Esercizi su media, deviazione standard, deviazione standard sulla

Esercizio
Si misura la lunghezza d’onda  di una riga spettrale nell’intervallo delle microonde e si
trovano i seguenti valori, espressi in nanometri:
36400 36300 36400 36200 36100 36710
Trovare la miglior stima della lunghezza d’onda con il suo errore, utilizzando il corretto
numero di cifre significative. Stimare inoltre la precisione dell’apparato di misura usato.
( xi  x ) 2
i
xi
1
36400
2336.079
x
2
36300
2669.479
La deviazione standard, che fornisce la stima della
precisione, si ricava come:
3
36400
2336.079
4
36200
23002.879
5
36100
63336.279
6
36710
128402.539
218110
222083.334

N
i 1
Applicando le formule della media, troviamo:
218110
 36351.667
6
N
Sx 
 (x  x)
i 1
i
( N  1)
2

L’errore sulla media :
222083.334
 210.75
5
Sx 
Sx
210.75

 86
N
6
La miglior stima della lunghezza d’onda quindi è:
36350 ± 90 nanometri
Esercizio
Due sperimentatori misurano la stessa grandezza usando due metodi differenti, e facendo
ognuno 8 misure:
A) 35.3
35.6
34.9
35.3
35.2
35.4
35.2
34.8
B) 34.9
35.1
35
35.2
35.1
34.9
35
35
Trovare le precisioni SA, SB dei due metodi, e specificare il numero di misure che bisogna
fare col metodo meno preciso per avere un errore sulla media uguale o migliore a quello
trovato in 8 misure col metodo più preciso.
La precisione è data dalla deviazione standard:
N
SA 
 (x  x)
i 1
N
2
i
( N  1)
 0.2588
SB 
 (x  x)
i 1
i
( N  1)
2
 0.1035
Dal confronto tra le due precisioni si vede che il metodo B è quello più preciso. L’errore sulla
SB
0.1035
media ottenuto con il metodo B facendo 8 misure è pari a:
SB 
N

8
Per avere un errore sulla media uguale o migliore con il metodo A è necessario effettuare un
numero N’ di misure tale da avere:
S
S
S A  SB  A  B
N'
8
S 
N '  8   A 
 SB 
2
N ' 50
Esercizio
Due sperimentatori misurano la stessa grandezza usando due metodi differenti, e facendo
ognuno 8 misure:
A) 35.3
35.6
34.9
35.3
35.2
35.4
35.2
34.8
B) 34.9
35.1
35
35.2
35.1
34.9
35
35
Trovare le precisioni SA, SB dei due metodi, e specificare il numero di misure che bisogna
fare col metodo meno preciso per avere un errore sulla media uguale o migliore a quello
trovato in 8 misure col metodo più preciso.
ATTENZIONE
La precisione è data dalla deviazione
standard: ALLE APPROSSIMAZIONI:
se avessimo calcolato N’ utilizzando come
N
( xi  x )
precisioni
0.3

( xi e
 x0.1
) 2 (cioè la rappresentazione
i 1
S A  i 1
 0.2588 delle
precisioni
SA e 0S.1035
B con le corrette cifre
S

B
( N  1)
 1)
significative( Navremmo
trovato un numero N’
ugualeB aè quello
72! più preciso. L’errore sulla
Dal confronto tra le due precisionimaggiore
si vede che o
il metodo
N
2
media ottenuto con il metodo B facendo 8 misure è pari a:
SB 
SB
0.1035

N
8
Per avere un errore sulla media uguale o migliore con il metodo A è necessario effettuare un
numero N’ di misure tale da avere:
S
S
S A  SB  A  B
N'
8
S 
N '  8   A 
 SB 
2
N ' 50
Esercizio
Uno studente cronometra il lasso di tempo che intercorre tra due eventi ripetendo la misura
6 volte trovando i seguenti valori:
7.6 s
7.9 s
8.1 s
7.8 s
8.3 s
7.9 s
Dopo aver calcolato la media e il suo errore dire quante misure si dovrebbero eseguire per
ottenere un errore 3 volte più piccolo.
Applicando le formule della media, troviamo:
xi
( xi  x ) 2
47.6
x
 7.9333
La deviazione standard è:
6 N
i
1
7.6
2
7.9
0.1111
0.0011
3
8.1
0.0278
4
7.8
0.0178
5
8.3
0.1344
6
7.9
0.0011
47.6
0.2933

N
i 1
Sx 
 (x  x)
i 1
2
i
( N  1)
La deviazione standard
della media è:

0.2933
 0.2422
5
Sx 
Sx
0.2422

 0.0989
N
6
La miglior stima dell’intervallo di tempo quindi è:
7.9 ± 0.1 s
Per avere un errore sulla media 3 volte più piccolo, visto
che la precisione resta la stessa, è necessario un maggior
numero di misure N’ tale per cui:
S 'x 
Sx
3

Sx
1 S
  x
N' 3 N
 N '  9 N  9  6  54
Esercizi
Si usano due metodi differenti per misurare il carico di rottura di un filo di acciaio e si fanno
10 misure per ognuno dei metodi. I risultati, espressi in tonnellate, sono i seguenti:
Metodo A: 3.3 3.5 3.7 3.2 3.6 3.5 3.6 3.4 3.6 3.9
Metodo B: 3.5 3.6 3.6 3.7 3.5 3.6 3.5 3.5 3.6 3.5
i) stimare la precisione di ciascun metodo
ii) calcolare la media ed il rispettivo errore per ciascun metodo. Esprimere l’errore anche in
termini percentuali
iii) dire quante misure si dovrebbero fare con il metodo meno preciso in modo da ottenere
un errore uguale a quello dell’altro metodo.
i) La precisione è data dalla deviazione standard che risulta pari a: Metodo A: SA=0.2; Metodo B: SB=0.07
ii)
SA
0.2

 0.0633
N
10
S
0.07
xB  3.56 S B  B 
 0.0221
N
10
x A  3.53 S A 
0.0633
 1.79%
3.53
0.0221
err
%

100

 0.62%
3.56  0.02
3.56
3.53  0.06 err %  100 
iii) Il metodo A è quello meno preciso. Per avere un errore sulla media uguale a quello del metodo B
è necessario effettuare un numero N’ di misure tale da avere:
S
S
S A  SB  A  B
N'
10
S 
N '  10   A 
 SB 
2
N ' 82
Esercizi
In una esperienza di laboratorio viene condotto un esperimento al fine di trovare il valore della carica
depositata sulle armature di un condensatore. Tre gruppi di studenti, dotati di strumentazione con
diversa precisione trovano i seguenti valori:
gruppo 1: carica = (1.54 ± 1.2) 10–19 C
gruppo 2: carica = (1.62 ± 0.8) 10–19 C
gruppo 3: carica = (1.61 ± 0.8) 10–19 C
Quale è la miglior stima della carica depositata? E quale la sua incertezza?
Si tratta semplicemente di applicare le formule della media pesata. Per comodità è meglio tralasciare
nei conti il termine 10-19 e considerarlo solo alla fine.
N
di
xi
1.54
1.2
1.62
0.8
1.61
0.8
N

i 1
1
xi
d i2
d i2
0.6944
1.0694
1.5625
X best 
1.5625
2.5156
3.8194
6.1162
d
i 1
N
X best
dX
2
i
best
1
d
i 1
2.5312
xi
N
dX
best
1
d
2
i
1

 0.5117
3.8194
Tenendo conto delle cifre significative:
(1.60  0.5) 1019 C
1
i 1
2
i
6.1162

 1.6014
3.8194

Esercizi
Tre biologi, attraverso tre differenti tecniche di misura, calcolano il tasso di riproduzione di una
colonia di batteri, cioè misurano il tempo necessario affinché la popolazione della colonia di
batteri raddoppia. I tempi registrati sono:
biologo 1: tempo = 11.4 ± 0.6 giorni
biologo 2: tempo = 11.8 ± 0.2 giorni
biologo 3: tempo = 12.2 ± 0.6 giorni
Trovare la miglior stima del tempo e la sua incertezza.
Si tratta semplicemente di applicare le formule della media pesata.
N
di
xi
1
d
2
i
xi
d
2
i
11.4
0.6
2.778
31.67
11.8
0.2
25
295
12.2
0.6
2.778
33.89
X best 
xi
d
i 1
N
best

d
N
N
i 1
30.556
360.56
360.56
 11.79998
30.556
2
i
1
1
d
i 1

X best 
1
i 1
dX
2
i
dX
best
2
i

1
 0.1809
30.556
Tenendo conto delle cifre significative:
(11.8  0.2) giorni