excel: matematica finanziaria

Matematica
Finanziaria
ed
EXCEL
Capitalizzazione
C = Capitale iniziale
C
M
0
t
M = Montante (valore
finale) di C
I = interesse
M=C+I
i = tasso di interesse
C
M
0
t
M = C · (1+i)t
regime di capitalizzazione composta
ESEMPIO
M=?
15000 €
0
8
i = 4%
M = 15000 · (1+0.04)8 = 20528.54
I = M – C = 5528.54
S0
S1
S2
S3
0
1
2
3
M  S0 (1  i)  S1 (1  i )
n
……………..
M=?
Sn
n
n 1
 S 2 (1  i)
n2
 .....  S n
Esercizio di calcolo del montante
300 2400 3100 1800
0
1
2
3
750
900
4000
4
5
6
i = 4%
M = 300(1+0.04)6 + 2400(1+0.04)5 + 3100(1+0.04)4 +
1800(1+0.04)3 + 750(1+0.04)2 + 900(1+0.04) + 4000
M = 14698.08
Un progetto prevede oggi le seguenti entrate annue
0
100
250
125
2050
1
2
3
4
185
5
6
7
calcolare, usando Excel, il valore dei flussi di cassa a scadenza
(montante), ed all’istante iniziale (valore attuale) nell’ipotesi che
il tasso di valutazione sia del 10%
(vedere esercizio Excel)
Attualizzazione
C = valore attuale in t = 0
C
M
0
t
M = valore finale
i = tasso di interesse
regime di capitalizzazione composta
M = C · (1+i)t
Valore
attuale
V
M
C=
(1+i)t
= M · (1+i)-t
ESEMPIO
32000 €
V=?
0
2
i = 15%
V = 32000 · (1+0.15)-2 = 24196.60
0
40
2
0
0
V = 350 · (1+i)-1
350
1
350
40
1
2
V = 40 · (1+i)-2
V = 350 · (1+i)-1+40 · (1+i)-2
V=?
0
S1
S2
S3
1
2
3
……………..
Sn
n
V  S1(1  i)1  S2 (1  i )2  ...  Sn (1  i)n
Progetti Finanziari
VA
S0
S1
S2
S3
0
1
2
3
……………..
VF
Sn
n
VF = S0 (1+i)n + S1 (1+i)n-1 + S2 (1+i)n-2 + … + Sn
VA = S0 + S1 (1+i)-1 + S2 (1+i)-2 + … + Sn (1+i)-n
Tassi Equivalenti
Due tassi di interesse che producono il medesimo montante applicati ad
uno stesso capitale in regime di capitalizzazione composta a scadenze
diverse si dicono equivalenti.
Il tasso periodale im è equivalente al tasso annuo i se lo stesso capitale
C produce nello stesso periodo di tempo t il medesimo interesse. In un
anno vengono effettuate m capitalizzazioni bimestrali. In regime di
interesse composta risulta:
C * (1+i)t = C * (1+im)t*m
Da cui risulta:
i= (1+im)m – 1
im= (1+i)1/m – 1
Dove i è il tassuo annuo, im quello periodale, m le frazioni di anno
Esercizio di calcolo del valore attuale
0
350
40
920
58
25
63
70
1
2
3
4
5
6
7
i = 7%
V = 350(1+0.07)-1 + 40(1+0.07)-2 + 920(1+0.07)-3 +
58(1+0.07)-4 + 25(1+0.07)-5 + 63(1+0.047)-6+ 70(1+0.047)-7
V =1260.68
FUNZIONE VAN
Calcola il valore attuale netto di un investimento utilizzando un tasso
di sconto e una serie di pagamenti (valori negativi) e di entrate (valori
positivi).
VAN (tasso_int; valore1; valore2;…,valoren)
tasso_int
valore1,…,valoren
tasso di interesse relativo all’unità
temporale considerata,
importi periodici S1, …., Sn riscossi o
pagati nelle diverse epoche.
• Le epoche sono equidistanziate
• I pagamenti sono posticipati
• L’importo S0 all’epoca 0 non viene incluso come argomento della
funzione VAN
FUNZIONE VA
VA (tasso; periodi; S; valore futuro; tipo)
Valuta all’istante iniziale una successione monetaria con importi
uguali. I pagamenti possono anche essere effettuati anticipatamente.
tasso
periodi
S
Valore futuro
tipo
tasso di interesse relativo all’unità temporale
numero dei pagamenti
pagamento in ogni epoca
pagamento addizionale finale
0 per importi posticipati, 1 anticipati
• Le epoche sono equidistanti
• Può mancare uno degli argomenti tra S e Valore futuro
• Attenzione che il risultato è di segno opposto a quello dei flussi
FUNZIONE VAL.FUT
VAL.FUT (tasso; periodi; S; valore attuale; tipo)
Valuta all’istante finale una successione monetaria con importi uguali. I
pagamenti possono anche essere effettuati anticipatamente.
tasso
periodi
S
Valore attuale
tipo
tasso di interesse relativo all’unità temporale
numero dei pagamenti
pagamento in ogni epoca
pagamento addizionale iniziale
0 per importi posticipati, 1 anticipati
• Le epoche sono equidistanti
• Può mancare uno degli argomenti tra S e Valore futuro
• Attenzione che il risultato è di segno opposto a quello dei flussi
FUNZIONE TIR.COST
Restituisce il tasso di rendimento interno per una serie di flussi di cassa.
Il tasso di interesse che eguaglia i valori attuali di entrate ed uscite di
cassa è detto, se esiste ed è unico, tasso interno di rendimento (i*).
V(i*) = 0
TIR.COST (val; ipotesi)
Val
Ipotesi
è un riferimento a celle che contengono i flussi di cui
si desidera calcolare il tasso di rendimento interno.
è un numero che si suppone vicino al risultato di
TIR.COST. Se omesso verrà considerato pari al 10%
• Le epoche sono equidistanziate e nell’ordine indicato.
• Val deve contenere almeno un valore positivo e uno negativo.
• Viene utilizzata una tecnica iterativa per eseguire il calcolo della
funzione TIR.COST. che potrbbe non trovare il risultato
0
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
350
40
920
58
25
63
70
1
2
3
4
5
6
7
i = 0.07
G3
= VAN(B11;B3:B9)
Sol. 1260.68
S0
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
450 350
40
920
58
25
63
70
0
2
3
4
5
6
7
1
i = 0.07
G3
 B 2  B3(1  0.07)1  B 4(1  0.07) 2  B5(1  0.07)3 
 B6(1  0.07)-4  B7(1  0.07)5  B8(1  0.07)6  B9(1  0.07)7
oppure
= B2+VAN(B11;B3:B9)
Sol. 1710.68
Esercizio
Un progetto prevede oggi le seguenti entrate annue
0
5920
5420
7470
6240
9770
6720
10370
1
2
3
4
5
6
7
calcolare usando Excel il valore attuale dei flussi di cassa,
assumendo un tasso di valutazione del 9%
Calcolo del tasso di interesse
noto il valore attuale
Si consideri un progetto i cui importi monetari sono descritti
come nell’Esercizio Excel del VAN.
Dire per quale valore del tasso di interesse si ottiene un valore
attuale netto di € 1000.
(vedere esercizio Excel)
Nota: si usa “Ricerca Obiettivo”
RICERCA
OBIETTIVO
Permette di trovare il valore di una certa variabile
in modo da raggiungere un prefissato obiettivo.
Strumenti - Ricerca obiettivo
Imposta la cella
Al valore
Cambiando la cella
Imposta la cella:
riferimento alla “cella obiettivo”; deve contenere una formula .
Al valore:
il valore della cella obiettivo;
Cambiando la cella:
riferimento alla “cella soluzione”; deve contenere un valore.
Come opera Ricerca Obiettivo
Segue un procedimento iterativo di ricerca della soluzione:
1. Pone
un valore nella “cella soluzione”
2. Confronta il valore calcolato nella cella “obiettivo” con il
valore indicato nella casella Al valore.
3. Se i due valori coincidono, STOP.
4. Se i due valori non coincidono,
sceglie un altro valore per la
“cella soluzione” e ripete il procedimento.
MUTUO
Art. 1813 del Codice Civile:
Il mutuo è un contratto mediante il quale una parte, detta mutuante,
consegna all'altra, detta mutuataria, una somma di denaro o una
quantità di beni fungibili, che l'altra si obbliga a restituire
successivamente con altrettante cose della stessa specie e qualità.
AMMORTAMENTO DEL MUTUO
Prendiamo a prestito una somma di denaro S e dobbiamo restituirla
entro un certo numero di periodi n.
Oltre alla somma presa a prestito si dovranno dare al creditore anche
gli interessi calcolati sulla base di un certo tasso di remunerazione del
prestito i.
Alla fine di ogni periodo si restituisce una quota del mutuo e alle
stesse scadenze vengono anche corrisposti gli interessi.
I TASSI DEL MUTUO
• TAN (tasso annuo nominale): è il tasso di interesse puro applicato ad un
finanziamento.
• Tasso Applicato: è calcolato come somma di un indice di riferimento (di
norma l'EurIRS o l’Euribor ), dello spread (percentuale di guadagno della
banca) e di un eventuale maggiorazione-premio di rischio, legato al
mutuatario che richiede il prestito.
• EurIRS (o IRS): è il tasso di riferimento che indica il tasso di interesse
medio al quale i principali istituti di credito europei stipulano swap a
copertura del rischio di interesse.
• Euribor: è un tasso di riferimento che indica il tasso di interesse medio
delle transazioni finanziarie in Euro tra le principali banche europee.
• ISC (Indicatore Sintetico di Costo): è l'indicatore di tasso di interesse di
un'operazione di finanziamento. Indica il costo effettivo del finanziamento,
tenendo conto del TAN e di tutte le spese accessorie (istruttoria, revisione,
apertura e chiusura pratica, riscossione rate, assicurazione e garanzie,
intermediazione).
k = generico anno (k = 1,2,…,n)
Ck = quota di capitale in k
Parte del debito che viene restituita alla fine dell’anno k
Condizione:
C1+ C2+ …+ Ck+…+ Cn = S
Ik = quota interesse in k
Interesse corrisposto alla fine di ogni anno.
Rk = rata di ammortamento in k
ammontare di denaro che il debitore deve pagare
complessivamente alla fine di ogni anno.
Rk = Ck + Ik
Dk= debito residuo in k
il debito residuo in un certo istante k è l’ammontare che il debitore
deve ancora restituire, a titolo di capitale, per estinguere il debito.
Ek= debito estinto in k
il debito estinto in un certo istante k è la parte del debito che a
quell’istante è già stato rimborsato.
istante 0:
D0 = S ;
E0 = 0
istante n:
Dn = 0 ;
E0 = S
Rk = Ck + Ik
Calcolo della rata di ammortamento
Ik = iDk-1
Calcolo della quota interesse
Dk = Dk-1 – Ck
Aggiornamento del debito residuo
Ek = Ek-1 + Ck
Aggiornamento del debito estinto
Piano di ammortamento
Anno
(k)
Quota
capitale
(Ck)
Quota
interesse
(Ik)
Rata
ammort.
(Rk)
Debito
residuo
(Dk)
Debito
Estinto
(Ek)
0
-
-
-
D0= S
E0= 0
1
C1
I1
R1
D1
E1
2
C2
I2
R2
D2
E2
….
....
....
....
....
....
n
Cn
In
Rn
Dn = 0
En= S
Ammortamento a Quote
Costanti
Nell’ammortamento italiano le quote di capitale sono costanti:
Ck = C
per ogni k
S = C+ C+…+ C = nC
Ik = Dk-1 * i
Rk = Ik + C
S
C
n
Dk = Dk-1 - C
Ammortamento a Rate Costanti
Nell’ammortamento francese le rate di ammortamento sono costanti:
Rk = R
RS
Ik = Dk-1 * i
per ogni k
i
1  (1  i)
Ck = Rk - Ik
n
Dk = Dk-1 - C
FUNZIONE RATA
RATA(tasso_int; periodi;val_attuale;val_futuro;tipo)
tasso_int
tasso di interesse
periodi
numero delle rate di ammortamento
val_attuale
importo del mutuo
val_futuro
valore residuo del capitale (se omesso è considerato 0)
tipo
convenzione usata per i pagamenti
(0 = posticipato, 1 = anticipato).
Se omesso è considerato uguale a zero
La funzione RATA restituisce l’importo della rata necessario
per ammortizzare un prestito, in un ammortamento di tipo
“francese”.
Nota: poiché la funzione RATA restituisce un risultato negativo
(il suo importo rappresenta un costo dal punto di vista del
debitore), quando scriveremo la formula in Excel prenderemo
l’opposto del risultato della funzione RATA.
FUNZIONE INTERESSI
INTERESSI(tasso_int; periodo; periodi;val_attuale;val_futuro;tipo)
tasso_int, periodi, val_attuale, val_futuro, tipo
argomenti con lo stesso significato di quelli della funzione rata
periodo: epoca di calcolo della quota interesse
Viene impiegata per determinare la quota interessi ad un istante
k nell’ammortamento a rate costanti.
FUNZIONE P.RATA
P.RATA(tasso_int; periodo; periodi;val_attuale;val_futuro;tipo)
tasso_int, periodi, val_attuale, val_futuro, tipo
argomenti con lo stesso significato di quelli della funzione rata
periodo: epoca di calcolo della quota capitale
Viene impiegata per determinare la quota capitale ad un istante
k nell’ammortamento a rate costanti.
FUNZIONE CAP.CUM
CAP.CUM(tasso_int; periodi;val_attuale;inizio_per;fine_per;tipo)
tasso_int, periodi, val_attuale, tipo
argomenti con lo stesso significato di quelli delle funzioni precedenti
inizio_per: istante della prima rata del periodo considerato
fine_per: istante dell’ultima rata del periodo considerato
Viene impiegata per determinare l’ammontare del capitale
rimborsato in un certo perido di tempo nell’ammortamento a
rate costanti. (E’ UNA FUNZIONE DI OFFICE2007)
FUNZIONE INT.CUMUL
INT.CUMUL (tasso_int; periodi;val_attuale;inizio_per;fine_per;tipo)
Gli argomenti sono gli stessi della funzione CAP.CUM
Viene impiegata per determinare l’ammontare cumulato degli
interessi versati in un certo perido di tempo nell’ammortamento
a rate costanti. (E’ UNA FUNZIONE DI OFFICE2007)