2) PROBABILITA`

2) PROBABILITA’
La quantificazione della ‘possibilità’ del
verificarsi di un evento casuale E è detta
probabilità P(E)
Definizione classica: P(E) è il rapporto fra il
numero di casi favorevoli al verificarsi di E ed il
numero dei casi possibili (supposti tutti
ugualmente possibili)

F
E
F-E
Si tratta ora di definire come si dovrà procedere in
pratica per identificare il numero P(E).
Due sono le principali definizioni di probabilità;
• la prima è basata sul concetto di “equiprobabilità” e
viene chiamata “classica”, essendo la definizione
adottata dai matematici che nel secolo XVII
cominciarono ad occuparsi sistematicamente della
teoria delle probabilità;
• la seconda è detta “statistica” in quanto definisce la
probabilità di un evento come approssimazione della
frequenza relativa constatata in una serie di prove o di
osservazioni a proposito dell’evento medesimo.
L’equiprobabilità è un concetto che viene inteso come
espressione di una proprietà oggettiva attribuibile, per la
presenza di qualche “simmetria”, agli elementi che
formano lo spazio .
La conseguenza è che la definizione classica può trovare
applicazione solo nel caso in cui lo spazio degli eventi
elementari  sia articolato in un numero finito di punti.
Quindi se E è un generico evento di B , la definizione
classica prevede che se l’evento E è l’unione di m
qualunque degli n eventi elementari equiprobabili che
formano , la probabilità P(E) dell’evento in questione
è rappresentata dal rapporto:
m
P( E )  ,
n
(0  m  n).
In altri termini, la probabilità dell’evento E è
identificata dalla frazione che ha al denominatore il
numero n degli eventi (elementari) “possibili” con uno
dei quali deve concludersi l’esperimento casuale ed al
numeratore il numero m degli eventi (elementari)
“favorevoli” ad E.
La definizione “statistica” di probabilità, invece, trova il
suo supporto nella particolarità di comportamento
riscontrata in un gran numero di fenomeni naturali.
Infatti, vi sono fenomeni che, se osservati un gran
numero di volte nelle loro manifestazioni xi, (i = 1,…,k),
rivelano come le corrispondenti frequenze relative fi(n)/n
- essendo fi(n) il numero di volte in cui nelle n
osservazioni effettuate, il fenomeno condsiderato ha
presentato la modalità xi - al crescere di n danno la
sensazione di volersi ancorare ad una qualche costante.
casi favorevoli
P( E ) 
casi possibili
oppure:
numerosità di E
P(E ) 
numerosità di 
Osservazione:
La definizione classica di probabilità può essere
utilizzata per calcolare P(E)
solo qualora sia possibile determinare la
numerosità di E e di , cioè solo nel caso
in cui  sia insieme finito e sia possibile
“contare” gli eventi elementari che
compongono E.
Definizione Frequentista o
Statistica:
P(E) coincide con la frequenza
relativa del verificarsi di E
calcolata su “un gran numero di
prove” condotte tutte nelle
medesime condizioni
2.1) Assiomi delle
probabilità
Il sistema dei 3 assiomi delle probabilità prescinde
dal calcolo di P(E) e consente la deduzione logica
di una serie di teoremi e proposizioni che
costituiscono la “ Teoria della Probabilità”.
Tali assiomi sono:
1)
P(E) 0
2)
P() =1
3)
Siano E1,E2,………,En n eventi inclusi in 
a coppie incompatibili. Allora:


P  Ei    P( Ei )
 i 1  i 1
n
n
Principio
Probabilità
Totale
2.2) Alcuni teoremi
sulle probabilità
Discendono direttamente dal sistema dei 3 assiomi.
1.Probabilità dell’evento complementare
P(E)  1 - P(E)
Dimostrazione: E ed E sono per definizione
incompatibili cioè
EE 
Inoltre:
EE 
Ricorrendo ai tre assiomi:
P(EĒ) = P(E) + P(Ē) = P() =1
da cui:
P(Ē) = 1 - P(E)
2.
0P(E)  1
P() = 1 = P(E) + P(Ē)
P(E)  0
P(Ē)  0

0P(E)  1
3. Probabilità dell’evento impossibile
P() = 0
dimostrazione: l’evento impossibile  è il
complementare dell’evento certo . Pertanto:
P() = 1 - P() = 1 - 1 = 0
4. Probabilità dell’evento unione
P(E1E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1E2)
E1
E2

Sommando le probabilità di E1 e di E2 si
finisce per considerare due volte la
probabilità della parte comune che va,
pertanto, sottratta.
2.3) Probabilità
condizionata
Siano E1 ed E2 due eventi inclusi nel medesimo
spazio campionario: E1 e E2  .
Si definisce evento condizionato E1|E2 l’evento
E1 condizionato dal fatto che E2 si è verificato.
E2 è detto ‘evento condizionante’.
PROBABILITA’ CONDIZIONATA: è il
rapporto tra la probabilità dell’evento
intersezione e la probabilità dell’evento
condizionante
P( E1  E2 ) P n P
P( E1 | E2 ) 


P ( E2 )
S n S
Ovviamente la probabilità dell’evento
condizionante non può essere nulla.
Esempio: sia E1 = “esce un numero pari”
ed E2 = “esce un numero  4”.
Posto che sia uscito un numero  4, qual
è la probabilità che tale numero sia pari?
P( E1 | E2 ) 
P( E1  E2 )
P(2 4)
2/6


 0.5
P ( E2 )
P(1 2 3 4) 4 / 6
P(E  F) : P' (E  F)  P(F) : 1
Si può ore osservare che se nell’uguaglianza:
P(E  F)
P' (E  F) 
 P(E | F)
P(F)
P(E  F)
P(E | F) 
P(F)
Tuttavia, se la classe B’ viene considerata
prescindendo dalla classe B, è evidente che F=’
assume la funzione di evento certo cui deve
competere non già probabilità P(E)<1 ma
probabilità pari a 1.
Nella nuova prospettiva anche ogni elemento EF
di B’ non ha più associata probabilità P(E  F)
ma la probabilità P’(E  F) risultando:
Principio delle probabilità composte: serve
per determinare la probabilità dell’evento
intersezione. Segue dalla definizione di
probabilità condizionata:
P( E1  E2 )  P( E1 | E2 )  P( E2 )  P( E2 | E1 )  P( E1 )
OSSERVAZIONE: se P( E1 | E2 )  P( E1 )
allora il fatto che l’evento E2 si sia
verificato non ha influenza sull’evento E1
poiché non ne altera la probabilità.
Due eventi si dicono pertanto indipendenti se:
P( E1 | E2 )  P( E1 )
Oppure (equivalentemente):
P( E2 | E1 )  P( E2 )
In questo caso si ha:
P( E1  E2 )  P( E1 )  P( E2 )
Se due eventi sono indipendenti, allora lo
sono anche i complementari:
P( E1  E2 )  P( E1 )  P( E2 )
OSSERVAZIONE: se P( E1 | E2 )  0 e P( E1 )  0
allora il fatto che l’evento E2 si sia
verificato comporta che l’evento E1 non
possa più verificarsi.
Probabilità dell’evento intersezione:può
essere calcolato in quattro differenti modi:
1. Se è nota la probabilità condizionata si può
ricorrere al principio delle probabilità
composte;
2. Se è nota la probabilità dell’evento unione:
P( E1  E2 )  P( E1 )  P( E2 )  P( E1  E2 )
 P( E1  E2 )  P( E1 )  P( E2 )  P( E1  E2 )
3. Se è noto che E1 ed E2 sono indipendenti,
si ottiene per prodotto;
4. Se è noto che E1 ed E2 sono incompatibili,
è nulla. Infatti:
P( E1 | E2 )  P( E2 | E1 )  0
poiché
P( E1  E2 )  P( )  0