminazione?
b) Calcolare, a partire dai dati, la stima della deviazione standard del numero di difetti
per campione; la deviazione standard teorica nell’ipotesi di una distribuzione binomiale utilizzando la probabilità stimata dal campione; la deviazione standard teorica
nell’ipotesi di una distribuzione poissoniana.
c) Possiamo affermare che il numero di difetti segue una distribuzione di Poisson al 5%
di livello di significatività?
37. In un processo produttivo in serie la lunghezza X di una vite ha una distribuzione normale.
La tolleranza massima consentita per immettere il prodotto nel mercato è di 0.2 mm.
a) Calcolare μ e σ non noti sapendo che il 25% delle viti prodotte ha una lunghezza
inferiore a 15.80 mm, mentre il 9 % ha una lunghezza superiore a 16.10 mm.
b) Utilizzando i valori di μ e σ trovati alla domanda a) calcolare la percentuale di viti
che vengono scartate.
c) Sia nota la distribuzione normale di X con media μ = 16.00 mm e varianza σ 2 = 1.4·
10−2 mm2 . Da un controllo su 50 pezzi si è trovato un valor medio xm = 15.97 mm
con una sn−1 = 0.11 mm. Possiamo affermare con un livello di significatività del
5% che il processo produttivo sia cambiato?
38. Una ditta fabbrica rullini fotografici. Si misura lo spessore dello strato sensibile della
pellicola e si trovano, su un campione di 616 pellicole, questi valori suddivisi in classi:
Valori in μm
Frequenze
1.5-2.5
8
2.5-3.5
47
3.5-4.5
121
4.5-5.5
219
5.5-6.5
149
6.5-7.5
60
7.5-8.5
12
a) Nell’ipotesi che lo spessore dello strato sensibile della pellicola segua una distribuzione
gaussiana, calcolare il numero (preciso al centesimo) di pellicole che ci si aspetta per
ogni classe (si vuole valor medio e deviazione standard del campione con due cifre
significative).
b) Verificare se, al 5% di significatività, la misura dello spessore delle pellicole segue una
distribuzione gaussiana
39. Una ditta farmaceutica assicura che una certa medicina è efficace nel 90% dei casi per
curare un’allergia. Su un campione di 200 individui, che soffrono di questa allergia, la
medicina si è mostrata utile in 160 casi.
a) Possiamo affermare al 5% di livello di significatività che la medicina è meno efficace
di quello che dice la ditta? E all’1%?
b) Fornire una stima dell’efficacia della medicina con un livello di confidenza del 95%.
40. Il numero di chiamate che giungono ad un centro di assistenza in un’ora è cosı̀ distribuito:
Al 5% di livello di significatività
Numero di chiamate
Frequenze
0
10
1
42
2
22
3
16
>3
10
a) È possibile affermare che le chiamate seguono la distribuzione di Poisson?
b) Cambierebbe qualcosa se il valore medio ottenuto nella domanda precedente fosse
stato fornito da considerazioni esterne anzichè ricavato dai dati?
41. Dopo lunghe e accurate misure, si è stabilito che il grado di acidità (pH) di una certa
soluzione chimica A è pari a 7.520. Analizzando 6 provette di un’altra soluzione chimica
B si è trovato un pH medio pari a 7.490 con una deviazione standard di 0.032. Al livello
di significatività del 5%
a) è possibile affermare che la soluzione B ha lo stesso pH della soluzione A?
b) Cosa sarebbe cambiato se la deviazione standard per la soluzione A fosse stata conosciuta e pari a 0.024? Cosa è possibile concludere in questo caso sul campione di provette
analizzato?
c) Dare una stima per il pH della sostanza B al 99% di livello di fiducia.
42. Una ditta, nel corso degli anni, ha stabilito che la percentuale di gradimento di un suo
prodotto è del 63%. Dopo una campagna pubblicitaria, vengono intervistati 200 possibili
acquirenti e di questi 145 risultano favorevoli al prodotto.
a) All’1% di livello di significatività, è possibile affermare che la campagna pubblicitaria
ha avuto un effetto positivo? Se sı̀ , stimare la nuova percentuale di gradimento al
95% di livello di fiducia.
b) Cosa sarebbe cambiato se la domanda a) fosse stata “la campagna pubblicitaria ha
portato una differenza nella percentuale di gradimento”?
43. Il tempo medio per la produzione di un certo pezzo meccanico in una catena di montaggio
risulta essere 125 secondi con una deviazione standard di 30 secondi in base ai risultati
ottenuti dopo una lunga indagine. Viene cambiato il processo di produzione della catena
di montaggio e il tempo medio per la produzione dello stesso pezzo risulta essere di 115
secondi con una deviazione standard di 20 secondi esaminando un campione di 50 pezzi.
a) Dare una stima al 95% di livello di fiducia per il tempo medio di produzione con il
nuovo processo.
b) È possibile affermare che il processo di produzione è migliorato con l’introduzione
delle modifiche?
c) Cosa sarebbe cambiato se il campione esaminato fosse stato di 20 pezzi (ottenendo gli
stessi risultati) e del vecchio processo produttivo fosse stato conosciuto solo il valor
medio?
44. La costante elastica di una molla viene misurata con precisione elevatissima sottoponendo
la molla a piccole deformazioni (ossia in regime di validità della legge di Hooke), e risulta k
= 283.52 N/m. La stessa molla viene poi sottoposta a deformazioni maggiori sotto l’azione
di forze, misurate con errore trascurabile, ottenendo i seguenti risultati (errori statistici):
F (N)
x (cm)
10
3.54 ± 0.02
20
7.07 ± 0.02
30
10.62 ± 0.02
40
14.15 ± 0.03
50
17.71 ± 0.03
Stabilire se, al livello di significatività dell’1% e del 5%, si ha evidenza per violazioni della
legge di Hooke.
45. La percentuale di lampadine difettose su un campione di 100 è del 4%, mentre su un altro
campione di 150 se ne trovano 12 difettose.
a) È possibile affermare che esiste una differenza tra i campioni di lampadine?
b) Qual è la stima, ad un livello di fiducia del 99%, per la percentuale di lampadine
difettose nell’ipotesi che i due campioni provengano dalla stessa fabbrica?
c) Dato un altro campione di 80 lampadine con percentuale di difetti pari all’1%, c’è
evidenza, al 5% del livello di significatività, che esso provenga da un’altra fabbrica con
minor percentuale di difetti, assumendo come percentuale di difetti per la popolazione
la stima puntuale ottenuta al punto b)?
d) Calcolare gli errori di I e di II tipo associati al criterio di decisione adottato al punto
c)
46. In una ditta di componenti elettronici il 20% del prodotto è difettoso. Consideriamo una
partita di 1000 scatole ognuna composta da 10 pezzi:
a) In quante di queste scatole in media ci aspettiamo di trovare al massimo 2 pezzi
difettosi? Da 3 a 5 pezzi difettosi? Più di 5 pezzi difettosi?
b) Sapendo che il numero di scatole con al massimo 2 pezzi difettosi è stato di n1 = 641,
da 3 a 5 pezzi difettosi è stato n2 = 347, con più di 5 n3 = 12, possiamo ritenere al
5% di livello di significatività che la percentuale di difetti sia cambiata?
47. Un modello teorico prevede che quattro possibili diversi decadimenti di una particella
elementare avvengano con frequenze relative rispettivamente del 39%, del 32%, del 24% e
del 5%. Un esperimento osserva 188390, 153930, 115431 e 24371 decadimenti dei quattro
tipi. Cosa si può concludere sulla bontà della previsione del modello teorico con un livello
di significatività del 5%?
Parte II: Risposte
1.
a) nteste = (2.15 ± 0.05)
b) Valori teorici: 25, 100, 150, 100, 25.
L’ipotesi di corrispondenza viene rigettata al livello di significatività del’1% (χ2 =
13.6, ν = 4): dati altamente significativi per rigettare l’ipotesi.
2.
a) L’ipotesi nulla è rigettata al livello di significatività del 5% ma non all’1%: dati
probabilmente significativi.
b) n = 9.6 (circa 10 apparati)
3.
a) I difetti possono essere considerati eventi rari: infatti χ2sper ≈ 2, ν = 2. (χ20.30 =
1.386 < χ2sper < χ20.25 = 2.733)
b) N > 588 apparati
4.
a) pf = (0.244 ± 0.018)
b) Test a due code con zsper = 2.19 ≥ zc (5%) = 1.96. Ipotesi H0 rigettata: il campione
non è in accordo con la statistica nazionale.
5.
a) Al livello di significatività richiesto non vi è differenza di peso
b) p = (76.5 ± 0.8)g
6.
a) Si, al livello di significatività del 5% l’ipotesi di equivalenza è verificata .
b) N = 0.84
7.
a) Si accetta al livello di significatività del 5%
b) Limiti di accettazione = (5000 ± 100)
8.
a) Test a due code: dati probabilmente significativi per sostenere che la società stia
facendo un’affermazione falsa (si rigetta l’ipotesi non c’è differenza fra le medie al 5%
e si accetta all’1%)
b) Test ad una coda: dati del campione altamente significativi (si rigetta l’ipotesi di
uguaglianza fra le medie sia al 5% sia all’1%)
9.
a) Si rigetta l’ipotesi che i dati del campione seguano una distribuzione di Poisson
(χ2sper ≈ 54 χ20.05 = 5.992, per ν = 2)
b) Il processo produttivo non è cambiato (χ20.10 = 7.815 < χ2sper = 8.495 < χ20.05 =
9.488, ν = 4).
10.
a) Si può affermare che le due fabbriche abbiano lo stesso rendimento: z = 1.5 (oppure
1.35 con media pesata) < 1.96 = zc per L.S. = 5% per test a due code)
b) Non si può affermare che la fabbrica Beccaccia abbia un rendimento migliore della
fabbrica Albatros (z = 1.5 < 1.645 = zc per L.S. = 5% per test ad una coda)
11.
a) k=1/100
b) Si accetta l’ipotesi che il campione provenga dalla distribuzione con densità di probabilità data (χ20.50 = 4.351 < χ2sper = 4.52 < χ20.25 = 6.625; ν = 5).
12.
a) Si può affermare che la presenza di una imperfezione costituisca un evento raro
(χ2sper = 6.3 < χ20.05 = 9.488; ν = 4)
b) N = (1.9 ± 1.4)
13.
a) L’ipotesi può essere accettata (χ2sper = 3.13 < χ20.10 = 6.254; ν = 3)
b) n = (2.5 ± 0.7) palline bianche
14.
a) E(x1 ) = E(x2 ) = μ = 50
E(σx1 ) = 6 ; E(σx2 ) = 5.07
b) E(x1 + x2 ) = μ1 + μ2 = 100
E(x1 − x2 ) = μ1 − μ2 = 0
E(σ+ ) = E(σ− ) = 7.86
15.
a) p = 0.22 (22%) (p = 0.20 usando l’approssimazione per interi)
b) p = 0.1188 (12%) (p=0.1312 (13%) se si usa l’approssimazione per interi)
16.
a) Ipotesi H0 rigettata
b) Ipotesi H0 accettata; dati non altamente significativi, ma probabilmente significativi.
17.
a) Ipotesi accettata al 10%, ma rigettata al 25%. (χ20.25 = 6.625 < χ2sper = 8.702 <
χ20.10 = 9.237, ν = 5)
b) Il valore del χ2 raddoppia e l’ipotesi può essere adesso rigettata ad un livello di
significatività dell’1%. (χ2sper = 17.4 > χ20.01 = 15.09 per ν = 5)
18.
a) σ(x1 ) = 2.5, σ(x2 ) = 2.0
b) Al livello di significatività del 12% (z = -1.56)
19.
a) Ipotesi H0 di equiprobabilità può essere accettata (χ2sper = 13 < 16.92 = χ2ref per
L.S.= 5% e ν = 9).
b) L’ipotesi H0 di equiprobabilità viene rigettata ad un livello di significatività del 5%
ma è accettata all’1%. Campione probabilmente significativo: occorre proseguire
l’indagine (χ20.05 = 16.92 < χ2sper = 20.16 < χ20.01 = 21.67, ν = 9).
20.
a) σ(x1 ) = σ(x2 ) = 0.4
b) L.S.=29% : i due campioni provengono dalla stessa popolazione.
21.
a) L’ipotesi H0 deve essere rigettata ad un livello di significatività del 5%. (χ20.05 =
9.49 < χ2sper = 28.2 per ν = 4)
b) I dati sono altamente significativi; infatti, per ν = 4, χ20.01 = 13.28 è ancora minore
di χ2sper e quindi H0 è rigettata anche all’1% di livello di significatività.
22.
a) x = 2.5, sn = 1.1
b) L’ipotesi di moneta onesta può essere accettata. (χ20.75 = 2.674 < χ2sper = 2.90) <
4.351 = χ20.50 , ν = 5
23.
a) Test ad una coda con zsper = 1.83 > zc = 1.645 per L.S.=5%; ipotesi H0 rigettata:
la campagna pubblicitaria ha avuto successo.
b) Ipotesi H0 accettata: zsper = 1.83 < zc = 2.33 per L.S.= 1%. Si conclude che i dati
sono probabilmente significativi ma non altamente significativi per affermare che la
campagna pubblicitaria ha avuto successo.
24.
a) Ipotesi rigettata all’1% (dati altamente significativi). (χ20.01 = 6.635 < χ2sper =
6.72, ν = 1).
b) Ipotesi accettata all’1%. In questo caso ν = 2 dato che la media non è stata ricavata
dai dati sperimentali (χ20.05 = 5.992 < χ2sper = 6.72 < χ20.01 = 9.210, ν = 2). Ne segue
che i dati sono probabilmente significativi e occorre proseguire l’indagine.
25.
a) Test a due code con zsper = 0.161 corrispondente all’87% : ipotesi accettata; non vi
è evidenza di una differenza tra campione e popolazione.
b) In questo caso zc (5%) = 1.96 < zsper = 2.28 < zc (1%) = 2.57. Ipotesi H0 accettata
al livello di significatività dell’1% ma non a quello del 5% (campione probabilmente
significativo per una differenza).
26.
a) N = (69 ± 8) nell’ipotesi di conteggi; N = (69 ± 9) dai dati sperimentali
b) Ipotesi accettata; (χ20.05 = 5.99 > χ2sper = 2.14, ν = 2).
27.
a) Ipotesi accettata (χ20.50 = 1.386 < χ2sper = 1.83 < χ20.25 = 2.773, ν = 2)
b) n = (36 ± 6)
28.
a) N = (54 ± 3) studenti (oppure N = (53.5 ± 3.4))
b) Test ad una coda: ipotesi H0 accettata. Oppure usando le tabelle di contingenza
χ2 = 2.563, ν = 1; χ2ref = 3.84 al 5% di L.S.
29.
a) 21, 49, 29, 71
b) Test a due code: ipotesi rigettata. Oppure tabella di contingenza: χ2sper = 9.44 >
χ20.01 = 6.635, ν = 1
30.
a) Ipotesi H0 rigettata
b) Ipotesi H0 accettata. Campione probabilmente significativo ma non altamente significativo: occorre proseguire le indagini.
31.
a) Biondo = 50, Nero = 40, Rosso = 10.
b) Ipotesi accettata all’1%, ma rigettata al 5%. (χ20.05 = 5.997 < χ2sper = 9 < χ20.01 =
9.21, ν = 2)
32.
a) Ipotesi H0 di equiprobabilità può essere accettata: χ2sper = 8.196 < χ20.10 = 10.6, ν = 6
b) N = (31 ± 4)
33.
a) Ipotesi H0 accettata. Non possiamo dire se è cambiato qualcosa.
b) Ipotesi H0 rigettata, la prova è migliorata.
34.
a) μ = (26.0 ± 0.9) g
b) I due campioni sono compatibili al 5% di L.S. - xbest = (25.8 ± 0.3) g
c) Dati altamente significativi per indicare una massa maggiore dei fragoloni (z = 3.652).
35.
a) Dati altamente significativi per un miglioramento del processo (H0 rigettata al 5% e
all’1% di L.S. (z = -2.916)
b) 81.35 ≤ μ ≤ 88.65
36.
a) p = (0.027 ± 0.005)
b) sn−1 = 1.70; σb = 1.15; σp = 1.17.
c) χ2 = 1.92 ν = 1 χ2ref (5%) = 3.84: ipotesi accettata.
37.
a) μ = 15.9 mm σ = 0.15 mm.
b) Viti scartate 18 %
c) z = 1.79 test a due code L.S. = 5% zc = 1.96; H0 accettata
38.
a) Frequenze attese: 8.47, 47.48, 133.97, 198.33, 154.37, 60.71, 12.67 (x̄ = 5.1 σ = 1.2).
b) χ2 ≈ 4; ν = 4; χ2rif (5%) = 9.48. Si accetta l’ipotesi.
39.
a) Dati altamente significativi (H0 rigettata al 5% e all’1% di L.S.)
b) 0.745 < p < 0.855
40.
a) Ipotesi rigettata al 5% di L.S. (χ2 = 8.36 ν = 3 χ25% = 7.815)
b) In questo caso ν = 4 χ25% = 9.488: ipotesi accettata.
41.
a) H0 accettata (|t| = 2.096, ν = 5, tc = 2.571. Si utilizza Student (piccoli campioni) σ
ignota.
b) Si utilizza la gaussiana perchè σpopolazione è nota. H0 rigettata - campione altamente
significativo (|z| = 3.06).
c) pH = 7.490 ± 0.058.
42.
a) Dati altamente significativi (z=2.79). p = 0.725 ± 0.062
b) H0 rigettata come nel caso a.
43.
a) 109.4 ≤ μn ≤ 120.6
b) Dati altamente significativi per miglioramento (z=-2.357 H0 rigettata al 5% e all’1%
di L.S.).
c) Si utilizza Student con ν = 19 t = −2.179 tc (5%) = 1.729 tc (1%) = 2.539.
Quindi i dati sono probabilmente significativi ma non altamente significativi per il
miglioramento.
44. Dati probabilmente significativi per violazione della legge di Hooke: H0 rigettata al 5%
ma non all’1% (χ2sper = 13.07 ν = 5).
45.
a) z = −1.352 H0 accettata (stessa popolazione)
b) 0.024 ≤ p ≤ 0.104
v) Al 5% di L.S. evidenza per provenienza da fabbrica con percentuale di difetti minore
(z=-1.973).
d) α = 5%; β ≈ 20%.
46.
a) 677, 315, 8
b) χ2 = 7.16 ν = 2 χ2rif (5%) = 5.99 H0 rigettata.
47. Previsione accettabile (χ2 = 5.07 ν = 3 χ2rif (5%) = 7.815).