Teoria dei gruppi - Studenti di Fisica

Teoria dei gruppi
Simmetria di punto
1
Definizione di gruppo
• In un insieme di elementi esiste una legge di
moltiplicazione tale che se X e Y appartengono
all’insieme allora Z=X.Y appartiene all’insieme
• Esiste un elemento E tale che E.X=X.E per ogni
X
• Vale la proprietà associativa Z.(Y.X)=(Z.Y).X
• Ogni elemento ha il suo inverso X-1=Y tale che
Y.X=X.Y=E
2
Un esempio
• Verificare che l’insieme dei numeri interi,
positivi e negativi, incluso lo 0,
costituiscono un gruppo rispetto
all’addizione
• 1, -1, i, -i
• Numeri razionali 0 escluso
3
Ancora sui gruppi
• Il numero di elementi dà l’ordine del
gruppo. Gruppi finiti e gruppi infiniti
• Il gruppo è commutativo (Abeliano) se per
ogni coppia di elementi XY=YX.
• Il gruppo è ciclico se tutti gli elementi sono
ottenuti elevando una data operazione a
potenza X, X2, X3….
• Un sottogruppo è un sottoinsieme di un
gruppo che forma un gruppo di per sé
4
Tavola di moltiplicazione
1
-1
i
-i
1
1
-1
i
-i
-1
-1
1
-i
i
i
i
-i
-1
1
-i
-i
I
1
-1
5
Generatori di un gruppo
• Un gruppo può venire generato da un
insieme di elementi detti generatori
• i o -i
6
Classi di un gruppo
• A e B sono coniugati se esiste un C tale
che A=CBC-1
• L’insieme di operazioni mutuamente
coniugate costituisce una classe
7
Gruppi di simmetria
• Operazioni di simmetria
• Elementi di simmetria
8
An Example of the use of
Symmetry
Florence, The Baptistry
9
E di rottura della simmetria
10
Solidi platonici
11
FULLERENE C60
Questa
nanostruttura, con
dimensioni minime
di 1 nm, è la
capostipite
molecolare dei
composti a base di
carbonio.
.
12
Giant Molecular
Antiferromagnets: Fe30
Icosidodecaedro
13
The ferric wheel
Ferric Wheel
S. Lippard
Ferris Wheel
14
15
The library of molecular magnets:
clusters
G. Christou
16
Simmetrie dispari
17
18
19
20
21
Why symmetry?
So our problem is to explain where symmetry comes from. Why is Nature so
nearly symmetrical? No one has an idea why. The only thing we might suggest is
something like this: There is a gate in Japan, a gate in Neiko, which is
sometimes called by the Japanese the most beautiful gate in all Japan; it was
built in a time when there was freat influence from the chinese art. The gate
is very elaborate, with lots of gables and beautiful carving and lots of columns
and dragon heads and princes carved ito the pillars, and so on. But when one
looks closely he sees that in the elaborate and complex design along one of the
pillars, one of the small design elements is carved upside down; otherwise the
thing is completely symmetrical. If one asks why this is, the story is that it
was carved upside down so that the gods will not be jealous of the perfection
of man. So they purposely put an error in there. So that the gods would not be
jealous and get angry with human beings. We might like to turn the idea around
and think that the true explanation of the near symmetry nature us this: that
God made the lows only nearly symmetrical so that we should not be jealous of
His perfection!
The Feynmann Lectures on Physics
22
Simmetria
•
•
•
•
•
Simmetria di punto
Simmetria traslazionale
Elementi di simmetria
Operazioni di simmetria
Gruppi di simmetria
23
Elementi e operazioni di
simmetria
Elemento
Operazione
Centro
punto
Inversione
Asse
Rotazione
Piano
Riflessione
Asse di rotoriflessione
Rotazione
impropria
24
Inversione
25
26
Riflessione
27
28
Assi di rotazione compatibili con i
cristalli
C2
C3
C6
C4
29
30
Rotazione 4
31
Se c’è un asse di ordine n quante
rotazioni posso fare?
32
Rotoinversione 4
33
Gruppi di simmetria
• Il prodotto di due operazioni
corrisponde a effettuare le due
operazioni una di seguito all’altra
• Il prodotto di due operazioni è
un’operazione del gruppo
• Esiste un elemento neutro, E, tale che
applicato a R lo lasci inalterato
• Per ogni R del gruppo esiste R-1 tale che
R.R-1=R-1.R= E
34
Operazioni di simmetria dell’acqua
z
•
•
•
•
E
C2
xz
yz
x
O
H
H
35
36
Tabella di moltiplicazione del
gruppo C2v
Y/X
E
C2
xz
yz
E
E
C2
xz
yz
C2
C2
E
yz
xz
xz
xz
yz
E
C2
yz
yz
xz
C2
E
37
C3v
E
C3+
C3-
σ1
σ2
σ3
E
E
C3+
C3-
σ1
σ2
σ3
C3+
C3+
C3-
E
σ3
σ1
σ2
C3-
C3-
E
C3+
σ2
σ3
σ1
σ1
σ1
σ2
σ3
E
C3+
C3-
σ2
σ2
σ3
σ1
C3-
E
C3+
σ3
σ3
σ1
σ2
C3+
C3-
E
38
C3v
E
C3+
C3-
σ1
σ2
σ3
E
E
C3+
C3-
σ1
σ2
σ3
C3+
C3+
C3-
E
σ3
σ1
σ2
C3-
C3-
E
C3+
σ2
σ3
σ1
σ1
σ1
σ2
σ3
E
C3+
C3-
σ2
σ2
σ3
σ1
C3-
E
C3+
σ3
σ3
σ1
σ2
C3+
C3-
E
39
C3v
E
C3+
C3-
σ1
σ2
σ3
E
E
C3+
C3-
σ1
σ2
σ3
C3+
C3+
C3-
E
σ3
σ1
σ2
C3-
C3-
E
C3+
σ2
σ3
σ1
σ1
σ1
σ2
σ3
E
C3+
C3-
σ2
σ2
σ3
σ1
C3-
E
C3+
σ3
σ3
σ1
σ2
C3+
C3-
E
40
C3v
E
C3+
C3-
σ1
σ2
σ3
E
E
C3+
C3-
σ1
σ2
σ3
C3+
C3+
C3-
E
σ3
σ1
σ2
C3-
C3-
E
C3+
σ2
σ3
σ1
σ1
σ1
σ2
σ3
E
C3+
C3-
σ2
σ2
σ3
σ1
C3-
E
C3+
σ3
σ3
σ1
σ2
C3+
C3-
E
41
C3v
E
C3+
C3-
σ1
σ2
σ3
E
E
C3+
C3-
σ1
σ2
σ3
C3+
C3+
C3-
E
σ3
σ1
σ2
C3-
C3-
E
C3+
σ2
σ3
σ1
σ1
σ1
σ2
σ3
E
C3+
C3-
σ2
σ2
σ3
σ1
C3-
E
C3+
σ3
σ3
σ1
σ2
C3+
C3-
E
42
Sottogruppi di C3v
•
•
•
•
(E, C3+, C3-)
(E,1)
(E,2)
(E,3)
43
Classi di un gruppo
• A e B sono coniugate se esiste una C tale
che A=CBC-1
• L’insieme di operazioni mutuamente
coniugate costituisce una classe
• il gruppo C2v ha 4 classi
• Il gruppo C3v ne ha 3: E, 2C3, 3σv
44
Tipi di gruppo di simmetria
• Gruppi ciclici: asse di ordine n, Cn o Sn
• Gruppi diedrici : asse di ordine n+ piano
ortogonale Cnh
• Gruppi diedrici: asse Cn + piano passante, Cnv
• Gruppi diedrici: asse di ordine n + asse binario
ortogonale, Dn
• Gruppi diedrici: asse di ordine n + asse binario
ortogonale + piano che biseca assi binari, Dnd
• Gruppi diedrici: asse di ordine n + asse binario
ortogonale+ piano ortogonale, Dnh
45
Gruppi cubici
• Tre assi binari perp. facce cubo+ 4 assi
ternari, T
• Come T + inversione, Th
• quattro assi ternari + tre S4, Td
• Quattro assi ternari+ 4 assi tetragonali, O
• O+ inversione, Oh
46
Gruppi di punto
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Gruppi di rotazione Cn
Gruppi di rotoriflessione S2n
Gruppi Cnh
Gruppi Cnv
Gruppi diedrici Dn
Gruppi Dnh
Gruppi Dnd
Gruppi cubici T,Td,Th,O,Oh
Gruppi icosaedrici I, Ih
47
48
Cn Groups
C1
C2
C3
C4
C5
http://www.phys.ncl.ac.uk/staff/njpg/symmetry/
49
Cnv
C2v
C3v
C4v
C5v
C6v
50
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C2v
C3v
C4v
C5v
C6v
C2h
C1h/S1
C5h/S5
C3h/S3
S2
C6h
C4h
S4
S6
S8
51
Dnk
D2
D3
D4
D5
D6
D2d
D3d
D4d
D5d
D6d
D2h
D3h
D4h
D5h
D6h
52
C1
Cs
C2
C3
C4
C6
C2v
C3v
C4v
C6v
C2h
C3h
C4h
C6h
S4
S6
Ci
53
T
D2d
D3d
D2h
D3h
D4h
D6h
Th
O
Td
Oh
Revised: 3 July 2006 at 17:02
© University
54
H2O2 C2
55
56
C16H10 C2h
57
HCN Cinfv
58
59
60
Rappresentazioni di un gruppo
• Dato un vettore a n componenti possiamo
associare ad ogni operazione R del gruppo G
una matrice D( R) che descrive le trasformazioni
del vettore
• L’insieme delle matrici costituisce un gruppo che
ha la stessa tabella di moltiplicazione di G
• Si è fatto una rappresentazione del gruppo G
• La dimensione della rappresentazione è n
61
Ammoniaca
x3
x2
x1
f2
f1
f3
2
1
3
62
E
x2
2
1 x1
f1
1
0
0
f2
0
1
0
f3
0
0
1
x1 x 2 x3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
63
Rotazione intorno a z di un angolo
α
cos α
-sin α
0
sin α
cos a
0
0
0
±1
[i’ j’ k’]= [i j k] U
D’(R) = U-1D(R)U
64
C3 +
X1’
x2
1
3 x1
f1
0
1
0
f2
0
0
1
f3
1
0
0
x1
1

2
3
2
0
x2
3

2
1

2
0
x3
0
0
1
X2’
2
65
C3 x2
3
2 x1
X2’
X1’
f1
0
1
0
f2
0
0
1
f3
1
0
0
x1
1

2
3
2
0
x2
3
2
1

2
0
x3
0
0
1
1
66
σ1
x2
3
1 x1= x1’
f1
1
0
0
f2
0
0
1
f3
0
1
0
x1 x 2 x3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2
X2’
67
σ2
x2
2
X2’
3 x1
f1
0
0
1
f2
0
1
0
f3
1
0
0
x1
1

2
3

2
0
x2
3

2
1
2
0
x3
0
0
1
X1’
1
68
σ3
X1’
x2
1
X2’
2 x1
f1
0
1
0
f2
1
0
0
f3
0
0
1
x1
1

2
3
2
0
x2
3
2
1
2
0
x3
0
0
1
3
69
Rappresentazioni riducibili ed
irriducibili
• La rotazione del sistema di coordinate (o il
cambiamento della base) induce una
trasformazione di similitudine delle matrici della
rappresentazione
• La nuova rappresentazione è equivalente a
quella di partenza
• Se le matrici sono diagonali a blocchi si scinde
la rappresentazione di partenza in una somma
di rappresentazioni di dimensioni più piccole
• Il processo può continuare fino a che si
raggiungono le dimensioni minime compatibili
col gruppo G: rappresentazioni irriducibili
70
Somma diretta
E
 1

 1 0 0  2

 3
 0 1 0 
 0 0 1  2

 0


C3+
3

2
1

2
0
C3-
 1
0  
 2
 3
0 
 2
1  0


σ1
σ2

 1
3

 
0
2
 1 0 0  2


1
3

0  0  1 0  
2
 0 0 1  2
0 1 
 0




σ3
3

2
1
2
0
 1
0  
 2
 3
0 
 2
1  0


3
2
1
2
0
71

0


0

1


Teorema di ortogonalità

R
 
D R
1
ji
D  R kl 
h
  ki ,lj
g g 
h è l’ordine del gruppo
Gα è la dim. della RI
D sono rappresentazoni
irriducibili
La somma è su tutte le
operazioni del gruppo
72
Significato del teorema di
ortogonalità
• Si può leggere come il prodotto scalare tra
due vettori in uno spazio di dimensioni h
• Le componenti del vettore sono gli
elementi di una data matrice
• In un spazio h dimensionale si possono
avere solo h vettori linearmente
indipendenti
73
Ancora rappresentazioni irriducibili
• Il numero di RI di un gruppo G è uguale al
numero di classi
• La somma dei quadrati delle RI è uguale
alle dimensioni del gruppo: Σigi2=h
74
I caratteri
g

R
i 1
 
D R
1
g
ii k 1
D R kk
g
h

    ik
g
i 1
*

R  ( R)   ( R)  h
h è l’ordine del gruppo
Si somma sugli elementi
diagonali per ricavare la
traccia o carattere
75
Caratteri di C2v
C2v
E
C2
v
’
A1
1
1
1
1
A2
1
1
-1
-1
B1
1
-1
1
-1
B2
1
-1
-1
1
76
Caratteri di C3v
C3v
E
2C3
3v
Basi
Basi d
A1
1
1
1
z
z2
A2
1
1
-1
Rz
E
2
-1
0
x,y;
Rx,Ry
x2-y2
,xy;
xz,yz
77
5^2 no; 4^2+2*2^2=24 no;3^2+3^2+2^2+2
Gruppo O
E
8C3
3C2
6C2’
6C4
A1
1
1
1
1
1
A2
1
1
1
-1
-1
E
2
-1
2
0
0
T1
3
0
-1
-1
1
T2
3
0
-1
1
-1
78
Tabelle dei caratteri
• Le rappresentazioni sono caratterizzate
dal valore dei caratteri (delle tracce) delle
matrici
• Il numero di volte che una RI, Γi, è
contenuta in una certa RR è data da:
• nΓi=[ΣCχΓi (C) χRR( C) n( C)]/g dove C sono
le classi del gruppo, n( C) il numero di
elementi della classe
79
Vantaggi della simmetria
• Classificando le funzioni per simmetria è
possibile trovare delle regole di selezione,
quindi evitare il calcolo di integrali che
sono nulli per simmetria
80
Funzioni adattate per simmetria
• Data una certa base, che induce una
rappresentazione riducibile, si può
effettuare una rotazione di coordinate che
dia luogo ad una rappresentazione
irriducibile
81
Funzioni adattate per simmetria
fΓi = ΣR χΓi (R) R f
fΓi è la funzione adattata
per simmetria
f è una componente
della base riducibile
La somma è su tutte le
operazioni R del gruppo G
82
Esercizi
• RI della base f di NH3
• RI orbitali s e p di N e s di H in NH3
• Combinaz. Lineari adattate alla simmetria
in NH3
• Orbitali d in O
83
Prodotto diretto di gruppi
• G, H siano due gruppi
• L=GxH prodotto diretto Lij= Gi Hj
• L è un gruppo se G=H o se gli elementi di
H e G commutano
• Provare che C3v e Ci danno D3d
84
D3d=C3v x Ci
EE
EC3+
EC3-
Eσ1
E σ2
E σ3
iE
i C3+
iC3-
i σ1
i σ2
i σ3
E
C3+ C3-
σ1
σ2
σ3
i
S6-
S6+ C2
C2
C2
85
Prodotto diretto dei vettori
l= fxg
lij= fi gj
D(L)= D(H)x D(G)
 a11B a12 B 

A  B  
 a21B a22 B 
86
Carattere della rappresentazione
del prodotto diretto all’interno dello
stesso gruppo
 ( R )   ( R )   ( R )
La totalsimmetrica si trova solo se
α=β
87
Elementi di matrice e simmetria
1 O 2
1 , O, 2
basi
per
i ,  j , k
i   j  k  1
Se O è l’operatore Hamiltoniano è base
per Γ1. allora l’elemento di matrice è
diverso da zero solo se Γi = Γk
88
Esercizi
• Fare un diagramma degli orbitali
molecolari di NH3
• Sapendo che le transizioni elettroniche
sono causate dal dipolo elettrico (si
comporta come x,y, e z) spiegare perchè
le transizioni nel visibile dei complessi dei
metalli di transizione sono poco intense
89
Stati polielettronici 2
d1
2D
d2
3F; 3P;1G; 1D; 1S
d3
4F; 4P;2H; 2G; 2F; 2D(2);2P
d4
5D;3H;3G;3F(2);3D;3P(2);1I;1G(2);1F;1D(2);1S(2)
d5
6S;4G;4F;4D;4P;2I;2H;2G(2);2F(2);2D(3),2P;2S
Lo stato fondamentale è quello di massima
molteplicità
90
Some Octahedral Transition Metal Ions
2T2g
Ti 3+,V4+
eff 1.7-1.8
3T1g
V3+
eff 2.6-2.8
4A2g
Cr3+,V2+
eff 3.8
91
Rotazioni e basi
E
A1
A2
E
T1
T2
1
1
2
3
3
8C3
1
1
-1
0
0
3C2
1
1
2
-1
-1
6C2’
1
-1
0
-1
1
6C4
1
-1
0
1
-1
 (Cn ) 
sen( L  1 / 2)
;  2 / n
sen( / 2)
Cn LM  eiM LM
 S P D F
G
E
0
1
3
5
7
9
C4
90
1
1
-1
-1
1
C3
120 1
0
-1
1
0
C2
180 1
-1
1
-1
1
92
d2 in O
E
8C3
3C2
6C2’
6C4
3F→3A , 3T , 3T ;
2
1
2
A1 1
1
1
1
1
A2 1
1
1
-1
-1
E
-1
2
0
0
0
-1
-1
1
2
T1 3
T2
3
0
-1
1
-1
3P→3T
1
t 22 ; t 2  t 2  A1  E  T1  T2
6!
n
 15
2!4!
3
A1  3E 1T1 1 T2 ;
1
A1 1E 1T1  3 T2 ;
1
A1 1E  3T1 1 T2 ;
93
Campo forte
t  A1  E  T1  T2 ;
2
2
1
1
3
1
t 2 e T1  T2  T1  T2 ;
1
1
3
3
e  A1  E  A2
2
1
1
3
94
Diagramma di correlazione
95
96
32 gruppi di punto
97
Simmetria traslazionale
98
99
Elicogira
a/2
100
animazione
Slittopiano
a/2
animaz
101
I sistemi cristallini
c
Cubico
Tetragonale
a= b c

= 
 =  = 90°
a= b= c
=  =  = 90°

a
Rombico
a  b c
=  =  = 90°
Monoclino
a  b c
=  = 90°;   90°
Esagonale
a= b c
=  = 90°;  = 120°
b
Triclino
a  b c
      90°
102
Cella a facce centrate F
Cella a corpo centrato
4 punti reticolari
2 punti reticolari
f
103
i
14 reticoli bravaisiani
Triclino
P
Monoclino
P, C
Ortorombico
P,C, I, F
Tetragonale
P,I
Esagonale
P
Trigonale
P
Cubico
P, I. F
104
Triclino P
Ortorombico P
Monoclino P
Monoclino C
Ortorombico C
Ortorombico I
Ortorombico F
105
230 gruppi spaziali
106
Un esempio
107
108
109
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111
112