Studio dei sistemi continui nel dominio del tempo

Strumenti per lo studio dei sistemi
continui nel dominio del tempo
Strumenti per lo studio dei sistemi continui nel
dominio del tempo e nel dominio della frequenza
Gli argomenti di questa lezione sono:




La funzione di trasferimento di un sistema
continuo nel dominio del tempo F(t)
Quali strumenti per l’analisi di un sistema
continuo
Il passaggio al dominio della frequenza con la
trasformata di Laplace F(s)
I segnali di ingresso nel dominio della
frequenza
Strumenti per lo studio dei sistemi continui nel
dominio del tempo e nel dominio della frequenza
Ed ancora in questa lezione:


La risposta di un sistema nel dominio della
frequenza
La risposta nel dominio del tempo con
l’antitrasformata di Laplace
La funzione di trasferimento di un sistema
continuo nel dominio del tempo F(t)




Com’è noto, un sistema è solitamente
rappresentato con un blocco (come in basso)
L’evoluzione nel tempo di un sistema continuo è
spesso descritta da equazioni matematiche
Molto spesso tali equazioni sono di tipo
differenziale o integro-differenziale
Il loro trattamento è generalmente complicato
i1
i2
i3
i4
i5
Sistema
u1
u3
u5
La funzione di trasferimento di un sistema
continuo nel dominio del tempo F(t)

Il complesso delle equazioni matematiche che
definiscono il comportamento del sistema nel
tempo è detto
funzione di trasferimento F(t)
i1(t)
i2(t)
i3(t)
i4(t)
i5(t)
F(t)
u1(t)
u2(t)
u3(t)
La funzione di trasferimento di un sistema
continuo nel dominio del tempo F(t)

Il sistema incide sulle variabili di ingresso mediante
il complesso di equazioni che ne definiscono la
funzione di trasferimento e così facendo determina
l’andamento temporale delle sue uscite
i1(t)
i2(t)
i3(t)
i4(t)
i5(t)

F(t)
F(t)
u1(t)
u2(t)
u3(t)
Alle variazioni nel tempo delle grandezze di
ingresso conseguono variazioni nel tempo delle
grandezze in uscita
Quali strumenti per l’analisi di un sistema
continuo




Quando un sistema è di tipo lineare e senza memoria
(di ordine zero), la funzione di trasferimento prende la
forma matematica di un sistema lineare di equazioni
Lo strumento per la risoluzione di questi sistemi è
dunque, per es., quello noto del calcolo matriciale
Se gli ingressi di un tale sistema variassero nel tempo,
ovviamente varierebbero nel tempo anche le uscite
Anche in presenza di questa “complicazione”, l’uso di
un buon programma di calcolo, consentirebbe
abbastanza facilmente di prevedere l’evoluzione nel
tempo delle uscite
Quali strumenti per l’analisi di un sistema
continuo


Spesso, invece, i sistemi sono di ordine superiore e
la loro F(t) diventa un “oggetto” molto complicato
La determinazione dell’andamento nel tempo delle
uscite richiederebbe delle conoscenze matematiche
che vanno al di là di quelle possedute dalla
maggior parte degli allievi delle scuole superiori
F(t)
Quali strumenti per l’analisi di un sistema
continuo

Anche i mezzi di calcolo più evoluti, in casi di
particolare complessità, potrebbero richiedere
tempi di elaborazione molto lunghi
F(t)
Quali strumenti per l’analisi di un sistema
continuo




Si può allora usare un trucco
Il “trucco” consiste in un operatore matematico
noto come trasformata di Laplace o laplaciano
Questo operatore consente di trasformare delle
equazioni differenziali in normali equazioni
algebriche in una variabile complessa s
Una volta risolto il problema di calcolare
u(s)=i(s)•F(s) per conoscere u(t) è sufficiente
operare una antitrasformazione di Laplace
Quali strumenti per l’analisi di un sistema
continuo

La logica di tale serie di operazioni è questa
i(t)
F(t)
trasformazione
di Laplace
trasformazione
di Laplace
u(t)
antitrasformazione
di Laplace
i(s)
F(s)
u(s) = i(s)•F(s)
Il passaggio al dominio della frequenza con la
trasformata di Laplace F(s)




Si è già detto che la variabile s è una variabile
complessa
La variabile complessa s è uguale all’espressione
generica s + jw che è composta da una parte reale
s e da una parte immaginaria jw
In particolare quest’ultima parte contiene, come si
vede, la pulsazione w che, com’è noto, è pari a 2pf
Questo chiarisce il perché con il passaggio
mediante le trasformazioni di Laplace si dice che
andiamo ad operare nel dominio della frequenza
Il passaggio al dominio della frequenza con la
trasformata di Laplace F(s)



Sebbene esista un modo per effettuare, mediante
operazioni matematiche di una certa complessità,
la trasformazione e l’antitrasformazione di Laplace,
non è necessario operare realmente in tal modo
Quindi, qui non verrà data la definizione
matematica di laplaciano, che è lasciata
all’approfondimento di chi fosse interessato
Invece, le operazioni di trasformazione (e di
antitrasformazione) di Laplace si effettuano
mediante la consultazione di apposite tabelle
Il passaggio al dominio della frequenza con la
trasformata di Laplace F(s)



Le tabelle per la trasformazione (e l’antitrasformazione) di Laplace sono contenute su molti libri di
testo
Tabelle ampie ed esaurienti sono contenute sia nel
manuale Cremonese (parte generale) alle pp. 2.62.8, sia nel testo in uso De Santis-CacciagliaSaggese (volume unico)
Inoltre sia l’uno, sia l’altro contengono numerose
regole, proprietà e teoremi per il calcolo con le
trasformate di Laplace
Il passaggio al dominio della frequenza con la
trasformata di Laplace F(s)
 La funzione F(s) determinata con la trasformata di
Laplace è, ovviamente, una funzione complessa
 Altrettanto vale per i(s) ed u(s)
 Ciascuna di queste funzioni, dunque, contiene una
parte reale ed una parte immaginaria
 Le notazioni in uso per la parte reale e per il
coefficiente della parte immaginaria di tali funzioni
sono riassunte nella seguente tabella
Funzione
Parte reale
Parte immaginaria
i(s)
F(s)
u(s)
Re[i(s)]
Re[F(s)]
Re[u(s)]
Im[i(s)]
Im[F(s)]
Im[u(s)]
Il passaggio al dominio della frequenza con la
trasformata di Laplace F(s)
Esercizio
Calcolare il valore della funzione F(s)
s2 + 3s - 1
F(s) =
(s+1)•(s+2)
per s = - 2j, indicando esplicitamente il
valore di Re[F(s)] ed Im[F(s)]
Il passaggio al dominio della frequenza con la
trasformata di Laplace F(s)

La trasformata di Laplace della funzione di
trasferimento dei sistemi studiati comunemente, in
particolare di sistemi di controllo a reazione
negativa, si presenta quasi sempre come una
funzione fratta:
N(s)
F(s) = k
D(s)



N(s) e D(s), come si può intuire, sono le funzioni
algebriche numeratore e denominatore della F(s)
m indicherà il grado del numeratore N(s)
n indicherà il grado del denominatore D(s)
Il passaggio al dominio della frequenza con la
trasformata di Laplace F(s)




Senza entrare in dettagli che saranno oggetto di
esercizi, è noto dalla matematica che per ogni
polinomio algebrico A(x) di grado q si hanno
altrettante soluzioni, reali o complesse, singole o
multiple, della corrispondente equazione A(x)=0
Ciascuna delle funzioni N(s) e D(s) ha quindi un
numero di soluzioni rispettivamente m ed n
Le m soluzioni della funzione numeratore N(s) sono
dette zeri della F(s)
Le n soluzioni della funzione denominatore D(s)
sono dette poli della F(s)
Il passaggio al dominio della frequenza con la
trasformata di Laplace F(s)

Se chiamiamo z1, z2, …, zm gli zeri e p1, p2, …, pn i
poli di F(s), matematicamente è possibile scrivere:
N(s) = (s-z1)•(s-z2)• … •(s-zm) e
D(s) = (s-p1)•(s-p2)• … •(s-pn)


Queste espressioni sono di fondamentale
importanza nello studio dei sistemi
Esse consentono di rappresentare con una certa
immediatezza la F(s) sui diagrammi di Bode,
imparando poche regole piuttosto semplici
I segnali di ingresso nel dominio della frequenza
 Come si è detto in precedenza, anche il segnale di
ingresso i(t) dev’essere trasformato

È noto che molti sistemi vengono sottoposti a test
utilizzando dei segnali di ingresso canonici come:
–
–
–
–

il
il
il
il
segnale impulsivo (o d di Dirac)
segnale a gradino
segnale a rampa
segnale sinusoidale
Di tali segnali è già nota l’espressione nel dominio
del tempo (o quanto meno è noto l’andamento in
un grafico temporale)
I segnali di ingresso nel dominio della frequenza
Segnale
d di Dirac
gradino
rampa
segnale
sinusoidale
i(t)
Grafico
i(s)
0 per t0
 per t=0
1
t
0 per t<0
E per t0
E/s
t
0 per t<0
kt per t0
k/s2
t
0 per t<0
Esen(wt) per t0
Ew/(s2 + w2)
t

La risposta di un sistema nel dominio della
frequenza
Nel dominio della frequenza, dunque, il calcolo
dell’uscita è quasi banale: è sufficiente fare
u(s) = i(s) • F(s)

Per es., se applichiamo un segnale di prova a
gradino i(s)=E/s ad un filtro attivo low-pass, che
ha una funzione di trasferimento F(s)=A/(1+sRC),
la risposta del sistema nel dominio della frequenza
sarà
E•A
u(s) =
s•(1+sRC)
La risposta nel dominio del tempo con
l’antitrasformata di Laplace

Dopo i passi suddetti, rimane l’ultimo passaggio e
cioè quello di operare l’antitrasformazione di
Laplace del segnale d’uscita del sistema,
utilizzando le tabelle già viste, per avere
l’evoluzione nel tempo dell’uscita u(t) del sistema
La risposta nel dominio del tempo con
l’antitrasformata di Laplace

Per es., nel caso appena visto di un filtro attivo
low-pass, alla funzione nel dominio della frequenza
E•A
u(s) =
s•(1+sRC)
corrisponde la nota risposta nel tempo dei filtri
attivi low-pass
u(t) = E•A(1-e-t/RC)