ammortamenti

RIMBORSO DI UN
PRESTITO
Rimborso di un prestito
• Un prestito, o mutuo, presenta una sola entrata
monetaria iniziale (capitale preso a prestito) seguita da
una (rimborso globale finale) o più uscite monetarie
(rimborsi parziali).
• Le modalità mediante le quali un prestito può essere
rimborsato, o ammortizzato, si distinguono in:



rimborso globale finale
rimborso globale con interessi periodici
rimborso graduale o ammortamento
TIPOLOGIA

rimborso globale finale
Capitale e interessi vengono restituiti alla scadenza.
(in genere utilizzato per prestiti di breve durata).

rimborso globale con interessi periodici
Capitale restituito alla scadenza, interessi periodici.
Gli interessi I1, I2, ..., In, maturati nei vari periodi, vengono corrisposti
periodicamente, in via anticipata o posticipata, mentre il capitale S viene
rimborsato integralmente alla scadenza. Tipico per prestiti a scadenza
medio - lunga.

rimborso graduale o ammortamento
Capitale e interessi restituiti periodicamente.
Consiste nella corresponsione periodica degli interessi e restituzione
graduale del capitale. Tipico per prestiti a scadenza medio - lunga.
Rimborso globale finale
 Nel regime ad interesse semplice
M  S (1  it )
 Nel regime ad interesse composto
M  S (1  i ) t
 Nel regime ad interesse anticipato, all’epoca
iniziale il debitore riceve l’importo
S  M  Mdt  M (1  dt)
dove d è il tasso di sconto periodale.
Rimborso globale con interessi
periodici
• Nel rimborso globale con interessi periodici, il
debitore riceve all’epoca iniziale il capitale S
preso a prestito, da rimborsarsi in un’unica
soluzione alla scadenza con versamento
periodico degli interessi Ik sull’intero importo S al
tasso periodale di interesse i o di sconto d.
iS per k  1,2,..., n (per interessi post.)
Ik  
dS per k  0,1,..., n  1 (per interessi ant.)
Rimborso globale con interessi
periodici
• Pertanto, gli esborsi totali alle varie
scadenze risultano, per pagamenti
posticipati degli interessi
iS

S  iS  (1  i ) S
per k  1,2,..., n  1
per k  n
e, per pagamenti anticipati degli interessi,
dS per k  0,1,2,..., n  1

S per k  n
Ammortamento
L’importo di ciascuna rata Rk è costituito da:
• quota capitale, Ck) destinata alla restituzione
(parziale o totale) della somma mutuata,
• quota interesse, Ik) che remunera il capitale
effettivamente disponibile nel periodo
considerato:
Rk  C k  I k
Schema di un piano di
ammortamento
Epoca
k
Rata di
rimborso
Rk
Quota
capitale
Ck
Quota
inter
Ik
Debito
residuo
Dk
Debito
estinto
Ek
0
1
2
...
...
...
…
...
...
...
...
...
S
...
...
0
...
...
...
n
...
...
...
…
...
...
...
0
...
S
GRANDEZZE CARATTERISTICHE
• Epoca k
Indicata con t0, t1, ..., tn (o più semplicemente con 0, 1, ..., n,
nel caso di rendite periodiche equintervallate) corrisponde ai
tempi in cui vengono effettuati i pagamenti.
• Rata di rimborso Rk
Si indica con Rk (k = 0, 1, 2,..., n) e rappresenta la somma da
corrispondere periodicamente da parte del debitore.
• Quota capitale Ck
Si indica con Ck (k = 1, 2, ..., n) e rappresenta la quota con cui
viene rimborsato, all’epoca k, il capitale mutuato S.
• Quota interesse Ik
Si indica con Ik (k = 1, 2,...., n) in caso di pagamenti posticipati
(anticipati) e rappresenta gli interessi, maturati tra l’epoca k –
1 e k sul debito residuo Dk – 1(Dk), ossia sulle quote capitale
non ancora rimborsate all’epoca k – 1.
GRANDEZZE CARATTERISTICHE
• Debito residuo Dk
Si indica con Dk (k = 0, 1, 2, ..., n) e indica, con
riferimento all’epoca k, la parte di debito, in termini di
quote capitale Ck, (k = 0, 1, 2, ..., n) ancora da
rimborsare a tale epoca.
All’epoca iniziale, quando viene concesso il prestito S, il
debito residuo sarà uguale all’intero ammontare del
capitale prestato perché non si è ancora provveduto a
rimborsare alcuna quota capitale.
• Debito estinto Ek
Si indica con Ek (k = 0, 1, 2, ..., n) e indica, con
riferimento all’epoca k, la parte di debito, in termini di
quote capitali Ck (k = 0, 1, 2, ..., n), già rimborsata a tale
epoca.
RELAZIONI FONDAMENTALI
• Ogni quota interesse (posticipata) è proporzionale al debito
residuo del periodo precedente secondo il tasso periodale di
interesse i.
I k  iD k 1
• La rata è la somma di quota capitale e quota interesse
Rk  C k  I k
• Debito estinto e debito residuo in k>0:
k
Ek   Ci
i 1
k
Dk  S   Ci
i 1
RELAZIONI FONDAMENTALI
• Debito estinto e debito residuo in t=0 e t=n:
D0  S , E 0  0
Dn  0, E n  S
• Ogni quota capitale va a diminuire il debito
residuo e a incrementare il debito estinto.
Dk  Dk 1  C k , E k  E k 1  C k
• La somma del debito estinto e di quello residuo rimane
costante per ogni epoca k e pari al capitale iniziale.
E k  Dk  S
RELAZIONI FONDAMENTALI
Condizione di chiusura elementare del piano di
rimborso: la somma delle quote capitale è uguale al
capitale preso a prestito S.
 Ck  S
Condizione di chiusura finanziaria del piano di
rimborso o condizione di equità: la somma dei valori
attuali delle rate è uguale al capitale preso a prestito S.

Rk
1  i 
k
S
Tipi particolari di ammortamento
• Americano: il capitale finale è costituito in
modo progressivo su un fondo collaterale
 Francese: le rate sono costanti
 Italiano: le quote capitale sono costanti
Ammortamento americano
• L’ammortamento di tipo americano prevede:
• un’operazione di rimborso globale con
interessi periodici calcolati al tasso periodale i;
• Un’operazione di costituzione di capitale che,
tramite versamenti complementari Q, consenta
all’epoca n di scadenza del prestito, di poter
disporre di un capitale di importo pari
all’ammontare S del prestito, sulla base del
tasso i, (solitamente inferiore a i).
Ammortamento americano
• Il debitore, all’epoca k (< n) subisce un esborso complessivo:
Sk = iS + Qk
- interessi iS corrisposti periodicamente e posticipatamente al
creditore al tasso di interesse periodale i,
- quota di costituzione Qk
• Inoltre, alla scadenza finale n:
Rn  iS  S
Ammortamento americano
• nel caso di versamenti posticipati di importo costante Q,
capitalizzati in regime composto al tasso periodale i’,
dovrà valere:
Qs n i  S
• Quindi il versamento periodale sarà pari a:
S k  Si  S n|i '
AMMORTAMENTO A DUE TASSI: tasso i di
remunerazione per l’operazione di rimborso prestito e
tasso i' di accumulazione
Esempio
• La tabella seguente mostra un piano di
ammortamento americano di un prestito di
Euro 100.000 ammortizzabile in 10 anni
• i = 12% e i' =10%.
ESEMPIO
Anno
Quote
interessi
Debito
residuo
Versamento
Fondo
Esborso
0
0
100.000
0
0
0
1
12.000
100.000
6.274,50
6.274,50
18.274,50
2
12.000
100.000
6.274,50
13.176,50
18.274,50
3
12.000
100.000
6.274,50
20.768,70
18.274,50
4
12.000
100.000
6.274,50
29.120,10
18.274,50
5
12.000
100.000
6.274,50
38.306,60
18.274,50
6
12.000
100.000
6.274,50
48.411,80
18.274,50
7
12.000
100.000
6.274,50
59.527,50
18.274,50
8
12.000
100.000
6.274,50
71.754,80
18.274,50
9
12.000
100.000
6.274,50
85.204,80
18.274,50
10
12.000
0
6.274,50
99.999,80
18.274,50
AMMORTAMENTO FRANCESE
• L’ammortamento di tipo francese, o a rata
costante o progressivo, prevede che, a fronte
del capitale S preso a prestito all’epoca iniziale,
il debitore corrisponda n rate posticipate di
ammortamento alle varie scadenze, in modo tale
che le rate siano tutte di uguale importo R.
• L’importo R delle rate è determinato in base al
principio di equivalenza finanziaria, ovvero
mediante l'uguaglianza dei valori attuali
AMMORTAMENTO FRANCESE
S  Ra n |i
 n |i
1

a n |i
R  S n |i
Relazioni notevoli:
C k 1  C k  iC k  C k (1  i )
Le quote capitale crescono
geometrica di ragione (1 + i)
C1  S n|i  Si  S n|i
C k  C1 (1  i) k 1  S n |i (1  i) k 1
E k  S n |i s k |i
Dk  Ra n  k |i
in
progressione
Esempio
La tabella seguente mostra un piano di
ammortamento francese di un prestito di
Euro 100000 ammortizzabile in 10 anni al
tasso annuo di interesse i = 12%.
ESEMPIO
C1=Sn|i
Ck=C1(1+i)k-1
Rk=Sn|i
Ck =Rk-Ik
Ik=iDk-1
Dk=Dk-1-Ck
Ek=Ek-1+Ck
Anno
Rata
Quota capitale
Quota interesse Debito residuo
Debito
estinto
0
0
0
0
100.000
0
1
17.698,40
5.698,40
12.000,0
94.301,60
5.698,40
2
17.698,40
6.382,20
11.316,2
87.919,40
12.080,60
3
17.698,40
7.148,10
10.550,3
80.771,30
19.228,70
4
17.698,40
8.005,80
9.692,60
72.766,50
27.234,50
5
17.698,40
8.966,50
8.731,90
63.799.00
36.201.00
6
17.698,40
10.042,5
7.655,90
53.765,60
46.243,50
7
17.698,40
11.247,6
6.450,80
42.508,90
57.491,10
8
17.698,40
12.597,3
5.101,10
29.911,60
70.088,40
9
17.698,40
14.109,0
3.598,40
15.802,60
84.197,40
10
17.698,40
15.802,1
1.896,30
0,50
99.999,50
Relazione tra piano di ammortamento
francese e americano
• L’ammortamento americano non prevede, a differenza
dell’ammortamento francese, un effettivo rimborso
graduale del capitale mutuato, ma una serie di
versamenti su un fondo collaterale, atti a costituire, alla
scadenza, il capitale necessario al rimborso totale del
prestito.
L’esborso periodico costante, dato dalla somma della quota
interessi e della quota di costituzione del capitale mutuato risulta
uguale a quello previsto per un corrispondente piano di
ammortamento francese qualora sia i = i.
S k  Si  S n|i  S (i   n|i )  S n|i
Ammortamento italiano
• L’ammortamento di tipo italiano, o uniforme, prevede
che, a fronte del capitale S preso a prestito all’epoca
iniziale, il debitore corrisponda le rate di ammortamento
di importo variabile alle varie scadenze, in modo che le
quote capitale siano di uguale importo.
• Nell’ammortamento di tipo italiano, all’epoca iniziale il
debitore prende a prestito la somma S convenendo il
rimborso della stessa mediante il versamento delle rate
alle rispettive scadenze in modo tale che sia:
C1  C 2  ...  C n  Q
Ammortamento italiano
• affinché sia soddisfatta la condizione elementare
di chiusura:
n
S   C k  nQ
k 1
S
Q
n
Relazioni notevoli
• Debito residuo e debito estinto variano in
progressione aritmetica rispettivamente di
ragione -Q e Q
nk
Dk  S  kQ  S
n
S
E k  kQ  k
n
Relazioni notevoli
Le quote interessi e le rate decrescono in progressione
aritmetica di ragione -iQ;
I k  iDk 1  iQ  n  (k  1)
I k 1  iDk  iQ  n  k 
I k 1  I k  iQ
Rk  Q  I k
Rk 1  Rk  iQ
Rk 1  Q  I k 1
Esempio
• La tabella seguente mostra un piano di
ammortamento italiano di un prestito di
Euro 100.000 ammortizzabile in 10 anni al
tasso annuo di interesse i = 12%.
ESEMPIO
Rk=Ck +Ik
Dk=Dk-1-Ck
Ik=iDk-1
Ck =S/10
Ek=Ek-1+Ck
Anno
Rata
Quota
capitale
Quota interesse
Debito residuo
Debito estinto
0
0
0
0
100.000
0
1
22.000
10.000
12.000
90.000
10.000
2
20.800
10.000
10.800
80.000
20.000
3
19.600
10.000
9.600
70.000
30.000
4
18.400
10.000
8.400
60.000
40.000
5
17.200
10.000
7.200
50.000
50.000
6
16.000
10.000
6.000
40.000
60.000
7
14.800
10.000
4.800
30.000
70.000
8
13.600
10.000
3.600
20.000
80.000
9
12.400
10.000
2.400
10.000
90.000
10
11.200
10.000
1.200
0
100.000
Usufrutto e nuda proprietà
• ogni rata è la somma di due componenti:
- remunerazione del debito residuo (la quota interesse)
- parziale rimborso del debito residuo (la quota capitale)
• Può accadere che queste due componenti debbano
essere valutate separatamente.
(es. estinzione anticipata del debito e la corresponsione
di interessi e quote capitale vada a soggetti diversi)
• Si definisce usufrutto il valore attuale delle quote
interesse ancora da corrispondere e nuda proprietà il
valore attuale delle analoghe quote capitale.
Usufrutto e nuda proprietà
• La somma Vs, all’epoca s, che il debitore deve
corrispondere al creditore è uguale al valore
attuale delle rate ancora da rimborsare,
calcolato ad un tasso i convenuto.
n
Vs   R j v j  s
j  s 1
Vs   C j  I j v
n
j  s 1
Vs  U s  Ps
js

n
C v
j  s 1
j
j s

n
I v
j  s 1
j
j s
Estinzione anticipata di un
prestito
• Nel caso particolare dell'ammortamento francese:
Vs  R  a n  s |i '
1  (1  i' ) ( n  s )
 R
i'
se i due tassi coincidono, il valore di riscatto che il debitore
deve corrispondere al creditore è uguale al debito residuo.
Vs  R  a n  s |i
1  (1  i ) ( n  s )
 R
 Ds
i
Estinzione a epoca intermedia
Se l’estinzione avviene in un’epoca intermedia
Vs f
( n  s )
1

(
1

i
'
)
 R  a n  s |i ' (1  i ' )  R 
(1  i ' ) f
i'
f
• Se i = i', si ha
1  (1  i ) ( n  s )
R
(1  i ) f  Ds (1  i ) f
i
esempio
• Un prestito di Euro 60000 deve essere rimborsato
mediante 20 pagamenti annuali costanti posticipati al
13%. La rata d’ammortamento è Euro 8541,20.
• Quattro mesi dopo il pagamento della sesta rata si
richiede il riscatto del debito che viene concesso al tasso
annuo del 12%.
R  8.541,20, n  20,
s  6, f  4 / 12, i  0,12
V6( 4 /12)  8.541,20  a 1 4 |0,12 (1  0,12) 4 /12  58.792
Se il riscatto viene concesso al tasso del 13%, si ha
V6( 4 /12)  8.541,20  a 1 4 |0,13 (1  0,13) 4 /12  56.069
Esercizio 1
• Un debito di 10000 Euro è rimborsabile secondo
rate costanti in 10 anni al tasso dell’8%.
Determinare la rata, quota capitale e quota
interesse e il debito residuo all’anno 4.
S  Ra10|0,08
R=1490,3
C4  C1 (1  i)3  S10|0,08 (1  i)3  869,57
I4=R-C4=620,73
D4  Ra6|0,08  6889, 457
Esercizio 2
• Un debito di 48000 Euro sarà rimborsato in 8
anni con ammortamento italiano al tasso di
interesse annuo del 8%. Determinare la quota
capitale la rata e l’ammontare del debito residuo
all’anno 5.
C=48000/8=6000
D5=48000-5*6000=18000
I5=0,08*D4=0.08*24000=1920
R5=7920
Esercizio 3
• Calcolare l’ammontare del
versamento annuale, della rata
e del fondo di costituzione
all’anno 5 di un prestito di Euro
50.000 ammortizzabile in 10
anni con ammortamento
americano al tasso i = 12% e i'
=10%.
I=i*S=0.12*50.000=6000
C=S/s10|0,1=3137,27
R=C+I=6000+3137,27=9137,27
F5=Cs5|0,1=19153,35
interesse
quota cap
rata
fondo
1
6000
3137,27
9137,27
3137,27
2
6000
3137,27
9137,27
6588,266
3
6000
3137,27
9137,27
10384,36
4
6000
3137,27
9137,27
14560,07
5
6000
3137,27
9137,27
19153,35
6
6000
3137,27
9137,27
24205,95
7
6000
3137,27
9137,27
29763,81
8
6000
3137,27
9137,27
35877,47
9
6000
3137,27
9137,27
42602,48
10
6000
3137,27
9137,27
50000
esercizi
• ACD: cap.7 es.7.1, 7.4, 7.16, 7.18, 7.21
• BC: cap.3 es.3,4,7,10