4. Metodo semiprobabilistico agli stati limite Tale metodo consiste

4. Metodo semiprobabilistico agli stati limite
Tale metodo consiste nel verificare che le grandezze che influiscono in senso positivo
sulla sicurezza, valutate in modo da avere una piccolissima probabilità di non essere
superate, siano più grandi delle grandezze che influiscono in senso negativo sulla sicurezza,
valutate in modo da avere una piccolissima probabilità di essere superate.
Si considera un valore della resistenza che ha una piccola probabilità di non essere
superato (5%) e un valore della sollecitazione con una grande probabilità di non essere
superato (95%) e si verifica che:
Sk < Rk
(metodo dei valori estremi)
dove Rk e Sk sono i valori caratteristici della resistenza e della sollecitazione.
Nel metodo semiprobabilistico è possibile, con buona approssimazione per le applicazioni
di ingegneria civile, partire anziché dalla curva sperimentale, la cui determinazione richiede
un numero elevatissimo di punti, dalla curva teorica di Gauss, la cui costruzione richiede un
numero notevolmente inferiore di valori, poiché non si devono misurare delle aree (come nel
metodo probabilistico), ma si devono misurare delle ordinate (i valori caratteristici).
Ciò costituisce una notevole semplificazione, in quanto per tracciare la curva di Gauss
basta determinare due parametri: il valore medio e lo scarto quadratico medio.
Per coprire errori di carattere grossolano, errori di valutazione, la verifica è effettuata non
sui valori caratteristici, ma sui valori di calcolo.
La resistenza di calcolo Rd è determinata dividendo la resistenza caratteristica Rk per un
coefficiente γm (>1):
Rd = Rk / γm
La sollecitazione di calcolo Sd è determinata amplificando i carichi caratteristici con
opportuni coefficienti moltiplicativi γF dipendenti dal tipo di carico:
Sd = Sd(γFFk).
La verifica di sicurezza consiste nel soddisfacimento della seguente disuguaglianza:
Sd < Rd.
Le Norme Tecniche italiane prescrivono i frattili inferiori di ordine 5% per le resistenze
caratteristiche e i frattili inferiori di ordine 95% per i carichi caratteristici.
Utilizzando la curva di distribuzione di Gauss relativa alle resistenze, il frattile inferiore di
ordine 5% è pari a:
Rk = Rm − 1.64 σRx.
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
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Analogamente dalla curva di distribuzione delle probabilità relativa alle azioni si ricava il
frattile inferiore di ordine 95%:
Fk = Fm + 1.64 σFx.
Particolare attenzione, però, va posta nel calcolo dei valori caratteristici, perché non è
sempre vero che il valore più alto di un carico (il suo frattile inferiore di ordine 95%) sia il
caso più sfavorevole. A volte un’azione può essere a vantaggio di sicurezza e, dunque, un
valore più basso della stessa può costituire una condizione più gravosa. In questo caso
l’azione va calcolata considerando il frattile inferiore di ordine 5%: Fk = Fm − 1.64 σFx. Un
esempio è rappresentato dalle travi precompresse per le quali, in condizione di tiro, la
situazione più sfavorevole si ha per un peso proprio ridotto. Sempre con riferimento alle travi
in c.a.p., la forza di precompressione, che in condizioni di tiro è a sfavore di sicurezza e,
dunque, va presa con il suo valore più alto (frattile inferiore di ordine 95%), in condizioni di
esercizio è invece a vantaggio di sicurezza e, quindi, va considerata con il suo valore più
basso (frattile inferiore di ordine 5%).
I coefficienti di calcolo γm e γF conteggiano tutte le aleatorietà e le incertezze non
comprese nei valori caratteristici. Essi sono calibrati dalle normative in funzione del tipo di
rischio conteggiato ed anche del tipo di materiale utilizzato (il calcestruzzo presenta un grado
di “incertezza” più elevato rispetto all’acciaio e per esso si deve utilizzare un γm più elevato
(Fig. 4.1)).
p (x)
p(S)
σ Sx σ Sx
σ Rx σ Rx
p(R)
Sm(Fm ) Sk(Fk )
0
1.64σ
S
x
S d = S d (γFFk )
Rk
Rm
R
1.64σ x
R,S
Rd =Rk/ γm
Fig. 4.1
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
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Ad esempio, nelle verifiche agli stati limite di esercizio, assumendo i frattili di ordine 5%, i
valori della probabilità di insuccesso sono dell’ordine di 10-2 ÷ 10-3, con i coefficienti di
sicurezza sulle azioni pari ad 1. Viceversa, per gli stati limite ultimi si assumono coefficienti di
sicurezza sulle azioni pari ad 1.3 ÷1.5, riducendo così la probabilità di rovina sull’ordine di
10-5 ÷ 10-6.
Nella seguente tabella sono riportati i coefficienti di sicurezza parziali γm forniti dalla
vigente normativa italiana con riferimento agli S.L.U..
Materiali
γm
c.a.
c.a.p.
acciaio
1.5
1.5
1.15
L’acciaio ha un comportamento più prevedibile (omogeneo, isotropo) ed inoltre c’è un
maggiore controllo nello stabilimento di produzione; pertanto per esso è previsto un
coefficiente di sicurezza minore; anche per gli elementi strutturali prefabbricati in c.a.
ordinario e c.a.p. (travi, pilastri, pannelli, ecc.) realizzati in stabilimenti di prefabbricazione,
con un controllo continuo della produzione, stagionati in ambiente protetto, con procedimenti
di maturazione del calcestruzzo tecnologicamente più avanzati, possono prevedersi valori
ancora più bassi dei coefficienti di sicurezza (1.4 per il calcestruzzo).
Per quanto riguarda gli SLE, i coefficienti parziali di sicurezza γm assumono valori
differenti in base allo stato limite esaminato (fessurazione, tensione, deformazione).
Nella sottostante tabella sono riportati i valori dei coefficienti parziali di sicurezza relativi
alle azioni, sia con riferimento agli SLU che agli SLE strutturali, nella duplice eventualità che
gli stessi carichi possano avere un effetto favorevole o sfavorevole nei confronti della
sicurezza.
Coefficienti γF
S.L.U.
S.L.E.
Favorevole
alla
sicurezza
S.L.U.
S.L.E.
Sfavorevole Sfavorevole
alla
alla
sicurezza
sicurezza
Tipo di carico
γF
Permanente (Gk1)
γG1
1.0
1.3
1.0
Permanente
non strutturale (Gk2)
γG2
0.0
1.5
1.0
Variabile (Qki)
γQi
0.0
1.5
1.0
Precompressione (Pk)
γP
1.0
1.2
1.0
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
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Le azioni caratteristiche sono:
Gk,1: il valore caratteristico del peso proprio di tutti gli elementi strutturali, del peso del
terreno (quando pertinente), delle forze indotte dal terreno e dalla pressione dell’acqua,
degli spostamenti e deformazioni imposte, del ritiro e viscosità, degli spostamenti
differenziali;
Gk,2: il valore caratteristico del peso proprio di tutti gli elementi non strutturali;
Pk:
il valore caratteristico della forza di pretensione e precompressione;
Qk,j: il valore caratteristico della j-esima azione variabile.
I carichi permanenti e la forza di precompressione sono sempre presenti e costanti nel
tempo (in realtà la forza di precompressione è massima all’inizio, in fase di tiro, per poi
assestarsi ad un valore leggermente minore in esercizio).
Per i carichi variabili, invece, è estremamente improbabile che agiscano tutti
contemporaneamente e con i loro valori massimi. Per tale motivo si considera un’unica
azione variabile per volta agente con il suo valore massimo, mentre tutte le altre sono
moltiplicate per dei coefficienti riduttivi ψo,j < 1 determinati statisticamente imponendo che il
contemporaneo verificarsi di tutte le azioni variabili abbia la stessa probabilità di non essere
superato dell’azione variabile di base della combinazione.
Per il calcolo delle sollecitazioni agli stati limite ultimi si deve considerare la seguente
combinazione di carico fondamentale:
Fd = γ G1G k1 + γ G2 Gk 2 + γ PPk + γ Q1Q k1 +
n
∑γ
Qj ψ 0 j Q kj
j= 2
I simboli
∑
e “+” indicano la contemporaneità delle azioni agenti sulla struttura. Da questa
combinazione simbolica discendono numerose combinazioni di carico agli SLU stante la
variabilità dei coefficienti γF, a seconda che il contributo di ciascun carico sia favorevole o
sfavorevole alla sicurezza, e l’opportunità di assumere uno alla volta ciascuno dei carichi Qk,j
come carico base. I coefficienti di combinazione ψo,j, da determinarsi sulla base di
considerazioni statistiche, tengono conto della ridotta probabilità di concomitanza delle azioni
variabili con i rispettivi valori caratteristici. Essi assumono valori differenti in funzione della
destinazione d’uso della costruzione, come descritto nella successiva tabella.
Categoria/Azione variabile
Cat. A
Cat. B
Cat. C
Cat. D
Cat. E
Cat. F
Cat. G
Ambienti ad uso residenziale
Uffici
Ambienti suscettibili di affollamento
Ambienti ad uso commerciale
Biblioteche, archivi, magazzini e ambienti ad uso industriale
Rimesse e parcheggi (per autoveicoli di peso <= 30 KN)
Rimesse e parcheggi (per autoveicoli di peso > 30 KN)
Metodo semiprobabilistico agli stati limite
ψ0,j
ψ1,j
ψ2,j
0.7
0.7
0.7
0.7
1.0
0.7
0.7
0.5
0.5
0.7
0.7
0.9
0.7
0.5
0.3
0.3
0.6
0.6
0.8
0.6
0.3
30
Cat. H Coperture
Vento
Neve (a quota <= 1000 m s.l.m.)
Neve (a quota > 1000 m s.l.m.)
Variazioni termiche
0.0
0.6
0.5
0.7
0.6
0.0
0.2
0.2
0.5
0.5
0.0
0.0
0.0
0.2
0.0
Agli Stati Limite di Esercizio sono previste le seguenti combinazioni di carico:
1) combinazione caratteristica rara (SLE irreversibili):
Gk1 + Gk 2 + Pk + Q k1 +
n
∑ ψ 0 jQkj
j= 2
2) combinazione frequente (SLE reversibili):
Gk1 + Gk 2 + Pk + ψ11Q k1 +
n
∑ ψ 2 jQkj
j=2
3) combinazione quasi permanente (SLE per effetti a lungo termine):
Gk1 + Gk 2 + Pk + ψ 21Q k1 +
n
∑ ψ 2 jQkj
j= 2
Il coefficiente ψ1j definisce il valore frequente dell’azione variabile Qkj, assimilabile al
frattile di ordine 95% della distribuzione temporale dell’intensità e cioè che è superato per
una limitata frazione del periodo di riferimento.
Il coefficiente ψ2j definisce il valore quasi permanente dell’azioni variabile Qkj, assimilabile
al valore medio della distribuzione temporale dell’intensità.
Per la verifica dello stato limite di fessurazione, la normativa impone l’utilizzo delle
combinazioni di carico frequenti e quasi permanenti a seconda delle condizioni ambientali
(ambiente poco aggressivo, moderatamente aggressivo, molto aggressivo).
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