Moto rettilineo del punto materiale

•
Un’asta di acciaio ha un diametro di 3.000 cm alla temperature di 25°C. Un
anello di ottone ha un diametro interno di 2.992 cm alla temperatura di 25°C. A
quale temperatura comune l’asta si infilerà nell’anello.
•
•
Dalla tabella dei coefficienti di dilatazione lineare
ricaviamo
ottone=19x10-6 °C-1
acciaio=11x10-6 °C-1
Applic
azione
1
d asta  d asta_ 25C 1  acciaoDT 
d anello  d anello_ 25C 1  otto neDT
•
Imponiamo l’uguaglianza tra i due diametri e ricaviamo la variazione di
temperatura DT comune
d asta_ 25C 1  acciaoDT   d anello _ 25C 1  otto neDT 
d asta_ 25C  danello _ 25C  danello _ 25C otto neDT  dasta_ 25C acciaoDT 
DT 
dasta_ 25C  d anello_ 25C

d anello_ 25C otto ne  dasta_ 25C acciao
3.000cm  2.992cm
0.008  106

 335.4C
6
1
6
1 
2.992cm  19  10 C  3.000  11  10 C
23.848
56.84 8
33.00 0
DT  T  25C  335.4C  T  335.4C  25C  360C
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Calcolate il calore specifico di un metallo dai seguenti dati. Un contenitore fatto
di questo metallo ha una massa di 3.6kg e contiene 14 kg di acqua. Un pezzo di
1.8kg di metallo inizialmente alla temperatura di 180°C viene immerso
nell’acqua.
Il contenitore e l’acqua inizialmente hanno una temperatura di 16 °C e la
temperatura finale di tutto il sistema è 18°C.
•
•
•
•
Applic
azione
2
Dalla tabella dei calori specifici ricaviamo che quello
dell’acqua vale
cacqua=4190 J/ kgK
Osserviamo che il calore ceduto dal pezzo di metallo è stato tutto acquisito
dall’acqua e dal contenitore.
Il calore ceduto dal pezzo di metallo vale
•
Qc  cmDTmetallo
•
Il calore acquisito dall’acqua e dal contenitore vale:
Qa  cacqua m acqua DTacqua  cm con tenito reDTacqua
c acqua m acqua DTacqua  cm con tenito reDTacqua  mcDTmetallo
c 
cacqua m acqua DTacqua
mDTmetallo  m con ten ito reDTacqua

4190  14  2
117320

 412J / kgK
1.8  162  3.6  2 284.4
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Un thermos isolato contiene 130 g di caffè caldo, alla temperatura di 80° C.
Per raffreddare il caffè aggiungete all’interno del thermos un cubetto di ghiaccio
di massa 12g tolto da una cella frigorifera alla temperatura di -10°C. Di quanti
gradi si sarà raffreddato il caffè dopo che il ghiaccio si è fuso e si sarà raggiunta
la condizione di equilibrio finale? Trattate il caffè come se fosse acqua pura e
trascurate gli scambi termici con l’ambiente circostante.
•
•
Dalla tabella dei calori specifici e da quello dei calori
latenti ricaviamo:
cacqua=4190 J/ kgK, cghiaccio=2220J/kgK, Lf=333kJ/kg
•
Il ghiaccio subirà le seguenti trasformazioni
Applic
azione
3
– Riscaldamento da -10°C a 0°C
Q1=mghiacciocghiaccio (Tf=0°C-Ticghiaccio)=266.4J
– Fusione a 0°C
Q2=mghiaccioLf=3996J
– Riscaldamento da 0°C alla temperatura finale Q3=mghiacciocacqua (Tf-T0°)
•
Il caffè, invece, subirà la seguente trasformazione
– Raffreddamento da 80°C alla temperatura finale Q4=mcaffècacqua (Tf-Ticaffè) (<0)
Q1  Q2  Q3  Q 4
Q1  Q2  mghiaccioc acqua Tf  T0C   mcaffècacqua Tf  Ticaffè
m caffèc acqua Ticaffè  m ghiacciocacqua T0C  Q1  Q2
Tf 
m caffèc acqua  m ghiaccioc acqua
3
130  10  4190  80  0  266.4J  3996J

 66C
3
3
G.M.
- Informatica B-Automazione 2002/03
130  10  4190  12  10  4190
Una barra cilindrica di rame lunga 1.2 m e con sezione di area 4.8 cm2 è isolata
per impedire perdite di calore attraverso la sua superficie laterale. Le estremità
vengono mantenute ad una differenza di temperatura di 100°C ponendo una
estremità in una miscela di acqua e ghiaccio e l’altra in acqua bollente e vapore
Trovate quanto calore viene trasmesso nell’unità di tempo lungo la sbarra
Quanto ghiaccio si fonde nell’unità di tempo all’estremità fredda
•
•
•
•
•
Applic
azione
4
Dalla tabella delle conducibilità termiche e dei calori
latenti ricaviamo
krame=401W/ mK, Lf=333kJ/kg
Q
DT
W
100 C
P
 kA
 401
4.8 102 m 2
 16.0W
L
mK
1.2m
 Dt
Q
J
16.0
Dm L f
1 Q
16.0 3 kg
3 kg
s




10
 0.048  10
J
3
Dt
Dt L f Dt 333  10
333
s
s
kg
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
•
Appli
cazio
ne 5
Una quantità di gas ideale monoatomico alla temperatura di 10.0°C e a una
pressione di 100 kPa occupa un volume di 2.50 m3. Il gas viene riscaldato a
volume costante fino a quando la pressione diventa 300 kPa .
Determinare il calore assorbito dal gas e la variazione di energia interna.
P
PV  nRT
N
100  10 2  2.50m 3
P1Vo
m
n

 106.2mol
J
RT1 8.314
273.15  10.0K
mol  K
3
P2
P1
Vo
N
300  103 2  2.50m 3
PV
m
T2  2 o 
 849.4K
J
nR
8.314
106.2mol
mol  K
W0
V
T
DU  Q
T+dT
3
J
DU  nC VDT  106.2mol   8.134
849.4  283.15K 
2
mol  K
 733.7kJ
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
•
Una quantità di gas ideale biatomico alla temperatura di 0.0°C e a una pressione
di 100 kPa occupa un volume di .50 m3. Il gas viene riscaldato a pressione
costante fino a quando il volume raddoppia.
Determinare il calore assorbito dal gas, la variazione di energia interna, il lavoro
effettuato.
P
PV  nRT
N
3

.50m
2
PVi
m
n

 22.0mol
J
RT i 8.314
273.15K
mol  K
100  103
N
100  103 2  1.00m 3
PVf
m
Tf 

 546.7K
J
nR 8.314
22.0mol
mol  K
Appli
cazio
ne 6
P
Vi
Vf
V
W  PVf  Vi   100 103 Pa  1.00  .50  50kJ

5
J
DU  nC VDT  22.0mol   8.134
546.7  273.15K 
2
mol  K
d
 122.4kJ
7
J
Q  nC P DT  22.0mol   8.134
546.7  273.15K  171.4kJ
2
mol  K
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Appli
cazio
ne 7
Calcolate il lavoro svolto da un agente esterno durante una compressione
isoterma di una certa quantità di ossigeno da un volume di 22.4 L alla
temperatura di 0.00°C e 1 bar di pressione a un volume di 16.8L.
N
3 3

22.4

10
m
2
PVi
m
n

 0.99mol
J
RT i 8.314
273.15K
mol  K
105
P
Pf
Isoterma
W
dW  PdV

f
PdV 
i

f
i
nRT
dV   nRT
V

Pi
f
i
dV
V
 nRT logV i  nRT logV f  logV i   nRTlog
f

Vf
Vf
Vi
Vi
V
PV  nRT
Vf
J
16.8
W  nRTlog
 1mol  8.314
273.15Klog
 639.17J
Vi
molK
22.4
DU  0
DU  Q  W
QW
West  W  639.17J
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Una certa massa di gas occupa un volume di 4.3 L a una pressione di 1.2 bar e
una temperatura di 310 K.
Essa viene compressa adiabaticamente fino a un volume di 0.76 L.
Determinare la pressione finale e la temperatura finale supponendo che si tratti
di un gas ideale per il quale g=1.4.
•
•
•
•
Dobbiamo innanzitutto determinare l’espressione di una adiabatica reversibile.
Troveremo infatti che l’adiabatica reversibile vale
PV  nRT
PVg  cos t
•
Appli
cazio
ne 8
O una equazione che deriva da questa utilizzando l’equazione di stato
PVg 
1
g
nRT g
V  cos t  TV g 1  cos t
V
P V P
1
g
nRT
 cost  TP
P
1
1
g
 cos t
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
•
•
•
Appli
cazio
ne 9
PV  nRT
Una certa massa di gas occupa un volume di 4.3 L a una pressione di 1.2 bar e
una temperatura di 310 K.
Essa viene compressa adiabaticamente fino a un volume di 0.76 L.
Determinare la pressione finale e la temperatura finale supponendo che si tratti
di un gas ideale per il quale g=1.4.
L’ adiabatica reversibile vale
PVg  cos t
Pf Vfg  Pi Vig
g
1.4

V

4.3

  13.56bar
Pf Vfg  Pi  i   1.2 105 
Vf 
0.76 
Tf Vfg 1

Ti Vig 1
Pi Vi  nRTi
Pf Vf  nRT f
g1
Vi 
Tf  Ti  
Vf 
0.4
 4.3 
 310K
0.76 
 620K
Pf Vf
Tf  Ti
Pi Vi
13.56bar  0.76L
Tf  310K
 619.1K
1.2bar  4.3L
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
•
In figura sono illustrate le quattro trasformazioni reversibili (isocora, isobara,
isoterma ed adiabatica) subite da una certa quantità di gas ideale.
Identificate le quattro trasformazioni e poi ordinatele
– secondo i valori decrescenti del calore assorbito dal gas
– secondo i valori decrescenti del lavoro effettuato dal gas
– secondo i valori decrescenti della variazione di energia interna
•
–
–
–
–
•
•
•
•
•
Secondo valori decrescenti del lavoro
effettuato (area al di sotto della
trasformazione)
1
2
3
4
Isobara
Isoterma
Adiabatica
Isocora
Secondo valori decrescenti della
variazione di energia interna
DU=nCVDT
– 1 Isobara
– 2 Isoterma
– 3 Adiabatica, 4 Isocora a pari
merito
•
Appli
cazio
ne 10
PV  nRT
1
2
3
4
Isobara
Isoterma
Adiabatica
Isocora
Secondo valori decrescenti del calore
assorbito Q= DU+W
–
–
–
–
1
2
3
4
Isobara (Q= DU+W)
Isoterma (Q=W)
Adiabatica, (Q=0)
Isocora
(Q<0)
G.M.
- Informatica B-Automazione 2002/03
•
Un gas monoatomico ideale, a una temperatura iniziale To (in Kelvin) si espande
da un volume Vo ad un volume 2Vo per mezzo di uno dei cinque processi indicati
nel grafico delle temperature in funzione del volume mostrato in figura.
– In quale processo l'espansione è
• isoterma
• isobara (pressione costante)
• adiabatica
Appli
cazio
ne 11
– Date una spiegazione alle vostre risposte.
•
•
Isoterma trasformazione AE
Isobara trasformazione AC
PVo  nRTo
P2Vo  nRT1

T1  2To
•
Adiabatica trasformazione AF
T1 2Vo 
g 1
 To Vog 1
 T1 
To
To

g1
1.661  .63To
2
2
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
•
•
•
•
Un gas ideale subisce una compressione adiabatica reversibile da P=1.0 bar,
Appli
V=1.0 106 litri, T=0.0 °C a P= 1.0 105 bar, V=1.0 103 litri.
Si tratta di un gas monoatomico, biatomico o poliatomico?
cazio
Qual è la temperatura finale?
ne 12
Quante moli del gas sono presenti?
Qual è l’energia cinetica traslazionale per ogni mole prima e dopo la
compressione?
g

Pi
V

Pi
V
  f   log  glog f
PiVig  PfVfg
Pf Vi 
Pf
Vi
Pi
1
log
log
5
Pf
log105 5  log10 5
10
g 



  1.66
Vf
103 log103 3  log10 3
log
log 6
Vi
10
Po Vo
105 Pa  10 3 m 3
• Il gas è monoatomico
Po Vo  nRT o  n 

 44000mol
RTo 8.31 J 273.15K
molK
PV
Tf  f f
nR
Tf  K 
101 0 Pa  1m 3
 Tf 
 27349K
J
8.31
44000mol
molK
3
kT 
2
Kmol  NA
3
3
3
kT  RT  8.31  273.15  3404J
2
2
2
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Studio del ciclo di Carnot percorso da un
gas perfetto
DU  Q  W
•
Trasformazione ab - Espansione isoterma
– DU=0, Q1=Wab
– La trasformazione è reversibile: possiamo
suddividerla in tratti infinitesimi
– Il lavoro in ciascun tratto infinitesimo sarà:
dW=PdV
– Il lavoro complessivo

b

b
nRT1
Wab  PdV 
dV  nRT1
V
a
a
V
b
 nRT1lnV a  nRT1ln b
Va

b
a
dV

V
Va
Vb
– Dato che Vb è maggiore di Va (espansione) il lavoro è positivo
– Il calore Q1 è uguale al lavoro: è anch’esso positivo (calore assorbito)
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Studio del ciclo di Carnot percorso da un
gas perfetto
DU  Q  W
•
Trasformazione bc - Espansione adiabatica
– Qbc=0, DUbc =-Wbc
– La variazione di DU energia del gas perfetto
DUbc  nC V T2  T1 
– Dato che T2 è più piccolo di T1, DU <0
– Il lavoro W è maggiore di zero (il lavoro viene
fatto dal sistema sull’ambente esterno
Wbc  nC V T2  T1
•
Trasformazione cd - Compressione isoterma
– DU=0, Q2=Wcd
– Operando come sulla trasformazione ab, otteniamo
il lavoro complessivo
Va
Vd Vb
Wcd  nRT2 ln
– Dato che Vd è minore di Vc (compressione), il lavoro è negativo
– Il calore Q2 è uguale al lavoro: è anch’esso negativo (calore ceduto)
Vc
Vd
Vc
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Studio del ciclo di Carnot percorso da un
gas perfetto
DU  Q  W
•
Trasformazione da - Compressione adiabatica
– Qda=0, DUda =-Wda
– La variazione di DU energia del gas perfetto
DUda  nC V T1  T2 
– Dato che T2 è più piccolo di T1, DU >0
– Il lavoro W è minore di zero (il lavoro viene fatto
sul sistema dall’ambente esterno
Wda  nC V T1  T2 
•
•
•
Si osservi che Wda=-Wbc
Il lavoro complessivo svolto nel ciclo sarà:
W=Wab+Wbc+Wcd+Wda
W  nRT1ln
Vc
Vb
V
 nRT 2ln d
Va
Vc
Il calore assorbito nel ciclo è solo Q1=Wab
Q1  nRT1ln
•
Va
Vd Vb
Vb
Va
Il rendimento del ciclo di Carnot

W

Q1
Vb
V
V
 nRT 2ln d
ln d
Va
Vc
T2 Vc

1
V
T1 ln Vb
nRT1ln b
Va
Va
G.M. - Informatica
B-Automazione 2002/03
nRT1ln
Studio del ciclo di Carnot
percorso da un gas perfetto
Vb
V
V
 nRT 2ln d
ln d
W
Va
Vc
T2 Vc



1
V
Q1
T1 ln Vb
nRT1ln b
Va
Va
V
ln d
Vc
• Vogliamo far vedere che:
Vb  1
ln
Va
DU  Q  W
nRT1ln
ab isoterma
bc adiabatica
Pa Va  PbVb
PbVbg  Pc Vcg
cd isoterma
Pc Vc  PdVd
da adiabatica
PdVdg  Pa Vag
•
g 1
g1
Vc 
  
Vd 
Vb Vc

Va Vd
Vc
Moltiplicando tutti i primi membri
e tutti i secondi membri tra loro
PaVaPb Vbg PcVcPdVdg  PbVb PcVcg Pd Vd Pa Vag
VaVbg VcVdg  Vb Vcg Vd Vag
Vb 
 
Va 
Va
Vd Vb
Vbg1Vdg 1  Vcg 1Vag 1
  1
T2
T1
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Un inventore sostiene di aver inventato cinque motori, ciascuno operante tra i
serbatoi termici a 400 e 300 K. Per ogni ciclo, i dati di ogni motore sono i seguenti:
–
–
–
–
–
–
Qa=200 J, Qc=-175 J, W=40 J
Qa=200 J, Qc=-150 J, W=50 J
Qa=600 J, Qc=-200 J, W=400 J
Qa=100 J, Qc=-90 J, W=10 J
Qa=500 J, Qc=-200 J, W=400 J
Dire quali dei due principi della termodinamica (eventualmente entrambi) vengono
violati da ciascun motore. Nel caso invece entrambi i principi della termodinamica
risultino soddisfatti, stabilire se il ciclo è reversibile
C  1
•
T2
300
 1
 0.25
T1
400
Appli
cazio
ne 13
  C
No primo
•
Ok primo, ok secondo, reversibile
•
Ok primo, no secondo
•
Ok primo, ok secondo, non reversibile
•
No primo
W
50

 .25
Qass 200
W
400
3 

 .66
Qass 600
W
10
4 

 .10
Q ass 100
2 
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Una macchina termica a combustione interna, il motore dell'automobile a
benzina, può essere approssimata con il ciclo mostrato in figura. Si supponga che
la miscela aria-benzina possa essere considerato un gas perfetto e che venga
utilizzato un rapporto di compressione 4 a 1 (V4 = 4V1). Si supponga inoltre che
p2=3p1.
Appli
cazio
ne 14
– Determinate la pressione e la temperatura in ognuno dei quattro vertici del diagramma
p-V in funzione di p1 e T1, e del rapporto g dei calori specifici del gas.
– Esprimere il rendimento del ciclo in funzione del rapporto di compressione.
– Confrontare con il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra le temperature
estreme.
3p1
•
•
2
Questo ciclo è denominato “ciclo Otto” ed è il ciclo
Adiabatica
3
secondo cui funziona il motore benzina.
Scoppio
p1
Punto 2
V2  V1
1 Adiabatica
4
P2  3P1
• Punto 3
P2V2
3P1V1
T2 
 P V  3T1
V4
V1
nR
1 1
R
V3  V4  4V1
RT1
V2g
V1g
P3  P2 g  3P1 g g  3  4 g P1
V3
4 V1
P3V3 3  4 g P1  4  V1
1g
T3 


3

4
T1
P1V1
nR
R
RT1 G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Una macchina termica a combustione interna, il motore dell'automobile a
benzina, può essere approssimata con il ciclo mostrato in figura. Si supponga che
la miscela aria-benzina possa essere considerato un gas perfetto e che venga
utilizzato un rapporto di compressione 4 a 1 (V4 = 4V1). Si supponga inoltre che
p2=3p1.
Appli
cazio
ne 14
– Determinate la pressione e la temperatura in ognuno dei quattro vertici del diagramma
p-V in funzione di p1 e T1, e del rapporto g dei calori specifici del gas.
– Esprimere il rendimento del ciclo in funzione del rapporto di compressione.
– Confrontare con il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra le temperature
estreme.
•
Punto 4
r
V4  4V1
V1g
V1g
P4  P1 g  P1 g g  4 g P1
V4
4 V1
P4V4 4 g P1  4  V1
1g
T4 


4
T1
P1V1
nR
R
RT1
V4
4
V1
3p1
2
Adiabatica
3
Scoppio
p1
1
4
V1

Adiabatica
V4

41 g  3  41 g T1
nC V T4  T3 
W
Qced
41g 1  3
1

1 
1 
 1
1
 1  g 1
Qass
Qass
nC V T2  T1 
3 1T1
3  1
4
T4
41 g T1
1
C  1
 1
1 
T2
3T1
3  4 g1
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Calcolo della variazione di entropia in alcune trasformazioni:
serbatoio di calore
•
•
•
•
Durante il trasferimento di calore
il serbatoio non cambia stato
Rimane in uno stato di equilibrio
termodinamico
Il trasferimento di calore avviene
In maniera reversibile
T
Q
DS 

i
f
Q R 1 f
Q

Q R 
T
T i
T

G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Calcolo della variazione di entropia in alcune trasformazioni:
Trasformazione reversibile
•
•
Durante il trasferimento di calore
il serbatoio e il sistema hanno la
stessa temperatura
Considerando un tratto infinitesimo
di trasformazione
dSsist 
Q
T
T
Q
Sistema
T
dSserb 
Q
dSUn iverso  dSSistema  dSSerbato io
T
QR QR


0
T
T
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Calcolo della variazione di entropia in alcune trasformazioni:
generica trasformazione di un gas perfetto
P
•
•
Consideriamo una generica trasformazione if
Poiché l’entropia è una funzione di stato, per il
calcolo della sua variazione possiamo utilizzare una
qualunque trasformazione come quella mostrata in
figura.
f
DS 

i
Q R

T
c


i
f
dT
nC V

T


c
c
i
QR

T
f

c
QR

T
c

i
c
Pf
Pi
f
i
f
i
f
nC VdT

T
c

c
nRT dV

T V
Vi
Vf
V
f
dV
T
V
 
 
nR
 nC V lnT  nR lnV  nC V ln c  nR ln f 
V
 i
 c
Ti
Vc
T
V
 nC V ln f  nR ln f
Ti
Vi
Tf
V
 nR ln f
Ti
Vi
T
P
DS  nCP ln f  nR ln f
Ti
Pi
P
V
DS  nCV ln f  nCp ln f
Pi
Vi
G.M. - Informatica B-Automazione
2002/03
DS  nCV ln
Calcolo della variazione di entropia in alcune trasformazioni:
cambiamento di fase
•
Durante un cambiamento di fase, la temperatura rimane costante:
DS  Sliq  Ssol
QR
1


sol Tfusion e la temperaturaTfusion e

liq
di fusio ne è
costante

liq
m fusion e
Q R 
Tfusion e
sol
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Calcolo della variazione di entropia in alcune trasformazioni:
espansione libera
•
•
•
•
Vuoto
Gas
L’espansione libera è una
trasformazione irreversibile
Per calcolo la variazione
fig. A
dell’entropia dobbiamo
• Vi,T
utilizzare trasformazione
reversibile
P
Per esempio una trasformazione
Pi
isoterma
dU  Q  W
Sull’isoterma
dU  0  Q  W
f
DSsist 

i
QR

T
DSamb  0
f

i
QR

T
Pe
•
Vf,T
i
Pf
f

f

i
nRT dV
V
 nRln f
T V
Vi
Vi
Vf
V
DSuniv  DSsist  DSamb  0
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Calcolo della variazione di entropia in alcune trasformazioni:
conduzione di calore
•
•
•
•
•
•
Consideriamo due corpi a temperatura diversa T1 e T2.
Se i due corpi interagiscono solo tra di loro il calore
Corpo 2 Corpo 1
ceduto dal corpo 1 sarà assorbito dal corpo 2
T2
T1
La trasformazione è irreversibile
T1>T2
Ma avviene a pressione costante
Il calore trasferito da un corpo all’altro può essere
Q1  m1c1Tm  T1   0
calcolato come se la trasformazione fosse reversibile
Q2  m 2 c2 Tm  T2   0
Diciamo Tm la temperatura di equilibrio
m c T  m 2 c 2T2
Q2  Q1  m2c2 Tm  T2  m1c1Tm  T1 
Tm  1 1 1
m 1c1  m 2c 2
f
DS2 

i
f
DS1 

i
QR

T
QR

T
f

i
f

i
m 2c 2dT
T
 m2 c 2ln m
T
T2
m 1c1dT
T
 m1c1ln m
T
T1
T
T
DS  DS1  DS2  m1c1ln m  m 2c 2ln m
T1
T2
Q
T+dT
Corpo 2
T
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
Calcolo della variazione di entropia in alcune trasformazioni:
conduzione di calore
•
Se i due corpi sono della stessa sostanza ed hanno la
stessa massa
c c c
1
Corpo 2 Corpo 1
2
T2
m1  m2  m
m1c1T1  m 2 c 2T2 mc T1  T2  T1  T2 
Tm 


m 1c1  m 2c 2
2mc
2
DS  DS1  DS2  m1c1ln
T1>T2
Tm
T
 m 2c 2ln m 
T1
T2
T+dT
Q
2

T
T

T
 mc ln m  ln m  mc ln m
 T1
T2 
T1T2
T1  T2 
T1
Corpo 2
T
2
Tm2
T1T2


4
T1T2

T12  2T1T2  T 22
4T1T2
T12  2T1T2  T 22  4T1T2
4T1T2

T12  2T1T2  T22  4T1T2  4T1T2
4T1T2
T  T2 
1 1

2
4T1T2
1
DS  DSuni  0
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
In un cilindro, munito di un pistone a tenuta, sono contenuti 20 grammi di idrogeno
(molecola H2, massa molecolare M=2 u) alla pressione atmosferica (1.01x105 Pa).
Il gas viene riscaldato a pressione costante dalla temperatura di 30 °C alla
temperatura di 40°C, tenendolo a contatto con un serbatoio di calore alla
temperatura di 50°C.
Appli
cazio
ne 15
– Supponendo che durante la trasformazione il gas si comporti come un gas perfetto,
determinare:
– Il numero di moli.
– Il lavoro fatto dal gas.
– La variazione di energia interna.
Pe=1atm
– La variazione di entropia del gas e dell’universo.
•
•
•
Il numero di moli si ottiene dividendo la massa del gas per la
massa molare il cui valore numerico quando è espresso in
grammi per mole è proprio uguale alla massa molecolare in
uma (unità di massa atomica)
m
20g
n
 g  10mol
M 2 mol

50°C
La trasformazione è irreversibile (assenza di equilibrio termico: temperatura
del gas diversa dalla temperatura del serbatoio (ambiente))
Bisogna usare i parametri dell’ambiente per determinare il lavoro:
W  Pe(Vf  Vi )
•
Vanno determinati i volumi iniziale e finale
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
In un cilindro, munito di un pistone a tenuta, sono contenuti 20 grammi di idrogeno
(molecola H2, massa molecolare M=2 u) alla pressione atmosferica (1.01x105 Pa).
Il gas viene riscaldato a pressione costante dalla temperatura di 30 °C alla
temperatura di 40°C, tenendolo a contatto con un serbatoio di calore alla
temperatura di 50°C.
Appli
cazio
ne 15
– Supponendo che durante la trasformazione il gas si comporti come un gas perfetto,
determinare:
– Il numero di moli.
– Il lavoro fatto dal gas.
– La variazione di energia interna.
Pe=1atm
– La variazione di entropia del gas e dell’universo.
•
Il volume iniziale
Pi Vi  nRT i  Vi 
nRT i
Pi
J
10mol

8.31
303.15K
nRT i
3
molK
Vi 


0.249m
5
Pi
1.01 10 Pa
•
Pf Vf  nRT f
Il volume finale
Vi 
nRT f

Pf
 Vf 

50°C
nRT f
Pf
J
313.15K
molK
 0.258m 3
5
1.01 10 Pa
10mol  8.31
W  Pe(Vf  Vi ) 1.01 105 Pa  .258  .249m3  909J
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
In un cilindro, munito di un pistone a tenuta, sono contenuti 20 grammi di idrogeno
(molecola H2, massa molecolare M=2 u) alla pressione atmosferica (1.01x105 Pa).
Il gas viene riscaldato a pressione costante dalla temperatura di 30 °C alla
temperatura di 40°C, tenendolo a contatto con un serbatoio di calore alla
temperatura di 50°C.
Appli
cazio
ne 15
– Supponendo che durante la trasformazione il gas si comporti come un gas perfetto,
determinare:
– Il numero di moli.
– Il lavoro fatto dal gas.
– La variazione di energia interna.
Pe=1atm
– La variazione di entropia del gas e dell’universo.
•
•
La variazione di energia interna
DU  nC VDT

Il gas è biatomico
5
CV  R
2
50°C
DU  nC VDT  10mol 
•
•
5
J
 8.31
10K  2077.5J
2
molK
La variazione di entropia
Trattandosi di un gas perfetto possiamo usare l’espressione
generale:
DS  nC V ln
Tf
V
 nR ln f
Ti
Vi
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
In un cilindro, munito di un pistone a tenuta, sono contenuti 20 grammi di idrogeno
(molecola H2, massa molecolare M=2 u) alla pressione atmosferica (1.01x105 Pa).
Il gas viene riscaldato a pressione costante dalla temperatura di 30 °C alla
temperatura di 40°C, tenendolo a contatto con un serbatoio di calore alla
temperatura di 50°C.
Appli
cazio
ne 15
– Supponendo che durante la trasformazione il gas si comporti come un gas perfetto,
determinare:
– Il numero di moli.
– Il lavoro fatto dal gas.
– La variazione di energia interna.
Pe=1atm
– La variazione di entropia del gas e dell’universo.
•
•

In questo caso conviene utilizzare la forma espressa in
funzione della temperatura e della pressione, visto che la
pressione rimane costante.
Utilizzando l’equazione di stato del gas perfetto
DSsist  nC V ln
50°C
Tf
V
T
nRTf Pi
T
P
 nR ln f  nC V ln f  nR ln
 nC V  Rln f  nRln i
Ti
Vi
Ti
Pf nRT i
Ti
Pf
0, Pi Pf
DSsist  nC P ln
Tf
7
J
313.15K
J
 10mol   8.31
ln
 9.44
Ti
2
molK 303.15K
K
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03
•
Un litro di gas con g=1.3 inizialmente è in equilibrio termico a 273 K di
temperatura e a 1.0 atmosfera di pressione. Esso viene compresso adiabaticamente
a metà del suo volume originario.
– Trovate la sua pressione e la sua temperatura finali.
– Successivamente il gas viene raffreddato lasciando disperdere, a pressione costante, il
calore nell’ambiente esterno e fino a riportarlo alla temperatura dell’ambiente, 273 K,
Qual è il suo volume finale.
– Calcolare la variazione di entropia del sistema e dell’ambiente esterno nelle due
trasformazioni.
•
Appli
cazio
ne 16
O
G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03