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TRASFORMAZIONE DEI GRAFICI
• Lezioni teoriche
• Esercizi
ringraziamenti
INDICE
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Traslazione verticale di parametro 1 della funzione y=cosx
Traslazione orizzontale in parametro π/4 della funzione y=cosx
Deformazione verticale di parametro 2 della funzione y=cosx
Deformazione orizzontale di parametro 2 della funzione y=cosx
Simmetria della funzione y=x rispetto all’asse y
Ribaltamento della funzione y= x rispetto all’asse x
Ribaltamento della funzione y= x rispetto all’origine
Moduli sulla funzione y=x3-1
Modulo di se sulla funzione y=x3-1
Guarda gli esercizi
Fine
Traslazione verticale di parametro b della funzione
y = f(x)
• y = cosx
• y = cosx-1
• y = cosx+1
Osservazioni
Traslazione verticale di parametro b della funzione
y = f(x)
•
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y = cosx
Funzione base
y = cosx–1
Traslazione verticale verso l’alto
y = cosx+1
Traslazione verticale verso il basso
Osservazioni:
x
Questo grafico rappresenta la traslazione
verticale di parametro1 della funzione
y=cosx che in base al parametro di
trasformazione si alza o si abbassa. La
formula di traslazione verticale di una
funzione di equazione generale y=f(x) è
y=f(x)+b. Se b>0 il grafico si sposta verso
l’alto, viceversa, se b<0, il grafico si sposta
verso il basso.
Traslazione orizzontale in parametro a della funzione
y = f(x)
• y = cosx
• y = cos(x-π/4)
• y = cos(x+ π/4)
Osservazioni
Traslazione orizzontale in parametro a della funzione
y = f(x)
•
•
•
y = cosx
Funzione base
y = cos(x-π/4)
Traslazione orizzontale verso sinistra
y = cos(x+ π/4)
Traslazione orizzontale verso destra
Osservazioni:
Questox
grafico rappresenta la traslazione orizzontale
in parametro /4 della funzione y=cosx che
in base al parametro di trasformazione si
sposta verso destra o verso sinistra. La
formula di traslazione orizzontale di una
funzione di equazione generale y=f(x) è
y=f(x+a). Se a>0 il grafico si sposta verso
sinistra, viceversa, se a<0 il grafico si
sposta verso destra.
Deformazione verticale di parametro h della
funzione y = f(x)
• y = cosx
• y = 2cosx
• y = 1/2cosx
Osservazioni
Deformazione verticale di parametro h della
funzione y = f(x)
•
•
•
y = cosx
Funzione base
y = 2cosx
Deformazione verticale, allunga il grafico
y = 1/2cosx
Deformazione verticale, restringe il grafico
Osservazioni:
x
Questo grafico rappresenta la deformazione
verticale di parametro 2 della funzione
y=cosx che in base al parametro di
trasformazione si allunga o si accorcia. La
formula di deformazione verticale di una
equazione generale y=f(x) è y=h*f(x). Se
h>1 il grafico si allunga verticalmente,
viceversa, se 0<h<1 il grafico si accorcia.
Deformazione orizzontale di parametro k della
funzione y = f(x)
• y = cosx
• y = cos(1/2x)
• y = cos(2x)
Osservazioni
Deformazione orizzontale di parametro k della
funzione y = f(x)
•
•
•
y = cosx
Funzione base
y = cos(1/2x)
Deformazione orizzontale, allarga il grafico
y = cos(2x)
Deformazione orizzontale, restringe il grafico
Osservazioni:
x
Questo grafico rappresenta la deformazione
orizzontale di parametro 2 della funzione
y=cosx che in base al parametro di
trasformazione si allarga o si restringe.
La formula di deformazione orizzontale
di una funzione di equazione generale
y=f(x) è y=f(k*x). Se 0<k<1 si allarga il
grafico, viceversa, se k>1 il grafico si
comprime.
Simmetria della funzione y = x rispetto all’asse x
• y = x
• y = - x
Osservazioni
Simmetria della funzione y = x rispetto all’asse x
•
•
y = x
Funzione base
y = - x
Ribaltamento della funzione base
rispetto all’asse x
Osservazioni:
x
Questo grafico rappresenta la simmetria
della funzione y=x rispetto all’asse y che
cambiando il segno alla funzione della
prima equazione, il secondo grafico viene
ribaltato nel quarto quadrante.
La formula della simmetria di
un’equazione generale y=f(x) è y=-f(x).
Ribaltamento della funzione y = x rispetto all’asse y
• y = x
• y = -x
Osservazioni
Ribaltamento della funzione y = x rispetto all’asse y
•
•
y = x
Funzione base
y = -x
Ribaltamento della funzione base
rispetto all’asse y
x
Osservazioni:
Questo grafico rappresenta il ribaltamento
della funzione y=x rispetto all’asse y che
spostando il segno della x nella prima
equazione, il grafico della seconda
equazione viene ribaltato nel secondo
quadrante .
La
formula generale del ribaltamento di
un’equazione generale y=f(x) è y=f(-x).
Ribaltamento della funzione y = x rispetto
all’origine
• y = x
• y = --x
Osservazioni
Ribaltamento della funzione y = x rispetto
all’origine
•
•
y = x
Funzione base
y = --x
Ribaltamento della funzione base
rispetto all’origine
Osservazioni:
x
Questo grafico rappresenta il ribaltamento
della funzione y=x rispetto all’origine e
cambiando di segno sia la funzione sia la x
nella prima equazione, il grafico della
seconda equazione viene ribaltato nel
quadrante opposto.
La
formula generale del ribaltamento di una
funzione di equazione generale y=f(x) è
y=-f(-x).
Modulo sulla funzione y = x^3-1
• y = x^3-1
• y = |x^3-1|
Osservazioni
Modulo sulla funzione y = x^3-1
•
•
y = x^3-1
Funzione base
y = |x^3-1|
Ribaltamento della funzione base
rispetto all’origine
Osservazioni:
x
Questo grafico rappresenta il modulo della
funzione y=x3-1(tra le due stelle). Il modulo
agisce sulla funzione in due modi differenti:
dove la funzione è negativa il grafico della
funzione base viene ribaltato, mentre dove
la funzione è positiva i due grafici si
sovrappongono
>>segue
Modulo sulla funzione y = x^3-1
•
•
y = x^3-1
Funzione base
y = |x^3-1|
Ribaltamento della funzione base
rispetto all’origine
In generale , se la funzione y=f(x) è
x
negativa , il grafico del modulo è il
simmetrico del grafico della funzione,
altrimenti i due grafici si sovrappongono.
<<precede
Modulo di x sulla funzione y = x3-1
• y = x3-1
• y = (|x|)3-1
Osservazioni
Modulo di x sulla funzione y = x3-1
•
•
y = x3-1
Funzione base
y = (|x|)3-1
Modulo di x sulla funzione base
Osservazioni:
x
Da questo grafico si può notare che la
funzione modulo applicata solo alla x
trasforma le x negative in positive, ribaltando
la parte positiva del grafico (tra le due
stelline).
Nel caso contrario il grafico rimane
invariato.
>>segue
Modulo di x sulla funzione y = x3-1
•
•
y = x3-1
Funzione base
y = (|x|)3-1
Modulo di x sulla funzione base
In generale se si applica la funzione
x
modulo solo sulla x si ha una
trasformazione delle x negative in positive
tramite un ribaltamento, altrimenti se le x
sono positive, il grafico rimane invariato.
<<precede
INDICE
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Guarda la teoria
Esempio 1
Esempio 2
Esempio 3
Esempio 4
Trasformazione di una funzione
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LAVORO DI:
Fornaro,
Delpero e
Agostini
SOVRAPPOSIZIONE DEI GRAFICI
y = senx
y = sen3x
y = sen(3x-/2)
y = |sen(3x-/2)|
y = senx
Rappresenta la funzione base
T=2
D [0; 2]
C[-1;1]
y = sen3x
T1:Deformazione orizzontale di parametro 3 che
comprime il grafico T= 03x2 D[0;]
C[-1;1]
y = sen(3x-/2)
T2:Traslazione orizzontale di parametro /6 verso destra.
T= 03x-/22 D[0+/6;+/6]
C[-1;1]
y=|sen (3x-/2)|
T3:modulo della funzione che lascia invariato il segno
quando è positivo, e quando è negativo ribalta la
funzione rispetto all’asse delle x trasformando il segno
da negativo a positivo.
Esercizio sulla trasformazione di
funzioni
Realizzato da: Acucella & Fagnani
& Tagliabue
Come sviluppare le trasformazioni
Data la funzione dobbiamo :
• Riconoscere la funzione base
• Analizzare la successione delle
trasformazioni ( traslazioni,deformazioni…)
che applicate alla funzione base portano alla
funzione richiesta
Esempio :
x 
y  cos(   )
2 6
Successione delle trasformazioni
applicate
y  cos x
 x
y  cos 
2
x 
y  cos(  )
2 6
Funzione base
y  cos x
:Il
grafico di questa
funzione è il grafico
della funzione coseno
senza variazioni
Il suo codominio va
da –1 a 1 mentre il
suo dominio va da - 
a+.

Deformazione orizzontale di
x
parametro 2
y  cos(
x
)
2
:Il grafico
di questa funzione è il
grafico della funzione
coseno deformata
orizzontalmente di
parametro x

2
Osservazioni
Traslazione orizzontale di parametro
 x 
  
 2 6
x 
y

cos(
 )

2 6
:
Il grafico di questa
funzione è il grafico della
funzione coseno traslata
orizzontalmente di
parametro  x   
2
6
Osservazioni
Osservazioni
y  cos x
Sviluppando le trasformazioni della funzione base
abbiamo notato che essendo il coseno una funzione pari le
trasformazioni che hanno la x positiva e quelle che hanno,
invece, la x negativa sono identiche.
y  cos(
x 
 ) e
2 6
x e y  cos(  x )
y  cos( )
2
x 2
y  cos[ (
2

6
)]
Esercitazione di:
Centrone
Detto Fabio
Catanzaro
•Funzione data
•Funzione base: sen(x).
•Deformazione orizzontale di parametro x/3.
•Traslazione orizzontale di parametro

12
Y  senx
x
Y  sen( )
3
x 
Y  sen(  )
3 12
Grafico della funzione data
x 
Data la funzione Y  sen(  ) l’abbiamo scomposta nelle singole
3 12
trasformazioni
Funzione originaria:
Funzione originaria sen(x) con
periodo [0;2] e ampiezza di 2.
Funzione originaria deformata
Y=sen(x/3):questa funzione deriva
dalla funzione originaria e fa avvenire
una deformazione orizzontale di
parametro x/3 (funzione in rosso).
Il periodo va da [0;6] con ampiezza 6

4
Funzione originaria deformata e traslata
x 
Y  sen(  ) questa funzione fa
3 12
avvenire una traslazione orizzontale di
parametro /12 verso sinistra con un
periodo che va da [   ; 71  ], cioè
12 12
[ 0   ;6   ].
12
12
L’ampiezza è di 6.
Esercizio sulle trasformazioni
delle funzioni
Grafico
Y=senx
Y=sen 1/3x
Y=sen(1/3x+/12)
-Ringraziamenti-
Y=sen[-(1/3x+/12)]
L’equazione base di questo grafico è y=senx (blu), l’intervallo è [o;2], il suo periodo
è 2. Il codominio è [-1;1].
-Ringraziamenti-
All’equazione precedente abbiamo applicato una deformazione orizzontale di parametro
1/3 , che allarga il grafico:
y=sen1/3x (viola), l’intervallo è [o;6 ], il suo periodo è 6, il codominio è [-1;1].
-Ringraziamenti-
All’equazione precedente abbiamo applicato una traslazione orizzontale verso
sinistra di parametro -:
y=sen(1/3x+/12 ), (verde), l’intervallo è [-/4;6-/4], il suo periodo è 6, il
codominio è [-1;1].
-Ringraziamenti-
All’equazione precedente abbiamo applicato un ribaltamento rispetto all’asse delle
y:
y=sen[-(1/3x+/12 )], (rosso), l’intervallo è [ -/4; 6-/4], il suo periodo è 6, il
codominio è [-1;1].
-Ringraziamenti-
Si ringrazia: