Il Volume di un solido può essere misurato per via diretta con un

FLUTE GRADUATO Il Volume di un solido può essere misurato per via diretta con un cilindro graduato. Preso un cilindro graduato lo si riempie di un liquido incomprimibile, deducendo dalla scala graduata il V in cm 3 (non più in ml). Immerso un solido nel cilindro la variazione di quota raggiunta dal liquido contenuto consente di calcolare il volume del solido come differenza tra il V iniziale e quello finale. Il liquido nel cilindro deve essere incompressibile, di modo che quando un corpo viene immerso in esso non lo schiacci facendone appunto variare il volume (si può far sperimentare ai ragazzi la differenza tra l’immergere un solido in acqua o nella panna montata). La misurazione si fonda sul principio che il volume del liquido non vari, sicché la variazione di altezza misurata in cm 3 restituisce la misura del volume del solido immerso. Un’esperienza interessante è proporre la costruzione di un cono graduato servendosi di un flute di plastica. Si tara il flute servendosi di un ovetto kinder, riempiendolo d’acqua fin all’orlo e segnando le tacche relative su uno scotch attaccato lungo la parete esterna del flute. Si riporta poi lo scotch su un foglio millimetrato lungo la verticale e si disegnano due assi, uno dove si misurano le distanze delle tacche in mm, l’altro normale ad esso dove si segnano ad intervalli regolari il numero di ovetti di volta in volta usati per riempire il flute; sul piano delimitato dai due assi si riportano poi le proiezioni delle misure e si disegna la curva relativa. Ci si accorge che non è data da una linea retta, bensì da una curva. Con le classi della Scuola Primaria è sufficiente fermarsi a far notare che la curva non è una linea retta, facendo magari osservare ­sollecitando le loro ipotesi ed osservazioni­ che mano a mano che il flute si allarga le tacche si avvicinano. In realtà il flute non è un cono perfetto, perché la prima tacca comprende parte del flute conico e parte del flute inserito nel piede nero in plastica che è cilindrico Ciò può far supporre che nelle prime tre misurazioni la forma cilindrica faccia sentire il suo effetto, come, d’altro canto, nelle ultime misure le tacche sono così ravvicinate che quasi si potrebbe approssimare il cono nuovamente ad un cilindro.
Vista la conformazione del flute a cilindro e a cono si ipotizza la proporzionalità tra il numero di ovetti e l=altezza delle tacche per quanto riguarda le parti approssimabili al cilindro, mentre ci si chiede quale possa essere la proporzionalità per la parte conica: se sia cioè una proporzione ancora ad l, ad l al quadrato o ad l al cubo. Si considera poi la regola per ricavare il volume di un cono: V cono = 1/3πr 2 *l manca r 2 , ovvero la misura del raggio della base del cono Si considera il cono in sezione
a θ h b ah=h cono e hb è il raggio; considerato l’angolo θ e il lato ab=l, l’h e il raggio diventano rispettivamente: hb=l* cos θ, ah=l*sen θ tale che, tornando al V si ha V=1/3π lcos θ* l 2 sen θ =1/3 π cos θsen θ*l 3 dove, considerato 1/3 π cos θsen θ=k, si ha V~k* l 3 ovvero si dà una proporzionalità al lato considerato al cubo. Studiando ora l’andamento dei dati in excel si nota che il coefficiente di correlazione tra gli ovetti e le lunghezze delle tacche è quasi prossimo a 1 quando si considerano le prime tre e le ultime tre misure come approssimate ad un cilindro (rispettivamente R 2 =0,998 e R 2 =0,999), ovvero il V è proporzionale alla quota, mentre per le misure centrali, dove si è supposta più rilevante la proporzionalità al cubo di l, si ha R 2 =0,984. Quando invece si guarda ai grafici presi nel loro insieme stupisce constatare che il coefficiente di correlazione è 0,989 per l e 0,928 per l 3 il che in effetti risponde al fatto che ben 6 misure su complessive 12 ­ovvero la metà­ risponde alla legge del cilindro piuttosto che a quella del cono, se poi si considera che da circa la metà dell’altezza del cono le tacche sono sempre più ravvicinate influisce sicuramente l’approssimazione del cono a tanti piccoli cilindretti. Si nota in realtà che la linearità del V rispetto ad l o l 2 per l’intervallo 4­12 è comunque più vicina ad 1 che non la proporzionalità ad l 3 e infatti guardando ad R 2 si ha rispettivamente 0, 995/ 0,985 e 0,968. Guardando inoltre il grafico nel complesso la proporzionalità ad l 2 ha un R 2 =0,961 come fosse una media tra la proporzionalità tra l e l al cubo. Lo stesso andamento si osserva per un’altra serie di misure effettuate in questo caso con la parte di ovetto kinder più piccola: con 16 misurazioni si evince per i dati analogo andamento.