SUCCESSIONI NUMERICHE Definizione: Si chiama successione

SUCCESSIONI NUMERICHE
Definizione: Si chiama successione numerica una funzione definita su IN a valori in IR,
cioè una legge che associa ad ogni intero n un numero reale an .
Per abuso di linguaggio, si chiama successione anche una funzione definita su un insieme
del tipo {n ∈ IN : n ≥ n0 } (per esempio, n 7→ an = ln(n − 3), con n ≥ 4).
I valori di una successione sono indicati con i simboli
a0 , a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .
che vengono detti termini della successione. Il generico termine an verrà detto termine generale.
Ogni termine an ha un successivo an+1 .
Per indicare una successione si usano le notazioni equivalenti
• {an }∞
n=0 o, semplicemente, {an }
• a 0 , a1 , a2 , . . . , a n , . . .
• an , n = 0, 1, 2, . . .
Il grafico di una successione è costituito da infiniti punti isolati con ascissa intera.
0
1
2
3
4
Esempi di successioni reali
•
1
n,
n = 1, 2, . . . (successione armonica)
• en , n = 0, 1, . . .
• (−1)n en , n = 0, 1, . . .
2
• (−1)n n2n+1 , n = 0, 1, . . .
¡
¢n
• 1 + n1 , n = 1, 2, . . .
Proprietà di una successione
Una successione {an } si dice
• positiva (non negativa) se an > 0 (an ≥ 0) ∀n ∈ IN;
• negativa (non positiva) se an < 0 (an ≤ 0) ∀n ∈ IN;
1
• costante se an = c ∀n ∈ IN;
• limitata superiormente se ∃K :
• limitata inferiormente se ∃H :
• limitata se ∃H, K :
an < K ∀n ∈ IN;
an > K ∀n ∈ IN;
H < an < K ∀n ∈ IN;
• monotona crescente (in senso stretto) se an ≤ an+1 (an < an+1 ) ∀n ∈ IN;
• monotona decrescente (in senso stretto) se an ≥ an+1 (an > an+1 ) ∀n ∈ IN.
Proprietà valida definitivamente
Nello studio delle successioni molto spesso accade di essere interessati a valori “grandi”
dell’indice n. Per indicare che una certa proprietà P vale da un certo indice n0 in poi, si
usa dire che la successione an ha definitivamente la proprietà P.
Definizione: Sia {an } una successione. Si dice che {an } soddisfa definitivamente una
proprietà P se esiste n0 tale che {an } soddisfa la proprietà P per n ≥ n0 .
• Es. {n2 − 9} è definitivamente positiva (n ≥ 4);
• Es. {(−1)n n12 } non è definitivamente crescente né decrescente;
• Es. {1, −2, 3, −4, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, . . .} è definitivamente costante.
Limite di una successione
N.B.: L’unico punto di accumulazione dell’insieme IN è +∞.
Sia L ∈ IR ∪ {+∞} ∪ {−∞}.
Definizione: Si dice che la successione {an } ammette limite L, per n → +∞, e si scrive
lim an = L
n→+∞
(o, più semplicemente, lim an = L) se per ogni intorno U(L) di L esiste un indice n0 , tale
che
an ∈ U(L), ∀n ≥ n0 ,
ossia se an appartiene definitivamente ad U(L).
Una successione che ammette limite, finito o infinito, si dice regolare. In particolare, sia
lim an = L :
• se L ∈ IR, la successione si dice convergente. In questo caso per ogni ε > 0 esiste un
indice n0 (ε) tale che
|an − L| < ε, ∀n ≥ n0 ;
• se L = +∞, la successione si dice divergente a +∞. In questo caso per ogni M ∈ IR
esiste un indice n0 (M ) tale che
an > M,
2
∀n ≥ n0 ;
• se L = −∞, la successione si dice divergente a −∞. In questo caso per ogni M ∈ IR
esiste un indice n0 (M ) tale che
an < M,
∀n ≥ n0 .
Una successione che non ammette limite si dice irregolare.
Esempi
• lim n1 = 0+
• lim en = +∞
• lim(−1)n n2n+1 = 0
• lim(1 + n1 )n = e (e numero di Nepero)
• lim{(−1)n } non esiste.
Osservazione importante: Sia f : A ⊆ IR → IR con IN ⊆ A tale che f (n) = an . Se esiste
limx→+∞ f (x) = L, allora lim an = L.
Teoremi sui limiti.
Teorema di unicità.
Il limite di una successione, se esiste, è unico.
Teorema di limitatezza delle successioni convergenti.
Una successione convergente è limitata.
Il viceversa, in generale, non vale (esempio: {(−1)n } è limitata ma non converge).
Teorema di permanenza del segno.
Se una successione ha limite positivo, finito o +∞, allora è definitivamente positiva.
Se una successione ha limite negativo, finito o −∞, allora è definitivamente negativa.
Il viceversa, in generale non vale
(esempi: {2 + (−1)n } è positiva, ma non è regolare;
©1ª
n
è positiva ma converge a 0).
Teoremi del confronto. Si considerino tre successioni {an }, {bn }, {cn } tali che
an ≤ bn ≤ cn , n ≥ n0 .
• Se lim an = lim cn = L ∈ IR =⇒ lim bn = L.
• Se lim an = +∞ =⇒ lim bn = +∞.
• lim cn = −∞ =⇒ lim bn = −∞.
3
Teorema di esistenza del limite per successioni monotone.
Se {an } è monotona non decrescente, allora lim an = sup{an , n ∈ IN}.
Se {an } è monotona non crescente, allora lim an = inf{an , n ∈ IN}.
N.B. Una successione monotona crescente (decrescente) risulta quindi convergente se è limitata superiormente (inferiormente), e divergente a +∞ (−∞) se è illimitata superiormente
(inferiormente).
Successioni infinitesime ed infinite
Una successione {an } si dice infinitesima se
lim an = 0.
Una successione {an } si dice infinita se
lim an = −∞, oppure lim an = +∞.
Esempi
• successioni infinitesime
½ ¾
1
,
n
½
{e
−n
},
n+1
n2 − 4
¾
• successioni infinite
½
2
{n },
n
{e },
n2 + 1
n+5
¾
,
{nn },
{n!}
Criterio della radice
Sia {an } una successione definitivamente non negativa.
√
• Se esiste 0 < ρ < 1 tale che, definitivamente, n an ≤ ρ, allora la successione {an }
risulta infinitesima.
√
• Se esiste ρ > 1 tale che, definitivamente, n an ≥ ρ, allora la successione {an } risulta
infinita.
√
Corollario. Se esiste il lim( n an ) = L 6= 1, si può concludere che la successione è infinitesima se L < 1, infinita se L > 1.
Criterio del rapporto
Sia {an } una successione definitivamente positiva.
• Se esiste 0 < ρ < 1 tale che definitivamente
infinitesima.
• Se esiste ρ > 1 tale che definitivamente
infinita.
4
an+1
an
an+1
an
≤ ρ, allora la successione {an } risulta
≥ ρ, allora la successione {an } risulta
Corollario. Se esiste il lim an+1
an = L 6= 1, si può concludere che la successione è infinitesima
se L < 1, infinita se L > 1.
Esempi
n
• lim αn! = 0.
n
• lim nn! = +∞
n
• lim αnn = 0
Successioni definite da an+1 = f (an ) (per ricorrenza)
Sia f una funzione reale di variabile reale ed a0 ∈ IR assegnato.
Si definisce per ricorrenza una successione nel modo seguente
½
a0
dato
an+1 = f (an )
Es.:
½
a0 = 2
an+1 = 3(an − 2an )
Casi particolari di successioni definite per ricorrenza:
Successione in progressione aritmetica
an+1 = an + d,
n = 0, 1, . . .
Assegnando il valore del primo termine a0 si ottiene
an = a0 + nd,
n = 1, 2, . . .
La costante d viene detta ragione della progressione aritmetica.
Successione in progressione geometrica
an+1 = qan ,
n = 0, 1, . . .
Assegnando il valore del primo termine a0 si ottiene
an = a0 q n ,
n = 1, 2, . . .
La costante q viene detta ragione della progressione geometrica.
In generale, non è possibile determinare in modo esplicito il termine an .
Esempio:
an
, n = 0, 1, . . .
2
Assegnando il primo termine a0 = 0, si ottiene
an+1 = 1 +
3 7 15 31
0, 1, , , , , . . .
2 4 8 16
5
Sia f una funzione reale di variabile reale ed a0 ∈ IR assegnato, e si definisca per ricorrenza
la successione
an+1 = f (an ), n = 0, 1, 2, . . .
Cosa si può dire del lim an ? Bisogna
• stabilire se il limite esiste (finito o infinito),
• in caso affermativo, calcolarlo.
Esistenza del limite
In certi casi, si può utilizzare il teorema di esistenza del limite per successioni monotone.
Sia f monotona crescente (strettamente crescente). Allora:
• {an } è crescente (strettamente crescente) se a0 < a1 ,
• {an } è decrescente (strettamente decrescente) se a1 < a0 .
Il limite esisterà, finito o infinito, a seconda della limitatezza o meno della successione.
Calcolo del limite
Definizione: Sia f : D → IR. Il punto x ∈ D si dice punto fisso di f se f (x) = x. Si può
provare che:
se f è continua e {an } è limitata, allora, se esiste lim an = L, L è un punto fisso
di f , cioè f (L) = L.
Si deduce che il limite della successione {an } va ricercato tra gli eventuali punti fissi di f .
Discussione grafica
Si traccia il grafico di f e si determinano i suoi punti fissi. Questi sono le soluzioni
dell’equazione f (x) = x e graficamente sono le ascisse dei punti di intersezione tra il grafico
di f e la bisettrice del primo e terzo quadrante.
Esempi
• f (x) = (x − 1)3 + 1 ha tre punti fissi x = 0, x = 1 e x = 2.
x
• f (x) = 2xe− 2 ha due punti fissi: x = 0 e x = 2 ln(2).
Come si procede: Fissato a0 si determina a1 = f (a0 ). Si riporta a1 sull’asse delle ascisse tracciando una parallela all’asse delle ordinate fino ad incontrare la bisettrice y = x.
L’ascissa di questo punto è a1 . Si ripete il procedimento.
Se f è crescente si distinguono tre casi a seconda del valore iniziale a0 :
• f (a0 ) = a0 , allora a0 è un punto fisso di f e la successione {an } è costante;
• f (a0 ) < a0 , allora la successione {an } è decrescente e tende alla ascissa del primo
punto di intersezione con la bisettrice o diverge a −∞;
6
• f (a0 ) > a0 , allora la successione {an } è crescente e tende alla ascissa del primo punto
di intersezione con la bisettrice o diverge a +∞.
Esempio
f (x) = (x − 1)3 + 1
a0
a0
a0 a0
Quando la funzione f non è decrescente, si può ancora effettuare una discussione grafica
procedendo nello stesso modo. In questo caso però non è sempre garantita l’esistenza del
limite.
Ad esempio se f (x) = −x e a0 6= 0 si genera la successione indeterminata
a0 , −a0 , a0 , −a0 , a0 , . . .
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