Dalle potenze ai numeri binari

Istituto Comprensivo “F. Jovine” - Scuola Secondaria di I grado
A.S. 2012-2013
Classi Prime
Disciplina: Aritmetica
Realizzato dal prof. Aurelio Nardelli
Dalle potenze ai numeri binari
La potenza di un numero
Cimentatevi con il seguente
rompicapo. In una città vi
sono 7 strade, su ciascuna
delle quali si affacciano sette
palazzi di sette piani; a ogni
piano abitano sette famiglie,
ciascuna composta da sette
persone; se ogni persona
mangia sette biscotti al
giorno,
quanti
biscotti
verranno consumati in sette
settimane?
La potenza di un numero
La soluzione del problema è più facile di quando non sembri a prima vista.
Si ha infatti:
Il numero di strade è:
7
Il numero di palazzi è:
7x7=49
Il numero dei piani è:
7x7x7=343
Il numero delle famiglie è:
7x7x7x7=2401
Il numero delle persone è:
7x7x7x7x7=16807
Il numero dei biscotti consumati al giorno è:
7x7x7x7x7x7=117649
Il numero di biscotti consumati alla settimana è:
7x7x7x7x7x7x7=823543
Il numero di biscotti consumati complessivamente in sette settimane è:
7x7x7x7x7x7x7x7=5764801
La potenza di un numero
Se consideriamo il procedimento che ci porta alla soluzione del
nostro problema ci accorgiamo che abbiamo moltiplicato il numero
7 per se stesso 8 volte.
L' operazione consistente nel calcolare il prodotto di fattori tutti
uguali fra loro si chiama elevamento a potenza. Il fattore che si
ripete viene detto base; il numero dei fattori esponente.
Definizione: La potenza di
un numero è il prodotto di
tanti fattori uguali a quel
numero detto base, quanti
ne indica l'esponente
Le proprietà delle potenze
I proprietà
Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è uguale
ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la
somma degli esponenti.
prodotto
di potenze
3
somma
degli esponenti
4
3+4
3 ∙ 3 = 3
stessa base
7
= 3
Le proprietà delle potenze
II proprietà
Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è uguale ad
una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la
differenza degli esponenti.
quoziente
di potenze
6
differenza
degli esponenti
4
7 : 7 = 7
stessa base
6-4
= 7
2
Le proprietà delle potenze
III proprietà
La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha per
base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
potenza
di potenze
2 3
prodotto
degli esponenti
2∙3
(3 ) = 3
stessa base
= 3
6
Le proprietà delle potenze
IV proprietà
Il prodotto di due o più potenze aventi lo stesso esponente è
uguale ad una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per
esponente lo stesso esponente.
stesso esponente
4
4
4
6 ∙ 3 = (6∙3) = 18
prodotto di
potenze
prodotto delle
basi
4
Le proprietà delle potenze
V proprietà
Il quoziente di due potenze aventi lo stesso esponente è uguale
ad una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per
esponente lo stesso esponente.
stesso esponente
4
4
4
6 : 3 = (6:3) = 2
quoziente di
potenze
qoziente
delle basi
4
Le potenze con 0 e 1
I caso
Una potenza di qualsiasi numero naturale diverso da zero, con
esponente zero, è sempre uguale a 1
potenza con
esponente zero
0
7 = 1
Le potenze con 0 e 1
II caso
Una potenza con esponente uno è sempre uguale alla base
stessa
Regole:
» Le potenze del numero 1
sono sempre uguali a 1
qualunque sia l'esponente.
» Le potenze del numero 0,
con esponente diverso da
zero,sono sempre uguali a
0.
0
» La potenza 0 non ha
significato
potenza con
esponente 1
1
6 = 6
La notazione scientifica
La notazione scientifica di un numero consiste nella sua scrittura
sotto forma di espressione in cui il valore posizionale di ciascuna
cifra è dato dalla potenza del 10 corrispondente
Per capire meglio l'utilità di
questa scrittura consideriamo le
potenze di 10
Possiamo vedere che i risultati
corrispondono al numero 1
seguito da tanti zeri quante
sono
le
unità
indicate
dall’esponente.
esponente 5
5
5 zeri
10 = 100000
0
10 =
1
10 =
2
10 =
3
10 =
4
10 =
5
10 =
6
10 =
7
10 =
8
10 =
9
10 =
10
10 =
1
10
100
1 000
10 000
100 000
1 000 000
10 000 000
100 000 000
1 000 000 000
10 000 000 000
La notazione scientifica
Ora, come già sappiamo, le potenze ci consentono di scrivere numeri
molto grandi in maniera più semplice attraverso la notazione
esponenziale.
Vediamo come fare.
Consideriamo il numero 4 567 703
Proviamo a scomporlo utilizzando la scrittura polinomiale:
4 x 1 000 000 + 5 x 100 000 + 6 x 10 000 + 7 x 1 000 + 7 x 100 + 3 x 1
Considerato quanto abbiamo detto all’inizio, dalla
scrittura polinomiale passiamo alla notazione esponenziale.
6
5
4
3
2
1
0
4 x 10 + 5 x 10 + 6 x 10 + 7 x 10 + 7 x 10 + 0 x 10 + 3 x 10
La notazione scientifica
Di seguito riportiamo un esempio con il quale si capisce la
maggiore sinteticità della notazione scientifica rispetto alla
scrittura per esteso di un numero molto grande..
Distanza terra – luna
Scrittura estesa:
390 000 Km
Notazione scientifica:
3,9 x 10 Km
5
Proviamo ora a scrivere subito la notazione esponenziale di questi
numeri che terminano tutti con uno o più zeri.
Esempi
80 000 000 000 = 8 x 10
10
25 000 000 000 000 = 2,5 x 10
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La numerazione binaria
Il sistema di numerazione che noi utilizziamo prende il nome di sistema
decimale. Questo perché esso è caratterizzato dal fatto che 10 unità di
un dato ordine formano una unità dell’ordine immediatamente superiore.
Il numero 10 è la base del sistema.
I numeri inferiori al 10 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) servono per rappresentare
tutti i possibili numeri.
Il sistema decimale non è però il solo esistente.
Un altro sistema di numerazione è quello
binario. Tale sistema, utilizzato dai
sistemi elettronici (es. computer), è
caratterizzato dal fatto che 2 unità di
un dato ordine formano una unità
dell’ordine immediatamente superiore.
Questo sistema utilizza solo due simboli: i
numeri 0 e 1 .
I numeri inferiori al 2 (0,1) servono per
rappresentare tutti i possibili numeri.
La numerazione binaria
E' possibile costruire la tabella del sistema binario nel modo seguente:
» i numeri 0 e 1 si scrivono come
nella numerazione decimale;
» per rappresentare il numero
successivo (2), si scrive il numero
1 nella colonna delle Coppie e lo 0
nella colonna delle Unità; (si
legge uno zero)
» per rappresentare il numero 3,
si scrive il numero 1 nella colonna
delle Coppie e il numero 1 nella
colonna delle Unità; (si legge uno
uno)
» per rappresentare il numero 4,
si scrive il numero 1 nella colonna
delle Quaterne, il numero 0 nella
colonna delle Coppie e il numero 0
nella colonna delle Unità; (si
legge uno zero zero).
Così via per tutti gli altri numeri decimali.
La numerazione binaria
Dalla base 2 alla base 10
La conversione di un numero dalla base 2 alla base 10 può essere
effettuata tramite scrittura polinomiale. Per fare ciò basta
calcolare le somme relative ai prodotti delle potenze crescenti di
due
Esempi
(1011)2 = 1·2° + 1·2¹ + 0·2²+ 1·2³ = 11
4
(11011)2 = 1·2° + 1·2¹ + 0·2²+ 1·2³ + 1·2 = 27
La numerazione binaria
Dalla base 10 alla base 2
La conversione di un numero dalla base 10 alla base 2 può essere
effettuato tramite il metodo delle divisioni successive. Per fare
ciò basta dividere il numero decimale dato fino a quando l'ultimo
quoziente è uguale a 0
Esempio
Trasformare il numero 37 dalla base 10 alla base 2:
37 : 2 = 18
18 : 2 = 9
9:2=4
4:2=2
2:2=1
1:2=0
resto 1
resto 0
resto 1
resto 0
resto 0
resto 1
Prendendo la successione
dei
resti
nell'ordine
inverso abbiamo che:
37 = (100101)2
Le quattro operazioni nel binario
L'addizione
L'addizione tra due o più numeri binari si esegue come una
normale addizione. Bisogna però ricordare che 2 unità di un
dato ordine, formano 1 unità dell'ordine immediatamente
superiore.
Esempio
Vogliamo sommare tra loro i numeri binari 10011 e
rispettivamente, i numeri decimali 19 e 17.
riporto
I addendo
II addendo
somma
10001 che indicano,
11
10011 +
10001 =
10 010 0
Le quattro operazioni nel binario
La sottrazione
Anche la sottrazione tra due numeri binari si esegue come una normale
sottrazione. Bisogna però tenere conto che ogni volta che si deve
sottrarre dalla cifra 0 la cifra 1, occorre CHIEDERE IN PRESTITO
una unità alla cifra di ordine immediatamente superiore e che essa
vale 2 unità dell'ordine immediatamente inferiore.
Esempio
vogliamo sottrarre al numero binario 11101 il numero binario 1110 che indicano,
rispettivamente, i numeri decimali 29 e 14.
10 prestito
minuendo
sottraendo
differenza
11101 +
1110 =
1 111
Le quattro operazioni nel binario
La moltiplicazione
La moltiplicazione tra due o più numeri binari si esegue come una
normale moltiplicazione, ricordando però che 2 unità di un dato
ordine, formano 1 unità dell'ordine immediatamente superiore.
Esempio
vogliamo moltiplicare il numero binario 111 con il numero binario 101 che indicano,
rispettivamente, i numeri decimali 7 e 5.
I fattore
II fattore
riporto
prodotto
111 x
101 =
111
000
111
11
10 0 011
Le quattro operazioni nel binario
La divisione
Anche nel caso della divisione tra due numeri binari si applicano le regole
consuete della divisione, ricordando sempre che 2 unità di un dato ordine,
formano 1 unità dell'ordine immediatamente superiore.
Esempio
vogliamo dividere il numero binario 111100 con il numero binario 100 che indicano, rispettivamente,
i numeri decimali 60 e 4.
» Abbassiamo le prime tre cifre del dividendo 111 e dividiamo per
100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100.
Eseguiamo 111 - 100 = 11.
» Abbassiamo la quarta cifra del dividendo 1 e dividiamo 111 per
100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100.
Eseguiamo 111 - 100 = 11.
» Abbassiamo la quinta cifra del dividendo 0 e dividiamo 110 per
100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100.
Eseguiamo 110 - 100 = 10.
» Abbassiamo l'ultima cifra del dividendo 0 e dividiamo 100 per
100. Il risultato è 1. Moltiplichiamo 1 per 100 e otteniamo 100.
Eseguiamo 100 - 100 = 0.