esercitazione

HALLIDAY - capitolo 18 problema 14
Si abbia una bacchetta della lunghezza precisa di 20,05cm,
misurata con una riga di acciaio in una stanza alla temperatura
di 20,00°C. Sia la bacchetta che la riga vengono poste in un
forno alla temperatura di 270,0°C; ora la bacchetta misura
20,11cm, misurata sempre con la stessa riga. Qual è il
coefficiente di dilatazione termica del materiale di cui è
composta la bacchetta? Il coefficiente di dilatazione termica
dell’acciaio è di 11×10-6 °C-1.
Sia u0(=1cm) l’unità di misura delle lunghezze sulla riga a
T0=20°C (u0 è la distanza tra due tacche successive sulla
scala dei cm)
A temperatura T0 la bacchetta ha una lunghezza l0:
l0  20,05u0
Alla temperatura T1=270°C la bacchetta si sarà dilatata, e la sua
lunghezza l1 si può esprimere come:
l1  l0 1  α B ΔT 
Anche la riga si è dilatata, e la nuova unità di misura u1 diventa:
u1  u0 1  α R ΔT 
Alla temperatura T1 la lunghezza l1 in termini di u1 è data da:
l1  20,11u1
Mettendo a confronto le due espressioni ottenute per l1 e
sostituendo i valori di l0 e u1 in termini di u0 si ha:
l0 1  α B ΔT   20,11u1 
20,05u0 1  α B ΔT   20,11u0 1  α R ΔT  
1
αB 
ΔT
 20,11

6
1


1

α
ΔT

1

23

10

C
R
 20,05



HALLIDAY - capitolo 18 problema 19
Un tubo di vetro verticale lungo 1,28m è riempito a metà con
un liquido alla temperatura di 20°C. Di quanto si innalza la
superficie del liquido riscaldandolo fino a 30°C? Si assuma
αvetro=1,0×10-5K-1 e βliq=4,0×10-5K-1
Indichiamo con S0 e l0=1,28m la sezione e l’altezza del tubo
alla temperatura T0=20°C
Alla temperatura T1=30°C si ha:
l1  l0 1  αvetro ΔT 
S 1  S0 1  2αvetro ΔT 
Detti V0 e V1 il volume del liquido alle temperatura T0 e T1, si
ha anche:
V1  V0 1  βliq ΔT 
Altezza del liquido alla temperatura T0:
V0 l0
h0 

S0 2
Altezza del liquido alla temperatura T1:
V0 1  βliq ΔT 
V1
h1 

S1 S0 1  2αvetro ΔT 
Differenza di altezza:
V0 1  βliq ΔT 
V0
h1  h0 


S0 1  2αvetro ΔT  S0

l0  1  βliq ΔT
h1  h0  
 1   1,3  10 4 m
2  1  2αvetro ΔT

HALLIDAY - capitolo 18 problema 28
Un vaso di massa 150g in rame (calore specifico 0,0923 cal/g K)
contiene 220g di acqua, entrambi alla temperatura di 20,0°C. Un
cilindro di 300g di rame molto caldo viene immerso in acqua,
facendola bollire, e 5,00g di acqua vengono trasformati in
vapore. La temperatura finale del sistema è 100°C. Quanto
calore è stato trasferito all’acqua? Qual era la temperatura
originale del cilindro? Si trascurino le perdite verso l’ambiente. Il
calore latente di evaporazione dell’acqua è 539cal/g.
Stato iniziale:
• m1=150g di Cu a T1=20°C
• M=220g di acqua a T1
• m2=300g di Cu a T0 incognita
Stato finale:
• m1+m2 di Cu a T2=100°C
• M1=5g di vapore a T2
• M-M1 di acqua a T2
Il calore assorbito dall’acqua serve per portare la massa M di
acqua da T1 a T2 e per far evaporare la massa M1:
Qacqua  Mc acqua T2  T1   M 1 L  20300cal
La massa m2 di Cu cede una quantità di calore Q portandosi
dalla temperatura T0 alla temperatura T2:
Q  m2 cCu T0  T2 
Lo stesso calore Q serve per portare la massa m1 di rame alla
temperatura T1 e per riscaldare l’acqua:
Q  Mc acqua T2  T1   M 1 L  m1cCu T2  T1 
Uguagliando le due espressioni di Q si ha:
Mc acqua T2  T1   M 1 L  m1cCu T2  T1   m2 cCu T0  T2  
T0  T2 
Mc acqua T2  T1   M 1 L  m1cCu T2  T1 
m2 cCu
 867C
HALLIDAY - capitolo 18 problema 33
Due cubetti di ghiaccio (calore specifico cg=0,530cal/g K) di
massa 50g ciascuno vengono immersi in un bicchiere isolato
contenente 200g di acqua. Se l’acqua inizialmente ha una
temperatura di 25°C e se il ghiaccio proviene direttamente dal
congelatore a -15°C, quale sarà la temperatura della bevanda
quando il ghiaccio e l’acqua raggiungono la stessa
temperatura? E se invece venisse usato un solo cubetto di
ghiaccio, quale sarebbe la temperatura finale? Il calore latente
di fusione dell’acqua è 79,5cal/g.
T
T1= -15°C
T0= 0°C
T2= 25°C
Quale è la temperatura di equilibrio Tf della miscela?
1. 0°C<Tf<25°C: tutto il ghiaccio fonde e si ha solo acqua
2. -15°<Tf<0°C: tutta l’acqua solidifica e si ha solo ghiaccio
3. Tf=0°C: in questo caso si ha una miscela di acqua e ghiaccio
Supponiamo che sia 0°C<Tf<25°C
 Calore ceduto dalla massa M=200g di acqua:
Q  Mc a T2  T f 
 Calore assorbito dalla massa 2m=2×50g di ghiaccio:
Q  2mc g T0  T1   2mL  2mc a T f  T0 
 Uguagliando le due espressioni:
Mc a T2  T f   2mc g T0  T1   2mL  2mc a T f  T0 
 Tf 
Mc aT2  2mc g T0  T1   2mL  2mc aT0
Mc a  2mc a
 12C
La temperatura trovata è fuori dell’intervallo ipotizzato!
Pertanto l’ipotesi fatta inizialmente non può essere corretta!
Supponiamo ora che sia Tf=T0=0°C. Ci sono due possibilità:
a. la massa M di acqua si porta da T2 a T0; la massa 2m di
ghiaccio si porta da T1 a T0; una massa x di ghiaccio (0<x<2m)
passa allo stato liquido
b. la massa M di acqua si porta da T2 a T0; la massa 2m di
ghiaccio si porta da T1 a T0; una massa y di acqua (0<y<M)
passa allo stato solido
Assumiamo vera l’ipotesi (a):
 Calore assorbito dal ghiaccio:
Q  2mc g T0  T1   xL
 Calore ceduto dall’acqua:
Q  Mc a T2  T0 
 Uguagliando le due espressioni:
2mc g T0  T1   xL  Mc a T2  T0  
x
Mc a T2  T0   2mc g T0  T1 
L
 52,9g
Poichè si è
trovato 0<x<2m,
l’ipotesi (a) è
quella corretta
Cosa succede se utilizziamo un solo cubetto di ghiaccio?
Poichè abbiamo visto che, mettendo due cubetti di ghiaccio,
l’equilibrio termico si stabiliva a temperatura T0 con la fusione
di una massa di ghiaccio x>m, è ragionevole aspettarsi che la
temperatura di equilibrio Tf sia compresa fra T0 e T2

Calore ceduto dall’acqua: Q  Mc a T2  T f

Calore assorbito dal ghiaccio:
Q  mc g T0  T1   mL  mc a T f  T0 
Uguagliando le due espressioni si ha:
Mc a T2  T f   mc g T0  T1   mL  mc a T f  T0 
 Tf 
Mc aT2  mc g T0  T1   mL  mc aT0
Mc a  mc a
 2,51C
HALLIDAY - capitolo 18 problema 34
Un thermos isolato contiene 130cm3 di caffè caldo a una
temperatura di 80,0°C. Per raffreddare il caffè aggiungete nel
thermos un cubetto di ghiaccio di massa 12,0g al suo punto di
fusione (cG=0,530 cal/g K, L=79,5cal/g). Di quanti gradi si sarà
raffreddato il caffè dopo che il ghiaccio si è fuso? Trattate il caffè
come se fosse acqua pura e trascurate gli scambi termici con
l’ambiente circostante.
g
3

130cm
 130g
Massa di caffè nel thermos: M  ρV  1
3
cm
Calore ceduto dal caffè = calore assorbito dal ghiaccio
Mc a T2  T f   mL  mc a T f  T0  
Mc aT2  mL  mc aT0
Tf 
 66,5C
ca  M  m 
HALLIDAY - capitolo 18 problema 40
Un gas all’interno di una camera percorre il ciclo mostrato in
figura. Si determini il calore totale fornito al sistema durante la
trasformazione CA se il calore QAB fornito durante la
trasformazione AB è 20,0J, considerato che durante la
trasformazione BC non si ha alcun trasferimento di calore, e che
il lavoro totale compiuto durante il ciclo è 15,0J.
Primo principio della termodinamica:
Qciclo  Lciclo  ΔEint  0  Qciclo  Lciclo
Sommando i contributi delle varie
trasformazioni si ha anche:
Qciclo  QAB  QBC  QCA  QAB  0  QCA
Dal confronto segue:
Q AB  QCA  Lciclo 
QCA  Lciclo  Q AB  5,0J