ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari
Sommario
Proprietà dell’estremo superiore per ℝ ............................................................................................................ 2
Definitivamente ................................................................................................................................................. 2
Successioni convergenti .................................................................................................................................... 2
Successioni monotone ....................................................................................................................................... 2
Teorema di esistenza del limite per successioni monotone ............................................................................. 2
Teorema del confronto...................................................................................................................................... 2
Teorema di permanenza del segno ................................................................................................................... 2
Teorema sull’algebra dei limiti .......................................................................................................................... 2
Teorema sull’aritmetizzazione parziale di ∞..................................................................................................... 3
Teorema degli zeri ............................................................................................................................................. 3
Teorema dei valori intermedi ............................................................................................................................ 4
Proprietà fondamentali del calcolo dei limiti .................................................................................................... 4
Stime asintotiche ............................................................................................................................................... 4
Derivata e derivabilità ....................................................................................................................................... 4
Retta tangente ................................................................................................................................................... 5
Continuità e derivabilità .................................................................................................................................... 5
Algebra delle derivate ....................................................................................................................................... 5
Regola della catena............................................................................................................................................ 5
Derivata di funzione inversa .............................................................................................................................. 6
Teorema di Fermat ............................................................................................................................................ 6
Teorema del valor intermedio o di Lagrange .................................................................................................... 6
Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla .............................................................................................. 7
Test di monotonia.............................................................................................................................................. 7
Teorema di De L’Hospital .................................................................................................................................. 7
Polinomio di MacLaurin ..................................................................................................................................... 8
Formula di MacLaurin al’ordine , con resto secondo Peano........................................................................... 8
Formula di Taylor all’ordine , con resto secondo Peano................................................................................. 8
Integrale............................................................................................................................................................. 9
Teorema della media ......................................................................................................................................... 9
Teorema fondamentale del calcolo integrale ................................................................................................... 9
Documento scaricato da http://preiser.altervista.org
Appunti liberamente scopiazzati da:
“Matematica – calcolo infinitesimale e algebra lineare – seconda edizione”, Ed.Zanichelli – M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa
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Proprietà dell’estremo superiore per ℝ
Sia {, } una partizione di ℝ; essa si chiama sezione se ∀
∈ e ∀ ∈ risulta < . Allora si dimostra
che per ogni sezione di {, } di ℝ esiste un unico numero reale (detto elemento separatore) tale che
≤≤
∀
∈ , ∀ ∈ (tale elemento separatore altro non è che = ).
Definitivamente
Una successione {
} possiede (o acquista) definitivamente una certa proprietà se esiste un intero tale
che la proprietà risulta verificata per ogni ≥ .
Successioni convergenti
Una successione {
} si dice convergente se esiste un numero con questa proprietà: qualunque sia > 0
risulta definitivamente
|
− | < Il numero si chiama limite della successione {
} e si scrive:
lim→#$ = oppure → per → +∞
Successioni monotone
Una successione {
} si dirà:
monotona crescente se ≤ #& ; strettamente crescente se < #& ∀
monotona decrescente se ≥ #&; strettamente decrescente se > #& ∀
Teorema di esistenza del limite per successioni monotone
Una successione {
} ammette sempre limite uguale a {
}ale limite è perciò finito se {
} è limitata
superiormente; altrimenti è +∞.
Teorema del confronto
≤ ≤ ' → ' → ⟹ → Dim. Fissiamo > 0. Allora definitivamente si ha:
− < < + ; − < ' < + da cui segue
− < ≤ ≤ ' < + e quindi, definitivamente,
− < < + Dunque → .
Teorema di permanenza del segno
≥ 0 → ⟹ ≥ 0
Dim. Fissiamo > 0. Allora definitivamente si ha:
− < < + da cui segue, essendo ≥ 0,
0 < + per ogni > 0
Se fosse < 0, per abbastanza piccolo sarebbe anche + < 0, in contrasto con quanto appena scritto.
Quindi ≥ 0.
Teorema sull’algebra dei limiti
Proviamo ad esempio che
→ , → ⟹ → Dim. Fissiamo > 0.
|
− | = |
− + − | ≤ |
* − + + *
− +|
|
− | ≤ |
|| − | + |||
− | (per la disuguaglianza triangolare)
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Poiché → , |
− | < definitivamente; inoltre |
| < |
| + definitivamente; poiché → ,
| − | < definitivamente. Quindi:
|
− | = *|
| + + + || < ∙ '-.
definitivamente. Per l’arbitrarietà di segue la tesi.
Teorema sull’aritmetizzazione parziale di ∞
Proviamo ad esempio che
→ ∞, → ∈ ℝ ⟹
→0
Dim. Fissiamo > 0. Poiché → ∞, definitivamente si ha
1
|
| >
Poiché → , definitivamente si ha
| | < || + Ne segue che definitivamente
0 0 < *|| + + < ∙ '-.
Per l’arbitrarietà di , segue la tesi.
Teorema degli zeri
Sia:
1. continua in 1
, 2
2. *
+ ∙ *+ < 0
Allora esiste ' ∈ *
, + tale che *'+ = 0.
Se è anche strettamente monotona, lo zero è unico.
3#4
Dim. Costruiamo una successione che tende a uno zero di . Poniamo '& =
, punto medio dell’intervallo
5
1
, 2.
Se *'& + = 0 il teorema è dimostrato.
Se *'& + ≠ 0 guardiamo il segno di *
+ ∙ *'& +:
dove & = , & = '&
*
+ ∙ *'&+ < 0
↗
↗
↘
Se
consideriamo l’intervallo 1
& , & 2
↘
↘
↗
dove & = '&, & = *
+ ∙ *'&+ > 0
4 #3
Poniamo ora '5 = = 5 = , punto medio dell’intervallo 1
&, & 2, calcoliamo *'5 + e procediamo come prima.
Continuando in questo modo troviamo una sequenza di intervalli 1
, 2 con le seguenti proprietà:
1. ≤ #& e ≤ #& ({
} cresce e { } decresce)
4>3
2. − = 5? (ciascun intervallo è lungo la metà del precedente)
3. *
+ ∙ * + < 0 (per come sono stati scelti e a ogni passo)
Per la 1), possiamo allora dedurre che le successioni {
} e { } hanno limite finito, in base al teorema di
esistenza del limite delle successioni monotone; cioè:
→ & e → 5 , → +∞
(si noti che le successioni sono anche limitate perché contenute in 1
, 2).
4>3
Dalla 2) deduciamo che − = 5? → 0 se → +∞ e perciò & = 5 = .
Per la continuità di , abbiamo allora che
*
+ ∙ * + → *+5
mentre dalla 3) e dal teorema della permanenza del segno deduciamo *+5 ≤ 0. Deve perciò essere
*+ = 0 e così è lo zero cercato.
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Teorema dei valori intermedi
Se è continua su 1
, 2, allora per ogni valore @ compreso tra A ed B, esiste un ingresso C in 1
, 2 che ha
il valore @ come uscita (proprietà dei valori intermedi).
Questo teorema è una semplice conseguenza di quello di Weierstrass e del teorema degli zeri.
Siano: A < @ < B, *C5 + = A, *C& + = B.
Allora la funzione D*C&+ = *C&+ − @ è continua in 1C& , C52 *C& < C5+ e
D*C& + = *C& + − @ = B − @ > 0,
D*C5 + = *C5+ − @ = A − @ < 0.
Dal teorema degli zeri, esiste tale che D*+ = 0 e cioè *+ = @.
Proprietà fondamentali del calcolo dei limiti
Diremo che una proprietà *C+ vale definitivamente per C → CE se *C+ è vera per ogni C sufficientemente
vicino ad CE escluso al più CE stesso. Nei prossimi enunciati CE sarà un punto di ℝ.
• Confronto. Se:
i.
per C → CE , *C+ → e D*C+ → ;
ii.
*C+ ≤ ℎ*C+ ≤ D*C+ definitivamente per C → CE
allora anche ℎ*C+ → per C → CE .
• Permanenza del segno. Se:
i.
per C → CE , *C+ → ;
ii.
*C+ ≥ 0 definitivamente per C → CE
allora anche ≥ 0.
• Permanenza del segno per funzioni continue. Se è continua in CE e *CE+ > 0, allora *C+ > 0
definitivamente per C → CE .
• Algebra dei limiti. Se:
per C → CE , *C+ → & e D*C+ → 5 *& , 5 ∈ ℝ+, allora per C → CE si ha:
*C+ ± D*C+ → & ± 5 ;
*C+ ∙ D*C+ → & ∙ 5 ;
*C+/D*C+ → & /5 (purché D*C+, 5 ≠ 0);
*C+I*J+ → & KL (purché *C+, & > 0).
• Aritmetizzazione parziale di ∞. Valgono per i limiti di funzioni gli stessi risultati di “aritmetizzazione
parziale di ∞” che valgono per i limiti di successioni:
± ∞ = ±∞;
+∞ + ∞ = +∞;
3
= 0 etc…
$
Stime asintotiche
Si dice che due funzioni , D sono asintotiche per C → ' se
*C+
lim
=1
J→M D*C+
e si scrive ~D.
1
C~C 1 − '-C~ C 5 P J − 1~C log*1 + C+ ~C
2
per C → CE .
Derivata e derivabilità
V*J #U+>V*J +
*1 + C+R ~SC
W
Sia : *
, + → ℝ; si dice derivabile in CE ∈ *
, + se limU→E W
esiste finito. Tale limite prende
U
il nome dei derivata prima (o semplicemente derivata) di in CE e si indica
Z
X *CE+ Y 0
\*CE+ ]*CE +
ZC J[JW
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*CE + ℎ+ − *CE +
= X *C+
U→E
ℎ
lim
Retta tangente
La retta di equazione
^ = *CE + + X *CE +*C − CE+
si chiama retta tangente di nel punto _CE , *CE +`.
Continuità e derivabilità
Se è derivabile in un punto CE allora è continua in CE .
V*J #U+>V*J +
W
∙ ℎ; passando al limite per ℎ → 0 si ricava
Ciò si vede scrivendo *CE + ℎ+ − *CE + = W
U
limU→E 1*CE + ℎ+ − *CE+2 = 0 da cui limU→E *CE + ℎ+ = *CE+, che è la continuità di in CE .
Algebra delle derivate
Siano , D: *
, + → ℝ, derivabili in *
, +; allora ± D, ∙ D, /D *D ≠ 0+ sono derivabili in *
, + e
valgono le seguenti formule:
* ± D+X = X ± DX
* ∙ D+X = X ∙ D + ∙ DX
X X ∙ D − ∙ D′
a b =
D5
D
X
*d ∙ + = d ∙ X *d costante+
1 X
D′
a b =− 5
D
D
Dim. A titolo d’esempio dimostriamo il prodotto. Si ha, fissato C ∈ *
, +
*C + ℎ+D*C + ℎ+ − *C+D*C+ = *C + ℎ+D*C + ℎ+ − *C + ℎ+D*C+ + *C + ℎ+D*C+ − *C+D*C+
e quindi
D*C + ℎ+ − D*C+
*C + ℎ+ − *C+
*C + ℎ+D*C + ℎ+ − *C+D*C+
= *C + ℎ+
+ D*C+
→
ℎ
ℎ
ℎ
X *C+
X *C+D*C+
→ *C+D
+
poiché *C + ℎ+ → *C+ quando ℎ → 0, essendo continua in quanto derivabile.
Regola della catena
Sia D ∘ la composta di due funzioni e D. Se è derivabile in un punto C e D è derivabile in ^ = *C+
allora ∘ D è derivabile in C e vale la formula:
*D ∘ +X *C+ = DX _*C+` ∙ X *C+
Dim. Si ha *D ∘ +*C + ℎ+ − *D ∘ +*C+ = D_*C + ℎ+` − D_*C+`
Se poniamo d = *C + ℎ+ − *C+, ^ = *C+, allora *C + ℎ+ = ^ + d, e per la continuità di , ℎ → 0
implica d → 0. Con le nuove notazioni,
D_*C + ℎ+` − D_*C+` = D*^ + d+ − D*^+
Osserviamo ora che la definizione di derivata
D*^ + d+ − D*^+
DX*^+ = lim
U→E
ℎ
si può riscrivere, per d ≠ 0,
D*^ + d+ − D*^+
= DX *^+ + *d+
d
dove *d+ indica una quantità che tende a zero per d → 0. Moltiplicando ambo i membri dell’equazione
precedente per d si trova
D*^ + d+ − D*^+ = DX *^+ ∙ d + *d+ ∙ d
relazione valida anche per d = 0. Dunque:
D_*C + ℎ+` − D_*C+` = DX*^+ ∙ d + *d+ ∙ d
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k
Dividendo per ℎ, e osservando che U → X *C+ si ottiene
*D ∘ +X *C+ = DX_*C+` ∙ X*C+.
Derivata di funzione inversa
Se è derivabile nel punto C e X*C+ ≠ 0 allora >& è derivabile in ^ = *C+ e vale la formula
1
DX*^+ = X
*C+
Osserviamo che, assumendo la derivabilità di >&, la formula segue subito dall’identità D_*C+` = C e dalla
Regola della catena:
DX_*C+` ∙ X*C+ = 1
da cui, se X *C+ ≠ 0, la formula.
Teorema di Fermat
Sia : 1
, 2 → ℝ, derivabile in C ∈ *
, +. Se C è punto di estremo locale allora
X *C+ = 0
Dim. Sia, ad esempio, C punto di massimo locale. Allora, per m abbastanza vicino a C, si ha *m+ ≤ *C+.
Perciò:
m<C⟹
V*n+>V*J+
n>J
≥ 0 e quindi
*m+ − *C+
>X *C+ = limo
≤ 0.
n→J
m−C
X *C+
X *C+
X *C+0.
Essendo derivabile in C, si ha = >
= #
Teorema del valor intermedio o di Lagrange
Sia derivabile in *
, + e continua in 1
, 2. Allora
esiste ' ∈ *
, + tale che
Si ha che
V*4+>V*3+
4>3
V*4+>V*3+
4>3
= pendenza della retta .
= X *'+
X *'+ = pendenza della retta tangente al grafico di nel punto _', *'+`.
Dim. Osserviamo che la retta ha equazione
*+ − *
+
*C − +
^ = *
+ +
−
e consideriamo la funzione
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*+ − *
+
*C − +r
−
È facile verificare che p*
+ = p*+ = 0, p è continua in 1
, 2 e p è derivabile in *
, +. Poiché
*+ − *
+
p X*C+ = X *C+ −
−
la formula dell’enunciato equivale a dimostrare che esiste ' ∈ *
, + tale che p X*'+ = 0. Essendo p
continua in 1
, 2, per il teorema di Weierstrass esistono due punti C& e C5 in 1
, 2 tali che
*C& + = massimo di in 1
, 2 = B
*C5 + = minimo di in 1
, 2 = A
Se B = A, allora p*C+ è costante, per ogni C ∈ 1
, 2 e quindi p X*C+ = 0, per ogni C ∈ 1
, 2. Se B > A,
almeno uno dei due punti C& e C5 non si trova agli estremi dell’intervallo, essendo p*
+ = p*+ = 0.
Il teorema di Fermat implica allora che nel punto di massimo o minimo che risulta interno (eventualmente
entrambi) la derivata di p si annulla e il teorema è così dimostrato.
p*C+ = *C+ − q*
+ +
Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla
Sia : *
, + → ℝ. Allora
X = 0 in *
, + ⇔ è costante in *
, +.
Test di monotonia
Sia : *
, + → ℝ, derivabile. Allora
crescente ⟺ X *C+ ≥ 0 ∀C ∈ *
, +
decrescente ⟺ X *C+ ≤ 0 ∀C ∈ *
, +
X *C+
Dim. Sia, ad esempio, ≥ 0 per ogni C ∈ *
, +, e proviamo che allora è crescente in *
, +.
Prendiamo dunque due punti qualsiasi C&, C5 ∈ *
, +, C& < C5 , e mostriamo che *C& + ≤ *C5 +. Infatti,
applicando il teorema di Lagrange ad sull’intervallo 1C&, C5 2 abbiamo che esiste ' ∈ *C& , C5 + tale che
*C5+ − *C& +
= X *'+
C5 − C&
Poiché X *'+ ≥ 0 e C5 − C& > 0, ne segue *C5 + − *C&+ ≥ 0, cioè la tesi.
Teorema di De L’Hospital
Siano , D funzioni derivabili in un intervallo *
, + con D, D′ ≠ 0 in *
, +. Se
i)
limJ→3o *C+ = limJ→3o D*C+ = 0 oppure ±∞
ii)
allora
limJ→3o
Vu *J+
Iu *J+
= v ∈ ℝ∗
lim
*C+
J→3o D*C+
=v
Dim. Nel caso *C+, D*C+ → 0. Sia C una successione tendente ad # ; prolunghiamo per continuità e D
in ponendo *
+ = D*
+ = 0. Allora
*C + *C + − *
+
=
.
D*C + D*C + − D*
+
Definiamo ora
ℎ*C+ = *C +D*C+ − D*C +*C+
Notiamo che ℎ*
+ = ℎ*C + = 0. La funzione ℎ soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange sull’intervallo
1
, C 2, dunque esiste . ∈ *
, C + tale che
ℎ*C + − ℎ*
+
=0
ℎX *. + =
C − ovvero, calcolando ℎX ,
*C +DX*. + − D*C + X*. + = 0
Dunque per ogni C esiste un punto . ∈ *
, C + tale che
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Vu *x +
*C + X *. +
=
D*C + DX *. +
V*J +
Per → ∞, . → # , perciò Iu *x? + → v, e di conseguenza anche I*J? + → v, che è quanto volevamo
dimostrare.
?
?
Polinomio di MacLaurin
Data una funzione derivabile volte in C = 0, esiste uno e un sol polinomio di grado ≤ , chiamiamolo
y , con la proprietà che:
*+
y *0+ = *0+, yX *0+ = X *0+, yXX *0+ = XX *0+, … , y *0+ = *+ *0+
e questo polinomio, detto polinomio di MacLaurin di *C+ di grado , è:
1 5 XX
1 } XXX
1 *+
*k+ *0+ k
X
y *C+ = *0+ + C *0+ + C *0+ + C *0+ + … + C *0+ = ~
C
2
3!
!
d!
k[E
(avendo posto *E+ = )
Formula di MacLaurin al’ordine , con resto secondo Peano
Sia : *
, + → ℝ derivabile volte in 0 ∈ *
, +. Allora
*C+ = y *C+ + ℴ*C + per C → 0.
Dim. Proviamo per semplicità il teorema nel caso = 2, ossia:
1
y *C+ = *0+ + C X *0+ + C 5 XX *0+ + ℴ*C 5 +
2
Occorre provare che
&
*C+ − €*0+ + C X *0+ + C 5 XX *0+ = ℴ*C 5+ per C → 0
5
ossia (per definizione di “o piccolo”) che:
1
*C+ − €*0+ + C X*0+ + 2 C 5 XX *0+
lim
=0
J→E
C5
E
Questo limite dà una forma di indeterminazione €E. Applicando De L’Hospital:
X *C+ − 1 X*0+ + C XX *0+2
lim
=0
J→E
2C
E
dà ancora € . Applicando una seconda volta De L’Hospital:
E
XX *C+ − XX *0+
lim
=0
J→E
2
XX
Nell’ipotesi che *C+ sia continua in C = 0. Questo ragionamento può essere ripetuto per qualsiasi:
applicando volte il teorema di De L’Hospital, e utilizzando il fatto che, proprio per come è stato definito
y_*C+, si ha 1*C+ − y *C+2*+ = *+ *C+ − *+ *0+, si prova la tesi.
Formula di Taylor all’ordine , con resto secondo Peano
Sia : *
, + → ℝ derivabile volte in CE ∈ *
, +. Allora
*k+ *CE+
*C − CE +k
y,JW *C+ = ~
d!
k[E
*C+ = y,JW *C+ + ℴ**C − CE + + per C → CE .
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Integrale
4>3
Per ogni funzione : 1
, 2 → ℝ continua, esiste finito lim→#$ ƒ dove ƒ = ∑†[& _…† `. Tale limite è
indipendente dalla scelta dei punti …† ad ogni passo della costruzione, e si chiama integrale di su 1
, 2. Si
scrive:
−
‡ *C+dC = lim
~ _…† `
→#$ 3
4
†[&
Teorema della media
Sia : 1
, 2 → ℝ continua. Allora esiste ' ∈ 1
, 2 tale che
4
1
‡ *C+dC = *'+
−
3
Dim. Essendo continua in 1
, 2, essa è dotata di massimo *= B+ e minimo *= A+. Dalla proprietà di
monotonia si ha:
4
4
4
1
1
1
‡ AdC ≤
‡ *C+dC ≤
‡ BdC = B
A=
−
3
−
3
−
3
&
4
Quindi il valore 4>3 ˆ3 *C+dC è compreso tra il minimo ed il massimo di . Per la proprietà dei valori
intermedi delle funzioni continue tale valore è uguale a *'+ per qualche ' ∈ 1
, 2.
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Si : 1
, 2 → ℝ è continua, e ‰ è una sua primitiva su 1
, 2, allora
4
‡ *C+dC = ‰*+ − ‰*
+
3
Dim. Siano = CE , C& , … , C = punti che suddividono l’intervallo 1
, 2 in intervallini di ugual ampiezza.
Allora, aggiungendo e togliendo ‰*CE +, per Š = 1,2, … , − 1 si ha:
‰*+ − ‰*
+ = ‰*C + − ‰*CE+ =
= 1‰*C + − ‰*C>& +2 + 1‰*C>&+ + ‰*C>5+2 + … + 1‰*C5 + − ‰*C& +2 + 1‰*C& + − ‰*CE+2
= ~‹‰_C† ` − ‰_C†>&`Œ
†[&
Applichiamo ora il teorema di Lagrange alla funzione ‰*C+ su ciascuno degli intervalli ‹C†>& , C† Œ. Esiste allora
…† ∈ _C†>&, C† ` tale che
‰_C† ` − ‰_C†>& ` = _C† − C†>& `‰ X _…† ` = _C† − C†>&`_…† `
perché per ipotesi ‰ è una primitiva di e perciò ‰ X _…† ` = _…† `. Ne segue che
‰*+ − ‰*
+ = ~_C† − C†>& `_…† ` = ƒ
†[&
dove ƒ è una somma n-esima di Cauchy – Riemann di . L’identità scritta vale per ogni ; possiamo allora
far tendere a +∞, trovando
4
‰*+ − ‰*
+ = ‡ *C+dC
3
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