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Scheda
15
Scheda per il recupero 15
A Ripasso
Dalla congruenza alla misura
Il concetto di congruenza e le sue conseguenze
Abbiamo assunto il concetto di congruenza come primitivo. Intuitivamente, due figure sono congruenti se è possibile
sovrapporle punto a punto mediante un movimento rigido.
Nell’insieme dei segmenti (angoli), grazie alla nozione di congruenza, abbiamo definito un ordine, le operazioni di
addizione e sottrazione fra segmenti (angoli) e il concetto di multiplo di un segmento (angolo). Inoltre abbiamo assunto,
come assioma, che somme e differenze di segmenti (angoli) congruenti sono congruenti.
Introdotta la nozione di congruenza, abbiamo potuto introdurre le nozioni di punto medio di un segmento e di bisettrice
di un angolo; inoltre abbiamo introdotto nuove definizioni circa gli angoli.
TERMINE
DEFINIZIONE
Punto medio di un segmento
Il punto di un segmento che lo divide
in due segmenti congruenti.
Bisettrice di un angolo
La semiretta che divide l’angolo in due
angoli congruenti.
DISEGNO
A
M
bisettrice
O
Angolo retto
B
Ciascuno dei due angoli in cui un
angolo piatto resta diviso dalla sua
bisettrice.
angolo retto
O
Angolo acuto
Un angolo minore di un angolo retto.
α
angolo acuto
O
Angolo ottuso
Un angolo maggiore di un angolo retto
e minore di uno piatto.
angolo ottuso
α
Angoli complementari
Due angoli la cui somma è un angolo
retto.
α e β complementari
β
α
Angoli supplementari
Due angoli la cui somma è un angolo
piatto.
α e β supplementari
β
α
La misura dei segmenti e degli angoli
DOMANDE
RISPOSTE
Com’è definita la misura di un segmento
(angolo)?
b) scelto come
Dato un segmento AB (un angolo Ab) e un segmento u (angolo U
b
b
unità di misura, si dice misura di AB (di A) rispetto a u (a U ) il numero reale non
negativo k per cui AB ffi k u ðAb ffi k Ub).
,
La matematica a colori – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara
O
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Scheda per il recupero 15
A Ripasso
Dalla congruenza alla misura
,
DOMANDE
RISPOSTE
Che differenza c’è fra il concetto di
misura e lunghezza (ampiezza) di un
segmento (angolo)?
La lunghezza (ampiezza) di un segmento (angolo) è la classe di equivalenza alla
quale appartiene (rispetto alla suddivisione in classi operata dalla relazione di
congruenza). La misura di un segmento (angolo) è un numero reale non negativo.
Potremo dire, per esempio, che:
– la lunghezza del segmento AB è 5 cm (ciò significa che AB appartiene alla
classe a cui appartiene il segmento multiplo del cm secondo il numero 5);
– oppure che la misura di AB, rispetto al cm, è 5.
Analogamente potremo dire, per esempio, che:
– l’ampiezza di un angolo retto è 90 , di un angolo piatto 180 , di un angolo
giro 360 ;
– la misura, in gradi, di un angolo retto è 90, di un angolo piatto è 180, di un
angolo giro 360.
Attenzione!
Sono diffuse espressioni del tipo «la misura di un segmento è 5 cm» (che va intesa nel senso che la misura del segmento è 5,
rispetto al centimetro) oppure «la lunghezza del segmento è 5» (forma concisa della forma più corretta: «la misura della
lunghezza del segmento è 5»). Esse sono accettabili purché vengano ben interpretate.
Scheda
15
B Verifica delle conoscenze
Completa
1
La relazione di congruenza è riflessiva, .................... e ...................., quindi è una relazione d’equivalenza.
2
La somma di due segmenti adiacenti AB e BC è il segmento ............... .
4
Il multiplo secondo un numero naturale n 1 di un segmento AB è la somma di .......... segmenti congruenti ad AB.
La differenza di due segmenti AB e CD, con AB > CD, è il segmento che, addizionato a CD, dà come risultato
............... .
5
6
b b e bO
bc è l’angolo ............... .
La somma di due angoli adiacenti aO
7
Per somma di due angoli non adiacenti e , si intende la somma di due angoli .................... ad e ma adiacenti fra
loro.
8
Il multiplo secondo un numero naturale n 1 di un angolo è la somma di .......... angoli congruenti ad .
9
La differenza di due angoli e , con > , è l’angolo che, addizionato a , dà come risultato ............... .
10 L’ampiezza dei due angoli in cui un angolo retto resta diviso dalla sua bisettrice è .................... .
11 L’ampiezza dei due angoli in cui un angolo piatto resta diviso dalla sua bisettrice è .................... .
12 L’ampiezza del complementare di un angolo di 15 è .......... .
13 L’ampiezza del supplementare di un angolo di 130 è .......... .
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3 Per somma di due segmenti non adiacenti AB e CD, si intende la somma di due segmenti .............................. ad AB e CD,
ma adiacenti fra loro.
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Scheda per il recupero 15
C Esercizi guidati
Dalla congruenza alla misura
Completa la seguente tabella in cui ti guidiamo a svolgere una semplice dimostrazione.
Passi
Due segmenti AB e CD, appartenenti alla stessa retta orientata nel verso da A a
B, sono tali che A precede B, B precede C e C precede D. Dimostra che, se
AC ffi BD, allora AB ffi CD.
Rappresenta la situazione descritta
dal problema con un disegno.
................................................................................
Individua l’ipotesi.
................................................................................
Individua la tesi.
................................................................................
Completa la seguente traccia di
dimostrazione.
In base alla definizione di differenza tra segmenti:
AB ffi AC ::::::::::
CD ffi :::::::::: BC
I due segmenti AB e CD risultano allora la differenza di segmenti
rispettivamente congruenti (infatti AC ffi :::::::::: per ipotesi e BC ffi BC per la
proprietà riflessiva della relazione di congruenza), dunque sono ::::::::::::::::::::
2
Completa la seguente tabella.
u
A
u
B
Misura di AB rispetto a u ¼ ..........
3
C
D
Misura di CD rispetto a u ¼ ..........
u
E
F
Misura di EF rispetto a u ¼ ..........
Fai riferimento alla figura qui a fianco.
a. Come sono gli angoli e ?
Complementari
α
Supplementari
β
Opposti al vertice
Supplementari
δ
γ
c. Sapendo che ¼ 15 , calcola le ampiezze degli altri angoli.
¼ ::::::::::
¼ ::::::::::
¼ ::::::::::
4
Completa la seguente tabella in cui ti guidiamo a risolvere un problema sul calcolo delle ampiezze di alcuni angoli.
Passi
Rappresenta la situazione descritta dal
problema con un disegno
Scrivi le relazioni tra e fornite dal
testo e determina le loro ampiezze.
Due angoli supplementari e sono tali che è il quadruplo di . Qual è
l’ampiezza dell’angolo formato dalle bisettrici di e ?
................................................................................
Sappiamo che ¼ 4 e che þ ¼ ::::::::::
Se ne deduce che
þ 4 ¼ :::::::::: ) 5 ¼ :::::::::: ) ¼ ::::::::::
Pertanto ¼ 180 ¼ :::::::::::::::
Determina infine l’ampiezza dell’angolo
formato dalle bisettrici di e .
L’ampiezza dell’angolo formato dalle bisettrici di e è uguale a:
þ ¼ ::::::::::
2
2
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b. Come sono gli angoli e ?
Complementari
Opposti al vertice
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Scheda
D Esercizi da svolgere
a.
b.
c.
d.
e.
f.
due angoli supplementari sono consecutivi
due angoli adiacenti sono supplementari
un angolo ottuso viene diviso dalla bisettrice in due angoli acuti
due angoli opposti al vertice non possono essere retti
due angoli supplementari sono adiacenti
due angoli complementari non nulli sono necessariamente acuti
A
A
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
B
B
C
A
D
B
C
C
AB + CD
AB − CD
2AB e 3CD
D
Costruisci gli angoli indicati al di sotto di ciascuna delle seguenti figure.
β
α
α+β
4
V
Costruisci con riga e compasso i segmenti indicati al di sotto di ciascuna delle seguenti figure.
D
3
Dalla congruenza alla misura
Vero o falso?
1
2
Scheda per il recupero 15
β
α
β
α
β−α
5(β − α)
Completa la seguente tabella disegnando angoli che soddisfino le proprietà descritte.
Due angoli complementari opposti
al vertice
Due angoli supplementari non
adiacenti
Due angoli consecutivi, uno acuto
e l’altro ottuso
bb, bO
bc e c O
bd tre angoli con b O
bc adiacente ad a O
bb e c O
bd adiacente a b O
bc. Sia r la bisettrice dell’angolo aO
bb
Siano aO
b
b
b
e s la bisettrice dell’angolo c Od. Dimostra che r Oc ffi bOs.
6
2
1
di un angolo piatto e l’angolo è
di un angolo retto. Qual è l’ampiezza (in gradi) dell’angolo
3
4
þ ? E dell’angolo ?
[142,5 ; 97,5 ]
7
L’angolo è
8
Due angoli complementari e sono uno il quadruplo dell’altro. Determina:
a. l’ampiezza di ciascuno dei due angoli;
b. l’ampiezza dell’angolo formato dalle bisettrici di e .
[a. 18 , 72 ; b. 45 ]
Due angoli e sono uno il triplo dell’altro e l’ampiezza dell’angolo formato dalle bisettrici di e è 24 . Quali sono le ampiezze di e ?
[12 , 36 ]
9
La matematica a colori – Petrini f 2014 – De Agostini Scuola SpA – Novara
5 Siano AB, BC, CD e DE quattro segmenti con AB adiacente a BC, BC adiacente a CD e CD adiacente a DE, tali che
AD ffi BE e C è il punto medio di BD. Dimostra che AB ffi DE e AC ffi CE.
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