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EQUAZIONI II GRADO
Il grado di una equazione è il massimo
esponente che compare sull’incognita
Una equazione è un’uguaglianza tra due
espressioni, contenente una incognita
3x2 – 27 = 0
a=3
c = -27
quindi… sono equazioni di II grado. In generale :
-4x2 = 0
a = -4
b=0
Equazione
PURA
b=0
c=0
Equazione
MONOMIA
ax2 + bx + c = 0
-6x2 + 2x = 0
a = -6
x2 - 5x +6 = 0
b=2
c=0
Equazione
SPURIA
a=1
b = -5
c=6
Equazione
COMPLETA
Come si risolvono?
IPSSCT V. Bosso
a.s.2003-2004
Francesca Alloatti
EQUAZIONI PURE
Primo caso: a e c DISCORDI
ax2 + c = 0
b=0
ax2 + c = 0
3x 2  27  0
2
Porto “c” a secondo membro: a x  c
3x 2  27  0
3x 2  27
N.B. Poiché a e c sono discordi, ora avranno lo stesso segno!
Divido tutto per “a”:
a 2
c
x 
a
a
x2 
c
a
3 2 27
x 
3
3
N.B. E’ positivo!
Determino i due valori soluzione: x1,2  
c
a
Secondo caso: a e c CONCORDI
2
Porto “c” a secondo membro: a x  c
x1,2   9
3x 2  27  0
x2  9
x1  3
x2  3
3x 2  27
N.B. Poiché a e c sono concordi, ora avranno segno diverso!
Divido tutto per “a”:
a 2 c
x 
a
a
c
x 
a
2
3 2
27
x 
3
3
x 2  9
N.B. E’ negativo!
MA
La radice di un numero negativo… NON ESISTE
L’equazione è
IPSSCT V. Bosso
IMPOSSIBILE
a.s.2003-2004
x1,2    9
IMPOSSIBILE
Francesca Alloatti
c=0
ax2 + bx = 0
EQUAZIONI SPURIE
Prima di cominciare occorre ricordare una cosa:
Quando il prodotto di A × B = 0? se
A=0
LEGGE DI ANNULLAMENTO
DEL PRODOTTO
oppure:
B=0
Un prodotto è nullo se è nullo almeno uno dei suoi fattori.
Torniamo alle equazioni spurie.
Raccolgo la x:
ax2 + bx = 0
-6x2 + 2x = 0
x (ax + b) = 0
Ora ritrovo un prodotto: A × B
x (-6x + 2) = 0
=0
Perla legge di annullamento del prodotto posso dire che:
x=0
x (ax + b) = 0
se:
x=0
prima soluzione
ax + b = 0
ax = - b
x 
b
a
seconda soluzione
Nelle equazioni SPURIE una delle due soluzioni è sempre x = 0
IPSSCT V. Bosso
a.s.2003-2004
-6x + 2 = 0
-6x = -2
6x = 2
2 1
x= 
6 3
Francesca Alloatti
EQUAZIONI MONOMIE ax2 = 0
Una equazione monomia è del tipo ax2 = 0
b=0
b=0
c=0
Ragioniamo con le conoscenze che fino ad ora
abbiamo appreso:
c=0
è pura
e
è spuria
Consideriamo l’equazione:
 6x 2  0
6x 2  0
Le due soluzioni
sono opposte
(ex.  3)
Una delle due
soluzioni è
uguale a 0
6 2 0
x 
6
6
x2  0
Le due soluzione sono sempre x1,2 = 0
x1,2  0
I passaggi algebrici per arrivare alla soluzione sono:
ax 2  0
a 2 0
x 
a
a
x2  0
x  0
ma…
Lo zero non ha segno!
IPSSCT V. Bosso
a.s.2003-2004
Le soluzioni sono
coincidenti:
x1,2  0
Francesca Alloatti
EQUAZIONI COMPLETE ax2 + bx + c = 0
x 2  5x  6  0
Una equazione completa è del tipo ax2 + bx + c = 0
Vediamo come si risolve:
a=1
Determino a, b e c
b = -5
c=6
Calcolo il discriminante dell’equazione:
=

 0
b – 4 a  c
2
Ora, ho 3 possibilità:
=
(-5)2 – 4 1  6 =
25-24 = 1


= 0
 0
Sono 3 casi differenti che portano ad un numero differente di soluzioni.
Due soluzioni
distinte
IPSSCT V. Bosso
Due soluzioni
coincidenti
Nessuna soluzione
reale
a.s.2003-2004
Francesca Alloatti
EQUAZIONI COMPLETE ax2 + bx + c = 0
Vediamo come si risolve l’equazione nei tre casi presentati nella diapositiva precedente:
CASO 1:   0
x1,2 
Si applica la formula:
x1 
b 
2a
b  
2a
x2 
b  
2a
DUE SOLUZIONI DISTINTE
Vediamo un esempio: 6x2  11 x  3  0
Cerco il 
  ( 11)2  4(6)(3)  121  72  49
Applico la formula risolutiva
x1,2 
 b   11  49


2a
26
1° soluzione
x1 
11  7 18 3


12
12 2
x2 
11  7
4 1


12
12 3
2° soluzione
IPSSCT V. Bosso
a.s.2003-2004
Francesca Alloatti
EQUAZIONI COMPLETE ax2 + bx + c = 0
CASO 2:  = 0
Si applica la formula vista nel caso 1:
x1,2 
b 0
2a
la formula si semplifica e diventa:
x1,2 
b
2a
x1 
b
2a
:
ma poiche’
x2 
0 0
b
2a
DUE SOLUZIONI COINCIDENTI
Vediamo un esempio: 4x2  4x  1  0
Cerco il 
  ( 4)2  4( 4)(1)  16  16  0
Applico la formula risolutiva
IPSSCT V. Bosso
x1,2 
b
4
4 1

 
2a 2  4 8 2
a.s.2003-2004
1° soluzione
1
2
1
x2 
2
x1 
2° soluzione
Francesca Alloatti
EQUAZIONI COMPLETE ax2 + bx + c = 0
CASO 3:  < 0
Applicheremmo la formula risolutiva: x1,2 
b 
2a
ma…
NON SI PUO’ ESTRARRE LA RADICE DI UN NUMERO NEGATIVO!!!
L’EQUAZIONE QUINDI NON POSSIEDE SOLUZIONI REALI
L’EQUAZIONE E’ IMPOSSIBILE
Vediamo un esempio: 3x 2  2x  10  0
Cerco il 
  ( 2)2  4(3)(10)  4  120  116
L’EQUAZIONE E’ IMPOSSIBILE
IPSSCT V. Bosso
a.s.2003-2004
Francesca Alloatti