introduzione ai numeri complessi_file

Variazioni nel piano: i numeri
complessi e le trasformazioni
geometriche
Perché ampliare i numeri reali?

L’insieme dei numeri reali ha una “struttura”
matematica che permette di risolvere
moltissimi problemi, ma è insufficiente nella
risoluzione di equazione del tipo:
x 1  0
2
E se provassimo a risolvere queste equazioni?
Unità immaginaria e numeri immaginari

Chiamiamo i una soluzione dell’equazione
x 1  0
2

i si chiama unità immaginaria. Vale che
i² = -1,

Chiamiamo numeri immaginari “ il prodotto fra numeri reali e
unità immaginaria”
2i… -4i … -i …
In questo modo si risolve il problema dell’estrazione di radice di un numero
reale negativo
Numeri complessi in forma algebrica
Un numero complesso z si scrive nella forma
z = x+iy
Dove x,y sono numeri reali:
 x è la parte reale
 y è la parte immaginaria

Questi sono gli elementi dell’insieme
numerico di cui ci occupiamo
Somma e sottrazione
Somma (legge di composizione interna a C):
(a + ib)+(c + id)=(a + c)+ i(b + d)
Questa operazione ha le seguenti proprietà:
 Estende la consueta operazione di somma tra reali;
 Gode della proprietà associativa e commutativa.
 Esiste l’elemento neutro 0
 Ogni elemento z=a+ib ammette in C un “simmetrico” rispetto
all’addizione (-z=a-ib) che si chiama opposto di z .
 Sottrazione (legge di composizione interna)
(a + ib) - (c + id) = (a-c)+ i (b-d)

Come definire la moltiplicazione?
Ipotesi di lavoro…
Cerchiamo di definire il prodotto
(a + ib) · (c + id)
Richiediamo le seguenti cose:
1. Deve estendere il prodotto tra numeri reali;
2. Deve soddisfare la proprietà i² = -1;
3. Deve essere commutativo e associativo;
4. Deve godere della proprietà distributiva
della somma;
Costruiamo tale prodotto
(a + i0) ·(b + i0) = a · b
 a ·(ib) = (ib) · a = i(ab)= i(ba)
 (ia) · i = i ·(ia) = (i · i) · a = -a
 (ia) · (ib) = (ib) · (ia) = (i ·i)(ab)= - ab
E infine …
(a + ib) ·(c + id) = (a + ib) · c + (a + ib) ·(id) =
= [ac + i(bc)] + [i(ad)+ (ib) ·(id)] =
= ac + i(bc) + i(ad) – bd = (ac – bd) + i(bc + ad)

z
Coniugato …

E’ utile definire a questo punto anche il
numero complesso coniugato di un numero
.
come quel numero, indicato
con z , come
quel numero complesso che ha la stessa
parte reale di z e parte immaginaria opposta:
z  a  ib
… e reciproco

Ogni elemento z = a + ib , con a e b non
contemporaneamente nulli, ammette in C un
“simmetrico” rispetto alla moltiplicazione, che
si chiama reciproco di z , dato da
1
1
z
a
b


 2
i 2
2
z a  ib z  z a  b
a  b2
Divisione tra complessi

La divisione in C è introdotta grazie alla
presenza del reciproco di un numero
complesso (non nullo). La scrittura
a  ib
c  id

(con c e d non entrambi nulli) indicherà il
seguente prodotto:
1
 a  ib  
c  id
Rappresentazione geometrica: come
punti del piano…
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con assi x
e y, e un numero complesso u= x + iy , i numeri reali x e y si
possono interpretare come l’insieme vettori OP , dove P è il
punto di coordinate (x,y) e O è l’origine degli assi


Il piano ottenuto si chiama di Argand-Gauss o piano di Gauss.
L’asse delle ascisse viene anche chiamato asse reale e quello
delle ordinate asse immaginario.

Il modulo u    x  y di un numero complesso rappresenta la
lunghezza del vettore che rappresenta u.

|u-v| rappresenta la lunghezza del vettore PQ
2
2
Somma
Se i due numeri complessi u=a+ib e v=c+id sono visti come i
vettori OA e OB , con A=(a,b) e B=(c,d), la loro somma è
realizzata graficamente traslando il vettore OA in modo
che parta dal punto A invece che da O.
Tale regola si chiama regola del parallelogramma.
Il vettore risultante OD sarà tale che D=(a+b,c+d) ( le
coordinate di D sono la somma delle coordinate di A e B)
Somma
Opposto

L’opposto –u è realizzato graficamente come il vettore
simmetrico ad OA rispetto ad O.
OA'
A’= (-a,-b)

La sottrazione u-v non è altro che la somma (vettoriale) di u con
l’opposto di v
(a,b)-(c,d)=(a-b,c-d)

Il coniugato di u è rappresentato come il vettore OA' ' simmetrico
ad OA rispetto all’asse reale.
A’’= (a,-b)
Opposto e coniugato
Sottrazione
Interpretazione della moltiplicazione:
Moltiplicazione a coefficienti interi

Se n è un intero positivo, si definisce il complesso nu
come la somma di u con se stesso n volte
nu  u
u  ...
u


n
e –nu come la somma di –u con se stesso n volte
 nu  
u

...

u
u
n

Geometricamente, stiamo considerando i multipli
interi del vettore dato
Moltiplicazione fra un numero reale e
un numero complesso

Siano C=(c,0) e Z=(a,b). I vettori OC e OZ
rappresentano rispettivamente un numero reale c e un
numero complesso z=a+ib. Considero la
moltiplicazione fra OC e OZ : sarà un nuovo vettore
OZ ' , dove Z’=(ca,cb)
Interpretazione geometrica




Considero il vettore OC, dove C=(c,0), e il vettore OZ , dove
Z=(a,b), con b non nullo.
Congiungo il punto A=(1,0) con Z, considero la semiretta per O
e Z, uscente da Z.
Considero la semiretta uscente dal punto C e
parallela alla semiretta per O e Z: le due semirette si
incontrano in punto Z’.
OZ ' è proprio il vettore cercato e si ottiene partendo
da
con un’omotetia di centro O e
OZ
fattore c
Perché?



Devo provare che Z’=(ca,cb).
Il segmento OA misura 1, il segmento OCmisura |c| e il
segmento OZ misura a 2  b 2
Utilizzando il teorema di Talete (similitudine tra i triangoli OAZ
e OCZ’) abbiamo che


OA : OC  OZ : OZ '
Ossia
1 : c  a 2  b 2 : OZ '
OZ '  c a 2  b 2

Z’ giace sulla semiretta per O e Z, la sua distanza da O è |c|
volte quella di Z da O, dunque le sue coordinate saranno |c|
volte le coordinate di Z: dunque Z’=(ca,cb)
Moltiplicazione per i: interpretazione
geometrica





Considero z=a+ib
i*z= b- ia
Chiamo A=(a,b) e A’=(b,-a)
Considero i vettori OA e OA'
Considero la retta passante per O e A: ha equazione
y 

Considero la retta passante per O e A’: ha equazione
y


b
x
a
a
x
b
Le due rette hanno i coefficienti angolari che sono l’uno l’opposto
del reciproco dell’altro: sono ortogonali
I due vettori hanno chiaramente la stessa lunghezza
Moltiplicazione per i: interpretazione
geometrica

Moltiplicare per i significare ruotare in
senso antiorario il vettore z di un angolo
di 90°
Forma trigonometrica
(immagini tratte dal sito de “Il Giardino di Archmede”)
y
z
|z|
θ
o
x
|z| si chiama modulo di z
| z | x 2  y 2
θ si chiama argomento di z
cos  
x
|z|
y
sin  
|z|
•Il modulo di z si indica con |z|
•L’argomento principale (quello compreso tra 0 e 2Π) con arg(z)
Da z=x+iy si passa a z | z | (cos   i sin  )
Moltiplicazione complessi di modulo 1

Dati u  cos  i sin  e
prodotto u*z
z | z | (cos   i sin  )
, considero il
u*z= cosα* z + sinα*(i* z)
Interpretiamo questa scrittura in termini geometrici:



Si considera il vettore OA , con A=(cosα, sinα) e il
vettore
OZ
Considero il vettore OA' , dove A’=(cosα,0)
Faccio la moltiplicazione cosα*z e ottengo il vettore
OZ '


Disegno il vettore OW , che rapprensenta i*z
Disegno il vettore OW ' , che rappresenta sinα*(iz)

Si sommano i due vettori




Il triangolo POZ’ è rettangolo
Il cateto OZ ' misura |cosα||z| , il cateto PZ ' misura
|sin α| |z|:
Dunque OPmisura |z|: dunque il vettore è isometrico al
vettore OZ
sin  | sin  |,
Per β=Z’OP vale 

cos  | cos  | .
con α compreso tra 0 e 2π
Ci sono quattro casi :



[
0
,
)

Primo caso:
allora β= α, ZOP=ZOP’ e
2
OP si ottiene da OZ ruotando in senso antiorario
di un angolo pari ad α





[
, )
caso:
Secondo
allora β= π- α,
2
ZOP= π- β= α e OP si ottiene da OZ ruotando in
senso antiorario di un angolo pari ad α


3
Terzo caso:   [ , 2 ) allora β= α-π,
ZOP= π+ β= α e OP si ottiene da OZ ruotando in
senso antiorario di un angolo pari ad α

 [
3
,2 )
2
Quarto caso:
allora β= 2π –α,
ZOP= 2π- β= α e OP si ottiene da OZ ruotando in
senso antiorario di un angolo pari ad α
Moltiplicazione per complesso di
modulo 1
Si ottiene quindi una rotazione antioraria
attorno a O di un angolo pari ad α=Arg(u)
Un nuovo modo di ricavare le formule
di addizione



Considero u=cosα + i sinα e v=cosβ + i sinβ
due complessi di modulo 1.
Ad essi si associano rot(α) e rot(β) le due
rotazioni antiorarie attorno a O
rispettivamente di α e β.
Se effettuiamo prima rot(α) e poi rot(β),
questo equivale a compiere una rotazione
antioraria attorno a 0 di un angolo pari a α+β
Nel linguaggio dei numeri complessi, questo significa
che per ogni z numero complesso ,
[(cosα+ isinα)(cosβ+ isinβ)]z=(cosα+ isinα)[(cosβ+
isinβ)z]=[cos(α+β)+i sin(α+β)]z.
Ponendo z=1, abbiamo

[cos(α+β)+i sin(α+β)]=[(cosα+ isinα)(cosβ+ isinβ)]
Eseguendo i calcoli e uguagliando parte reale
e immaginaria, abbiamo
[cos(α+β)+i sin(α+β)]=[(cosα cosβ – sinα sinβ) + i(sinα cosβ+ cosα sinβ)]
Otteniamo infine:
cos(α+β) = cosα cosβ – sinα sinβ
sin(α+β) = sinα cosβ+ cosα sinβ
Significato geometrico della
moltiplicazione: ricapitoliamo
Se u=|u|(cosα+isinα) e z è un altro numero
complesso, la moltiplicazione
uz=|u|[(cosα+isinα)z]
è la composizione di una rotazione con centro
nell’origine e di un’omotetia di fattore |u| con
centro in O, ossia una roto-omotetia.

Moltiplicazione in forma trigonometrica
z1  1 (cos 1  i sin 1 )
z2   2 (cos  2  i sin  2 )
Eseguendo la moltiplicazione e ricordando le formule
di addizione del coseno e del seno
z1 z2  12[cos(1  2 )  i sin( 1  2 )]
Il modulo si ottiene moltiplicando i moduli
L’argomento si ottiene addizionando gli argomenti
Divisione di numeri complessi
Forma Algebrica
z1  x1  iy1
z2  x2  iy2
( z2  0)
z1 x1 x2  y1 y2
x2 y1  x1 y2


i
2
2
2
2
z2
x2  y2
x2  y2
Forma Trigonometrica
z1  1 (cos 1  i sin 1 )
z2  2 (cos 2  i sin 2 )
( z2  0)
z1 1
 cos(1   2 )  i sin( 1   2 )
z2  2
Il modulo si ottiene dividendo i moduli
L’argomento si ottiene sottraendo gli argomenti
Potenze e radici intere di numeri
complessi

Usando la forma trigonometrica dei numeri
complessi z   (cos   i sin  )
e le proprietà
della moltiplicazione si ottiene la cosiddetta
formula di De Moivre
z   (cos n  i sin n )
n
n

Utilizzando la formula di De Moivre si può dimostrare che
ogni numero complesso non nullo z e per ogni numero
naturale n, esistono n radici n-esime di z, ovvero esistono n
numeri complessi w tali che
w z
n

. Se z   (cos   i sin  ) , allora si dimostra che le radici nesime di z sono date dalla formula seguente:
    2k 
   2k
wk    cos
  i sin 
 n
  n 
n
con k= 0, 1, 2,…., n-1

 


Se rappresentiamo tali radici nel piano complesso si ottengono i vertici
di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di centro
l’origine degli assi O e raggio . Ad esempio le radici quinte del numero
32 sono rappresentate nei vertici del pentagono regolare nella figura
seguente.
Quindi possiamo concludere che:
ogni numero complesso ammette n radici n-esime distinte
 Nel caso particolare in cui z=1, si ottengono le radici nesime dell’unità:


   2k 
   2k
  i sin 
 n 
 n
 k ,n   cos




 

con k= 0, 1, 2,…., n-1 .
Esse hanno tutte modulo 1 e argomento che è un multiplo
di e le loro immagini nel piano di Argand-Gauss sono date
dai vertici di un poligono regolare inscritto nella
circonferenza di centro l’origine degli assi e di raggio 1.
Risoluzione algebrica delle equazioni
di secondo grado
Consideriamo l’equazione
dove  è un numero
z2  
reale. Si devono distinguere due casi; nel primo porta a
determinare due soluzioni reali (
z    ), il secondo in cui , che
conduce a due soluzioni complesse coniugate, dette immaginarie
( z  i  ).
Quando invece si deve risolvere la generica equazione di secondo
2
a , b, c  R
grado az  bz  c  0 , con
, si può seguire, una volta
raccolto il coefficiente a, il “metodo del completamento del
quadrato”, che fornisce le soluzioni con operazioni elementari sulle
variabili e sui coefficienti reali:
2

c
b  b 2  4ac 
 2 b
az  bz  c  a  z  z    a   z   


a
a
2a 
4a 2 


2
b2  4ac , si hanno due casi:
w 
4a 2
2

b

b
 4ac
2
b  4ac
z

Δ≥0, allora w   2a
e
2a

Posto
2
b  i 4ac  b2
i 4ac  b 2
Δ<0, allora w  
e z
2a
2a
Nel caso in cui l’equazione di partenza sia a coefficienti complessi,
allora per risolvere l’equazione di secondo grado si risolve il
sistema ottenuto uguagliando separatamente le parti reali
dell’equazione e le parti immaginarie tra loro.
BREVE STORIA DEI NUMERI
COMPLESSI


La risoluzione di equazioni è un problema
matematico molto antico.
Risoluzione delle equazioni di secondo grado:
metodo di “completamento del quadrato” noto sin
dai tempi dei Babilonesi. Nel libro II degli Elementi di
Euclide queste equazioni si trovano risolte sotto
forma geometrica
L’equazione cubica

L’equazione cubica aveva sfidato per secoli i matematici: Luca Pacioli (1445-1514)
aveva sostenuto che la soluzione dell’equazione cubica generale era impossibile.

Fino al 1500 si era arrivati solo a risolvere dei casi particolari, senza riuscire a trovare un
metodo generale.

Scipione Dal Ferro (1465-1526),
professore di matematica a Bologna, riuscì a risolvere le
3
equazioni cubiche del tipo x  px  q intorno al 1500; egli però non pubblicò il suo
metodo risolutivo in quanto in tale periodo le scoperte venivano spesso tenute nascoste
per poi sfidare i rivali a risolvere lo stesso problema. Tale metodo fu rivelato, alla fine della
sua vita, ad un suo allievo, Antonio Maria Fior.

Anche Tartaglia (soprannome di Nicolò Fontana,31500?-1559),
aveva trovato un metodo
2
3
per risolvere le equazioni di terzo grado del tipo x  px  q e x  px  q con p ed q positivi.
Nel 1535 fu organizzata una sfida matematica tra Fior e Tartaglia. La notizia della brillante
vittoria di Tartaglia nella sfida raggiunse Girolamo Cardano (1501-1576). Tartaglia, date le
insistenze di Cardano, finì per rivelargli il suo metodo, in cambio della promessa di
mantenere tale metodo segreto.
Cardano…


Nonostante questo impegno Cardano pubblicò la sua versione del metodo di
risoluzione delle equazioni di terzo grado nella sua opera Ars Magna
(Norimberga 1545). Lo stile di Cardano è piuttosto oscuro e la sua algebra è
ancora allo stato retorico, in cui le equazioni vengono espresse quasi
completamente a parole.
La procedura risolutiva dell’equazione si ritrova descritta nelle celebri terzine di
Tartaglia :
"Quando che’l cubo con le cose appresso con p, q > 0.
Se agguaglia à qualche numero discreto
Trovan dui altri differenti in esso.
Da poi terrai questo per consueto
Che ‘l lor produtto sempre sia uguale
Al terzo cubo delle cose neto,
El residuo poi suo generale
Delli lor lati cubi ben sottratti
Varrà la tua cosa principale.”
Rafael Bombelli (1526-1573)



Bombelli, nella sua opera L’Algebra, divisa in tre libri, con la quale ciascuno
da sé potrà venire in perfetta cognitione della teoria dell’Aritmetica (composta
verso il 1560, ma stampata in parte solo nel 1572) si propose di completare i
vari casi di risoluzione delle equazioni di terzo grado, anche nel caso
irriducibile, cioè quando, nella formula di Cardano, si presenta la radice
quadrata di un numero negativo .
Bombelli prende in esame le radici immaginarie delle equazioni, che egli
chiama "quantità silvestri", e giunge ad operare con i numeri che noi oggi
chiamiamo "complessi".
Bombelli stabilì le leggi formali di calcolo dei nuovi numeri, successivamente
chiamati immaginari da Cartesio per indicare delle soluzioni considerate
fittizie e irreali, né vere né “surde” (negative).
Nell’Algebra troviamo la corretta trattazione di alcune equazioni di terzo grado
che, se risolte con il procedimento di Cardano, Dal Ferro e Tartaglia, portano a
radicali doppi coinvolgenti quantità non reali.
Equazioni di grado superiore…






La formula risolutiva delle equazioni di quarto grado fu scoperta da Ludovico Ferrari
(1522-1565). Anche queste formule furono pubblicate nell’Ars Magna e Cardano
attribuisce a Ferrari il metodo.
Dopo Tartaglia e Cardano per quasi due secoli si studiarono le equazioni di 5° grado e di
grado superiore, ma tutti i vari tentativi fallirono. Nel 1799, nella sua tesi di laurea, Gauss
(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) dette una prima dimostrazione del teorema
fondamentale dell’algebra :
Ogni equazione algebrica di grado n ha almeno una radice complessa, sia che i
coefficienti siano reali o complessi.
Partendo da questo risultato (e utilizzando il teorema di Ruffini) si dimostra che ogni
polinomio a coefficienti complessi si scompone in un prodotto di n fattori alcuni dei quali
sono eventualmente ripetuti.
Tuttavia, dopo i lavori di Gauss, rimaneva ancora aperta la questione se era possibile
risolvere “per radicali” le equazioni algebriche di grado superiore al quarto. La risposta
venne data da Paolo Ruffini (1765-1822) e da Niels H. Abel (1802-1829) in uno dei più
celebri teoremi della matematica (teorema di Ruffini-Abel):
per n>4 non si può fornire, in generale, una formula risolutiva per radicali delle
equazioni algebriche.
Numeri complessi
nella rivoluzione scientifica
• Cartesio respinge le radici complesse scrivendo “Né
le vere né le false radici sono sempre reali, talvolta
esse sono immaginarie”
• Newton non le considera significative e dice “Ma è
giusto che le radici delle equazioni debbano essere
spesso impossibili, per timore che esse debbano
esibire i casi di problemi che sono impossibili come se
fossero possibili”
•Leibniz non ha idee chiare e afferma “Lo Spirito Divino trovò una via
d’uscita in quel mostro dell’analisi, quel portento del mondo ideale,
quell’anfibio fra essere e non-essere che chiamiamo radice immaginaria
dell’unità negativa”.