Unità Didattica 10 - Autocorrelazione ed eteroschedasticità

Autocorrelazione dei residui
• Come può originarsi?
• Esempio: il modello ad aggiustamento
parziale et  et 1   t
et  1et 1   2et 2 ...   t
Possibilità di Autocorrelazione (1)
• Abbiamo già stabilito come visualizzare:
• L’autocorrelazione può risultare da:
et  et 1   t
• Oppure, in termini più generali, abbiamo:
et  1et 1   2et 2 ...   t
• Il processo AR(1) è uno stimatore molto robusto
dell’autocorrelazione (partendo dal campione)
Possibilità di Autocorrelazione (2)
• La maggior parte della correlazione trasmessa da errori
precedenti è catturata dall’impatto di e t-1
• Eccezioni:
– Correlazioni stagionali o trimestrali;
– Correlazioni spaziali (hanno significati complessi)
• Nella maggior parte dei casi, correzioni AR(1) sono
sufficienti
Autocorrelazione Positiva
• Se  è positivo abbiamo che gli errori tendono a
mantenere lo stesso segno in osservazioni
contigue
• (Autocorrelazione genuina) shock esterni
dispiegano effetti per molto tempo (ad esempio
investimenti pubblicitari, promozioni, etc.
• Visual Inspection: clustering effects (gruppi di
errori con stesso segno).
Autocorrelazione Negativa
• Se  è negativo abbiamo termini di errore che
tendono a cambiare segno (da negativi diventano
positivi) per osservazioni contigue.
• Esiste un pattern ciclico nella distribuzione degli
errori;
• Problemi particolarmente rilevanti nel caso dei
dati economici;
VI PRESENTO UN SIGNORE CHE TROVEREMO
PIU’ AVANTI. IL “CORRELOGRAMMA”
e(t) = 0.9*e(t-1) + u(t)
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
5
10
15
20
e(t) = -0.9*e(t-1) + u(t)
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
5
10
15
20
Diagnosi
• Abbiamo già stabilito che i coefficienti sono unbiased;
• Possiamo utilizzare gli errori osservati per
diagnosticare la presenza di autocorrelazione;
• Test:
– DW
Studieremo la relazione tra residui e valori ritardati dei
residui stessi
Il test D-W
N
d
 ( et  et 1 )
N
2
 ( et  et 1 )
2
2
N

2
N
2
 et
2
N

2
 et
2
2
 et
2
N
N
2
2
2
 et 1
2
 2 et et 1   et21
N
N
2
e
 t
2
N

N
2 et2
2
N
2
e
 t
2
2
e
 t 1
2
N

2 et et 1
 2  2rt ,t 1
2
N
2
 et
2
N
2
 et 1
2
• Dunque D-W è uguale a 2 meno due volte
la correlazione fra et et et-1
• D-W è stato prefigurato per diagnosticare
autocorrelazione del 1° ordine, ma è ora
utilizzato come un test generale di
specificazione del modello;
• Regola decisionale: quando c’è
autocorrelazione??
• La statistica D-W ha una distribuzione
conosciuta (con bande di incertezza che
dipendono dalla numerosità campionaria
• La statistica Durbin-Watson è distribuita
simmetricamente attorno al valore 2
• Valori superiori a 2 indicano
autocorrelazione negativa;
• Valori inferiori a 2 indicano autocorrelazione
positiva;
• Eviews vi calcola il valore (proveremo a farlo
anche manualmente).
Lagged Dependent Variables
• The Durbin Watson Statistic is not a valid
test statistic when the equation includes a
lagged dependent variable as one of the
explanatory variables.
• Use instead the Durbin-h test statistic which
is normally distributed:
n
 d
d h  1  
2
2

 1  n  ˆ
Yt 1
Dove:
dh: statistica D-W
n = numerosità campionaria
2ˆ
Yt 1
varianza del beta stimato sulla variabile ritardata
Trasformazioni GLS:
come correggere l’autocorrelazione
• Partiamo da un modello generico
Y  Xˆ  e
• Dove
e t  e t 1   t

 t  IID N 0, 2

Cochrane-Orcutt Method ( sconosciuto):
Step 1: Applicare OLS al modello originale e calcolare:
T
r  ˆ 
 e t  e t 1
t 2
T
2
e
 t 1
t 2
Dove et sono i residui (autocorrelati) del modello originale
Step 2: Ritardare il modello di un periodo e premoltiplicare per :
Yt 1  0  1X1t 1    k X kt 1  e t 1
Step 3: sottrarre ora il modello originale per
ottenere il modello “rho-differenced” :
Yt  Yt 1  0 1    1 X1t  X1t 1    
k X kt  X kt 1   e t  e t 1
Otteniamo:
*
Yt

*ˆ
Xt  t
dove:
Yt*  Yt  Yt 1  and  X*t  X t  X t 1
Step 4: procedere alla stima con OLS (nel
modello trasformato gli errori non sono
correlati serialmente)
Nota tecnica
•Il metodo C-O stima un primo  (con gli errori
OLS)
•Successivamente stima con GLS e ottiene 
che utilizza per una nuova stima di  ….
Hildreth-Lu Method
• Equivalent to the Cochrane-Orcutt method.
• Use the rho-difference model, searching
over a grid of different values for  between
1 and +1 selecting the value which
minimizes the sum of squared residuals for
the transformed model.
• Typical grid:
 = 0.95, 0.90, 0.85, … , 0.85, 0.90, 0.95
Il problema dell’eteroschedasticità
• L’Eteroschedasticità costituisce una delle due
possibili violazioni dell’assunzione E(ee’)=σ2In
• Specificatamente è la violazione dell’assunzione
di varianza costante degli errori
• (Già visto) Se gli errori sono eteroschedastici,
allora OLS produce ancora coefficienti unbiased,
ma non BLUE
• Gli standard errors associati ai coefficienti sono
distorti (ad es. non possiamo fare t-tests).
Diagnosi
• Ci sono molti test
• Tutti presuppongono che si determinino gli
errori dell’equazione stimata e si controllino
le varianze
• Goldfeld-Quandt
• White
Heteroskedasticity: Tests
• Goldfeld-Quandt test
– Ordinare le T osservazioni della X che si
suppone correlata con ei2.
– Eliminare l’insieme centrale delle osservazioni
centrali (1/5 è un numero ragionevole).
– Stimare due regressioni separate con entrambi i
sub-campioni.
• Il rapporto fra le varianze in campioni
diversi si distribuisce secondo una F

GQ 
 F[( N  K ),( N

2
1
2
2
1
1
2  K 2 )]
• N1-K1 sono i gradi di libertà per la prima
regressione e N2-K2 quelli della seconda
Tests di White
 Useful if Heteroskedasticity depends on more than
one variable
– Stimare con OLS
Y  Xˆ  e
– Ottenere gli errori al quadrato
– Stimare l’equazione generale:
e i  X  X   u
2
*
2
– Sappiamo poi studiare la restrizione gamma=0
Rimedi: GLS ancora una volta
•
•
•
•
•
Si consideri il caso semplice bivariato
Y=a+X+
con  eteroschedastico
si definisca
Y/σ=a/σ+/σX+/σ
Abbiamo: Var(/σ) = 1/σ2 Var() = σ2(1/σ2) = 1
Perciò:
Y/σ=a/σ+/σX+/σ =
Y*=a*+*X*+u
Può essere stimato con OLS
WLS: How Do We Choose the
Weight?
• Now our only remaining job is to figure out
what F should be
• Recall if there is a heteroskedasticity
problem, then:
h1
0
E (ee' )   2   2 
0

0
0
0
h2
0
0
0
h3
0
0
0 
0

h4 
Determining F
• Thus:
h1 0
0 h
2

0 0

0 0
0
0
h3
0
0
0 
0

h4 



 and   1  




1
h1
0
0
1
0
h2
0
0
0
0
0
1
h3
0
0 

0 

0 

1 
h4 
Determining F
• And since F’F= Ω-1
 1
h1

 0

F 
 0

 0

0
0
1
0
h2
0
0
1
h3
0


0 

0 

1

h4 
0