Diapositive 1

Fondamenti e Didattica della
matematica
Approccio alla geometria
Bettina Pedemonte
ITD-CNR Genova
Corso abilitanti 2007-2008
Scienze della Formazione – Genova, La Spezia, Alassio
La geometria
géo: la terre
metrikos: misura
La geometria è quella parte della scienza
matematica che si occupa delle forme nel piano e
nello spazio e delle loro mutue relazioni.
http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria
La geometria: contenuti ministeriali
In generale,
Le attività della geometria richieste dai
contenuti ministeriali non mirano a delle
conoscenze formali (definizioni), ma a
conoscenze funzionali,
Utili per risolvere problemi nello spazio
ordinario, in quello del foglio di carta e sullo
schermo di un computer
La geometria: i programmi
Gli apprendimenti si svolgono in modo continuo
dalla scuola primaria alla scuola secondaria. Un
preciso vocabolario si deve progressivamente
costruire.
Il principio è quello di partire dal reale (e quindi
da oggetti materiali) e lentamente passare
all’astrazione. Si da precedenza alla geometria
dello spazio.
Nella scuola primaria non si parla di dimostrazione,
ma di un inizio di apprendimento al
ragionamento, in particolare nelle attività di
riproduzione delle figure.
La geometria: i programmi
Nella scuola secondaria si riprende la geometria
del piano e dello spazio introdotta nella scuola
primaria.
In particolare si richiede di saper produrre semplici
deduzioni usando le proprietà geometriche delle
figure per poter risolvere problemi.
Due geometrie: empirica e
teorica
L’obiettivo principale è di permettere agli allievi di
passare progressivamente :
Da una geometria dove gli oggetti e le proprietà
sono controllate dalla percezione
A una geometria dove gli oggetti sono controllati
dall’esplicitazione di proprietà e dall’uso di
strumenti
La geometria
spazio
geometria
Collocazione
Relazioni e proprietà
Localizzazione
Solidi
Orientazione
Figure piane
La geometria
spazio
Collocazione
Spazio
Localizzazione
esterno
Orientazione
geometria
Relazioni e proprietà
Spazio della
solidi
geometria
figure piane
Concettualizzazione: spaziale e
geometrica
Due tipi di concettualizzazione:
Spaziale
geometrica
Come si caratterizzano queste due diverse
concettualizzazioni?
Due geometrie: empirica e
teorica
da io vedo
a
io so
dal disegno
alla
figura
dall’oggetto
al
concetto
Due geometrie: empirica e
teorica
da io vedo
a
io so
dal disegno
alla
figura
dall’oggetto
al
concetto
Cosa vedo?
Come risolvere questo
paradosso percettivo?
Due geometrie: empirica e
teorica
da io vedo
a
io so
dal disegno
alla
figura
dall’oggetto
al
concetto
Dal disegno alla figura
La figura geometrica è l’oggetto geometrico descritto dal
testo che la definisce, un’idea, una creazione dello spirito,
mentre il disegno ne è una rappresentazione
Parzysz (1988)
La figura geometrica si costituisce nel mettere insieme un
referente teorico con tutti i possibili disegni; è allora definita
come l’insieme delle coppie formate da due termini, il primo
è il referente teorico, il secondo, uno dei disegni che lo
rappresenta. Il secondo termine è preso nell’universo di
tutti i disegni possibili del referente.
Laborde, 1994
Dal disegno alla figura
Occorre sottolineare la complessità dei rapporti tra disegno
e oggetto geometrico:
 da una parte, il disegno geometrico non è
necessariamente interpretato dal suo lettore come
rinviante ad un oggetto geometrico
 Dall’altra le interpretazioni di uno stesso disegno sono
molteplici per due ragioni: la natura del disegno e le
interpretazioni che dipendono dal lettore e dalle sue
conoscenze.
Dal disegno alla figura
Un disegno rinvia agli oggetti teorici della geometria nella
misura in cui colui che lo legge decide di farlo,
l’interpretazione è naturalmente dipendente dalla teoria
con la quale il lettore sceglie di leggere il disegno così
come dalle conoscenze di questo lettore.
Un matematico riconoscerà
probabilmente un cerchio
nel primo disegno ed
esiterà tra cerchio ed
ellisse nel secondo.
Dal disegno alla figura
Un disegno anche se geometrico può essere interpretato in
diversi modi ed in particolare la percezione interviene nella
costruzione di una interpretazione se il lettore non dispone di
forti conoscenze teorico geometriche che gli consentono di
superare le lettura percettiva.
Dal disegno alla figura
Gli aspetti percettivi del disegno possono impedire o al
contrario favorire le lettura geometrica degli studenti,
attirando l’attenzione su elementi del disegno non pertinenti
alla lettura.
Entrambe le figure rappresentano il
teorema di Talete?
È un rombo o è un quadrato?
Nota. Teorema di Talete: un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali
determina su di esse, classi di segmenti direttamente proporzionali
Due geometrie: empirica e
teorica
da io vedo
a
io so
dal disegno
alla
figura
dall’oggetto
al
concetto
Dall’oggetto al concetto
Fishbein introduce la nozione di concetto figurale per descrivere la
costruzione mentale manipolata da un ragionamento geometrico
come « immagine interamente controllata dalla sua definizione »
« Gli oggetti di investigazione e manipolazione nel ragionamento geometrico
sono quelle entità mentali, chiamate concetti figurali, che riflettono proprietà
spaziali (ombra, posizione, grandezza) e nello stesso tempo, possiedono
qualità concettuali – come astrazione, generalità, perfezione »
Il processo di costruzione di tale entità è lontano dall’essere un
prodotto spontaneo dell’insegnamento della geometria. E’ stato
mostrato che gli aspetti figurali possono negli studenti superare quelli
concettuali (Mariotti, 1991)
Dall’oggetto al concetto
D
Dato un cerchio di centro O si
disegnino due diametri perpendicolari
AB e CD. Scegliamo un punto M sul
cerchio e tracciamo le perpendicolari
MP e MN sui due diametri.
M
A
P
N
O
B
Qual’è la lunghezza di PN?
C
Il fatto di concludere che PN=MO= raggio= costante supporta
l’idea che la figura considerata è dall’inizio, non un’immagine
ordinaria, ma è già una struttura logicamente controllata. La
fusione tra concetto e figura tende a essere perfetta in questo
caso.
Due geometrie: empirica e
teorica
da io vedo
a
io so
LINGUAGGIO della
dal disegno
alla GEOMETRIAfigura
dall’oggetto
al
concetto
Il linguaggio della geometria
Di seguito sono riportate alcune parole. Quali di esse indicano concetti che
riguardano esclusivamente lo spazio – ambiente (o “spazio fisico”), in
quanto dipendono da fenomeni fisici e/o dal rapporto del nostro corpo con lo
spazio-ambiente? Quali possono invece riguardare concetti geometrici?
Verticale
Parallelo
Perpendicolare
Destra
Il linguaggio della geometria
Verticale
Parallelo
Perpendicolare
Destra
Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: fenomeni fisici
nello spazio come la forza di gravità o situazioni di rapporto
del nostro corpo con lo spazio
Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: “binari paralleli”, …
Situazioni di riferimento Geometria: due rette perpendicolari
ad una stessa retta sono parallele tra loro
Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: bastoni, strade, …
Situazioni di riferimento Geometria: rette e segmenti
perpendicolari…
Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: dipende dal
rapporto che creo con il mio corpo ( la mia destra diventa la
tua sinistra, se io sono di fronte a te).
Il linguaggio della geometria
Verticale
Parallelo
Perpendicolare
Destra
Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: fenomeni fisici
nello spazio come la forza di gravità o situazioni di rapporto
del nostro corpo con lo spazio
Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: “binari paralleli”, …
Situazioni di riferimento Geometria: due rette perpendicolari
ad una stessa retta sono parallele tra loro
Concetti non geometrici
Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: bastoni, strade, …
Situazioni di riferimento Geometria: rette e segmenti
perpendicolari…
Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: dipende dal
rapporto che creo con il mio corpo ( la mia destra diventa la
tua sinistra, se io sono di fronte a te).
Il linguaggio della geometria
Verticale
Parallelo
Perpendicolare
Destra
Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: fenomeni fisici
nello spazio come la forza di gravità o situazioni di rapporto
del nostro corpo con lo spazio
Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: “binari paralleli”, …
Situazioni di riferimento Geometria: due rette perpendicolari
ad una stessa retta sono parallele tra loro
Concetti geometrici utilizzati anche per modellizzare
situazioni concrete
Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: bastoni, strade, …
Situazioni di riferimento Geometria: rette e segmenti
perpendicolari…
Situazioni di riferimento Spazio-ambiente: dipende dal
rapporto che creo con il mio corpo ( la mia destra diventa la
tua sinistra, se io sono di fronte a te).
Il linguaggio della geometria
Esaminare le seguenti affermazioni, cercando di precisare quali concetti
della geometria intervengono, e se si tratta di affermazioni della geometria,
oppure di affermazioni non appartenenti alla geometria in cui si utilizzano
concetti della geometria come modelli di situazioni dello spazio-ambiente.
Un triangolo è rettangolo se e solo se due delle sue tre altezze coincidono
con due dei suoi lati.
Geometria (Teorema)
Sia AB un segmento, π un piano orizzontale contenente il punto B. AB è
verticale se e solo è perpendicolare a tutte le rette di π passanti per B.
Non geometria ("verticale" ed "orizzontale"
riguardano la realtà fisica)
Il linguaggio della geometria
Per rappresentare il piano cartesiano si disegnano una retta orizzontale
(che si chiama “asse delle ascisse”) e una retta verticale (che si chiama
“asse delle ordinate”).
Non geometria (se spostiamo il foglio ciò
che era verticale diviene orizzontale…)
Nel trapezio rettangolo ABCD la base inferiore AB è il doppio della base
superiore CD.
Non geometria (“superiore" ed “inferiore"
riguardano lo spazio fisico)
La circonferenza divide il piano che la contiene in due parti – la parte interna e
la parte esterna alla circonferenza stessa. La parte interna si caratterizza per il
fatto che ogni retta passante per un suo punto incontra la circonferenza.
Geometria (Teorema)
Il linguaggio della geometria
La specificità del vocabolario in matematica, e in particolare
in geometria, è spesso “rifiutata”. Nell’approccio a compiti di
costruzione o di argomentazione, la precisione dei termini
impiegati, degli argomenti proposti, la loro strutturazione
(cronologica e la concatenazione discorsiva) appaiono
spesso arbitrari agli studenti.
D’altra parte il linguaggio è indissociabile dall’azione (si
verbalizzano così azioni poco famigliari).
La difficoltà a verbalizzare certe azioni presuppone quindi
una mancanza di appropriazione del concetto geometrico.
Il linguaggio aiuta a capire se è avvenuta la
transizione da empirico a teorico
Linguaggio empirico e teorico
1. Un linguaggio di tipo empirico si basa
sull’intuizione e sulla sperimentazione
2. Un linguaggio di tipo teorico si basa
sulla deduzione e che trova il suo
obiettivo finale nella dimostrazione
Linguaggio empirico e teorico
Nel linguaggio empirico
Questo è un quadrato…
E un quadrato non è un
rettangolo !
Nel linguaggio teorico
Le proprietà di questa figura (4
angoli retti, 4 lati congruenti)
definiscono un quadrato…
E un quadrato è anche un
rettangolo !!
Linguaggio empirico e teorico
Nel linguaggio empirico
I problemi spaziali vengono risolti mediante
validazione empirica.
Nel linguaggio teorico
I problemi di geometria vengono risolti mediante
una prova matematica.
Approccio didattico alla geometria
La didattica come strumento per favorire gli
studenti nella transizione:
Realtà spaziale
Modello geometrico
La didattica come strumento per aiutare gli
insegnanti nel favorire questa transizione nelle
attività di classe
Approccio didattico alla geometria
Perché insegnare la geometria :
 1. Insegnare agli studenti a pensare geometricamente
 2. Insegnare agli studenti a vedere nello spazio
 3. Insegnare agli studenti a ragionare
Come insegnare la geometria :
 1. Costruire situazioni di ricerca
 2. Costruire situazioni di comunicazione
 3. Utilizzare strumenti
 4. Legare la geometria ad altre discipline
Approccio didattico alla geometria
Utilizzare strumenti
Spazio reale – strumenti percettivi: la vista, il tatto...
Mondo spazio-geometrico
Strumenti che aiutano la percezione
Spazio geometrico – strumenti di validazione: la teoria
Approccio didattico alla geometria
Utilizzare strumenti
Quali strumenti?
Strumenti tecnologici
Giochi didattici
Cabri II+
Tangram
Cabri 3D
Attrimath
…
Polydron
…
Approccio didattico alla geometria
Utilizzare strumenti: strumenti tecnologici
Cabri II +
Permette di :
 Costruire figure geometriche nel piano, dalle più
semplici alle più elaborate, partendo dagli oggetti
fondamentali della geometria: punti, rette, segmenti,
cerchi, piani, trasformazioni…
 Esplorare proprietà di una figura agendo sui suoi
elementi variabili.
 Osservare gli effetti di deformazione dinamica.
 Costruire congetture sulle proprietà geometriche e
verificare le relazioni tra oggetti della figura.