F - ElevaMente al Cubo

BENVENUTI
A
TUTTI
PRESENTAZIONE DEL CORSO
I incontro
• Ambito operativo della logica. Le proposizioni
logiche. Logica degli enunciati e operatori logici;
equivalenza di espressioni logiche. Tautologie,
ragionamenti e dimostrazioni; ragionamenti
validi e ragionamenti corretti; sintassi e
semantica di un ragionamento.
PRESENTAZIONE DEL CORSO
II incontro
• La logica dei predicati. Predicati aperti e chiusi.
Predicati unari e binari. Insieme di verità di un
predicato semplice o composto. Connettivi
logici e insiemi.
• Equazioni, disequazioni, sistemi in una e in
due variabili come predicati semplici o
composti.
• Uso dei quantificatori. Negazioni di frasi con
quantificatori. I sillogismi: da Aristotele alla
classificazione attuale passando per le regole
mnemoniche tardomedievali.
• Esercizi
PRESENTAZIONE DEL CORSO
III incontro
• La relazioni l’equivalenza. Come comunicare il
concetto di “BLU” a chi non parla la nostra
lingua. I concetti astratti in matematica.
• Alcuni esercizi di logica dati alle olimpiadi della
matematica. Esempi di alfa-test dati nelle
prove di accesso all’università.
PROPOSIZIONI LOGICHE
UNA PROPOSIZIONI LOGICA È
UN ENUNCIATO CHE È
O VERO O FALSO
I incontro
VARIABILE LOGICA
È UNA VARIABILE LOGICA OGNI
LETTERA UTILIZZATA AL POSTO
DI UNA PROPOSIZIONE
I incontro
PROPOSIZIONI SEMPLICI o
ELEMENTARI o ATOMICHE
• MANGIO UNA MELA
• OGGI A SAN DONÀ PIOVE
• MI COMPRO UN’AUTOMOBILE
(o
come dicevano i futuristi “un automobile”)
sono tutte proposizioni elementari
(o atomiche)
I incontro
CONNETTIVI LOGICI
• NON (NOT) (è l’unico “connettivo” unario…)
•E (AND – ET)
• O (OR – VEL)
• IMPLICA / SE… ALLORA (IF … THEN)
• SE E SOLO SE (IF AND ONLY IF…)
• XOR/AUT…AUT
UNA PROPOSIZIONE È COMPOSTA SE È
FORMATA DA PIÙ PROPOSIZIONI
LOGICHE LEGATE DA CONNETTIVI
I incontro
PROPOSIZIONI SEMPLICI
•A
•B
•…
PROPOSIZIONI COMPOSTE
• A or B
• not (B and C)
•…
I incontro
LA NEGAZIONE NON
A
NON A
V
F
F
V
I incontro
LA CONGIUNZIONE E (and)
A
B
A and B
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
I incontro
LA CONGIUNZIONE E (and)
TEST DATO AL POLITECNICO
Si considerino le due definizioni seguenti:
c. Una circonferenza c è l’insieme dei punti del piano equidistanti da un fissato
punto C.
p. Una parabola p è l’insieme dei punti del piano equidistanti da un fissato punto F
e da una fissata retta d.
Allora
A. la distanza di un punto qualunque di c da C è uguale alla distanza di un punto
qualunque di p da F
B. tre punti distinti di c hanno la stessa distanza da C e tre punti distinti di p hanno
la stessa distanza da d
C. un punto di c ha la stessa distanza da C di un punto di p
D. due punti di c hanno la stessa distanza da C e un punto di p ha distanza da F
uguale alla distanza che ha da d
E. due punti di c hanno la stessa distanza da C e tre punti distinti di p hanno la
stessa distanza da F
I incontro
LA DISGIUNZIONE INCLUSIVA O
A
B
A or B
A vel B
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
LA DISGIUNZIONE ECLUSIVA
XOR (AUT…AUT)
A
B
A xor B
aut A aut B
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
IMPLICAZIONE MATERIALE
SE… ALLORA (IF…THEN) ()
A
B
AB
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
IMPLICAZIONE MATERIALE
(se P allora C) (if P then C) (PC)
(espressioni equivalenti)
• Da P segue C
• P è sufficiente per C
• C è necessaria per P
• P solo se C
test dato al politecnico
L’affermazione
Domani Aldo verrà dimesso dall’ospedale se oggi rimane senza febbre
equivale a una delle seguenti. Quale?
A. Se domani verrà dimesso, vuol dire che oggi Aldo è senza febbre
B. Per essere dimesso domani, è necessario che oggi Aldo rimanga senza febbre
C. Per essere dimesso domani, è sufficiente che oggi Aldo rimanga senza febbre
D. Domani Aldo verrà dimesso solo se oggi rimane senza febbre
E. Oggi Aldo ha la febbre e domani non verrà dimesso
Traduciamo:
D  SF
A.
D  SF
B.
D  SF
C.
D  SF
D.
D  SF
E.
(non SF) and (non D)
test dato al politecnico
Dalla proposizione
Una successione di numeri reali, se crescente e limitata, è convergente
(Cresc and Limit  Conv)
si deduce che
A. la convergenza è una condizione necessaria per la limitatezza di una
successione reale
LimitConv
B. la convergenza è una condizione necessaria per la crescenza di una
successione reale
Conv  Cresc
C. le condizioni di crescenza e di limitatezza sono sufficienti per la convergenza di
una successione reale
Cresc and Limit  Conv
D. le condizioni di crescenza e di limitatezza sono necessarie e sufficienti per la
convergenza di una successione reale Cresc and Limit  Conv
E. esistono successioni reali convergenti
x  SuccReal : Conv(x)
[vedi lezione sui quantificatori]
LA DOPPIA IMPLICAZIONE
SE E SOLO SE (↔)
(A  B) and (BA)
BA
A↔B
A
B
AB
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
I incontro
ESPRESSIONI LOGICHE
• not (A and B)
• A and (not C)
• if ((if A then B) and A) then B
• if [(if A then B) and (not B)] then (not A)
• if [(if A then B) and (if B then C))] then [if A
then C]
come si codificano?
I incontro
TEST DATO AL POLITECNICO
Aldo, Bruno e Carlo sono tre amici. Si sa che
• almeno uno di essi è laureato
• se Aldo è laureato, anche Bruno lo è
• se Carlo è laureato, anche Aldo lo è
• solo uno tra Bruno e Carlo è laureato
Allora si deduce che
• A. Aldo e Bruno sono laureati
• B. Bruno è laureato
• C. Aldo è laureato e Bruno non lo è
• D. Carlo è laureato
• E. i laureati sono due
traduciamo
RISPOSTA AL TEST
quali sono i casi in cui le 4 affermazioni sono tutte vere?
A
B
C
A or B or C
AB
CA
B xor C
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
I incontro
TAUTOLOGIE
UNA PROPOSIZIONE COMPOSTA È UNA
TAUTOLOGIA SE RISULTA SEMPRE
VERA QUALUNQUE SIA IL VALORE DI
VERITÀ DELLE PROPOSIZIONI CHE LA
COMPONGONO
I incontro
ESEMPI DI TAUTOLOGIE
A o (non A)
Principio del terzo escluso
A
non A
A or (non A)
V
F
V
F
V
V
I incontro
ESEMPI DI TAUTOLOGIE
Non (A e (non A))
Principio di non contraddizione
A
non A A e (non A) Non (A e (non A))
V
F
F
V
F
V
F
V
I incontro
CONTRADDIZIONI
UNA PROPOSIZIONE COMPOSTA È UNA
CONTRADDIZIONE SE RISULTA
SEMPRE FALSA QUALUNQUE SIA IL
VALORE DI VERITÀ DELLE
PROPOSIZIONI CHE LA COMPONGONO
ESEMPI DI CONTRADDIZIONI
A and (non A)
A
non A
A and (non A)
V
F
F
F
V
F
ESEMPI DI CONTRADDIZIONI
non(A or (non A))
A
non A
A or (non A)
non(A or (non A))
V
F
F
F
F
V
V
F
EQUIVALENZA DI
ESPRESSIONI LOGICHE
A
non A
non (non A)
V
F
V
F
V
F
A = non (non A)
EQUIVALENZA DI
ESPRESSIONI LOGICHE
A
B
AB
non A
(non A) vel B
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
A  B = (non A) vel B
LEGGI DI DE MORGAN
non (A e B) = (non A) o (non B)
non (A o B) = (non A) e (non B)
A
B
AeB
non
(A e B)
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
(non A) o
non A non B
(non B)
ESEMPI CON LE LEGGI
DI DE MORGAN
non (VADO AL MARE o IN MONTAGNA)
= (non VADO AL MARE) e (non VADO
IN MONTAGNA)
non (MANGIO UNA MELA e UNA PERA)
= (non MANGIO UNA MELA) o (non
MANGIO UNA PERA)
I incontro
FORME DI
RAGIONAMENTO
PC
I incontro
ESEMPIO DI
“RAGIONAMENTO”
[(AB) and (non A)]  (non B)
PC
Se Alice è colpevole allora anche
Bruno lo è. Ma Alice non è
colpevole. Dunque anche Bruno
non lo è. (È ragionamento valido?)
FORME DI RAGIONAMENTO
VALIDE
Un ragionamento VALIDO ci
assicura che da PREMESSE VERE
giungiamo a una CONCLUSIONE
VERA
FORME DI RAGIONAMENTO
VALIDE
Il modus ponens
[(AB) and A]  B
Se Alice è colpevole allora anche
Bruno lo è. Alice è colpevole.
Dunque anche Bruno lo è.
FORME DI RAGIONAMENTO
VALIDE
Il modus ponens
[(AB) and A]  B
A
B
AB
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
FORME DI RAGIONAMENTO
VALIDE
Il modus tollens
[(AB) and (non B)]  (non A)
Se Alice è colpevole allora anche
Bruno lo è. Ma Bruno non è
colpevole. Dunque neanche
Alice lo è.
FORME DI RAGIONAMENTO
VALIDE
Il modus tollens
[(AB) and (non B)]  (non A)
A
B
AB
non B
non A
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
V
V
FORME DI RAGIONAMENTO
VALIDE
Il modus tollens
(test dato a Medicina)
Si completi correttamente il seguente ragionamento
ipotetico:
Se non avessi avuto talento non saresti diventato artista; ma sei
diventato artista dunque .......................
A) sarai artista
B) non hai talento
C) sei artista
D) hai talento
E) non avrai talento
FORME DI RAGIONAMENTO
VALIDE
La contronominale
[(non T)(non I)]  (IT)
Se dal fatto che Tamara non è colpevole
segue che anche Irene non lo sia allora
dal fatto che Irene sia colpevole segue
che anche Tamara lo sia
FORME DI RAGIONAMENTO
VALIDE
La contronominale
[(non T)(non I)]  (IT)
I
T
non T
non I (non T)(non I)
IT
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
FORME DI RAGIONAMENTO
VALIDE
Il ragionamento per assurdo
[(I and not T)P] and [(I and not T)not P] (IT)
I
T
P
(I and not T)
P
(I and not T)
 not P
[… and …]
IT
tutta
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
SE UN RAGIONAMENTO È
VALIDO… (OSSIA SE…)
ALLORA IL SIMBOLO “” VIENE
SOSTITUITO DAL SIMBOLO
(IMPLICAZIONE LOGICA)
Un ragionamento che sia
“tautologia” è chiaramente valido.
Perché?
VALIDITÀ
• UN RAGIONAMENTO È VALIDO ANCHE SE
NON SO COSA SIGNIFICHINO LE
PROPOSIZIONI A, B, C, D … CHE
COMPAIONO IN ESSO.
• LA VALIDITÀ ATTIENE/AFFERISCE ALLA
SINTASSI DI UN’ESPRESSIONE
• “SE PELVIO SPANTA TULLI ALLORA TINCA
FOLLI. MA POICHÉ NON TINCA FOLLI
ALLORA PELVIO NON SPANTA TULLI” è un
ragionamento valido (è un modus tollens)
CORRETTEZZA
• UN RAGIONAMENTO È CORRETTO SE È
VALIDO (sintassi) E POSSO GARANTIRE LA
VERITÀ DELLE PREMESSE (semantica)
• “SE UNO IN PARLAMENTO PENSA CHE RUBY
SIA LA NIPOTE DI MUBARACK ALLORA È UN
CITRULLO. MA POICHÉ NESSUNO È CITRULLO
IN PARLAMENTO ALLORA NESSUNO PENSA (HA
PENSATO) CHE RUBY FOSSE LA NIPOTE DI
MUBARACK”.
FINE
I INCONTRO
ARRIVEDERCI AL
PROSSIMO INCONTRO
BENVENUTI
A TUTTI
al secondo incontro
Contenuti del II incontro
•
•
•
La logica dei predicati. Predicati aperti e chiusi.
Predicati unari e binari. Insieme di verità di un
predicato semplice o composto. Connettivi
logici e insiemi.
Equazioni, disequazioni, sistemi in una e in
due variabili come predicati semplici o
composti
Uso dei quantificatori. Negazioni di frasi con
quantificatori. I sillogismi: da Aristotele alla
trattazione attuale passando per le regole
mnemoniche tardomedievali.
Enunciati aperti o predicati
“x è un numero negativo”
UN ENUNCIATO APERTO
CONTIENE ALMENO UNA
VARIABILE IL CUI VALORE DEVE
ESSERE SCELTO IN UN
INSIEME UNIVERSO U CHE
DIAMO PER NOTO
Enunciati aperti o predicati
B(y)= “6 è un divisore di y”
B(y) è un predicato unario, ovvero un
enunciato riguardante y, aperto
B(6) = “6 è un divisore di 6” è un
enunciato chiuso (VERO)
B(20) = “6 è un divisore di 20” è un
enunciato chiuso (FALSO)
Predicati binari
B(x;y)= “x + y = 7”
B(x;y) è un enunciato aperto
B(x;8) è un enunciato aperto
B(6;1) è un enunciato chiuso (VERO)
B(5;5) = è un enunciato chiuso (FALSO)
INSIEMI DI VERITÀ
Si chiama INSIEME DI VERITÀ di un enunciato
aperto l’insieme di tutti i valori scelti in un universo U
che, sostituiti alla variabile, trasformano l’enunciato in
una proposizione vera
Nell’insieme N consideriamo l’enunciato
P(x) = “x è un numero primo”
L’insieme di verità di P(x) è
P = {2; 3; 5; 7; 11; 13; …}
INSIEMI DI VERITÀ
il nome del predicato P e il nome
dell’insieme P da esso individuato
spesso sono indicati con lo stesso
simbolo, ma non bisogna confonderli
CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI
NEGAZIONE
P = { xU tali che non P(x) }
U
P
P
CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI
UNIONE E DISGIUNZIONE
P  Q = { xU tali che P(x)  Q(x)}
U
Q
P
CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI
INTERSEZIONE E CONGIUNZIONE
P  Q = { xU tali che P(x)  Q(x)}
U
Q
P
CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI
complichiamo le cose
P  (Q  R) =
= { xU tali che non P(x)  (Q(x)  R(x)) }
U
P
Q
R
esempio: gli allievi del
Liceo che non hanno
letto Proust ma hanno
letto Quenau o
Rimbaud
CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI
esiste una corrispondenza precisa tra
connettivi logici e connettivi insiemistici
il mondo della LOGICA e il mondo
degli INSIEMI hanno la stessa
struttura. Le proprietà di un ambito
sono traducibili in quelle dell’altro
DUE CARTE, UNA SOLA STRUTTURA
LOGICA
AA=A
AA=A
AF=A
AF=F
AV=V
AV=A
AA=V
INSIEMISTICA
AA=A
AA=A
A=A
A=
AU=U
AU=A
AA=U
NON È LA TABELLA DELL’OCULISTA
LOGICA E INSIEMISTICA
sono traslitterabili
a patto di saper traslitterare il simbolo “”
A
B
AB
non A
(non A)  B
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
esempio di traslitterazione
((A  non A)  B)(non B) =
= [non ((A  non A)  B)]  (non B) =
= (non (V  B))  (non B)
= (non B)  (non B)= non B
tradotto nel linguaggio insiemistico
= ((A  A)  B)  B) = … = B
CONNETTIVI LOGICI E
CONNETTIVI INSIEMISTICI
U
A
B
A
B
AB=A B
AB=AB
COSA SONO QUESTE?
U
LOGICA, ALGEBRA E INSIEMI DI
SOLUZIONI
“ 2x – 1 > 3 ”
dal punto di vista algebrico è
una disequazione
equivalente alla disequazione
“x>2”
Dal punto di vista logico
è un enunciato aperto
l’insieme di verità, ossia l’insieme delle
soluzioni, è S = ] 2 ; + [
LOGICA, ALGEBRA E INSIEMI DI
SOLUZIONI
NON bisogna confondere il
predicato “ x > 2 ”
con il suo insieme di verità,
ossia l’insieme delle
soluzioni S = ] 2 ; + [
LOGICA, ALGEBRA E INSIEMI DI
SOLUZIONI
(2x – 1 > 3)  (4x < 16)
dal punto di vista algebrico è
un sistema di disequazioni
dal punto di vista logico
è un enunciato aperto composto
(una congiunzione logica)
l’insieme di verità, ossia l’insieme di soluzioni, è
S = S1  S2 = ] 2 ; + [  ] –  ; 4 [ = ] 2 ; 4 [
INSIEMI DI VERITÀ
Nell’insieme RxR consideriamo l’enunciato
(per la precisione un predicato binario)
P(x;y) = “x è il doppio di y” ~ “x = 2y”
L’insieme di verità di P(x;y) contiene le coppie
(0;0) (2;1) (4;2)…
Essendo le coppie in numero infinito esse non
possono essere tabulate ma solo
rappresentate
INSIEMI DI VERITÀ
Nell’insieme RxR (sul piano cartesiano!!)
y = x2 – 2x è un predicato (binario!!) aperto
L’insieme di verità è
INSIEMI DI VERITÀ
La CONGIUNZIONE (AND) dei due predicati
binari
(y = x2 – 2x)  (y = x)
ha come insieme di verità l’INTERSEZIONE
tra i due insiemi di verità,
S1  S2 = S = {(0;0); (3;3)}
INSIEMI DI VERITÀ
La DISGIUNZIONE (OR) dei due predicati binari
(y = x2 – 2x)  (y = x)
ha come insieme di verità l’UNIONE tra i due
insiemi di verità,
S1  S2 = S = {…}
I QUANTIFICATORI
P = “è residente in provincia di Padova”
P(x) = “x è residente in provincia di Padova”
P(x) è un enunciato/predicato aperto…
Ma se noi diciamo
per ogni x  U P(x)
oppure
esiste almeno un x  U (tale che) P(x)
allora la proposizione non è più aperta
I QUANTIFICATORI
E1) per ogni xR “x > x – 1”
E2) esiste almeno un xN (tale che)
“2x – 1 = 6”
non sembrano più enunciati aperti
I QUANTIFICATORI
 è il quantificatore universale
 è il quantificatore esistenziale
La presenza dei quantificatori davanti alla
variabile (a tutte le variabili) rende gli
enunciati chiusi
I QUANTIFICATORI
P = “è residente in provincia di Padova”
P(x) = “x è residente in provincia di Padova”
Se noi, intendendo per U il Veneto, diciamo
xU P(x)
oppure
xU P(x)
allora la proposizione non è più aperta.
NEGARE UNA PROPOSIZIONE CON
QUANTIFICATORI
La proposizione
“tutte le rose dell’universo sono rosse”
xU R(x)
ammette come negazione
“non è vero che tutte le rose dell’universo sono
rosse”, xU R(x)
ossia ce n’è almeno una che non è rossa”
 xU R(x)
NEGARE UNA PROPOSIZIONE CON
QUANTIFICATORI
La proposizione “esiste una rosa dell’universo
color marrone a strisce”
 xU M(x)
ammette come negazione
“non esiste una rosa dell’universo color
marrone a strisce”, xU M(x)
ossia tutte le rose dell’universo non sono
marroni a strisce”
 xU M(x)
NESSUNO
Ricordiamo che Nessuno Fa
equivale a Non (è vero che) esiste uno che fa
ossia Tutti non Fanno
xU F(x)
xU F(x)
xU P(x)
ESEMPIO DI TEST (dato a MEDICINA)
Negare che "ogni uomo ha un nemico" equivale a
dire che:
A) tutti sono nemici di ogni uomo
B) esistono uomini senza nemici
C) ogni uomo non ha un nemico
D) nessun uomo ha un nemico
E) tutti gli uomini non hanno nemici
Equivale a dire:
non è vero che "ogni uomo ha un nemico“, cioè esiste qualche uomo che …
NEGARE UNA PROPOSIZIONE COMPOSTA
CON QUANTIFICATORI
“Tutti gli allievi del Liceo giocano a Badmington e a Calcio”
xL B(x)  C(x)
ammette come negazione
“non è vero che tutti gli allievi del liceo giocano a Badmington
e a Calcio”
xL B(x)  C(x)
ossia ce n’è almeno uno per il quale il predicato non è vero:
 xL B(x)  C(x)
ossia ce n’è almeno uno o non gioca a Badmington o non
gioca a Calcio
 xL B(x)  C(x)
ESEMPI DI TEST (POLITECNICO)
L’affermazione:
A nessuno studente sono antipatici tutti i professori
equivale a dire che
A. c’è uno studente a cui tutti i professori sono antipatici
B. tutti i professori sono antipatici a tutti gli studenti
C. a qualche studente sono simpatici tutti i professori
D. ad ogni studente è simpatico almeno un professore
E. c’è un professore che è simpatico a tutti gli studenti
a tutti gli studenti NON sono antipatici TUTTI i professori =
= a tutti gli studenti CE N’È ALMENO UNO che NON gli sta antipatico
ESEMPI DI TEST (POLITECNICO)
L’affermazione:
Non c’è grattacielo senza ascensore
significa
A. nessun grattacielo ha due ascensori
B. ogni grattacielo ha almeno un ascensore
C. ogni grattacielo ha due ascensori
D. qualche grattacielo non ha ascensore
E. qualche grattacielo ha almeno un ascensore
Tutti i grattacieli NON sono senza (NESSUN) ascensore =
= tutti i grattacieli hanno ALMENO UN ascensore
ESEMPI DI TEST (POLITECNICO)
xS P(x)  C(x)
Sapendo che l’affermazione
Tutti i sabati vado in pizzeria e poi al cinema
è falsa, se ne deduce che
A. qualche sabato non vado in pizzeria o al cinema
B. tutti i sabati non vado in pizzeria o al cinema
C. qualche sabato non vado né in pizzeria né al cinema
D. tutti i sabati non vado né in pizzeria né al cinema
E. tutti i giorni vado in pizzeria e al cinema
xS P(x)  C(x)
 xS P(x)  C(x)
IL SILLOGISMO
Studiato da Aristotele negli Analitici primi, la parola
deriva da syllogismós e significa deduzione.
Costituisce la parte più importante della logica
formale tradizionale.
Quando non si specifica ulteriormente ci si riferisce al
cosiddetto sillogismo categorico, uno schema di
ragionamento formato da due affermazioni, dette
PREMESSE, dalle quali si deduce una terza
affermazione, detta CONCLUSIONE.
IL SILLOGISMO
premessa maggiore
premessa minore
conclusione
gli italiani sono europei
i siciliani sono italiani
i siciliani sono europei
il predicato della conclusione
è detto termine maggiore
(e la premessa in cui compare è detta maggiore)
il soggetto della conclusione
è detto termine minore
(e la premessa in cui compare è detta maggiore)
il termine comune alle due premesse
è detto termine medio
IL SILLOGISMO
in base alla posizione occupata dal termine medio nelle
due premesse i sillogismi si dividono in 4 figure
1a figura
il termine medio è
soggetto nella prima e
predicato nella seconda
2a figura
il termine medio è
predicato in entrambe
4a figura
3a figura
il termine medio è
soggetto in entrambe
(non considerata da Aristotele e
introdotta in seguito)
il termine medio è
predicato nella maggiore
e soggetto nella minore
IL SILLOGISMO
All’interno di ciascuna figura i
sillogismi possono essere ripartiti in
varie classi, dette modi,
a seconda della quantità e delle
qualità.
I MODI DEL SILLOGISMO
a) UNIVERSALE AFFERMATIVA
tutti gli a sono b
B
e) UNIVERSALE NEGATIVA
nessun a è b
i) PARTICOLARE AFFERMATIVA
qualche a è b / almeno un a è b
o) PARTICOLARE NEGATIVA
qualche a è non è b
almeno un a non è b
A
A
a
a
B
A
a
A
a
B
B
IL SILLOGISMO
Da un punto di vista astrattamente combinatorio, i
modi possibili sono 256, ma solo in 19 casi si ha
a che fare con modi (ragionamenti) validi.
A questi i LOGICI MEDIEVALI attribuirono un nome:
1a figura
Barbara
2a figura
Cesare
3a figura
Darapti
4a figura
Baralipton
Celarent
Darii
Ferio
Camestres
Festino
Baroco
Felapton
Disamis
Datisi
Bocarso
Celantes
Dabitis
Fapesmo
Frisesomorum
Ferison
IL SILLOGISMO
2 cento rose molto meno belle
prima vocale  premessa maggiore
seconda vocale  premessa minore
a = universale affermativa
e = universale negativa
i = particolare affermativa
o = particolare negativa
Un esempio di Felapton
Nessun delfino vive sulla terraferma (e)
Tutti i delfini sono mammiferi (a)
Dunque, qualche mammifero non vive sulla
terra ferma (o)
IL SILLOGISMO
Nei modi descritti dalle parole della tabella
anche le consonanti hanno un significato:
indicano in quale maniera i modi della seconda,
terza e quarta figura possono essere ridotti
(cioè ricavati) da quelli della prima figura
mediante riduzioni e conversioni…
… ma non sarà oggetto
di analisi in questa sede
IL SILLOGISMO
Come si verifica la validità di un sillogismo?
Se dalla verità delle due premesse si
deriva la verità della conclusione il
sillogismo è valido.
Gli antichi e i medievali (si dice) avevano
grandi capacità mnemoniche…
Noi ci aiutiamo con la teoria degli insiemi
IL SILLOGISMO
E
gli italiani sono europei
i siciliani sono italiani
I
S
i siciliani sono europei
TRADUZIONE
IN LINGUAGGIO LOGICO
xU
xU
I(x)  E(x)
S(x)  I(x)
xU
S(x)  E(x)
IL SILLOGISMO
ALTRO ESEMPIO
qualche italiano è razzista
tutti i razzisti son cretini
C
R
I
qualche italiano è cretino
TRADUZIONE
IN LINGUAGGIO LOGICO
xU I(x)  R(x)
xU R(x)  C(x)
xU I(x)  C(x)
IL SILLOGISMO (test dati a medicina)
– Nessun minerale è animato
– qualche esistente è animato
– dunque .............................. non è minerale.
S’individui il CORRETTO COMPLETAMENTO del sillogismo:
A) ogni animato
B) qualche esistente
C) qualche minerale
D) ogni esistente
E) ogni minerale
Esist
Animato
Miner
IL SILLOGISMO (test dati a medicina)
– Tutti i piccioni mangiano le fave
– alcuni uccelli non mangiano le fave
– dunque .............................. non sono piccioni.
S’individui il CORRETTO COMPLETAMENTO del sillogismo:
A) alcuni piccioni
B) le fave
C) tutti gli uccelli
D) alcune fave
E) alcuni uccelli
uccelli
mangiano fave
piccioni
IL SILLOGISMO è costruzione SINTATTICA
LA VALIDITÀ
PRESCINDE
DALLA SEMANTICA
Tutti i CIK sono FAN
Qualche FAN è DIAV
Qualche DIAV è CIK
Diav
Fan
Cik
IL SILLOGISMO
FINE
SECONDO INCONTRO
ARRIVEDERCI AL
PROSSIMO INCONTRO
BENTORNATI
A
TUTTI
TERZO INCONTRO
La relazioni l’equivalenza. Come
comunicare il concetto di “BLU” a chi non
parla la nostra lingua. I concetti astratti in
matematica.
• Alcuni esercizi di logica dati alle olimpiadi
della matematica. Esempi di alfa-test dati
nelle prove di accesso all’università.
PRODOTTO CARTESIANO
Il prodotto cartesiano AxB è
l’insieme delle coppie (a;b) per le
quali aA  bB
AxB = { (2;R); (3;R); (4;R); (5;R);
(2;V); (3;V); (4;V); (5;V);
(2;G); (3;G); (4;G); (5;G) }
B={R;V;G}
G
V
R
2
3
4
5
A={2;3;4;5}
RELAZIONE BINARIA
si dice relazione binaria  fra gli
insiemi A e B un qualunque
sottoinsieme di AxB
 = {(2;R); (5;R); (2;G); (4;G)}
B={R;V;G}
G
V
R
2
3
4
5
A={2;3;4;5}
RELAZIONE BINARIA
rappresentazione sagittale
 = {(2;R); (5;R); (2;G); (4;G)}
A
B
2
R
3
G
4
5
Dominio di 
V
Codominio di 
RELAZIONE BINARIA
Se A e B coincidono si parla di Relazione di
A in A, o semplicemente di Relazione in A
 = {(2;3); (3;3); (3;4); (5;4)}
A
A
2
5
3
4
5
4
3
2
2
3
4
5
Dominio di  = {2;3;5}
Codominio di  = {3;4}
A
RELAZIONE in A
xy = “x versa da bere a y”
xy si può scrivere anche come (x;y)
Con linguaggio delle logica degli enunciati aperti possiamo
dire che la relazione è un predicato binario
A
Aldo
Dino
Bruna
Franco
Carla
GRAFO DELLA RELAZIONE
Proprietà di una relazione 
R) riflessiva
aA aa
AR) antiriflessiva aA aa
S) simmetrica aA bA ab  ba
AS) antisimmetrica aA bA (ab  ab)  ba
T) transitiva
ab bc ac
Relazione di equivalenza
Se valgono R) S) T) la relazione si dice
di equivalenza
A
A
D
F
B
E
C
Una relazione
di equivalenza
genera
naturalmente
una partizione
Relazione di equivalenza
Ogni classe di equivalenza è individuata da
uno qualsiasi dei suoi elementi
A
A
D
F
B
E
C
Alcune relazioni di equivalenza
a) “essere parallelo a”
b) “tifare la stessa squadra di”
c) “avere la stessa area di”
A
A
D
F
B
E
C
Che nome si può dare
a ciascuna classe di
equivalenza nei casi
a) b) c)…
Altre relazioni di equivalenza
a) “essere equipollente a” (nell’insieme dei
segmenti orientati)
b) “(a;b) (c;d)” se e solo se a*d=c*d
(nell’insieme Zx(Z-{0})
A
A
D
F
B
E
C
Che nome si può dare
a ciascuna classe di
equivalenza nei casi
a) e b) ?
Come comunicare…
… a un extraterrestre il concetto di blu?
A
… sperando che il suo apparato visivo
funzioni come il nostro
fine