Sistemi di pi`u particelle

Sistemi di più particelle
Finora abbiamo considerato il modo di una singola particella. Che cosa
succede in sistemi di molte particelle, o in un sistema non puntiforme?
• Scomponendo il sistema in N particelle puntiformi, avremo bisogno
di molte variabili per descriverne il moto:
– N masse mi, i = 1, . . . , N
– N posizioni ~ri (3N coordinate), N velocità ~vi = d~ri/dt
– N accelerazioni ~ai = d~vi/dt, legate alle N forze f~i da f~i = mi~ai.
• Una grossa semplificazione si ha quando si può trattare il sistema
come un corpo rigido, ovvero come non deformabile:
– In un corpo rigido, le posizioni relative di tutte le particelle che
compongono l’oggetto rimangono costanti.
Tutti gli oggetti reali sono più o meno deformabili, ma il modello del corpo rigido
è molto utile in tutti i casi in cui la deformazione è piccola.
Centro di Massa
Possiamo descrivere il moto del sistema in modo più comodo e più
semplice che con N leggi di Newton? Introduciamo il Centro di Massa.
Per due particelle di massa m1 ed m2
su di una retta nelle posizioni x1 e x2,
la posizione del centro di massa xcm è
data da
m1x1 + m2x2
xcm =
m1 + m 2
Notare come il centro di massa è nel centro della congiungente le due
particelle se m1 = m2; in caso contrario, il centro di massa è spostato
verso la particella più pesante.
Centro di Massa (2)
m1~r1 + m2~r2
In tre dimensioni: ~rcm =
. Per molte particelle:
m1 + m 2
P
P
mi~ri
1 X
i
=
mi~ri, dove M = i mi è la massa totale.
~rcm = P
M i
i mi
Oggetto esteso: dividiamo in “cubetti”
1 X
~rcm =
∆mi~ri
M i
Nel limite di “cubetti” infinitesimi
Z
1
~rdm
~rcm =
M
diventa un integrale sul volume.
Un esempio di centro di massa per un oggetto
Il calcolo del centro di massa di un oggetto non è in generale semplice,
ma lo è per oggetti di densità costante e di forma semplice. Esempio:
Una sbarra di densità lineare λ = M/L
costante, dm = λdx, da cui
xcm
1
=
M
Z
0
2
L
2 L
λ x xλdx =
M 2 0
1L
L
=
=
L2
2
Si è sfruttata la simmetria del sistema per semplificare la massimo il
calcolo (integrale unidimensionale invece che tridimensionale). Notare
che il risultato non è altro che il centro della sbarretta.
Moto del centro di massa
Qual è il vantaggio di aver introdotto il centro di massa? Consideriamo
il suo moto:
X d~ri
d~rcm
d~r1
d~r2
M
= m1
+ m2
+ ... =
mi
dt
dt
dt
dt
i
ovvero
M~vcm = m1~v1 + m2~v2 + . . . =
X
mi~vi
i
Deriviamo di nuovo:
M~acm = m1~a1 + m2~a2 + . . . =
X
mi~ai
i
Per la II legge di Newton, mi~ai = f~i, forza agente sulla i-esima particella:
X
M~acm =
f~i
i
Moto del centro di massa II
Le forze agenti sulle particelle si possono dividere in due categorie:
• Forze interne, esercitate dalle altre particelle del
sistema, e
• Forze esterne, esercitate da agenti esterni al
sistema. Possiamo quindi scrivere
M~acm =
X
i
f~i,ext +
X
f~i,int
i
ma per la terza legge di Newton,
X
f~i,int = 0!
i
In conclusione, il moto del centro di massa è determinato unicamente
dalla risultante delle sole forze esterne:
X
M~acm =
f~i,ext = F~ext
i
Moto del centro di massa: esempio
Una chiave inglese su di una superficie priva di attrito. La chiave segue
un moto relativamente complesso di rotazione, ma il suo centro di
massa: il puntino bianco nella foto, esegue un moto rettilineo uniforme,
in quanto la risultante delle forze esterne agenti sul corpo è nulla.
Quantità di Moto
La Quantità di Moto: p~ = m~v per una particella (o oggetto descrivibile
come una particella) di massa m e velocità ~v , è una grandezza molto
importante in Fisica. La quantità di moto
• è una grandezza vettoriale, diretta come la velocità, che può essere
espressa in componenti px = mvx, py = mvy , pz = mvz
• ha le dimensioni di una massa per una lunghezza diviso un tempo;
nel SI si misura in kg·m/s, oppure in N·s.
Si può riformulare la II legge di Newton usando la quantità di moto:
d~v d(m~v ) d~
p X~
m~a = m =
=
=
F
dt
dt
dt
Conservazione della Quantità di Moto
Per un sistema composto di molte particelle, la quantità di moto totale
è la somma vettoriale delle singole quantità di moto:
X
X
~cm
P~ =
p~i =
mi~vi,
ovvero
P~ = M V
i
i
X
1
~cm =
mi~vi la
dove M =
mi è la massa totale del sistema, V
M i
i
velocità del centro di massa. E’ immediato dimostrare che
X
dP~
= F~ext
dt
dove Fext è la risultante delle sole forze esterne al sistema (le forze
interne al sistema sono tutte coppie di azione e reazione e si elidono).
In assenza di forze esterne, la quantità di moto totale è conservata.
Conservazione della Quantità di Moto, esempio
Quantità di moto iniziale: p~1 = p~2 = 0
Quantità di moto finale: p~1 + p~2 = 0
(ci sono solo forze interne!)
Supponiamo m1 = 100 kg, v1 = 5
m/s, m2 = 50 kg.
• Quanto valgono p e v2?
• Quanta energia (lavoro) è stata
fornita da ciascuno dei due?
• p = 100 kg·5 m/s=500 kg·m/s
• m2v2 = p da cui v2 = 10 m/s
• Lavoro fatto da 2 su 1:
L1 = m1v12/2 = p2/(2m1) = 1250 J
• Lavoro fatto da 1 su 2:
L2 = m2v22/2 = p2/(2m2) = 2500 J
Decadimento di particelle
Il mesone K0 neutro decade spontaneamente in altre due particelle
(cariche), π + e π − (dette pioni). Se inizialmente il K0 è a riposo,
i due pioni hanno quantità di moto uguali e opposte in direzione, in
quanto P~K = 0, non agiscono forze esterne, quindi P~ − + P~ + = 0.
La conservazione della quantità di moto vale anche in questo sistema,
molto differente da quello precedente!
Collisioni
• In una collisione, due oggetti si avvicinano e interagiscono fortemente
per un tempo molto breve. Durante il breve tempo di collisione,
qualunque forza esterna è molto più piccola della forza di interazione
fra gli oggetti.
• Di conseguenza le sole forze importanti agenti
sul sistema dei due oggetti sono le forze di
interazione, uguali e opposte, cosı̀ che la
quantità di moto totale del sistema non cambia
nella collisione.
• Il tempo di collisione è di solito cosı̀ breve che lo
spostamento degli oggetti durante la collisione
è trascurabile.
Impulso e quantità di moto
L’impulso di una forza è il vettore I~ =
Z
tf
F~ dt , dove ti e tf sono
ti
tempi iniziali e finali (tipicamente di una collisione). Si misura in N·s.
Se F~ è la forza netta agente su di una particella
durante l’urto, l’impulso è la variazione della
quantità di moto durante la collisione:
I~ =
Z
tf
ti
F~ dt =
Z
tf
ti
d~
p
dt = p~f − p~i = ∆~
p.
dt
Si definisce la forza media hF~ i che agisce durante
I
~
la collisione tramite l’impulso: hF i =
.
tf − ti
In figura: integrale della forza come area e confronto con forza media.
Collisioni in una dimensione
Due particelle di massa m1 ed m2 su di una retta. La particella 1
viaggia con velocità v1i e urta la particella 2 che viaggia con velocità
v2i nella stessa direzione (v1i > v2i perché la collisione avvenga).
Chiamiamo v1f e v2f le velocità finali dopo la collisione (tutte le velocità
possono essere positive o negative). Per la conservazione della quantità
di moto:
m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
...ma questo non basta a stabilire le velocità finali date le velocità
iniziali. Serve informazione addizionale dipendente dal tipo di collisione.
I due casi per i quali la soluzione è semplice sono:
• Collisione perfettamente anelastiche
• Collisione perfettamente elastiche
Collisioni perfettamente anelastiche in una dimensione
Nelle collisioni perfettamente anelastiche le
particelle rimangono attaccate dopo la collisione
e proseguono come una sola particella di massa
m1 + m2 e velocità v1f = v2f = vf .
Per la conservazione della quantità di moto:
m1v1i + m2v2i
m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf =⇒ vf =
m1 + m2
In tre dimensioni:
m1~v1i + m2~v2i
~vf =
m 1 + m2
Cosa succede all’energia cinetica? Si conserva o no?
Collisioni anelastiche, bilancio energetico
Per semplicità consideriamo il caso in cui una particella di quantità di
moto p~ incide su di una particella ferma.
m1v12
p2
• Energia cinetica iniziale: Ki =
=
2
2m1
(m1 + m2)vf2
p2
• Energia cinetica finale: Kf =
=
2
2(m1 + m2)
(perchè p~ è conservato).
Kf < Ki sempre! L’energia cinetica iniziale è in parte persa in energia
termica, energia di deformazione, etc.
Collisioni elastiche
Consideriamo ora il caso di urti elastici, ovvero in cui l’energia cinetica
è conservata.
Conservazione della quantità di moto:
m1~v1i + m2~v2i = m1~v1f + m2~v2f
Conservazione dell’energia cinetica:
1
1
1
1
2
2
2
2
m1v1i + m2v2i = m1v1f + m2v2f
2
2
2
2
Collisioni elastiche in una dimensione
Consideriamo il caso elastico unidimensionale. Date masse note e
velocità iniziali note, le velocità finali sono univocamente determinate:
v1f
m1 − m 2
2m2
=
v1i+
v2i
m1 + m2
m 1 + m2
,
v2f
2m1
m2 − m1
=
v1i+
v2i
m1 + m2
m1 + m2
Se v2i = 0 (particella 1 in moto incidente su particella 2 ferma):
v1f
m 1 − m2
v1i
=
m 1 + m2
,
v2f
2m1
=
v1i
m1 + m2
Notare i due casi limite per v2i = 0:
• particella incidente pesante (m1 >> m2): v1f ' v1i, v2f ' 2v1i
• particella incidente leggera (m1 << m2): v1f ' −v1i, v2f ' 0
Collisioni in una dimensione, riassunto
Tipi di collisioni:
• perfettamente anelastiche: dopo l’urto le particelle restano attaccate.
C’e’ perdita di energia cinetica.
• (perfettamente) elastiche: le particelle rimbalzano l’una sull’altra,
senza perdita di energia cinetica.
• anelastiche: le particelle collidono con perdita di energia cinetica ma
non restano attaccate.
Quindi:
– La quantità di moto è sempre conservata in qualunque urto
– L’energia cinetica è conservata solo negli urti elastici
Collisioni in tre dimensioni
• Il caso perfettamente anelastico si tratta come in
una dimensione: (m1 + m2)~vf = m1~v1i + m2~v2i.
• Nel caso elastico, la traiettoria dopo l’urto
dipende dalla “geometria” dell’urto. Qui sotto,
un esempio di urto “radente” di una particella
in moto incidente su di una ferma.
La traiettoria finale
dipenderà da b,
parametro d’urto.
Collisioni in tre dimensioni II
La soluzione generale del problema diventa un po’ complessa. Vediamo
il caso speciale di particella incidente su una in quiete di massa uguale.
Usiamo la conservazione della quantità di moto e facciamone il quadrato:
p~1i = p~1f + p~2f =⇒ p21i = p21f + p22f + 2~
p1f · p~2f
Dalla conservazione dell’energia cinetica per m1 = m2 = m:
p21f p22f
p21i
=
+
=⇒ p21i = p21f + p22f
2m 2m 2m
da cui p~1f · p~2f = 0 , ovvero le due
particelle proseguono in direzioni
ortogonali, a meno che p~1f = 0.
Moto del centro di massa: problema
Un proiettile lanciato ad un angolo
θ = 36.9◦ con velocità iniziale v =
24.5 m/s si frammenta in due pezzi di
massa uguale nel punto più alto della
traiettora. Uno dei frammenti cade giù
in verticale. Dove atterra l’altro?
Soluzione: Il CM prosegue la sua traiettoria sotto l’effetto della forza di
gravità, atterrando a distanza xcm = R dall’origine (punto di partenza).
R = v02 sin(2θ)/g è la gittata. La proiezione sull’asse x del punto più
alto della traiettoria dista x1 = R/2 dall’origine. Di conseguenza:
x1m1 + x2m2 mR/2 + mx2
R = xcm =
=
m1 + m2
2m
ovvero x2 = 3R/2. Con i dati del problema: R = 58.8 m, x2 = 88.1 m.
Problema classico: pendolo balistico
Il proiettile si conficca dentro al blocco,
che di conseguenza si muove e sale fino
ad una quota h. Qual è la velocità v
del proiettile in entrata? Si assume
nota la massa del proiettile, m1, e del
blocco, m2.
La soluzione si fa in due passi distinti:
• Conservazione della quantità di moto per l’urto anelastico fra proiettile
m1 + m2
vB
e blocco: vale v1A =
m1
• Conservazione dell’energia per il successivo moto del blocco con il
m1 + m 2 2
vB = (m1 + m2)gh
proiettile:
2
m1 + m 2 p
Infine: v1A =
2gh
m1
Energia potenziale gravitazionale di un oggetto
Nella soluzione dell’esercizio precedente si è trascurato il fatto che il
pendolo balistico è un oggetto esteso. Qual è l’energia potenziale
gravitazionale di un corpo?
Dimostriamo che l’energia potenziale gravitazionale di un corpo è la
stessa che se tutta la massa fosse concentrata nel centro di massa:
!
!
X
X
X
U=
mighi = g
mi h i = g
mi hcm = M ghcm
i
1 X
mi h i
dove hcm =
M i
i
i
Problema: una collisione veramente ”elastica”
m1 = 1.6 kg, v1 = 4 m/s; m2 = 2.1 kg, v2 = −2.5 m/s; costante della
molla k = 600 N/m, niente attriti.
Qual è la velocità dei due blocchi dopo la collisione?