A scuola con Pitagora - Istituto Comprensivo Spinea 1

A scuola con Pitagora
Classi quarte A e B
Scuola Primaria C. Goldoni
Perché questo lavoro
• Bagni diceva che la storia può esser molto utile per la didattica e la
didattica per la storia. La storia può essere uno spunto per motivare
i bambini all’apprendimento dei concetti matematici e dare
un’immagine dinamica di un sapere matematico da costruire e ricostruire da diverse prospettive.
• Questo lavoro quindi mira a:
– stimolare e incrementare l’indagine matematica: curiosità, esplorazioni
e scoperte;
– fornire occasioni per degli approfondimenti, per capire dove un oggetto
matematico ha le sue radici storiche e geografiche;
– trovare spunti per una geometria dinamica;
• Avviare i bambini all’organizzazione di attività di ricerca attraverso la
metodologia del gruppo collaborativo.
• La matematica è come il gioco della dama,
adatta ai giovani, non troppo difficile,
divertente … (Platone)
• Il Sapere è scritto nel libro della natura,
che ci sta continuamente aperto davanti.
Ma non si può leggerlo se prima non si
impara la lingua in cui è scritto, e questa
lingua è la matematica (Galileo)
Attività
Con l’ins. Girelli i bambini hanno parlato del significato che nella Bibbia
viene dato ai numeri. Noi invece abbiamo parlato del significato che
avevano i numeri presso i pitagorici, partendo dalla lettura del 3° cap. di
“Cenni di storia e filosofia della matematica” di M. L. Caldelli, che ho
sintetizzato per adattarlo alla mia classe.
Il doppio aspetto di numero e di figura ci ha portato a rappresentare i numeri
triangolari e i numeri quadrati, a riflettere su questi numeri e a trovare la
regola che genera la successione dei numeri triangolari e dei numeri
quadrati.
I pitagorici si occuparono anche delle figure geometriche solide, a cui
davano un’interpretazione cosmologica: siamo passati così alla costruzione
di tutti i solidi regolari.
Tra le figure piane regolari, i pitagorici privilegiarono il pentagono, dal quale
ricavarono, tracciando le diagonali, la stella a cinque punte che divenne il
simbolo della scuola. In classe abbiamo utilizzato le conoscenze e le
tecniche possedute per disegnare con riga, compasso e goniometro questo
poligono, e costruire la stella a cinque punte.
Strumenti
• I bambini hanno utilizzato per le attività di
costruzione delle figure geometriche sia
Micromondi che Geogebra.
• La lavagna digitale è risultata molto utile sia per
la ricerca in Internet delle immagini, sia per
mostrare le procedure per la costruzione dei
poligoni regolari, che servivano per la
costruzione dei poliedri.
• I bambini hanno lavorato sia in classe
utilizzando goniometro, righello e compasso,
che nel laboratorio di informatica.
Pitagora
• Pitagora nacque a Samo, isola
dell'Egeo, intorno al 570 a.C.
• Egli viaggiò molto: fu in Egitto e a
Babilonia e forse anche in India. Nei
suoi viaggi raccolse molte informazioni
matematiche, astronomiche, ma anche
religiose.
• Tornato in patria, si stabilì a Crotone,
nella Calabria di oggi, e vi fondò una
scuola di aristocratici che aveva tutte le
caratteristiche di una setta segreta. A
questa scuola potevano partecipare
anche le donne.
• Gli appartenenti alla scuola pitagorica
avevano un loro codice segreto.
Localizzazione
Tutto è numero
• L'idea che caratterizzava i pitagorici era che
l'Archè (= il principio di tutte le cose) non
andava ricercata negli elementi naturali quali
l'aria, l'acqua, il fuoco e la terra, ma nel
NUMERO.
• Il motto dei pitagorici era: "Tutto è numero".
Il numero è l'elemento di cui tutte le cose sono
costituite: dal mondo che ci circonda al moto
degli astri, al succedersi delle stagioni, dalle
armonie della Musica al ciclo della vegetazione.
L’unità genera tutti i numeri
• Quando i pitagorici parlavano di numeri si riferivano ai
numeri naturali, esclusi lo zero e l'uno.
• L'unità veniva pensata come un punto isolato.
• Ciascun numero era considerato il raggruppamento di
più unità tutte uguali.
• Ogni raggruppamento aveva il doppio aspetto di
numero e di figura, per cui matematica e geometria
erano la stessa cosa.
• L'unità non era considerata un numero, ma ciò che
generava i numeri, sia quelli pari che quelli dispari.
Significati attribuiti ai numeri
• Per i pitagorici i numeri dispari avevano attributi
maschili e i numeri pari attributi femminili.
• Il numero 2 era il primo numero femminile.
• Il numero 3 era il primo vero numero maschile, simbolo
dell'armonia e della perfezione, essendo costituito di
unità e diversità.
• Il numero 4 simboleggiava la giustizia, il far quadrare i
conti.
• Il numero 5 era il numero del matrimonio, essendo la
somma del primo numero maschile e del primo numero
femminile.
10
• Il numero 10 era considerato il numero più sacro di
tutti, perché era il simbolo dell'universo, essendo la
somma di tutte le dimensioni geometriche possibili.
• I pitagorici seguivano questo ragionamento:
– un punto è il generatore delle dimensioni;
– due punti determinano una linea, che possiede una dimensione;
– servono tre punti non allineati per avere un triangolo che è una
figura a due dimensioni;
– quattro punti non disposti sullo stesso piano generano il
tetraedro che è una figura tridimensionale.
• La somma 1 + 2 + 3 + 4 rappresenta tutte le dimensioni
ed è proprio il numero 10.
Aspetto figurale dei numeri
• Il numero inteso come raggruppamento di
più unità materiali poteva assumere
l'aspetto di figura per cui c'erano i numeri
quadrati e i numeri triangolari.
Numeri triangolari
Per passare da un numero
triangolare all’altro basta
aggiungere il numero successivo a
quello aggiunto prima…
I numeri quadrati
Per passare da un numero
quadrato all’altro basta
aggiungere il numero dispari
successivo a quello aggiunto
prima…
La somma di n numeri dispari
è sempre un numero
quadrato!
I solidi e il loro significato
• Mentre nel piano abbiamo un'infinità numerabile di poligoni regolari,
nello spazio tridimensionale si possono realizzare soltanto cinque
poliedri regolari:
–
–
–
–
–
il Cubo,
il Tetraedro,
l'Ottaedro,
il Dodecaedro
l' Isocosaedro
• Questi poliedri regolari sono chiamati "figure cosmiche" per i
significati che i pitagorici vi attribuirono.
• Le figure erano dette "cosmiche" perchè, secondo la filosofia del
tempo, tutta la natura è costituita da particelle piccolissime: tetraedri
per il fuoco, ottaedri per l'aria, icosaedri per l'acqua e cubi per la
terra. Il dodecaedro era il modello per l'universo.
Costruzione dei poliedri
• Per costruire i poliedri regolari i bambini hanno
prima di tutto imparato a costruire i triangoli
equilateri, i quadrati e i pentagoni utilizzando le
conoscenze e le tecniche in loro possesso:
• Idea di retta, semiretta, segmento
• Concetto di angolo, lati dell’angolo, vertice
• Capacità di misurare gli angoli con il goniometro
e di utilizzare righello e compasso
• Conoscenza dei termini relativi alla
circonferenza: centro, raggio, diametro, corda,
circonferenza, cerchio
Costruzione dei poliedri regolari
con le facce triangolari
• Ogni bambino/a ha
disegnato su un foglio
di cartoncino dei
triangoli equilateri di
misura data e li ha
colorati.
• Con lo scotch li
abbiamo attaccati e
abbiamo costruito tanti
tetraedri.
Lavoro al computer e con la LIM
Lavoro sulla carta
Costruzione del cubo
• Per la costruzione del
cubo i bambini hanno
prima di tutto imparato a
disegnare le facce
quadrate usando riga,
compasso e goniometro.
• Abbiamo insieme
concordato la misura del
raggio della
circonferenza
circoscritta al quadrato,
per ottenere quadrati
congruenti.
Lavoro al computer e con la LIM
I nostri solidi
Il pentagono
• Per costruire il pentagono abbiamo disegnato una
circonferenza e un raggio, poi abbiamo diviso in 5 parti
l’angolo giro e poi unito i 5 punti sulla circonferenza.
Lavoro al computer e con la LIM
I SOLIDI COSMICI
L’ottaedro
Il tetraedro
Il dodecaedro
Il cubo
L’icosaedro
Osserviamo i poliedri
Solido
Facce
Spigoli
Vertici
forme delle facce
Tetraedo
4
6
4
Triangoli equilateri
Cubo
6
12
8
Quadrati
Ottaedro
8
12
6
Triangoli equilateri
Icosaedro
20
30
12
triangoli equilateri
Dodecaedro
12
30
20
Pentagoni
Perché le figure cosmiche sono
solo cinque?
• Il motivo è che la somma
degli angoli, che concorrono
a formare un vertice del
poliedro, deve essere minore
di 360°. Con gli esagoni
regolari non è possibile
costruire un poliedro, perché
la somma di tre angoli di
120° è uguale a 360°. Di
conseguenza i poliedri
regolari possono essere
costruiti solo con i triangoli
equilateri, i quadrato o i
pentagoni.
Simbolo di riconoscimento dei
pitagorici
• Tra le figure piane
regolari i pitagorici
privilegiarono il
pentagono, dal quale
ricavavano la stella a
cinque punte, che
divenne il simbolo della
scuola e il loro segno di
riconoscimento.
Il rapporto aureo nell’arte
• La proprietà più interessante di questa figura è
costituita dalle diagonali: una diagonale, divisa
da un’altra in due parti, sta alla parte maggiore
come la stessa parte maggiore sta alla parte
minore (una proporzione divina).
La parte maggiore è detta "sezione aurea" del
segmento che costituisce la diagonale intera.
• Possiamo osservare questo rapporto pari a
1,618...(numero d'oro) in molte opere d’arte,
dalla pittura alla musica, fino alla natura del
creato.
Esempi
• Negli oggetti di uso
quotidiano, possiamo
trovare alcuni esempi di
sezione aurea: dalle
schede telefoniche alle
carte di credito e
bancomat, dalle carte
SIM dei cellulari alle
musicassette: sono tutti
rettangoli aurei con un
rapporto tra lunghezza e
larghezza pari a 1,618.
Il rapporto aureo nel corpo umano
•
•
•
•
•
In natura il rapporto aureo è
riscontrabile in molte dimensioni del
corpo umano.
Se moltiplichiamo per 1,618 la
distanza che in una persona adulta e
proporzionata, va dai piedi
all'ombelico, otteniamo la sua statura.
Così la distanza dal gomito alla mano
(con le dita tese), moltiplicata per
1,618, dà la lunghezza totale del
braccio.
La distanza che va dal ginocchio
all'anca, moltiplicata per il numero
d'oro, dà la lunghezza della gamba,
dall'anca al calcagno.
Anche nella mano i rapporti tra le
falangi delle dita medio e anulare sono
aurei, così il volto umano è tutto
scomponibile in una griglia i cui
rettangoli hanno i lati in rapporto
aureo.
Nell’arte
La Gioconda di
Leonardo
Mondrian: accostamento di
quadrati e di rettangoli aurei.