LA DISTRIBUZIONE NORMALE

LA DISTRIBUZIONE NORMALE
Andrea Pavan
http://vision.psy.unipd.it/pavan.htm
08/10/2007
La Distribuzione Normale

La Distribuzione Normale riveste un ruolo
importante nella teoria della probabilità e in
statistica.


Per la ricerca psicologica l’importanza di questa distribuzione
sta nel fatto che i dati di molte variabili psicologiche si
distribuiscono secondo una funzione che per la forma viene
detta a campana, gaussiana (Gauss, 1777-1855) o normale.
La distribuzione normale gode di proprietà che rendono
facile la sua utilizzazione; nella pratica si ricorre a queste
proprietà quando una variabile casuale continua è distribuita
normalmente o quasi.
2
Le variabili casuali continue

Definizione: se la variabile casuale X assume tutti gli
infiniti valori di R, o di un suo intervallo [a, b], è
chiamata variabile casuale continua.


Nel caso di una variabile casuale discreta la distribuzione di
probabilità può sempre essere definita assegnando, ad ogni
valore che la variabile può assumere, una probabilità
positiva tale che la somma delle probabilità sia sempre 1.
La distribuzione di probabilità di una variabile casuale
continua non può essere specificata nello stesso modo. È
impossibile, infatti, assegnare probabilità non nulle a tutti i
punti di un intervallo e soddisfare la richiesta che la somma
delle probabilità dei distinti valori possibili sia 1.
3
Le variabili casuali continue

Esempio: consideriamo la piovosità
giornaliera. Qual è la probabilità di
avere una misura di piovosità
esattamente di 5.57 cm ossia P(X =
5.57)? Non potremmo mai osservare
l’esatto valore anche se misurassimo la
piovosità per tutta la durata della vita,
nonostante si potrebbero avere per
molti giorni misure di piovosità fra i 5 e
i 6 cm.
4
Le variabili casuali continue

Per assegnare quindi dei valori di
probabilità ad una variabile aleatoria
continua è necessario definire una
funzione ripartizione (o funzione di
distribuzione cumulativa).
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Le variabili casuali continue

Definizione: la funzione di ripartizione di una variabile
casuale “X” a valori reali è la funzione che associa a ciascun
valore x la probabilità dell‘evento “la variabile casuale X assume
valori minori o uguali ad x”.
In altre parole è la funzione con dominio la retta reale e
immagine l'intervallo [0,1] definita da:
F ( x)  P( X  x)

, per -∞ < x < +∞
… ed è caratterizzata dalle seguenti proprietà:
F(x) è una funzione non decrescente di x
6
Le variabili casuali continue

Una volta definita la funzione ripartizione, è importante definire pure
la funzione di densità di probabilità di una variabile continua.
Se F(x) è la funzione ripartizione di una variabile casuale continua,
allora la funzione f(x) definita da
dF ( x)
f ( x) 
 F ' ( x)
dx
costituisce la funzione di densità di probabilità di X.

La funzione di densità di probabilità è caratterizzata dalle seguenti
proprietà:
1.
2.
Associa sempre un valore non negativo a ciascun valore di X
L’area sottesa al grafico della funzione f(x) è uguale a 1
7
Le variabili casuali continue



Definite la funzione di ripartizione e la funzione di densità di
probabilità è possibile illustrare la procedura che consente di
associare i valori di probabilità ad una variabile casuale
continua.
Per una variabile casuale continua X la probabilità P(c ≤ X ≤
d) è uguale all’area sottesa dalla funzione di densità f(x)
nell’intervallo [c,d].
Se la variabile casuale X ha una funzione di densità f(x) e
c≤d, allora la probabilità che X assuma un valore compreso
nell’intervallo [c,d] è:
d
P(c  X  d )   f ( x)dx
c
8
La Distribuzione Normale

La distribuzione normale o gaussiana è la più
importante distribuzione di probabilità di variabili
continue, in quanto permette di ottenere delle
approssimazioni di probabilità per molte altre
distribuzioni, quali:


Trasformazioni di variabili continue non normali che danno
luogo a nuove variabili continue che sono distribuite in modo
normale esatto o approssimativamente normale.
Somme di variabili continue che, sotto certe condizioni,
possono essere approssimate da una distribuzione normale.
9
La Distribuzione Normale

Una v.c. X ha una distribuzione normale,
con media µ e varianza σ2, se:

la sua funzione di densità di probabilità è
data da:
1
f (X ) 
e
 2
1  X  
 

2  
2
   X  
10
La Distribuzione Normale
f (X ) 
1
e
 2
Rappresentazione grafica di una distribuzione normale
1  X  
 

2  
2
11
La Distribuzione Normale

.. e se la sua funzione di ripartizione è data da:
X
1
F(X )  
e
  2
1  X  
 

2  
2
   X  
12
La Distribuzione Normale

1
f (X ) 
e
 2
dove:

1  X  
 

2  
2
= deviazione standard della popolazione dei dati,
 = nota costante 3,14…,
e = base dei logaritmi naturali (2,7183…),
= scarto dalla media della distribuzione
X    elevato al quadrato;
2
13
La Distribuzione Normale

La v.c. normale di tipo continuo, che assume
valori compresi tra -∞ e +∞, descrive una
curva di tipo simmetrico e campanulare,
dotata delle seguenti caratteristiche:

la curva è perfettamente simmetrica all’ordinata massima Y,
cioè dove la funzione f(X) raggiunge il suo punto più alto,
che è in corrispondenza di Xi = µ; questo fatto comporta che
media, mediana e moda coincidano;
14
La Distribuzione Normale




la sua funzione di distribuzione f(X) è asintotica di X verso ∞ e +∞ (la curva si avvicina all’asse delle ascisse senza mai
toccarla); tuttavia per Xi che dista più di 3 σ dalla media, la
distanza tra la curva e l’asse delle X è estremamente piccola;
è crescente per valori della X che vanno da -∞ a µ ed è
decrescente per valori che vanno da µ a +∞;
è completamente caratterizzata dai due parametri µ e σ2 e
dalle tre costanti 2, p, e;
presenta due punti di flesso in corrispondenza di µ+σ e µ-σ;
cioè i punti in cui la curva da convessa diventa concava si
trovano in corrispondenza a ±1 deviazione standard dalla
media;
15
La Distribuzione Normale
Rappresentazione grafica di una distribuzione normale
16
La Distribuzione Normale

La probabilità relativa ad intervalli di valori della
funzione normale è così definita: per un valore di
Xi = a, la probabilità dell’intervallo di valori: -∞
< X < a corrisponde alla integrale:
a
1
P(a)  
e
  2
1  X  
 

2  
2
dX i
P(a) = probabilità dell’intervallo di valori tra - ∞ ed a
17
La Distribuzione Normale

La distribuzione rappresentata dalla relazione
mostrata precedentemente si chiama anche
“curva degli errori”; ciò è dovuto al fatto che
questa curva serve a rappresentare la legge
con cui si distribuiscono gli errori di natura
accidentale.
Il calcolo dell’integrale dipende dai valori µ e
σ2; pertanto si può dire che la probabilità
associata ad un intervallo di valori X è
funzione dei due parametri µ e σ2.
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Valori attesi della Distribuzione
Normale

I due parametri della variabile casuale normale,
detti pure valori attesi, cioè µ e σ2, corrispondono
alla media E(X) e varianza Var(X) della
distribuzione. Si dimostra infatti che, per mezzo del
calcolo integrale:

1
E( X )     X
e
 2

1  X  
 

2  

2
dX
1
Var ( X )     ( X   )
e
 2

2
2
1  X  
 

2  
2
dX
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Valori attesi della Distribuzione
Normale

Dalle precedenti formule consegue che
ogni distribuzione normale è
univocamente definita dalla media e
dalla varianza.
Le distribuzioni normali possono
differire, pertanto, per la media e
varianza, nonostante mantengano
costanti le caratteristiche.
20
Valori attesi della Distribuzione
Normale
Si può osservare come al variare della media e della varianza la curva
subisca sia uno spostamento sull’asse dell’ascissa, sia un appiattimento;
mentre se si fa variare solo la varianza e si tiene costante la media, la
curva si appiattisce quando la varianza cresce e diventa più appuntita
quando la varianza cala, mentre il centro di gravitazione rimane lo stesso.
21
La Distribuzione Normale
standardizzata

La distribuzione normale contiene due
parametri, µ e σ2, che ne rendono
difficile il calcolo. Il ricorso alla cosidetta
“distribuzione standardizzata” o
“ridotta” consente invece di individuare
le probabilità relative ai diversi intervalli
di valori mediante le tavole di
probabilità.
22
La Distribuzione Normale
standardizzata

La distribuzione normale standardizzata si
ottiene con la trasformazione lineare dei punti
grezzi in punti z:
z
( X  z)

e quindi
z 
2
( X  )

2
2
23
La Distribuzione Normale
standardizzata

La funzione di densità di probabilità della
distribuzione normale standardizzata f(z)
diventa:
1
f ( z) 
e
2
1 2
 z
2
   z  
24
La Distribuzione Normale
standardizzata
La distribuzione normale
standardizzata presenta le
stesse caratteristiche della
distribuzione normale NON
standardizzata. Ciò che
distingue le due distribuzioni
è che la normale
standardizzata ha MEDIA=0
e
DEVIAZIONE STANDARD=1,
per cui è rappresentata da
UNA SOLA CURVA, mentre
la distribuzione normale
generale è costituita da
infinite curve a seconda dei
valori di µ e σ.
25
Probabilità della curva normale
standardizzata e relative tavole

L’importanza della distribuzione normale
standardizzata sta nel fatto che le probabilità
corrispondenti alle superfici racchiuse dalla
curva normale possono essere calcolate.
Queste probabilità sono state tabulate e
vengono riportate in apposite tabelle.

Ciò evita il calcolo di integrali per trovare le
probabilità che una v.c. X assuma valori compresi
all’interno di intervalli della retta reale.
26
Probabilità della curva normale
standardizzata e relative tavole

È noto che il 68.26% dell’area totale è
compreso tra ±1 deviazione standard
attorno alla media, cioè a ±1 punto z
dalla media; mentre il 95.44% è
racchiuso tra ±2 deviazioni standard
attorno alla media: quindi a ±2 punti z
dalla media.
27
Probabilità della curva normale
standardizzata e relative tavole

Le tavole di probabilità della
distribuzione normale vengono
utilizzate per due scopi:
1.
2.
Per calcolare l’area compresa tra due
determinati valori della variabile
oggetto di studio;
Per conoscere la quantità dei punteggi
compresi tra due valori di una variabile
casuale.
28
Probabilità della curva normale
standardizzata e relative tavole

1.
2.
Ne troviamo di due tipi:
Quelle relative alla probabilità dei singoli
valori di Y(altezze della curva). Questo tipo
di tavola ha scarse applicazioni.
Quelle relative alla probabilità totale
compresa tra due limiti qualunque X1e X2 di
una variabile normale standardizzata.
Questo tipo di tavola invece viene utilizzato
maggiormente.
29
Probabilità della curva normale
standardizzata e relative tavole
Nello specifico tratteremo il secondo
tipo di tavole.
A causa della simmetria della
distribuzione queste tavole riportano
soltanto i valori delle probabilità
comprese fra lo zero e l’ascissa +X,
essendo quelle dell’altra metà della
curva del tutto uguali.
30
Probabilità della curva normale
standardizzata e relative tavole

Osservando la tavola si troveranno i
punti z nella colonna di sinistra con una
cifra decimale; la seconda cifra
decimale è posta nella prima riga in alto
della stessa tavola.
31
In termini pratici…
Supponiamo di voler conoscere l’area
compresa tra le ordinate corrispondenti
a z=0 e z=1,96.
32
In termini pratici…

Osservando la colonna dei punti z, si deve
scendere fino a trovare z=1,9 e, rimanendo
nella stessa riga fino a trovarsi in quella
indicata con 6. Il punteggio che troverete in
quel punto indica la porzione di area
compresa tra le due ordinate: 0,4750. Poiché
l’area totale sotto la curva alla destra
dell’ordinata corrispondente a z=0,00 è
0,5000,l’area alla destra dell’ordinata di z
=1,96 sarà : 0,5000-0,4750=0,0250.
33
In termini pratici…

Supponiamo di voler conoscere la porzione di
area sotto la curva tra le ordinate
corrispondenti a z=-1,00 e z=+1,00.
34
In termini pratici…
Cercando nella tabella troverete che la
porzione di area sotto la curva compresa
z=0,00 e z=1,00 è 0,3413. Dalla
porzione opposta della curva si troverà
ovviamente lo stesso valore, quindi la
proporzione di area si otterrà sommando
i due valori: 0.3413+0,3413=0,6826.
35
In termini pratici…

Supponiamo ora di voler trovare l’area
sotto la curva compresa tra z=0,50 e
z=2,50.
36
In termini pratici…

Poiché le tavole danno solo le aree a partire dal
punto z=0,00, il calcolo richiede il seguente
passaggio:



l’area tra le ordinate corrispondenti a z=0,00 e z=0,50 è
0,1915; mentre l’area tra z=0,00 e z=2,50 è 0,4938. È allora
necessario togliere la porzione di area che va da z=0,00 a
z=0,50.
Basta allora sottrarre le due precedenti aree: 0,49380,1915=0,3023. Il punteggio ottenuto è la proporzione di
area ricercata.
se si vuole esprimere le proporzioni di area in
percentuale,basta moltiplicare le aree per 100.
37